Wikiversité frwikiversity https://fr.wikiversity.org/wiki/Wikiversit%C3%A9:Accueil MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Média Spécial Discussion Utilisateur Discussion utilisateur Wikiversité Discussion Wikiversité Fichier Discussion fichier MediaWiki Discussion MediaWiki Modèle Discussion modèle Aide Discussion aide Catégorie Discussion catégorie Projet Discussion Projet Recherche Discussion Recherche Faculté Discussion Faculté Département Discussion Département Transwiki Discussion Transwiki TimedText TimedText talk Module Discussion module Event Event talk Sujet 0 17123 988244 983702 2026-11-09T07:15:55Z Marvoir 1746 /* Normalisateur */ rappel sur la définition du normalisateur 988244 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 15 | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] | page_liée = Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur }} == Centre d'un groupe == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Centre d'un groupe}} On appelle centre d'un groupe ''G'' et on note <math>Z(G)</math> l’ensemble des éléments de ''G'' qui commutent avec tout élément de ''G''. }} {{Proposition |contenu= <math>Z(G)</math> est un sous-groupe distingué de ''G''. Tout sous-groupe de <math>Z(G)</math> est un sous-groupe distingué de G. }} Démonstration. Prouvons d'abord que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. Il est clair que l'élément neutre de G appartient à <math>Z(G)</math>. Soient ''a'' et ''b'' des éléments de <math>Z(G)</math>; prouvons que ''ab'' est un élément de <math>Z(G)</math>. Pour tout élément ''x'' de G, nous avons ''x(ab) = (xa)b = (ax)b = a(xb) = a(bx) = (ab)x'', donc ''ab'' commute avec tout élément de G, autrement dit appartient à <math>Z(G)</math>. Ainsi, le produit de deux éléments de <math>Z(G)</math> appartient toujours à <math>Z(G)</math>. Prouvons maintenant que si ''c'' est un élément de <math>Z(G)</math>, alors ''c{{exp|-1}}'' en est un lui aussi. Pour tout élément ''c'' de G, nous avons ''cx = xc'', d'où (en multipliant à gauche par ''c{{exp|-1}}'') ''x = c{{exp|-1}} x c'', d'où (en multipliant à droite par ''c{{exp|-1}}'') ''x c{{exp|-1}}'' = ''c{{exp|-1}}'' x , ce qui prouve bien que ''c{{exp|-1}}'' appartient à <math>Z(G)</math>. Ce qui précède prouve que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. Prouvons que ''Z(G)'' est un sous-groupe distingué de ''G'' : si ''a'' est un élément de ''Z(G)'', alors, pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g a g{{exp|-1}}'' = ''a g g{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''g a g{{exp|-1}}'' appartient à ''Z(G)'', ce qui montre bien que ''Z(G)'' est distingué dans ''G''. En fait, le même raisonnement prouve que tout sous-groupe de ''Z(G)'' est distingué dans ''G''. Remarque. Pour un groupe G, on définira plus loin dans le présent chapitre le centralisateur (dans G) d'un sous-groupe de G et on verra que ce centralisateur est un sous-groupe de G. Selon la définition du centralisateur, <math>Z(G)</math> est le centralisateur de G dans G, ce qui fournit une autre démonstration du fait que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. On pourrait donc postposer la définition du centre à celle du centralisateur d'un sous-groupe et se dispenser ainsi de prouver que le centre d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe. {{Définition | contenu = Soit G un groupe. Un sous-groupe de G contenu dans <math>Z(G)</math> (autrement dit, un sous-groupe de <math>Z(G)</math>) est appelé un sous-groupe central de G. }} D'après ce qui précède, tout sous-groupe central d'un groupe G est un sous-groupe normal de G. == Conjugaison == {{Wikipédia|Automorphisme intérieur}} Soient G un groupe et g un élément de G. L'application <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de G dans lui-même est appelée la conjugaison par g (dans G). Nous la noterons Int(g). On a déjà noté au chapitre « [[../Groupes, premières notions/]] » que c’est un automorphisme de G, admettant pour réciproque la conjugaison :<math>x \mapsto g^{-1}xg</math>. Comme déjà vu également, on dit qu'un automorphisme ''f'' de ''G'' est intérieur s'il existe un élément g de G tel que f soit la conjugaison par g. L'ensemble Int(''G'') des automorphismes intérieurs de ''G'' est un sous-groupe du groupe Aut(''G'') des automorphismes de ''G'' ; plus précisément, l’application Int : <math>g \mapsto Int(g)</math> est un homomorphisme de ''G'' dans Aut(''G'') et Int(''G'') est l'image de cet homomorphisme. Le noyau ker Int de cet homomorphisme est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' tels que Int(''g'') soit l'automorphisme identité de ''G'', autrement dit ker Int est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' tels que ''gxg{{exp|-1}}'' = ''x'' pour tout élément ''x'' de ''G'' ; la condition ''gxg{{exp|-1}}'' = ''x'' revient à ''gx = xg'', donc le noyau considéré est le centre ''Z(G)'' de ''G''. (Ceci montre de nouveau que ''Z(G)'' est un sous-groupe normal de ''G''.) Le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|premier théorème d'isomophisme]] permet donc d'énoncer : {{Théorème |titre= Proposition |contenu= Soit G un groupe. Int(G) est isomorphe à G/Z(G). }} On peut aussi montrer que {{Théorème |titre= Proposition |contenu= Soit G un groupe. Int(''G'') est un sous-groupe normal de Aut(''G''). }} Démonstration. Soient ''g'' un élément de ''G'' et <math>\alpha</math> un endomorphisme de ''G''. Alors : <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) \circ \alpha = \alpha \circ \mathrm{Int}(g)</math> (car les deux membres appliquent ''x'' sur <math>\alpha (g) \alpha (x) \alpha (g)^{-1}</math>). Si <math>\alpha</math> est un automorphisme, cela peut s'écrire : <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) = \alpha \circ \mathrm{Int}(g) \circ \alpha^{-1}</math>, ce qui montre bien que Int(''G'') est un sous-groupe normal de Aut(''G''). Soient ''x'', ''y'' et ''g'' des éléments de G tels que y = gxg⁻¹. Nous dirons alors que ''y'' est le conjugué de ''x'' par ''g''. Si un élément ''y'' de G est image d'un élément ''x'' de G par un automorphisme intérieur, autrement dit s'il existe un élément ''g'' de G tel que ''y'' soit le conjugué de ''x'' par ''g'', on dit que ''y'' est (un) conjugué de ''x'' (dans G). Du fait que les automorphismes intérieurs forment un groupe pour la composition, il résulte que la relation « ''y'' est un conjugué de ''x'' » est une relation d'équivalence dans ''G''. En effet : :x = 1x1{{exp|-1}} (réflexivité) :si y = gxg{{exp|-1}}, alors x = (g{{exp|-1}})yg = (g{{exp|-1}})y(g{{exp|-1}}){{exp|-1}} (symétrie) :si y = gxg{{exp|-1}} et z = hyh{{exp|-1}}, alors z = hgxg{{exp|-1}}h{{exp|-1}} = (hg)x(hg){{exp|-1}} (transitivité). {{Définition | contenu = Les classes selon cette relation d'équivalence sont appelées les classes de conjugaison (dans G). Si deux éléments de ''G'' sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu’ils sont conjugués (dans ''G''). }} (On verra dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]] que le cardinal de la classe de conjugaison d'un élément d'un groupe divise toujours l'ordre de ce groupe.) Si un sous-ensemble A de G est image d'un sous-ensemble B de G par un automorphisme intérieur, c'est-à-dire s'il existe un élément g de G tel que <math>A = gBg^{-1}</math>, on dit que A est conjugué de B (dans G), ou, plus précisément, est le conjugué de B (dans G) par g. Ici encore, on vérifie que cela définit une relation d'équivalence entre sous-ensembles de ''G''. Tout conjugué d'un sous-groupe H de G est image de H par un automorphisme (intérieur) de G et est donc un sous-groupe de G isomorphe à H. On a déjà rencontré les sous-groupes conjugués d'un sous-groupe dans le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. Si H est un sous-groupe de G, le conjugué de H (dans G) par un élément h de H est égal à H. (En effet, puisque h et h⁻¹ appartiennent à H, la classe à gauche hH et la classe à droite Hh⁻¹ sont égales à H, donc hHh⁻¹ = (hH)h⁻¹ = Hh⁻¹ = H.) En particulier, le conjugué de G (dans G) par n’importe quel élément de G est G lui-même. Notons que certains auteurs<ref>Notre définition est conforme à J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', New York, 1999, exer. 1.47, p. 18, ou encore p. 44. H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, p. 2, adoptent l'autre définition.</ref> définissent le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg. Ce qui suit montre un avantage de cette définition. On note souvent x^g (resp. H^g) le conjugué d'un élément x (resp. d'un sous-groupe H) par un élément g<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', New York, 1999, p. 44, qui pose H^g = gHg⁻¹ ; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, p. 2, qui définissent le conjugué de x par g comme égal à g⁻¹xg et posent x^g = gxg⁻¹.</ref>. Si, comme nous l'avons fait, on définit le conjugué de x par g comme étant gxg⁻¹, on a alors :(x^g)^h = x^hg ; si, au contraire, on définit le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg, on a :(x^g)^h = x^gh, ce qui est évidemment plus agréable. Nous retrouverons cette problématique dans le cadre plus général des opérations à gauche et à droite d'un groupe sur un ensemble. Deux éléments conjugués dans le groupe ''G'' sont images l'un de l'autre par des automorphismes de ''G'' et on montre facilement que l'image d'un élément ''x'' par un automorphisme de ''G'' a le même ordre que ''x''. Donc deux éléments conjugués ont toujours le même ordre. Soient ''x'' et ''y'' deux éléments du groupe ''G''. Nous avons <math> xy = y^{-1}(yx)y</math>, donc xy et yx sont conjugués. En particulier, ils ont le même ordre. (Nous l'avons démontré plus lourdement dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]].) Un élément de G est point fixe de la conjugaison par g si et seulement s'il commute avec g. Il est point fixe de tous les automorphismes intérieurs si et seulement s'il commute avec tout élément de G, autrement dit s'il appartient au centre de G. == Centralisateur == {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. On appelle centralisateur de ''x'' (dans ''G'') et l'on note C_''G''(''x'') l’ensemble des éléments de ''G'' qui commutent avec ''x''. }} Il est clair que C_''G''(''x'') est l’ensemble des points fixes de la conjugaison par ''x'' ; comme l’ensemble des points fixes d'un automorphisme est un sous-groupe, C_''G''(''x'') est un sous-groupe de G. C_''G''(''x'') est aussi l’ensemble des <math>g \in G</math> tels que ''x'' soit point fixe de la conjugaison par ''g''. Ce dernier point sera développé dans le chapitre sur les [[../Action de groupe|actions de groupe]]. On verra aussi dans le chapitre sur les actions de groupe que si G est un groupe et ''a'' un élément de G, la classe de conjugaison de ''a'' dans G a pour cardinal l'indice dans G du centralisateur C_''G''(''a'') de ''a'' dans G. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Centralisateur}} Si A est une partie de G, on appelle ''centralisateur de A (dans G)'' et l'on note C{{ind|G}}(A) l’ensemble des éléments de G qui commutent avec tout élément de A. }} Le centralisateur de A est donc l'intersection des centralisateurs des éléments de A. Puisqu'une intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G, le centralisateur de A est un sous-groupe de G. (Si A est vide, on ne peut théoriquement pas parler de l'intersection des centralisateurs d'éléments de A, car l'intersection d'une famille vide d'ensembles n’est pas définie, mais il est clair que si A est vide, le centralisateur de A est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.) Le centralisateur (dans G) de G lui-même est le centre de G. Le centre de G est contenu dans le centralisateur de toute partie de G. {{Proposition | contenu = Soient X et Y deux parties d'un groupe G. Si tout élément de X commute avec tout élément de Y, alors tout élément de ⟨X⟩ commute avec tout élément de ⟨Y⟩. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Puisque tout élément de X commute avec tout élément de Y, X est contenu dans le centralisateur de Y. Puisque le centralisateur de Y est un groupe, il en résulte, par minimalité de ⟨X⟩, que ⟨X⟩ est contenu dans le centralisateur de Y. Ceci revient à dire que tout élément de Y commute avec tout élément de ⟨X⟩, donc Y est contenu dans le centralisateur de ⟨X⟩. Par minimalité de ⟨Y⟩, il en résulte que ⟨Y⟩ est contenu dans le centralisateur de ⟨X⟩, ce qui revient à dire que tout élément de ⟨X⟩ commute avec tout élément de ⟨Y⟩. }} Remarque. Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G tels que tout élément de H commute avec tout élément de K, il nous arrivera de dire que H et K se centralisent. {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Soient G un groupe et X une partie génératrice de G. Si tous les éléments de X commutent entre eux, G est commutatif. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Faire Y = X dans la proposition qui précède. }} On se convainc facilement (voir exercices) que si ''a''₁, ... , ''a_n'' sont des éléments d'un groupe ''G'' qui commutent entre eux, le sous-groupe de ''G'' engendré par ''a''₁, ... , ''a_n'' est l’ensemble des éléments de la forme :<math>a_1^{r_1}\ldots a_n^{r_n},</math> où ''r''₁, ... , ''r_n'' parcourent les entiers relatifs. == Normalisateur == [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Rappelons]] la définition : {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' tels que <math>gHg^{-1} = H</math>, est appelé le normalisateur de ''H'' (dans ''G'') et noté N_''G''(''H''). }} Comme on l'a vu, N_''G''(''H'') est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dont ''H'' soit sous-groupe normal. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, autrement dit si ''g'' appartient à N_''G''(''H''). On dit qu'un sous-groupe ''K'' de ''G'' normalise ''H'' si tout élément de ''K'' normalise ''H'', autrement dit si ''K'' est contenu dans le normalisateur N_''G''(''H'') de ''H''. Il est clair que N_''G''(''H'') contient à la fois ''H'' et le centralisateur de ''H'' (dans ''G''). On a vu que Z(''G'') est contenu dans C_''G''(''H'') ; ''a fortiori'', il est contenu dans N_''G''(''H''). Rappel. Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''g'' un élément de ''G'' tel que <math>gHg^{-1} \leq H</math>; comme on l'a déjà noté dans le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]], il n'est pas forcément vrai que ''g'' normalise ''H''. Voir un exemple dans les [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|exercices sur le chapitre Conjugaison, centralisateur, normalisateur]], problème 14. {{Lemme | titre = Observation | contenu = Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''X'' une partie génératrice de ''H''. Un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si et seulement si {{nobr|''g''^-1''Xg''}} et ''gXg''^-1 sont tous deux contenus dans ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= La condition est évidemment nécessaire. Prouvons qu'elle est suffisante. Soit ''g'' un élément de G tel que g^-1Xg et gXg^-1 soient tous deux contenus dans H. Désignons par f_g l'automorphisme intérieur <math>\ x \mapsto g^{-1}xg</math> de G. L'hypothèse selon laquelle g^-1Xg est contenu dans H revient à dire que :<math>f_g(X)\subseteq H.</math> Puisque le second membre est un sous-groupe de G, on a donc :<math>\langle f_g(X)\rangle\subseteq H.</math> Cela peut s'écrire :<math>f_g(\langle X\rangle)\subseteq H,</math> autrement dit :<math>f_g(H)\subseteq H,</math> ou encore :<math>g^{-1}Hg\subseteq H.</math> Les hypothèses sur ''g'' sont également satisfaites par g^-1, donc on a aussi :<math>gHg^{-1}\subseteq H.</math> Ces deux résultats montrent que ''g'' normalise H. }} En particulier, si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''X'' une partie génératrice de ''H'', alors, pour prouver que ''K'' normalise ''H'', il suffit, puisque ''K'' est une partie symétrique de ''G'' (c'est-à-dire que ''K''^-1 = ''K''), de prouver que pour tout élément ''g'' de ''K'', ''g''^-1''Xg'' est contenu dans ''H''. {{Lemme | titre = Lemme N/C | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Le centralisateur C_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G'' est un sous-groupe distingué du normalisateur N_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G'' et le quotient N_''G''(''H'')/C_''G''(''H'') est isomorphe à un sous-groupe de Aut(''H''). }} {{Démonstration | contenu = Soit ''g'' un élément du normalisateur N_''G''(''H'') d'un sous-groupe ''H'' de ''G''. Puisque ''g'' normalise ''H'', l'automorphisme intérieur <math>\mathrm{Int}(g) : x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'' induit un automorphisme (non forcément intérieur) de ''H''. En faisant correspondre à chaque élément ''g'' de N_''G''(''H'') l'automorphisme <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''H'', nous définissons un homomorphisme de N_''G''(''H'') dans Aut(''H''), et il est clair que le noyau de cet homomorphisme est le centralisateur C_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G''. Cela montre que C_''G''(''H'') est un sous-groupe distingué de N_''G''(''H''). De plus, d’après le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Les trois théorèmes d.27isomorphisme|premier théorème d'isomorphisme]], N_''G''(''H'')/C_''G''(''H'') est isomorphe à un sous-groupe de Aut(''H''). }} '''Remarque.''' Selon W. R. Scott, « ''ce théorème presque trivial est d'une grande importance en théorie des groupes''<ref>W. R. Scott, ''Group theory'', 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 50.</ref>. » == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] }} of2zi20olvnpq4rdr08gvj0s4k0sov2 988245 988244 2026-11-09T07:24:12Z Marvoir 1746 /* Normalisateur */ détail 988245 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | niveau = 15 | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] | page_liée = Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur }} == Centre d'un groupe == {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Centre d'un groupe}} On appelle centre d'un groupe ''G'' et on note <math>Z(G)</math> l’ensemble des éléments de ''G'' qui commutent avec tout élément de ''G''. }} {{Proposition |contenu= <math>Z(G)</math> est un sous-groupe distingué de ''G''. Tout sous-groupe de <math>Z(G)</math> est un sous-groupe distingué de G. }} Démonstration. Prouvons d'abord que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. Il est clair que l'élément neutre de G appartient à <math>Z(G)</math>. Soient ''a'' et ''b'' des éléments de <math>Z(G)</math>; prouvons que ''ab'' est un élément de <math>Z(G)</math>. Pour tout élément ''x'' de G, nous avons ''x(ab) = (xa)b = (ax)b = a(xb) = a(bx) = (ab)x'', donc ''ab'' commute avec tout élément de G, autrement dit appartient à <math>Z(G)</math>. Ainsi, le produit de deux éléments de <math>Z(G)</math> appartient toujours à <math>Z(G)</math>. Prouvons maintenant que si ''c'' est un élément de <math>Z(G)</math>, alors ''c{{exp|-1}}'' en est un lui aussi. Pour tout élément ''c'' de G, nous avons ''cx = xc'', d'où (en multipliant à gauche par ''c{{exp|-1}}'') ''x = c{{exp|-1}} x c'', d'où (en multipliant à droite par ''c{{exp|-1}}'') ''x c{{exp|-1}}'' = ''c{{exp|-1}}'' x , ce qui prouve bien que ''c{{exp|-1}}'' appartient à <math>Z(G)</math>. Ce qui précède prouve que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. Prouvons que ''Z(G)'' est un sous-groupe distingué de ''G'' : si ''a'' est un élément de ''Z(G)'', alors, pour tout élément ''g'' de ''G'', nous avons ''g a g{{exp|-1}}'' = ''a g g{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''g a g{{exp|-1}}'' appartient à ''Z(G)'', ce qui montre bien que ''Z(G)'' est distingué dans ''G''. En fait, le même raisonnement prouve que tout sous-groupe de ''Z(G)'' est distingué dans ''G''. Remarque. Pour un groupe G, on définira plus loin dans le présent chapitre le centralisateur (dans G) d'un sous-groupe de G et on verra que ce centralisateur est un sous-groupe de G. Selon la définition du centralisateur, <math>Z(G)</math> est le centralisateur de G dans G, ce qui fournit une autre démonstration du fait que <math>Z(G)</math> est un sous-groupe de G. On pourrait donc postposer la définition du centre à celle du centralisateur d'un sous-groupe et se dispenser ainsi de prouver que le centre d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe. {{Définition | contenu = Soit G un groupe. Un sous-groupe de G contenu dans <math>Z(G)</math> (autrement dit, un sous-groupe de <math>Z(G)</math>) est appelé un sous-groupe central de G. }} D'après ce qui précède, tout sous-groupe central d'un groupe G est un sous-groupe normal de G. == Conjugaison == {{Wikipédia|Automorphisme intérieur}} Soient G un groupe et g un élément de G. L'application <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de G dans lui-même est appelée la conjugaison par g (dans G). Nous la noterons Int(g). On a déjà noté au chapitre « [[../Groupes, premières notions/]] » que c’est un automorphisme de G, admettant pour réciproque la conjugaison :<math>x \mapsto g^{-1}xg</math>. Comme déjà vu également, on dit qu'un automorphisme ''f'' de ''G'' est intérieur s'il existe un élément g de G tel que f soit la conjugaison par g. L'ensemble Int(''G'') des automorphismes intérieurs de ''G'' est un sous-groupe du groupe Aut(''G'') des automorphismes de ''G'' ; plus précisément, l’application Int : <math>g \mapsto Int(g)</math> est un homomorphisme de ''G'' dans Aut(''G'') et Int(''G'') est l'image de cet homomorphisme. Le noyau ker Int de cet homomorphisme est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' tels que Int(''g'') soit l'automorphisme identité de ''G'', autrement dit ker Int est l’ensemble des éléments ''g'' de ''G'' tels que ''gxg{{exp|-1}}'' = ''x'' pour tout élément ''x'' de ''G'' ; la condition ''gxg{{exp|-1}}'' = ''x'' revient à ''gx = xg'', donc le noyau considéré est le centre ''Z(G)'' de ''G''. (Ceci montre de nouveau que ''Z(G)'' est un sous-groupe normal de ''G''.) Le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|premier théorème d'isomophisme]] permet donc d'énoncer : {{Théorème |titre= Proposition |contenu= Soit G un groupe. Int(G) est isomorphe à G/Z(G). }} On peut aussi montrer que {{Théorème |titre= Proposition |contenu= Soit G un groupe. Int(''G'') est un sous-groupe normal de Aut(''G''). }} Démonstration. Soient ''g'' un élément de ''G'' et <math>\alpha</math> un endomorphisme de ''G''. Alors : <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) \circ \alpha = \alpha \circ \mathrm{Int}(g)</math> (car les deux membres appliquent ''x'' sur <math>\alpha (g) \alpha (x) \alpha (g)^{-1}</math>). Si <math>\alpha</math> est un automorphisme, cela peut s'écrire : <math>\mathrm{Int}(\alpha (g)) = \alpha \circ \mathrm{Int}(g) \circ \alpha^{-1}</math>, ce qui montre bien que Int(''G'') est un sous-groupe normal de Aut(''G''). Soient ''x'', ''y'' et ''g'' des éléments de G tels que y = gxg⁻¹. Nous dirons alors que ''y'' est le conjugué de ''x'' par ''g''. Si un élément ''y'' de G est image d'un élément ''x'' de G par un automorphisme intérieur, autrement dit s'il existe un élément ''g'' de G tel que ''y'' soit le conjugué de ''x'' par ''g'', on dit que ''y'' est (un) conjugué de ''x'' (dans G). Du fait que les automorphismes intérieurs forment un groupe pour la composition, il résulte que la relation « ''y'' est un conjugué de ''x'' » est une relation d'équivalence dans ''G''. En effet : :x = 1x1{{exp|-1}} (réflexivité) :si y = gxg{{exp|-1}}, alors x = (g{{exp|-1}})yg = (g{{exp|-1}})y(g{{exp|-1}}){{exp|-1}} (symétrie) :si y = gxg{{exp|-1}} et z = hyh{{exp|-1}}, alors z = hgxg{{exp|-1}}h{{exp|-1}} = (hg)x(hg){{exp|-1}} (transitivité). {{Définition | contenu = Les classes selon cette relation d'équivalence sont appelées les classes de conjugaison (dans G). Si deux éléments de ''G'' sont dans cette relation d'équivalence, on dit qu’ils sont conjugués (dans ''G''). }} (On verra dans le chapitre [[../Action de groupe|Action de groupe]] que le cardinal de la classe de conjugaison d'un élément d'un groupe divise toujours l'ordre de ce groupe.) Si un sous-ensemble A de G est image d'un sous-ensemble B de G par un automorphisme intérieur, c'est-à-dire s'il existe un élément g de G tel que <math>A = gBg^{-1}</math>, on dit que A est conjugué de B (dans G), ou, plus précisément, est le conjugué de B (dans G) par g. Ici encore, on vérifie que cela définit une relation d'équivalence entre sous-ensembles de ''G''. Tout conjugué d'un sous-groupe H de G est image de H par un automorphisme (intérieur) de G et est donc un sous-groupe de G isomorphe à H. On a déjà rencontré les sous-groupes conjugués d'un sous-groupe dans le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. Si H est un sous-groupe de G, le conjugué de H (dans G) par un élément h de H est égal à H. (En effet, puisque h et h⁻¹ appartiennent à H, la classe à gauche hH et la classe à droite Hh⁻¹ sont égales à H, donc hHh⁻¹ = (hH)h⁻¹ = Hh⁻¹ = H.) En particulier, le conjugué de G (dans G) par n’importe quel élément de G est G lui-même. Notons que certains auteurs<ref>Notre définition est conforme à J.J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', New York, 1999, exer. 1.47, p. 18, ou encore p. 44. H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, p. 2, adoptent l'autre définition.</ref> définissent le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg. Ce qui suit montre un avantage de cette définition. On note souvent x^g (resp. H^g) le conjugué d'un élément x (resp. d'un sous-groupe H) par un élément g<ref>J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups'', New York, 1999, p. 44, qui pose H^g = gHg⁻¹ ; H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, p. 2, qui définissent le conjugué de x par g comme égal à g⁻¹xg et posent x^g = gxg⁻¹.</ref>. Si, comme nous l'avons fait, on définit le conjugué de x par g comme étant gxg⁻¹, on a alors :(x^g)^h = x^hg ; si, au contraire, on définit le conjugué de x par g comme étant g⁻¹xg, on a :(x^g)^h = x^gh, ce qui est évidemment plus agréable. Nous retrouverons cette problématique dans le cadre plus général des opérations à gauche et à droite d'un groupe sur un ensemble. Deux éléments conjugués dans le groupe ''G'' sont images l'un de l'autre par des automorphismes de ''G'' et on montre facilement que l'image d'un élément ''x'' par un automorphisme de ''G'' a le même ordre que ''x''. Donc deux éléments conjugués ont toujours le même ordre. Soient ''x'' et ''y'' deux éléments du groupe ''G''. Nous avons <math> xy = y^{-1}(yx)y</math>, donc xy et yx sont conjugués. En particulier, ils ont le même ordre. (Nous l'avons démontré plus lourdement dans un exercice de la série [[../Exercices/Groupes monogènes, ordre d'un élément|Groupes monogènes, ordre d'un élément]].) Un élément de G est point fixe de la conjugaison par g si et seulement s'il commute avec g. Il est point fixe de tous les automorphismes intérieurs si et seulement s'il commute avec tout élément de G, autrement dit s'il appartient au centre de G. == Centralisateur == {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''x'' un élément de ''G''. On appelle centralisateur de ''x'' (dans ''G'') et l'on note C_''G''(''x'') l’ensemble des éléments de ''G'' qui commutent avec ''x''. }} Il est clair que C_''G''(''x'') est l’ensemble des points fixes de la conjugaison par ''x'' ; comme l’ensemble des points fixes d'un automorphisme est un sous-groupe, C_''G''(''x'') est un sous-groupe de G. C_''G''(''x'') est aussi l’ensemble des <math>g \in G</math> tels que ''x'' soit point fixe de la conjugaison par ''g''. Ce dernier point sera développé dans le chapitre sur les [[../Action de groupe|actions de groupe]]. On verra aussi dans le chapitre sur les actions de groupe que si G est un groupe et ''a'' un élément de G, la classe de conjugaison de ''a'' dans G a pour cardinal l'indice dans G du centralisateur C_''G''(''a'') de ''a'' dans G. {{Définition | contenu ={{Wikipédia|Centralisateur}} Si A est une partie de G, on appelle ''centralisateur de A (dans G)'' et l'on note C{{ind|G}}(A) l’ensemble des éléments de G qui commutent avec tout élément de A. }} Le centralisateur de A est donc l'intersection des centralisateurs des éléments de A. Puisqu'une intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G, le centralisateur de A est un sous-groupe de G. (Si A est vide, on ne peut théoriquement pas parler de l'intersection des centralisateurs d'éléments de A, car l'intersection d'une famille vide d'ensembles n’est pas définie, mais il est clair que si A est vide, le centralisateur de A est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.) Le centralisateur (dans G) de G lui-même est le centre de G. Le centre de G est contenu dans le centralisateur de toute partie de G. {{Proposition | contenu = Soient X et Y deux parties d'un groupe G. Si tout élément de X commute avec tout élément de Y, alors tout élément de ⟨X⟩ commute avec tout élément de ⟨Y⟩. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Puisque tout élément de X commute avec tout élément de Y, X est contenu dans le centralisateur de Y. Puisque le centralisateur de Y est un groupe, il en résulte, par minimalité de ⟨X⟩, que ⟨X⟩ est contenu dans le centralisateur de Y. Ceci revient à dire que tout élément de Y commute avec tout élément de ⟨X⟩, donc Y est contenu dans le centralisateur de ⟨X⟩. Par minimalité de ⟨Y⟩, il en résulte que ⟨Y⟩ est contenu dans le centralisateur de ⟨X⟩, ce qui revient à dire que tout élément de ⟨X⟩ commute avec tout élément de ⟨Y⟩. }} Remarque. Si H et K sont des sous-groupes d'un groupe G tels que tout élément de H commute avec tout élément de K, il nous arrivera de dire que H et K se centralisent. {{Théorème | titre = Cas particulier | contenu = Soient G un groupe et X une partie génératrice de G. Si tous les éléments de X commutent entre eux, G est commutatif. }} {{Démonstration déroulante | contenu = Faire Y = X dans la proposition qui précède. }} On se convainc facilement (voir exercices) que si ''a''₁, ... , ''a_n'' sont des éléments d'un groupe ''G'' qui commutent entre eux, le sous-groupe de ''G'' engendré par ''a''₁, ... , ''a_n'' est l’ensemble des éléments de la forme :<math>a_1^{r_1}\ldots a_n^{r_n},</math> où ''r''₁, ... , ''r_n'' parcourent les entiers relatifs. == Normalisateur == [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Rappelons]] la définition : {{Définition | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Le sous-groupe de ''G'' formé par les éléments de ''G'' tels que <math>gHg^{-1} = H</math>, est appelé le normalisateur de ''H'' (dans ''G'') et noté N_''G''(''H''). }} Comme on l'a vu, N_''G''(''H'') est le plus grand sous-groupe de ''G'' contenant ''H'' dont ''H'' soit sous-groupe normal. On dit qu'un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si <math>gHg^{-1} = H</math>, autrement dit si ''g'' appartient à N_''G''(''H''). On dit qu'un sous-groupe ''K'' de ''G'' normalise ''H'' si tout élément de ''K'' normalise ''H'', autrement dit si ''K'' est contenu dans le normalisateur N_''G''(''H'') de ''H''. Il est clair que N_''G''(''H'') contient à la fois ''H'' et le centralisateur de ''H'' (dans ''G''). On a vu que Z(''G'') est contenu dans C_''G''(''H'') ; ''a fortiori'', il est contenu dans N_''G''(''H''). Rappel. Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''g'' un élément de ''G'' tel que <math>gHg^{-1} \leq H</math>; comme on l'a déjà noté dans le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]], il n'est pas forcément vrai que ''g'' normalise ''H''. Voir un exemple dans les [[../Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur|exercices sur le présent chapitre]], problème 14. {{Lemme | titre = Observation | contenu = Soient ''G'' un groupe, ''H'' un sous-groupe de ''G'' et ''X'' une partie génératrice de ''H''. Un élément ''g'' de ''G'' normalise ''H'' si et seulement si {{nobr|''g''^-1''Xg''}} et ''gXg''^-1 sont tous deux contenus dans ''H''. }} {{Démonstration déroulante|contenu= La condition est évidemment nécessaire. Prouvons qu'elle est suffisante. Soit ''g'' un élément de G tel que g^-1Xg et gXg^-1 soient tous deux contenus dans H. Désignons par f_g l'automorphisme intérieur <math>\ x \mapsto g^{-1}xg</math> de G. L'hypothèse selon laquelle g^-1Xg est contenu dans H revient à dire que :<math>f_g(X)\subseteq H.</math> Puisque le second membre est un sous-groupe de G, on a donc :<math>\langle f_g(X)\rangle\subseteq H.</math> Cela peut s'écrire :<math>f_g(\langle X\rangle)\subseteq H,</math> autrement dit :<math>f_g(H)\subseteq H,</math> ou encore :<math>g^{-1}Hg\subseteq H.</math> Les hypothèses sur ''g'' sont également satisfaites par g^-1, donc on a aussi :<math>gHg^{-1}\subseteq H.</math> Ces deux résultats montrent que ''g'' normalise H. }} En particulier, si ''H'' et ''K'' sont des sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''X'' une partie génératrice de ''H'', alors, pour prouver que ''K'' normalise ''H'', il suffit, puisque ''K'' est une partie symétrique de ''G'' (c'est-à-dire que ''K''^-1 = ''K''), de prouver que pour tout élément ''g'' de ''K'', ''g''^-1''Xg'' est contenu dans ''H''. {{Lemme | titre = Lemme N/C | contenu = Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Le centralisateur C_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G'' est un sous-groupe distingué du normalisateur N_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G'' et le quotient N_''G''(''H'')/C_''G''(''H'') est isomorphe à un sous-groupe de Aut(''H''). }} {{Démonstration | contenu = Soit ''g'' un élément du normalisateur N_''G''(''H'') d'un sous-groupe ''H'' de ''G''. Puisque ''g'' normalise ''H'', l'automorphisme intérieur <math>\mathrm{Int}(g) : x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''G'' induit un automorphisme (non forcément intérieur) de ''H''. En faisant correspondre à chaque élément ''g'' de N_''G''(''H'') l'automorphisme <math>x \mapsto gxg^{-1}</math> de ''H'', nous définissons un homomorphisme de N_''G''(''H'') dans Aut(''H''), et il est clair que le noyau de cet homomorphisme est le centralisateur C_''G''(''H'') de ''H'' dans ''G''. Cela montre que C_''G''(''H'') est un sous-groupe distingué de N_''G''(''H''). De plus, d’après le [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient#Les trois théorèmes d.27isomorphisme|premier théorème d'isomorphisme]], N_''G''(''H'')/C_''G''(''H'') est isomorphe à un sous-groupe de Aut(''H''). }} '''Remarque.''' Selon W. R. Scott, « ''ce théorème presque trivial est d'une grande importance en théorie des groupes''<ref>W. R. Scott, ''Group theory'', 1964, réimpr. Dover, 1987, p. 50.</ref>. » == Notes et références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] }} ne8t5oplqnwv8jxr3adn5eidj9nao21 0 17153 988242 982189 2026-11-09T06:57:47Z Marvoir 1746 /* Problème 14 */ petite remarque 988242 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | chapitre = [[../../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soient ''G'' un groupe et ''A'', ''B'' deux sous-groupes conjugués. Montrer que si ''AB'' = ''G'', alors ''A'' et ''B'' sont égaux à ''G''<ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 5, p. 9.</ref>. {{Solution | contenu = Puisque ''A'' et ''B'' sont conjugués, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que <math>B = gAg^{-1}</math>. Puisque ''G'' = ''AB'', tout élément ''x'' de ''G'' peut donc s'écrire <math>x = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math> avec <math>a_{1}</math> et <math>a_{2}</math> dans ''A''. C'est vrai en particulier pour <math>x = g^{-1}</math>, donc il existe <math>a_{1}, a_{2}</math> dans ''A'' tels que <math>g^{-1} = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math>. En simplifiant à droite par <math>g^{-1}</math> (ou, si on préfère, en multipliant à droite par <math>g</math>), nous trouvons <math>1 = a_{1}ga_{2}</math>. En multipliant à gauche par <math>a_{1}^{-1}</math> et à droite par <math>a_{2}^{-1}</math>, nous obtenons <math>g = a_{1}^{-1}a_{2}^{-1}</math>, donc ''g'' appartient à ''A'', donc ''B'' est le conjugué de ''A'' par un élément de ''A'', donc ''B'' est égal à ''A'', donc ''A'' = ''B'' = ''AB'', d'où, puisque ''AB'' est supposé égal à ''G'', ''A'' = ''B'' = ''G''. }} (Généralisation) Soient ''K'' et ''H'' deux sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''x'', ''y'' deux éléments de ''G''. Montrer que :si ''G = HK'' alors ''G = H{{exp|x}}K{{exp|y}}'' où, pour tout élément ''g'' et toute partie ''A'' de ''G'', ''A{{exp|g}}'' désigne la partie conjuguée ''g''{{exp|-1}}''Ag'' de ''A''. {{Solution|contenu= Soient ''h'' ∈ ''H'' et ''k'' ∈ ''K'' tels que ''xy''{{exp|-1}} = ''hk''. Alors, ''H{{exp|x}}K{{exp|y}} = H{{exp|hky}}K{{exp|y}} = H{{exp|ky}}K{{exp|ky}}'' = (''HK'')''{{exp|ky}} = G{{exp|ky}} = G''. }} == Problème 2 == Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. On suppose que <math>A \not= 1</math> et que <math>A \cap A^{g} = 1</math> pour tout <math>g \in G\setminus A</math>. Prouver que :<math>\vert \bigcup _{g \in G} A^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 11, p. 10.</ref>. {{Solution | contenu = Soient ''g'' et ''h'' des éléments de ''G'' tels que <math>A^{g} \cap A^{h} \not= 1</math>. En passant aux images par la bijection <math>x \mapsto x^{g^{-1}}</math>, nous trouvons <math>A \cap A^{hg^{-1}} \not= 1</math>, d'où, d’après nos hypothèses, <math>hg^{-1} \in A</math>, ce qui revient à dire que g et h appartiennent à la même classe à droite suivant ''A''. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' qui n'appartiennent pas à la même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{g} \cap A^{h} = 1</math>. Soit ''r'' l'indice de ''A'' dans ''G''; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, les ''r'' parties de ''G'' <math>A^{g_{1}} \setminus \{1\}, ..., A^{g_{r}} \setminus \{1\}</math> sont deux à deux disjointes, donc <math> \bigcup _{g \in G} (A^{g} \setminus \{1\})</math> compte au moins <math>r(\vert A \vert - 1)</math> éléments, donc <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + r(\vert A \vert - 1)</math> éléments. Puisque <math>r = \vert G:A \vert = \vert G \vert / \vert A \vert</math>, cela revient à dire que <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + \vert G \vert - \vert G \vert / \vert A \vert</math> éléments. Par hypothèse, <math>\vert A \vert \geq 2</math>, donc <math>\vert G \vert / \vert A \leq \vert G \vert / 2</math>, d'où l'énoncé. }} == Problème 3 == a) Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. Prouver que si <math>A \not= G</math>, alors <math>G \not= \bigcup _{g \in G} A^{g}</math>, autrement dit ''G'' n’est pas la réunion des conjugués de A<ref>Attribué à Jordan par Jean-Pierre Serre, ''Groupes finis'', révision de 2004, théor. 6.1, p. 45, [https://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL2937151343298039815_1___Groupes_finis.pdf en ligne].</ref>. {{Solution | contenu = (Remarque préliminaire : au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]], on montrera que le nombre des conjugués de ''A'' dans ''G'' est égal à l'indice dans ''G'' du normalisateur de ''A'' et est donc inférieur ou égal à <math>\vert G\vert / \vert A \vert</math>, ce qui permet de rédiger la démonstration plus simplement.) Si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', c'est-à-dire s'il existe <math>a \in A</math> tel que h = ag, alors <math>A^{h} = A^{(ag)} = (A^{a})^{g}</math> d'où, puisque <math>A^{a} = A</math>, <math>A^{h} = A^{g}</math>. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{h} = A^{g}</math>. (On l'a déjà noté dans la solution de l'exercice précédent.) Soit <math>r = \vert G:A \vert</math>; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, <math>\bigcup_{g \in G}A^{g} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}A^{g_{i}}</math>, d'où <math>\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}(A^{g_{i}} - \{1\})</math> et donc <math>\mathrm{Card}\left(\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\}\right) \leq \sum_{1 \leq i \leq r}\mathrm{Card}(A^{g_{i}} - \{1\})</math><br /> <math>\mathrm{Card}\left(\bigcup_{g \in G}A^{g}\right) \leq 1 + r(\vert A \vert - 1)</math>. Comme <math>r\vert A \vert = \vert G \vert</math>, ceci peut s'écrire <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) \leq \vert G \vert + 1 - r</math>. Puisque A est supposé distinct de G, r est > 1, donc <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) < \vert G \vert</math>, d'où l'énoncé. }} Remarque : on verra dans [[../Premiers résultats sur les groupes simples|les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples]] que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini. b) Soient G un groupe fini, soient <math>E_1, ... , E_n</math> les classes de conjugaison d'éléments de G, soient <math>x_1, ... , x_n</math> des éléments de G tels que, pour chaque i dans <math>\{1, .... , n\}</math>, on ait <math>x_i \in E_i</math>. À l'aide du point a), prouver que les <math>x_i</math> engendrent G. {{Solution | contenu = Désignons par H le sous-groupe de G engendré par les <math>x_i</math>. Il s'agit de prouver que H est égal à G, autrement dit que H n'est pas un sous-groupe propre de G.</br> Tout élément de G appartient à une classe <math>E_i</math> et est donc conjugué à un <math>x_i</math>. Puisque tous les <math>x_i</math> appartiennent à H, il en résulte que tout élément de G est conjugué à un élément de H. Cela revient à dire que G est la réunion des conjugués de H, donc, d'après le point a), H n'est pas un sous-groupe propre de G, ce qui, comme on l'a vu, revient à l'énoncé à démontrer. }} == Problème 4 == Soit G un groupe fini > 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G<ref>Voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/14/71/18/PDF/crs_gr_nilpotent_DEA_96_97.pdf en ligne], lemme 4.2, p. 17.</ref>. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.) {{Solution | contenu = Supposons que, par absurde, :<math>\ (1)</math> aucun sous-groupe maximal de G ne soit normal dans G. Soit M un sous-groupe maximal de G. Puisque M est contenu dans <math>\ N_{G}(M)</math> et que M est maximal, <math>\ N_{G}(M)</math> est égal à G ou à M. Puisque nous avons supposé en (1) qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal dans G, <math>\ N_{G}(M) \not= G,</math> donc <math>\ N_{G}(M) = M.</math> Ceci revient à dire que :<math>\ (2)</math> pour tout sous-groupe maximal M de G et pour tout <math>g \in G \setminus M, M^{g} \not= M</math> (où <math>\ M^{g}</math> désigne <math>\ g^{-1}Mg</math>). D'autre part, il est clair (par exemple parce que M n’est pas normal dans G) que <math>M \not= 1.</math> Compte tenu de ceci, de (2) et d'un des problèmes ci-dessus, on a donc :<math>(3) \qquad \vert \bigcup _{g \in G} M^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1.</math> Puisque G est un groupe fini > 1, il admet au moins un sous-groupe maximal. Choisissons un sous-groupe maximal P de G. D'après un des problèmes ci-dessus, <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math> n’est pas égal à G tout entier. Nous pouvons donc choisir un élément ''x'' de G qui n'appartient pas à <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>.<br /> D'après l'hypothèse (1) (et le fait que G admet au moins un sous-groupe maximal), G n’est pas commutatif (puisque tout sous-groupe d'un groupe commutatif est normal). En particulier, G n’est pas cyclique, donc le sous-groupe <x> de G n’est pas G tout entier, donc <x> est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G, soit Q. Alors ''x'' appartient à Q.<br /> Puisque ''x'' a été choisi hors de <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>, Q est distinct de tous les conjugués de P. On en tire facilement que :<math>\ (4) </math> chaque conjugué de Q est distinct de chaque conjugué de P. On vérifie facilement que tout conjugué d'un sous-groupe maximal est un sous-groupe maximal. Donc, d’après les hypothèses de l'énoncé, il résulte de (4) que :<math>(5) \qquad (\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cap (\bigcup _{g \in G} Q^{g}) = \{1\}.</math> D'après (3), <math> \vert \bigcup _{g \in G} P^{g} \vert</math> et <math> \vert \bigcup _{g \in G} Q^{g} \vert</math> sont tous deux <math>\geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1,</math> donc, d’après (5), <math>(\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cup (\bigcup _{g \in G} Q^{g})</math> est une partie de G de cardinal <math>\geq \vert G \vert + 1,</math> ce qui est absurde. Cette contradiction démontre l'énoncé. }} == Problème 5 (facile) == Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Soit ''K'' le ''cœur'' de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de ''H'' dans ''G'' (y compris ''H''). Prouver que ''K'' est un sous-groupe distingué de ''G''.</br> Remarque. Ce problème date d'une époque où le cœur d'un sous-groupe n'avait pas encore été défini dans le chapitre [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. Le contenu du présent problème est maintenant démontré dans le chapitre en question. Une restructuration serait peut-être souhaitable. {{Solution | contenu = Soient ''x'' un élément de ''K'' et ''g'' un élément de ''G''. Il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''K'', autrement dit appartient à tout conjugué de ''H''. Soit ''L'' un conjugué de ''H''; il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''L'', autrement dit que ''x'' appartient à ''g{{exp|-1}}Lg''. Or, puisque ''L'' est un conjugué de ''H'', ''g{{exp|-1}}Lg'' en est un aussi (transitivité de la relation de conjugaison), donc ''x'', qui est supposé appartenir à ''K'', autrement dit appartenir à tout conjugué de ''H'', appartient bien à ''g{{exp|-1}}Lg'' comme annoncé. Remarques. 1°. L'énoncé revient à dire que, pour tout élément ''g'' de ''G'', <math>g(\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A)g^{-1} = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>, ce qui s'écrit encore <math>\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}(gAg^{-1}) = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>. Ceci résulte immédiatement du fait que <math>A \mapsto gAg^{-1}</math> définit une permutation de l’ensemble Conj(H).<br /> 2°. Comme nous le verrons plus loin, K est le noyau d'un homomorphisme de G dans le groupe des permutations de l’ensemble des classes à gauche modulo H, ce qui fournit une autre démonstration. }} == Problème 6 (facile) == Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X (défini au chapitre [[Théorie_des_groupes/Sous-groupe_distingué_et_groupe_quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]) est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X. {{Solution | contenu = Désignons par Conj(X) l’ensemble des conjugués des éléments de X et par <Conj(X)> le sous-groupe de G engendré par Conj(X). Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est le sous-groupe distingué de G engendré par X. Prouvons tout d’abord que <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G. Soit ''f'' un automorphisme intérieur de G; il s'agit de prouver que f(<Conj(X)>) = <Conj(X)>. Or f(<Conj(X)>) = <f(Conj(X))> et, puisque ''f'' est un automorphisme intérieur, il est clair que f(Conj(X)) = Conj(X), d'où notre argument. Donc <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G contenant X. Il reste à prouver que c’est le plus petit. Soit H un sous-groupe distingué de G contenant X. Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est contenu dans H. Puisque H contient X et est distingué dans G, il contient Conj(X). Puisque H est un sous-groupe de G, il contient donc <Conj(X)>, ce qui achève la démonstration. (Le lecteur qui préférerait une démonstration plus « concrète » peut utiliser la « description constructive » du sous-groupe de G engendré par ''U''.) }} == Problème 7 (facile) == Soient ''G'' un groupe fini et ''H'' un sous-groupe normal d'ordre 2 de ''G''. Prouver que ''H'' est contenu dans le centre de ''G''. {{Solution | contenu = Nous avons ''H'' = {1,''a''} pour un certain élément ''a'' de <math>G \setminus \{1\}</math>. Puisque ''H'' est normal dans ''G'', nous avons <math>gag^{-1} \in H</math> pour tout élément ''g'' de ''G''. Donc, pour tout élément ''g'' de ''G'', ''gag{{exp|-1}}'' est égal à 1 ou à ''a''. Puisque ''a'' n’est pas lui-même égal à 1, il est clair que ''gag{{exp|-1}}'' n’est pas égal à 1, donc ''gag{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''a'' commute avec ''g''. Ceci étant vrai pour tout ''g'' dans ''G'', ''a'' appartient au centre de ''G'', donc ''H'' est bien contenu dans le centre de ''G''. }} == Problème 8 (facile) == Soient a₁, ... , a_n des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a₁, ... , a_n est l’ensemble des éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> où r₁, ... , r_n parcourent les entiers rationnels<ref>Énoncé dans J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 127.</ref>. '''Attention''' : il faudrait voir si on ne peut pas simplifier considérablement la démonstration en notant que le sous-groupe H de G engendré par a₁, ... , a_n (sous-groupe abélien d'après le chapitre théorique) est le sous-groupe de G engendré par les sous-groupes <a₁>, ..., <a_n> de G. Puisque H est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux, et en particulier ses sous-groupes <a₁>, ..., <a_n> sont normaux, donc, d'après le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]], le sous-groupe H de G est l'ensemble <math><a_1>\ ...\ <a_n></math>. Il faudrait peut-être aussi noter que si X est une partie génératrice (non forcément finie) d'un groupa abélien G, tout élément de G est de la forme <math>x_{1}^{r_{1}} \ldots x_{n}^{r_{n}},</math> où <math>x_{1}</math>, ... , <math>x_{n}</math>, sont des éléments de X '''deux à deux distincts''' et où r₁, ... , r_n sont des entiers relatifs. {{Solution | contenu = Prouvons que les éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> forment un sous-groupe de G. Prouvons d’abord que le produit de deux éléments de cette forme est lui-même de cette forme. Plus précisément, prouvons que si r₁, ... , r_n, s₁, ... , s_n sont des entiers rationnels, <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}} a_{1}^{s_{1}} \ldots a_{n}^{s_{n}} = a_{1}^{r_{1} + s_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n} + s_{n}}.</math> On le prouve facilement par récurrence sur ''n''. Voici une preuve qui se rattache plus directement au théorème de commutativité. Soient i, j deux indices. Puisque a_i commute avec a_j, chaque élément de <a_i> commute avec chaque élément de <a_j> (voir théorie), donc <math>\ a_{i}^{r_{i}} </math> commute avec <math>\ a_{j}^{r_{j}} </math>. Il nous suffit donc de prouver que si b₁, ... , b_n, c₁, ... , c_n sont des éléments de G qui commutent entre eux, alors <math>(1) \quad b_{1} ... b_{n} c_{1} ... c_{n} = b_{1} c_{1} ... b_{n} c_{n}.</math> Le premier membre est le produit de la famille <math>\ (x_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>\ x_{i} = b_{i}</math> si 1 ≤ i ≤ n et <math>\ x_{i} = c_{i} - n</math> si n + 1 ≤ i ≤ 2n. Le second membre de notre thèse (1) est le produit de la famille <math>\ (y_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>y_{i} = b_{\frac{i+1}{2}}</math> si ''i'' est impair et <math>y_{i} = c_{\frac{i}{2}}</math> si ''i'' est pair, pour tout entier ''i'' tel que 1 ≤ ''i'' ≤ 2''n''. Il s'agit de prouver que :(2) <math>\prod _{1 \leq i \leq 2n} x_{i} = \prod _{1 \leq i \leq 2n} y_{i}.</math> Soit σ la permutation de {1, 2, ... , 2n} définie par <math>\ \sigma (i) = \frac {i + 1}{2}</math> si ''i'' est impair, <math>\ \sigma (i) = n + \frac {i}{2}</math> si ''i'' est pair. Alors <math>\ y_{i} = x_{\sigma(i)}</math>, donc notre thèse (2) est vraie d’après le théorème de commutativité. Il est clair que l'élément neutre est de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁ = ... = r_n = 0. Enfin, on prouvera facilement, par récurrence sur ''n'' ou en considérant la permutation i ↦ n + 1 - i de l’ensemble {1, 2, ... n} des indices, que l'inverse <math>\ a_{n}^{-r_{n}} \ldots a_{1}^{-r_{1}}</math> de <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}}</math> est égal à <math>\ a_{1}^{-r_{1}} \ldots a_{n}^{-r_{n}}</math>. Donc l’ensemble des éléments de G de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁, ... , r_n entiers rationnels, est un sous-groupe de G. Il est clair que ce sous-groupe comprend les éléments a₁, ... , a_n et est contenu dans tout groupe qui les comprend, donc c’est le sous-groupe de G engendré par ces éléments. }} == Problème 9 (facile) == Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :<br /> 1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;<br /> 2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe. {{Solution | contenu = Ces deux conditions sont équivalentes. Prouvons par exemple que 1° entraîne 2°. Si 1° est satisfaite, il existe un sous-groupe H de G et un élément a de G tel que X = aH. Alors X = Ka, où K est le sous-groupe aHa{{exp|-1}} de G. }} == Problème 10 == Soit G un groupe. Pour deux éléments ''a'' et ''b'' de G, on posera <math>\ a^{b} = b^{-1}ab</math>, de sorte que, pour ''a'', ''b'' et ''c'' dans G, <math>\ (ac)^{b} = a^{b}c^{b}</math> et <math>\ a^{bc} = (a^{b})^{c}</math>. Pour une partie X de G et un élément ''g'' de G, on désignera par <math>\ X^{g}</math> l’ensemble des <math>\ x^{g}</math>, ''x'' parcourant X. a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que : <math>(1) \quad X^{g} \subseteq X </math> pour tout élément ''g'' de G. Supposons que ''X'' soit la réunion de ''n'' parties ''X''₁, ..., ''X''_n de ''G'' : :<math>\ X = X_{1} \cup \dotsb \cup X_{n}.</math> Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme :<math>(2) \quad x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \dotsm x_{2, r_{2}} \dotsm x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, en admettant que <math>\ r_{i}</math> puisse être nul, auquel cas <math>\ x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}}</math> est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1. {{Solution | contenu = Notons d’abord que si ''x'' et ''y'' sont deux éléments de X, alors :<math>(3) \quad xy</math> est de la forme <math>\ yx'</math> avec x' dans X. En effet, <math>\ xy = y(y^{-1}xy)</math> et <math>\ y^{-1}xy</math> appartient à X d’après l'hypothèse (1). De (3), le lecteur tirera facilement que :(4) pour tout nombre naturel ''s'', le produit de ''s'' éléments de X parmi lesquels figure un élément ''a'' peut s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont le premier est ''a''. Prouvons maintenant la thèse (2). Nous allons prouver plus précisément que si ''s'' est un nombre naturel, si <math>\ a_{1}, \dotsc , a_{s}</math> sont des éléments de X, alors <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> est de la forme :<math>(5) \quad a_{1} \ldots a_{s} = x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \ldots x_{2, r_{2}} \ldots x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, :<math>\ r_{1} + \dotsb + r_{n} = s,</math> <math>\ r_{i}</math> pouvant être nul comme convenu plus haut. Nous raisonnons par récurrence sur ''s''. Si s = 0, l'énoncé est banal, donc nous pouvons supposer s > 0. Nous pouvons alors considérer le plus petit indice <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) tel que <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> puisse s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont un au moins appartienne à <math>\ X_{i}</math>. D'après (4), <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> peut donc s'écrire :<math>(6) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} \dotsm a'_{s}</math> avec <math>\ a'_{1}, \dotsc , a'_{s}</math> dans X et <math>\ a'_{1}</math> dans <math>X_{i}</math>. Par hypothèse de récurrence sur ''s'', <math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s}</math> est de la forme :<math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s} = y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> où <math>\ y_{j,k}</math> appartient à <math>\ X_{j}</math> pour tout <math>\ j</math> et tout <math>\ k</math> et où :<math>(7) \quad r_{1} + \dotsb + r_{n} = s-1.</math> On a alors :<math>(8) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}}.</math> Par minimalité de ''i'', aucun des <math>\ y_{j,k}</math> ne peut appartenir à un <math>\ X_{t}</math> avec t < i, donc les <math>\ r_{t}</math> pour t < i sont nuls et (7) et (8) donnent :<math>\ a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{i, 1} \dotsm y_{i, r_{i}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> avec <math>\ (1 + r_{i}) + \dotsb + r_{n} = s,</math> ce qui démontre notre thèse (5) par récurrence sur ''s''. Remarque. Voici une façon plus « algorithmique » de démontrer la thèse (5). Si ''x'' est un élément de G et <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> un s-uplet d'éléments de l'intervalle naturel [1, n], convenons de dire que <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' si ''x'' peut s'écrire sous la forme :<math>x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> avec <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math><br /> Pour démontrer la thèse (5), il s'agit de prouver que tout élément de G qui est produit de ''s'' éléments de X admet un s-uplet d'appartenances croissant (au sens large). Soit donc :<math>(9) \quad x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> tous les <math>\ a_{i}</math> appartenant à X. Nous pouvons choisir un s-uplet d'appartenances de ''x'', soit <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math>, tel que <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math>.<br /> Si ce s-uplet n’est pas croissant, il existe un indice <math>\ k < s</math> tel que <math>\ j_{k} > j_{k+1}.</math> D'après (3), nous pouvons remplacer, dans l’expression (9) de ''x'', le produit partiel <math>\ a_{k} a_{k+1}</math> par <math>\ a_{k+1} a'</math>, où <math>\ a'</math> est un élément de X et donc d'un certain <math>\ X_{r}.</math> Alors <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{k-1}, j_{k+1}, r, j_{k+2}, \dotsc, j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' et est strictement plus petit que le s-uplet d'appartenances <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> selon l’ordre lexicographique. Puisque l’ensemble <math>\ [1, n]^{s}</math> est fini, on aboutira, en répétant les opérations au besoin, à un s-uplet d'appartenances croissant, comme annoncé. }} b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient <math>A_{1}, \dotsc, A_{n}</math> ces conjugués. Alors :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = A_{1} \dotsm A_{n}</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.1, exerc. 13, p. 10.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Dans l'énoncé du point a), faisons :<math>\ X = A_{1} \cup \dotsb \cup A_{n},</math> de sorte que <math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = \langle X \rangle.</math> Comme les <math>\ A_{i}</math> sont des groupes, <math>\ X = X^{-1}</math>, donc <math>\langle X \rangle</math> est l’ensemble des produits d'éléments de X, donc, d’après le point a), tout élément de <math>\langle X \rangle</math> est de la forme <math>\ p_{1} \dotsm p_{n}</math>, où, pour chaque ''i'', <math>\ p_{i}</math> est un produit d'éléments de <math>\ A_{i}.</math> Comme chaque <math>\ A_{i}</math> est un groupe, <math>\ p_{i}</math> appartient à <math>\ A_{i}</math>, donc :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle \subseteq A_{1} \dotsm A_{n}.</math> L'inclusion réciproque est évidente. }} c) Soient G un groupe, ''x'' un élément de G et <math>\ A_{1}, A_{2}</math> deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble <math>\ \{x^{g} \vert g \in G \}</math> des conjugués de ''x'' dans G. Supposons que <math>\ \langle C \rangle = G</math> et <math>\ C \subseteq A_{1} \cup A_{2}</math>. Prouver que <math>\ A_{1} = G</math> ou <math>\ A_{2} = G</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.2, exerc. 5, p. 15.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Posons <math>\ X = C \cup C^{-1}.</math> Il est clair que <math>\ X^{g} \subseteq X</math> pour tout g dans G. Nous pouvons donc appliquer le point a) à <math>\ X = C \cup C^{-1},</math> <math>\ n = 2,</math> <math>\ X_{1} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ X_{2} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Nous trouvons ainsi que tout produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> est de la forme <math>\ p_{1} p_{2}</math>, où <math>\ p_{1}</math> est un produit d'éléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> un produit déléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Mais, d’après l'hypothèse <C> = G, tout élément de G est produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> et, d’autre part, <math>\ p_{1}</math> appartient évidemment à <math>\ A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> à <math>\ A_{2}</math>. Donc :<math>(1) \quad G = A_{1} A_{2}.</math> Prouvons maintenant que G est égal à <math>\ A_{1}</math> ou à <math>\ A_{2}</math>. Puisque G = <C>, il suffit de prouver que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Supposons que C ne soit pas contenu dans <math>\ A_{1}</math>. Il existe alors un élément ''y'' de C qui n'appartient pas à <math>\ A_{1}</math>. Soit ''g'' un élément de G. D'après (1), ''g'' est de la forme <math>\ a_{1}a_{2}</math> avec <math>\ a_{1}\in A_{1}</math> et <math>\ a_{2}\in A_{2}</math>. Alors <math>\ y^{a_{1}} \notin A_{1}</math>, sinon on aurait :<math>\ y \in A_{1}^{a_{1}^{-1}} = A_{1}.</math> Puisque <math>\ y^{a_{1}} \in C \subseteq A_{1} \cup A_{2},</math> on a donc :<math>\ y^{a_{1}} \in A_{2},</math> d'où <math>\ y^{a_{1}a_{2}} \in A_{2},</math> c'est-à-dire <math>\ y^{g} \in A_{2}.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G et l’ensemble <math>\ \{y^{g} \vert g \in G \}</math> étant égal à C (puisque ''y'' est un conjugué de ''x''), nous avons donc <math>\ C \subseteq A_{2}.</math> Nous avons donc prouvé que si C n’est pas contenu dans <math>\ A_{1},</math> il est contenu dans <math>\ A_{2}</math>, ce qui revient à dire que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Comme nous l'avons noté, l'énoncé en résulte. }} == Problème 11 (facile) == a) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(C_{A}(H)) = C_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in C_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ y^{-1}\sigma(h)y = \sigma(h)\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(h)y) = h\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y)^{-1}h\sigma^{-1}(y) = h\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in C_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(C_{A}(H)). \end{align}</math> }} b) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(N_{A}(H)) = N_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in N_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow y^{-1}\sigma(H)y = \sigma(H)\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(H)y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y)^{-1}H\sigma^{-1}(y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in N_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(N_{A}(H)). \end{align} </math> }} c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et ''a'' un élément de G. Prouver que :<math>\qquad a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha)</math> et :<math>\qquad a^{-1}N_{G}(H)a = N_{G}(a^{-1}Ha).</math> (Il en résulte que si deux sous-groupes sont conjugués, leurs centralisateurs sont conjugués et leurs normalisateurs sont conjugués.) {{Solution | contenu = Appliquer les points a) et b) au cas où A = B = G et où <math>\sigma</math> est l'automorphisme <math>x \mapsto a^{-1}xa</math> de G. }} d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G. {{Solution | contenu = Soit ''a'' un élément de G. D'après le point c), :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha).</math></div> Puisque H est normal dans G, on peut remplacer <math>a^{-1}Ha</math> par H, donc :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(H),</math></div> ce qui prouve que <math>C_{G}(H)</math> est normal dans G. }} == Problème 12 == (Le présent problème fait intervenir les groupes symétriques finis, qui seront étudiés dans le chapitre [[../../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]].) Soient <math>G</math> un groupe et <math>x\in G</math> un élément d'ordre <math>n</math>. On note : *<math>H=\langle x\rangle</math> le sous-groupe engendré par <math>x</math> ; *<math>C=\{y\in G\mid xy=yx\}</math> le centralisateur de <math>x</math> ; *<math>N=\{y\in G\mid Hy=yH\}</math> le normalisateur de <math>H</math>. Remarquons que l'on a toujours <math>H\subset C\subset N</math>. # ##Expliciter <math>H</math>, <math>C</math> et <math>N</math> dans le cas <math>G=S_4</math> et <math>x=(123)</math>. ##Même question, toujours dans le cas <math>G=S_4</math>, avec <math>x=(12)</math>. #On revient au cas général. Montrer que pour tout <math>y\in N</math>, il existe un entier <math>k</math> premier avec <math>n</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cet entier <math>k</math> est-il unique ? Montrer que si <math>n</math> est premier, <math>y^{k-1}\in C</math>. #Montrer que l'on peut définir une application <math>\varphi:N\to(\Z/n\Z)^\times</math> en posant <math>\varphi(y)=\bar k</math> (où <math>k</math> provient de la question précédente) et montrer que cette application est un morphisme de groupes. #Calculer le noyau de <math>\varphi</math>. #On suppose dans cette dernière question que <math>G</math> est un groupe symétrique <math>S_m</math> (où <math>m\ge2</math>). ##Montrer que les générateurs du groupe <math>H</math> sont deux à deux conjugués dans <math>G</math>. ##En déduire que les groupes <math>N/C</math> et <math>(\Z/n\Z)^\times</math> sont isomorphes. {{Solution|contenu= # ##<math>H=\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math>.<br /><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}=(123)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3))=(123)</math><br /><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\Leftrightarrow\sigma\in\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math> donc <math>C=H</math>.<br /><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}\in\{(123),(132)\}\Leftrightarrow</math><br /><math>\sigma\in H</math> ou <math>(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)\}</math> donc<br /><math>N=\{\mathrm{id},(123),(132),(23),(13),(12)\}</math>. ##<math>H=\{\mathrm{id},(12)\}</math>.<br /><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2))=(12)</math><br /><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2))\in\{(1,2),(2,1)\}</math> donc <math>C=\{\mathrm{id},(34),(12),(12)(34)\}</math>.<br /><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)</math> donc <math>N=C</math>. #Pour tout <math>y\in N</math>, <math>\langle x\rangle=y\langle x\rangle y^{-1}=\langle yxy^{-1}\rangle</math> donc <math>yxy^{-1}</math> est un générateur de <math>\langle x\rangle</math>, c'est-à-dire un élément de la forme <math>x^k</math> avec <math>k</math> premier à <math>n</math>.<br />On a <math>x^k=x^{k'}\Leftrightarrow x^{k-k'}=e\Leftrightarrow n\mid k-k'</math>, donc <math>k</math> n'est pas unique.<br /><math>y^nxy^{-n}=x^{(k^n)}</math> et ([[Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Rappels d'arithmétique élémentaire|petit théorème de Fermat]], <math>n</math> étant ici supposé premier) <math>k^n\equiv k\bmod n</math>, donc <math>y^nxy^{-n}=x^k=yxy^{-1}</math>, d'où <math>y^{n-1}x=xy^{n-1}</math>. #<math>\varphi</math> est bien défini car le <math>k</math> associé à <math>y</math> n'est pas unique mais sa classe modulo <math>n</math> l'est. <math>\varphi</math> est un morphisme car si <math>\varphi(y)=\bar k</math> et <math>\varphi(z)=\bar\ell</math> alors <math>(yz)x(yz)^{-1}=y(zxz^{-1})y^{-1}=y(x^\ell)y^{-1}=(yxy^{-1})^\ell=(x^k)^\ell</math> donc <math>\varphi(yz)=\overline{k\ell}=\varphi(y)\varphi(z)</math>. #<math>\varphi(y)=\bar1\Leftrightarrow yxy^{-1}=x</math> donc <math>\ker\varphi=C</math>. # ##Si <math>x</math> est un produit de cycles disjoints c<math>_1,\dots,c_m</math> d'ordres respectifs <math>n_1,\ldots,n_m</math> alors son ordre <math>n</math> est le ppcm des <math>n_i</math>. Tout générateur de <math>H</math> est de la forme <math>x^k=c_1^k\ldots c_m^k</math> où <math>k</math> est premier avec <math>n</math> donc avec chaque <math>n_i</math>, donc chaque <math>c_i^k</math> est encore un cycle d'ordre <math>n_i</math>, si bien que <math>x^k</math> est, comme <math>x</math>, un produit de cycles disjoints d'ordres <math>n_1,\ldots,n_m</math>, donc <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>S_n</math>. ##D'après le théorème de factorisation et les questions 3 et 4, la seule chose qui reste à vérifier est la surjectivité de <math>\varphi</math>. Soit <math>\bar k\in(\Z/n\Z)^\times</math>. D'après 5.1, <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>G</math> donc il existe <math>y\in G</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cette équation assure de plus que <math>y</math> est non seulement dans <math>G</math> mais dans <math>N</math>, et que <math>\bar k=\varphi(y)\in\operatorname{im}\varphi</math>. }} == Problème 13 == L'objet de ce problème est de prouver que si <math>\varphi</math> est un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe G, alors <math>\varphi</math> est surjectif si et seulement pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> a) Soient G un groupe et H un sous-groupe propre de G. Notons G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. (Puisque le sous-groupe H de G n'est pas supposé normal dans G, l'ensemble G/H ne doit pas être vu comme un groupe.) D'après la théorie des ensembles, nous pouvons choisir un « élément » qui n'appartient pas à G/H et que nous noterons <math>\infty .</math> Notons X l'ensemble <math>(G/H) \cup \{ \infty \}</math> et notons K le groupe <math>S_{X}</math> des permutations de X. Pour tout élément <math>a</math> de G, notons <math>\tilde{a}</math> la transformation de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et, pour tout élément C de G/H, applique C sur aC ; donc, pour tout élément <math>b</math> de G, <math>\tilde{a} (bH) = (ab) H .</math> Prouver que pour tout élément <math>a</math> de G, <math>\tilde{a}</math> est une permutation de X, que l'application <math>f : G \to S_X : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X </math> et que si <math>a\in H</math> alors la permutation <math>f(a)</math> fixe l'élément H de X. {{Solution|contenu= Pour tout élément <math>a</math> de G, la transformation <math>C \mapsto aC</math> de G/H est une permutation de G/H, par exemple parce qu'elle admet la transformation <math>C \mapsto a^{-1}C</math> pour réciproque. D'autre part, l'unique transformation de <math>\{ \infty \}</math> est évidemment une permutation de <math>\{ \infty \} .</math> Comme les ensembles G/H et <math>\{ \infty \}</math> sont disjoints, il en résulte que la transformation <math>\tilde{a}</math> de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et qui, pour tout élément C de G/H, applique C sur aH est une permutation de X. Prouvons que l'application :<math>f : G \to S_{X} : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Soient <math>a, b</math> des éléments de G. Alors :<math>\tilde{b}(C) = bC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{b}(\infty) = \infty .</math> Donc, d'après la définition de <math>\tilde{a}</math>, :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(C)) = abC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(\infty)) = \infty .</math> Cela montre que <math>\tilde{a} \circ \tilde{b} = \widetilde{ab}</math>, autrement dit <math>f(a) \circ f(b) = f(ab)</math>, donc <math>f</math> est bien un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Si <math>a\in H</math> alors :<math>f(a)(H)= aH = H</math>.<!-- mais pas aC=C pour les autres éléments C de G/H--> }} b) Prouver que, dans les hypothèses du point a) (G est un groupe et H un sous-groupe propre de H), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes de G dans L qui coïncident en tout élément de H. Indications. De façon générale, si T est un ensemble et <math>x, y</math> deux différents éléments de T, on note <math>(x \ y)</math> la permutation de T qui applique <math>x</math> sur <math>y</math>, <math>y</math> sur <math>x</math> et qui laisse fixes les autres éléments de T. Une telle permutation est appelée une transposition de T. Dans les hypothèses et notations du point a) on définit un homomorphisme <math>g</math> de G dans <math>K = S_X</math> par <math>g = \gamma \circ f</math>, où <math>f</math> est l'homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> considéré au point a) et où <math>\gamma</math> est l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X .</math> Prouver que <math>f</math> et <math>g</math> sont deux différents homomorphismes de G dans K et que <math>f \vert H = g \vert H,</math> ce qui prouve le point b). {{Solution|contenu= Puisque, d'après le point a), <math>f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> et que <math>\gamma</math> est par définition l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X = K</math>, le composé <math>g = \gamma \circ f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X .</math> La permutation <math>f(a)</math> fixe toujours <math>\infty</math> par construction, et l'on a vu au point a) que si <math>a\in H</math>, elle fixe aussi H. Dans ce cas, la conjugaison par la transposition <math>(H \ \infty)</math> n'est d'aucun effet sur <math>f(a)</math>. Donc :(1)<math>\qquad f \vert H = g \vert H .</math> Prouvons que <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Puisque H est supposé être un sous-groupe propre de G, nous pouvons choisir un élément <math>a</math> de G qui n'appartient pas à H. Alors :(2)<math>\qquad \tilde{a}</math> applique l'élément H de G/H sur aH et :(3)<math>\qquad (H \ \infty) \circ \tilde{a} \circ (H \ \infty)</math> applique l'élément H de G/H sur H. Puisque nous avons choisi <math>a</math> hors de H, les deux classes aH et H sont distinctes, donc il résulte de (2) et (3) que <math>\tilde{a}</math> et <math>(H \ \infty) \circ \tilde{a}\circ(H \ \infty)</math> sont distincts, autrement dit <math>f(a)</math> et <math>g(a)</math> sont distincts, donc <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Joint à (1), cela prouve l'énoncé du point b) (avec L = K). }} c) Soit <math>\varphi</math> un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe <math>G .</math> Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :(i)<math>\qquad \varphi</math> est surjectif ; :(ii) <math>\qquad</math>pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> Indication : utiliser le point b). {{Solution|contenu= L'implication (i) est vraie même si on se contente de supposer que <math>G_0</math> et <math>G</math> sont des ensembles et <math>\varphi</math> une application de <math>G_0</math> dans <math>G .</math> (Voir une remarque dans la solution du problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].) Pour prouver l'implication (ii) <math>\Rightarrow</math> (i), prouvons l'implication contraposée. Supposons donc que :(hyp. 1)<math>\qquad \varphi</math> n'est pas surjectif et prouvons :(thèse 2)<math>\qquad </math>qu'il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L tels que <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi .</math> Puisque <math>\varphi</math> n'est pas surjectif, <math>\varphi (G_0)</math> est un sous-groupe propre de G, donc, d'après le point b), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L qui coïncident en tout élément de <math>\varphi (G_0)</math>. Alors <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi</math> avec <math>f \not= g</math>, ce qui prouve notre thèse (2). }} Remarque. Le point c) montre que dans la catégorie des groupes, les {{w|épimorphisme}}s sont les homomorphismes surjectifs de groupes. L'énoncé analogue pour les groupes abéliens est démontré au problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. ==Problème 14== Soit Y une partie d'un ensemble X. Dans le groupe S{{ind|X}} des permutations de X, on considère le sous-groupe A fixateur de Y : :<math>A:=\{\sigma\in S_X\mid\forall y\in Y\quad\sigma(y)=y\}</math>. Soit M le sous-monoïde de S{{ind|X}} formé des éléments <math>s</math> tels que <math>sAs^{-1}\subset A.</math> L'objet de ce problème est de montrer que M est un sous-groupe de S{{ind|X}} (auquel cas M est le normalisateur de A dans S{{ind|X}}) si et seulement si Y ou X\Y est fini<ref>Bourbaki, ''Algèbre'', 1970, ch. I, § 5, n° 3, p. I.54, dit que le cas se présente et renvoie à l'exercice 27 sur ledit § 5, p. I.134.</ref>. On pose pour cela : :<math>N:=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)\subset Y\}</math>. #Vérifier que N ⊂ M. #Si X\Y est un singleton, identifier A, puis M. #Si X\Y n'est pas un singleton, montrer que M ⊂ N. #Vérifier que si Y ou X\Y est fini, N est un sous-groupe de S{{ind|X}}. #Démontrer la réciproque. #Conclure. {{Solution|contenu= #Si <math>s\in N</math> et <math>\sigma\in A</math> alors <math>sAs^{-1}\in A</math> car <math>\forall y\in Y\quad s^{-1}(y)\in Y</math> donc <math>\sigma(s^{-1}(y))=s^{-1}(y)</math> donc <math>s(\sigma(s^{-1}(y)))=y</math>. #Si X\Y est un singleton, A = { id{{ind|X}} } donc M = S{{ind|X}}. #Supposons que X\Y n'est pas un singleton et que s est une permutation de X n'appartenant pas à N et montrons qu'alors, s n'appartient pas non plus à M. Par hypothèse, il existe <math>y\in Y</math> tel que l'élément <math>u:=s^{-1}(y)</math> appartienne à X\Y, et X\Y contient un autre élément v. La transposition <math>\sigma:=(u v)</math> appartient alors à A, mais <math>s\sigma s^{-1}\notin A</math> (donc <math>s\notin M</math>) car <math>s\sigma s^{-1}(y)=s\sigma(u)=s(v)\ne s(u)=y</math>. #Si Y est fini alors <math>N=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)=Y\}</math> donc N{{exp|–1}} = N.<br />Dualement, puisque N s'écrit aussi <math>N=\{s\in S_X\mid s(X\setminus Y)\subset X\setminus Y\}</math>, si X\Y est fini alors N{{exp|–1}} = N. #Supposons que Y et X\Y sont infinis et montrons qu'alors, il existe dans N une permutation s dont l'inverse n'appartient pas à N. Fixons un élément z de X\Y. Puisque [[Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-4|Y est équipotent à Y∪{z} et X\Y est équipotent à X\(Y∪{z})]], il existe une permutation s de X telle que s(Y) = Y∪{z}. Cette permutation s appartient à N (car <math>s^{-1}(Y)\subset s^{-1}(Y\cup\{z\})=Y</math>) mais pas son inverse (car <math>s(Y)=Y\cup\{z\}\not\subset Y</math>). #Si Y ou X\Y est fini alors M est un sous-groupe de S{{ind|X}} d'après les questions 1, 2, 3 et 4. Réciproquement, si M est un sous-groupe de S{{ind|X}} alors Y ou X\Y est fini d'après les questions 1, 3 et 5. }} ==Problème 15== Soit G un groupe. #Montrer que s'il existe un sous-groupe H de Z(G) tel que G/H soit monogène, alors G est abélien. #En déduire que si Aut(G) est monogène, alors G est abélien. {{Solution|contenu= #Soient H un tel sous-groupe et g un élément de G dont la classe modulo H engendre G/H. Alors, pour tous éléments x et y de G, x = g{{exp|m}} h et y = g{{exp|n}} k avec m, n entiers et h, k éléments de H, donc<br />xy = g{{exp|m}} h g{{exp|n}} k = g{{exp|m+n}} hk = g{{exp|m+n}} kh = g{{exp|n}} k g{{exp|m}} h = yx. On peut dire aussi, plus élégamment, que G est engendré par {g} ∪ Z(G) ; comme deux éléments de {g} ∪ Z(G) commutent toujours et qu'un groupe engendré par une partie dont tous les éléments commutent entre eux est commutatif (voir chapitre théorique), il en résulte que G est commutatif.) #Si le groupe Aut(G) est monogène alors le sous-groupe Int(G) l'est aussi, or (chapitre théorique) Int(G) est isomorphe à G/Z(G), donc G/Z(G) est monogène. On conclut grâce à la question précédente. }} Remarque. Il résulte du point 1°, appliqué au cas où H = Z(G), que le centre d'un groupe n'est jamais d'indice premier dans ce groupe. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] }} cu8drsyw7rxsgik2bo7yxdw4l3wst2z 988243 988242 2026-11-09T07:03:48Z Marvoir 1746 /* Problème 14 */détail de rédaction 988243 wikitext text/x-wiki {{Exercice | idfaculté = mathématiques | numéro = 7 | chapitre = [[../../Conjugaison, centralisateur, normalisateur/]] | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] | niveau = 13 }} == Problème 1 == Soient ''G'' un groupe et ''A'', ''B'' deux sous-groupes conjugués. Montrer que si ''AB'' = ''G'', alors ''A'' et ''B'' sont égaux à ''G''<ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 5, p. 9.</ref>. {{Solution | contenu = Puisque ''A'' et ''B'' sont conjugués, il existe un élément ''g'' de ''G'' tel que <math>B = gAg^{-1}</math>. Puisque ''G'' = ''AB'', tout élément ''x'' de ''G'' peut donc s'écrire <math>x = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math> avec <math>a_{1}</math> et <math>a_{2}</math> dans ''A''. C'est vrai en particulier pour <math>x = g^{-1}</math>, donc il existe <math>a_{1}, a_{2}</math> dans ''A'' tels que <math>g^{-1} = a_{1}ga_{2}g^{-1}</math>. En simplifiant à droite par <math>g^{-1}</math> (ou, si on préfère, en multipliant à droite par <math>g</math>), nous trouvons <math>1 = a_{1}ga_{2}</math>. En multipliant à gauche par <math>a_{1}^{-1}</math> et à droite par <math>a_{2}^{-1}</math>, nous obtenons <math>g = a_{1}^{-1}a_{2}^{-1}</math>, donc ''g'' appartient à ''A'', donc ''B'' est le conjugué de ''A'' par un élément de ''A'', donc ''B'' est égal à ''A'', donc ''A'' = ''B'' = ''AB'', d'où, puisque ''AB'' est supposé égal à ''G'', ''A'' = ''B'' = ''G''. }} (Généralisation) Soient ''K'' et ''H'' deux sous-groupes d'un groupe ''G'' et ''x'', ''y'' deux éléments de ''G''. Montrer que :si ''G = HK'' alors ''G = H{{exp|x}}K{{exp|y}}'' où, pour tout élément ''g'' et toute partie ''A'' de ''G'', ''A{{exp|g}}'' désigne la partie conjuguée ''g''{{exp|-1}}''Ag'' de ''A''. {{Solution|contenu= Soient ''h'' ∈ ''H'' et ''k'' ∈ ''K'' tels que ''xy''{{exp|-1}} = ''hk''. Alors, ''H{{exp|x}}K{{exp|y}} = H{{exp|hky}}K{{exp|y}} = H{{exp|ky}}K{{exp|ky}}'' = (''HK'')''{{exp|ky}} = G{{exp|ky}} = G''. }} == Problème 2 == Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. On suppose que <math>A \not= 1</math> et que <math>A \cap A^{g} = 1</math> pour tout <math>g \in G\setminus A</math>. Prouver que :<math>\vert \bigcup _{g \in G} A^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 11, p. 10.</ref>. {{Solution | contenu = Soient ''g'' et ''h'' des éléments de ''G'' tels que <math>A^{g} \cap A^{h} \not= 1</math>. En passant aux images par la bijection <math>x \mapsto x^{g^{-1}}</math>, nous trouvons <math>A \cap A^{hg^{-1}} \not= 1</math>, d'où, d’après nos hypothèses, <math>hg^{-1} \in A</math>, ce qui revient à dire que g et h appartiennent à la même classe à droite suivant ''A''. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' qui n'appartiennent pas à la même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{g} \cap A^{h} = 1</math>. Soit ''r'' l'indice de ''A'' dans ''G''; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, les ''r'' parties de ''G'' <math>A^{g_{1}} \setminus \{1\}, ..., A^{g_{r}} \setminus \{1\}</math> sont deux à deux disjointes, donc <math> \bigcup _{g \in G} (A^{g} \setminus \{1\})</math> compte au moins <math>r(\vert A \vert - 1)</math> éléments, donc <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + r(\vert A \vert - 1)</math> éléments. Puisque <math>r = \vert G:A \vert = \vert G \vert / \vert A \vert</math>, cela revient à dire que <math> \bigcup _{g \in G} A^{g}</math> compte au moins <math>1 + \vert G \vert - \vert G \vert / \vert A \vert</math> éléments. Par hypothèse, <math>\vert A \vert \geq 2</math>, donc <math>\vert G \vert / \vert A \leq \vert G \vert / 2</math>, d'où l'énoncé. }} == Problème 3 == a) Soient ''G'' un groupe fini et ''A'' un sous-groupe de ''G''. Pour tout élément ''g'' de ''G'', désignons par ''A''^g le conjugué <math>g^{-1}Ag</math> de ''A'', de sorte que (''A''^g)^h = ''A''^gh. Prouver que si <math>A \not= G</math>, alors <math>G \not= \bigcup _{g \in G} A^{g}</math>, autrement dit ''G'' n’est pas la réunion des conjugués de A<ref>Attribué à Jordan par Jean-Pierre Serre, ''Groupes finis'', révision de 2004, théor. 6.1, p. 45, [https://www.college-de-france.fr/media/jean-pierre-serre/UPL2937151343298039815_1___Groupes_finis.pdf en ligne].</ref>. {{Solution | contenu = (Remarque préliminaire : au chapitre [[../../Action de groupe|Action de groupe]], on montrera que le nombre des conjugués de ''A'' dans ''G'' est égal à l'indice dans ''G'' du normalisateur de ''A'' et est donc inférieur ou égal à <math>\vert G\vert / \vert A \vert</math>, ce qui permet de rédiger la démonstration plus simplement.) Si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', c'est-à-dire s'il existe <math>a \in A</math> tel que h = ag, alors <math>A^{h} = A^{(ag)} = (A^{a})^{g}</math> d'où, puisque <math>A^{a} = A</math>, <math>A^{h} = A^{g}</math>. Nous avons donc montré que si ''g'' et ''h'' sont deux éléments de ''G'' appartenant à une même classe à droite suivant ''A'', alors <math>A^{h} = A^{g}</math>. (On l'a déjà noté dans la solution de l'exercice précédent.) Soit <math>r = \vert G:A \vert</math>; choisissons une transversale de ''A'' dans ''G'', c'est-à-dire un système <math>g_{1}, ... g_{r}</math> d'éléments de ''G'' tel que pour toute classe à droite de ''G'' suivant ''A'', il existe un et un seul ''i'' pour lequel <math>g_{i}</math> appartienne à cette classe. D'après ce qui précède, <math>\bigcup_{g \in G}A^{g} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}A^{g_{i}}</math>, d'où <math>\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\} = \bigcup_{1 \leq i \leq r}(A^{g_{i}} - \{1\})</math> et donc <math>\mathrm{Card}\left(\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) - \{1\}\right) \leq \sum_{1 \leq i \leq r}\mathrm{Card}(A^{g_{i}} - \{1\})</math><br /> <math>\mathrm{Card}\left(\bigcup_{g \in G}A^{g}\right) \leq 1 + r(\vert A \vert - 1)</math>. Comme <math>r\vert A \vert = \vert G \vert</math>, ceci peut s'écrire <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) \leq \vert G \vert + 1 - r</math>. Puisque A est supposé distinct de G, r est > 1, donc <math>\mathrm{Card}\Bigl(\bigcup_{g \in G}A^{g}\Bigr) < \vert G \vert</math>, d'où l'énoncé. }} Remarque : on verra dans [[../Premiers résultats sur les groupes simples|les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples]] que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini. b) Soient G un groupe fini, soient <math>E_1, ... , E_n</math> les classes de conjugaison d'éléments de G, soient <math>x_1, ... , x_n</math> des éléments de G tels que, pour chaque i dans <math>\{1, .... , n\}</math>, on ait <math>x_i \in E_i</math>. À l'aide du point a), prouver que les <math>x_i</math> engendrent G. {{Solution | contenu = Désignons par H le sous-groupe de G engendré par les <math>x_i</math>. Il s'agit de prouver que H est égal à G, autrement dit que H n'est pas un sous-groupe propre de G.</br> Tout élément de G appartient à une classe <math>E_i</math> et est donc conjugué à un <math>x_i</math>. Puisque tous les <math>x_i</math> appartiennent à H, il en résulte que tout élément de G est conjugué à un élément de H. Cela revient à dire que G est la réunion des conjugués de H, donc, d'après le point a), H n'est pas un sous-groupe propre de G, ce qui, comme on l'a vu, revient à l'énoncé à démontrer. }} == Problème 4 == Soit G un groupe fini > 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G<ref>Voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/14/71/18/PDF/crs_gr_nilpotent_DEA_96_97.pdf en ligne], lemme 4.2, p. 17.</ref>. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.) {{Solution | contenu = Supposons que, par absurde, :<math>\ (1)</math> aucun sous-groupe maximal de G ne soit normal dans G. Soit M un sous-groupe maximal de G. Puisque M est contenu dans <math>\ N_{G}(M)</math> et que M est maximal, <math>\ N_{G}(M)</math> est égal à G ou à M. Puisque nous avons supposé en (1) qu'aucun sous-groupe maximal de G n'est normal dans G, <math>\ N_{G}(M) \not= G,</math> donc <math>\ N_{G}(M) = M.</math> Ceci revient à dire que :<math>\ (2)</math> pour tout sous-groupe maximal M de G et pour tout <math>g \in G \setminus M, M^{g} \not= M</math> (où <math>\ M^{g}</math> désigne <math>\ g^{-1}Mg</math>). D'autre part, il est clair (par exemple parce que M n’est pas normal dans G) que <math>M \not= 1.</math> Compte tenu de ceci, de (2) et d'un des problèmes ci-dessus, on a donc :<math>(3) \qquad \vert \bigcup _{g \in G} M^{g} \vert \geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1.</math> Puisque G est un groupe fini > 1, il admet au moins un sous-groupe maximal. Choisissons un sous-groupe maximal P de G. D'après un des problèmes ci-dessus, <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math> n’est pas égal à G tout entier. Nous pouvons donc choisir un élément ''x'' de G qui n'appartient pas à <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>.<br /> D'après l'hypothèse (1) (et le fait que G admet au moins un sous-groupe maximal), G n’est pas commutatif (puisque tout sous-groupe d'un groupe commutatif est normal). En particulier, G n’est pas cyclique, donc le sous-groupe <x> de G n’est pas G tout entier, donc <x> est contenu dans au moins un sous-groupe maximal de G, soit Q. Alors ''x'' appartient à Q.<br /> Puisque ''x'' a été choisi hors de <math>\bigcup_{g \in G}P^{g}</math>, Q est distinct de tous les conjugués de P. On en tire facilement que :<math>\ (4) </math> chaque conjugué de Q est distinct de chaque conjugué de P. On vérifie facilement que tout conjugué d'un sous-groupe maximal est un sous-groupe maximal. Donc, d’après les hypothèses de l'énoncé, il résulte de (4) que :<math>(5) \qquad (\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cap (\bigcup _{g \in G} Q^{g}) = \{1\}.</math> D'après (3), <math> \vert \bigcup _{g \in G} P^{g} \vert</math> et <math> \vert \bigcup _{g \in G} Q^{g} \vert</math> sont tous deux <math>\geq \frac{\vert G \vert}{2} + 1,</math> donc, d’après (5), <math>(\bigcup _{g \in G} P^{g}) \cup (\bigcup _{g \in G} Q^{g})</math> est une partie de G de cardinal <math>\geq \vert G \vert + 1,</math> ce qui est absurde. Cette contradiction démontre l'énoncé. }} == Problème 5 (facile) == Soient ''G'' un groupe et ''H'' un sous-groupe de ''G''. Soit ''K'' le ''cœur'' de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de ''H'' dans ''G'' (y compris ''H''). Prouver que ''K'' est un sous-groupe distingué de ''G''.</br> Remarque. Ce problème date d'une époque où le cœur d'un sous-groupe n'avait pas encore été défini dans le chapitre [[../../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. Le contenu du présent problème est maintenant démontré dans le chapitre en question. Une restructuration serait peut-être souhaitable. {{Solution | contenu = Soient ''x'' un élément de ''K'' et ''g'' un élément de ''G''. Il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''K'', autrement dit appartient à tout conjugué de ''H''. Soit ''L'' un conjugué de ''H''; il s'agit de prouver que ''gxg{{exp|-1}}'' appartient à ''L'', autrement dit que ''x'' appartient à ''g{{exp|-1}}Lg''. Or, puisque ''L'' est un conjugué de ''H'', ''g{{exp|-1}}Lg'' en est un aussi (transitivité de la relation de conjugaison), donc ''x'', qui est supposé appartenir à ''K'', autrement dit appartenir à tout conjugué de ''H'', appartient bien à ''g{{exp|-1}}Lg'' comme annoncé. Remarques. 1°. L'énoncé revient à dire que, pour tout élément ''g'' de ''G'', <math>g(\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A)g^{-1} = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>, ce qui s'écrit encore <math>\bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}(gAg^{-1}) = \bigcap_{A \in \mathrm{Conj}(H)}A</math>. Ceci résulte immédiatement du fait que <math>A \mapsto gAg^{-1}</math> définit une permutation de l’ensemble Conj(H).<br /> 2°. Comme nous le verrons plus loin, K est le noyau d'un homomorphisme de G dans le groupe des permutations de l’ensemble des classes à gauche modulo H, ce qui fournit une autre démonstration. }} == Problème 6 (facile) == Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X (défini au chapitre [[Théorie_des_groupes/Sous-groupe_distingué_et_groupe_quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]) est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X. {{Solution | contenu = Désignons par Conj(X) l’ensemble des conjugués des éléments de X et par <Conj(X)> le sous-groupe de G engendré par Conj(X). Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est le sous-groupe distingué de G engendré par X. Prouvons tout d’abord que <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G. Soit ''f'' un automorphisme intérieur de G; il s'agit de prouver que f(<Conj(X)>) = <Conj(X)>. Or f(<Conj(X)>) = <f(Conj(X))> et, puisque ''f'' est un automorphisme intérieur, il est clair que f(Conj(X)) = Conj(X), d'où notre argument. Donc <Conj(X)> est un sous-groupe distingué de G contenant X. Il reste à prouver que c’est le plus petit. Soit H un sous-groupe distingué de G contenant X. Il s'agit de prouver que <Conj(X)> est contenu dans H. Puisque H contient X et est distingué dans G, il contient Conj(X). Puisque H est un sous-groupe de G, il contient donc <Conj(X)>, ce qui achève la démonstration. (Le lecteur qui préférerait une démonstration plus « concrète » peut utiliser la « description constructive » du sous-groupe de G engendré par ''U''.) }} == Problème 7 (facile) == Soient ''G'' un groupe fini et ''H'' un sous-groupe normal d'ordre 2 de ''G''. Prouver que ''H'' est contenu dans le centre de ''G''. {{Solution | contenu = Nous avons ''H'' = {1,''a''} pour un certain élément ''a'' de <math>G \setminus \{1\}</math>. Puisque ''H'' est normal dans ''G'', nous avons <math>gag^{-1} \in H</math> pour tout élément ''g'' de ''G''. Donc, pour tout élément ''g'' de ''G'', ''gag{{exp|-1}}'' est égal à 1 ou à ''a''. Puisque ''a'' n’est pas lui-même égal à 1, il est clair que ''gag{{exp|-1}}'' n’est pas égal à 1, donc ''gag{{exp|-1}}'' = ''a'', donc ''a'' commute avec ''g''. Ceci étant vrai pour tout ''g'' dans ''G'', ''a'' appartient au centre de ''G'', donc ''H'' est bien contenu dans le centre de ''G''. }} == Problème 8 (facile) == Soient a₁, ... , a_n des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a₁, ... , a_n est l’ensemble des éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> où r₁, ... , r_n parcourent les entiers rationnels<ref>Énoncé dans J. Calais, ''Éléments de théorie des groupes'', Paris, 1984, p. 127.</ref>. '''Attention''' : il faudrait voir si on ne peut pas simplifier considérablement la démonstration en notant que le sous-groupe H de G engendré par a₁, ... , a_n (sous-groupe abélien d'après le chapitre théorique) est le sous-groupe de G engendré par les sous-groupes <a₁>, ..., <a_n> de G. Puisque H est abélien, tous ses sous-groupes sont normaux, et en particulier ses sous-groupes <a₁>, ..., <a_n> sont normaux, donc, d'après le chapitre [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]], le sous-groupe H de G est l'ensemble <math><a_1>\ ...\ <a_n></math>. Il faudrait peut-être aussi noter que si X est une partie génératrice (non forcément finie) d'un groupa abélien G, tout élément de G est de la forme <math>x_{1}^{r_{1}} \ldots x_{n}^{r_{n}},</math> où <math>x_{1}</math>, ... , <math>x_{n}</math>, sont des éléments de X '''deux à deux distincts''' et où r₁, ... , r_n sont des entiers relatifs. {{Solution | contenu = Prouvons que les éléments de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> forment un sous-groupe de G. Prouvons d’abord que le produit de deux éléments de cette forme est lui-même de cette forme. Plus précisément, prouvons que si r₁, ... , r_n, s₁, ... , s_n sont des entiers rationnels, <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}} a_{1}^{s_{1}} \ldots a_{n}^{s_{n}} = a_{1}^{r_{1} + s_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n} + s_{n}}.</math> On le prouve facilement par récurrence sur ''n''. Voici une preuve qui se rattache plus directement au théorème de commutativité. Soient i, j deux indices. Puisque a_i commute avec a_j, chaque élément de <a_i> commute avec chaque élément de <a_j> (voir théorie), donc <math>\ a_{i}^{r_{i}} </math> commute avec <math>\ a_{j}^{r_{j}} </math>. Il nous suffit donc de prouver que si b₁, ... , b_n, c₁, ... , c_n sont des éléments de G qui commutent entre eux, alors <math>(1) \quad b_{1} ... b_{n} c_{1} ... c_{n} = b_{1} c_{1} ... b_{n} c_{n}.</math> Le premier membre est le produit de la famille <math>\ (x_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>\ x_{i} = b_{i}</math> si 1 ≤ i ≤ n et <math>\ x_{i} = c_{i} - n</math> si n + 1 ≤ i ≤ 2n. Le second membre de notre thèse (1) est le produit de la famille <math>\ (y_{i})_{1 \leq i \leq 2n}</math>, où <math>y_{i} = b_{\frac{i+1}{2}}</math> si ''i'' est impair et <math>y_{i} = c_{\frac{i}{2}}</math> si ''i'' est pair, pour tout entier ''i'' tel que 1 ≤ ''i'' ≤ 2''n''. Il s'agit de prouver que :(2) <math>\prod _{1 \leq i \leq 2n} x_{i} = \prod _{1 \leq i \leq 2n} y_{i}.</math> Soit σ la permutation de {1, 2, ... , 2n} définie par <math>\ \sigma (i) = \frac {i + 1}{2}</math> si ''i'' est impair, <math>\ \sigma (i) = n + \frac {i}{2}</math> si ''i'' est pair. Alors <math>\ y_{i} = x_{\sigma(i)}</math>, donc notre thèse (2) est vraie d’après le théorème de commutativité. Il est clair que l'élément neutre est de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁ = ... = r_n = 0. Enfin, on prouvera facilement, par récurrence sur ''n'' ou en considérant la permutation i ↦ n + 1 - i de l’ensemble {1, 2, ... n} des indices, que l'inverse <math>\ a_{n}^{-r_{n}} \ldots a_{1}^{-r_{1}}</math> de <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}}</math> est égal à <math>\ a_{1}^{-r_{1}} \ldots a_{n}^{-r_{n}}</math>. Donc l’ensemble des éléments de G de la forme <math>\ a_{1}^{r_{1}} \ldots a_{n}^{r_{n}},</math> avec r₁, ... , r_n entiers rationnels, est un sous-groupe de G. Il est clair que ce sous-groupe comprend les éléments a₁, ... , a_n et est contenu dans tout groupe qui les comprend, donc c’est le sous-groupe de G engendré par ces éléments. }} == Problème 9 (facile) == Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :<br /> 1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;<br /> 2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe. {{Solution | contenu = Ces deux conditions sont équivalentes. Prouvons par exemple que 1° entraîne 2°. Si 1° est satisfaite, il existe un sous-groupe H de G et un élément a de G tel que X = aH. Alors X = Ka, où K est le sous-groupe aHa{{exp|-1}} de G. }} == Problème 10 == Soit G un groupe. Pour deux éléments ''a'' et ''b'' de G, on posera <math>\ a^{b} = b^{-1}ab</math>, de sorte que, pour ''a'', ''b'' et ''c'' dans G, <math>\ (ac)^{b} = a^{b}c^{b}</math> et <math>\ a^{bc} = (a^{b})^{c}</math>. Pour une partie X de G et un élément ''g'' de G, on désignera par <math>\ X^{g}</math> l’ensemble des <math>\ x^{g}</math>, ''x'' parcourant X. a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que : <math>(1) \quad X^{g} \subseteq X </math> pour tout élément ''g'' de G. Supposons que ''X'' soit la réunion de ''n'' parties ''X''₁, ..., ''X''_n de ''G'' : :<math>\ X = X_{1} \cup \dotsb \cup X_{n}.</math> Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme :<math>(2) \quad x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \dotsm x_{2, r_{2}} \dotsm x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, en admettant que <math>\ r_{i}</math> puisse être nul, auquel cas <math>\ x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}}</math> est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1. {{Solution | contenu = Notons d’abord que si ''x'' et ''y'' sont deux éléments de X, alors :<math>(3) \quad xy</math> est de la forme <math>\ yx'</math> avec x' dans X. En effet, <math>\ xy = y(y^{-1}xy)</math> et <math>\ y^{-1}xy</math> appartient à X d’après l'hypothèse (1). De (3), le lecteur tirera facilement que :(4) pour tout nombre naturel ''s'', le produit de ''s'' éléments de X parmi lesquels figure un élément ''a'' peut s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont le premier est ''a''. Prouvons maintenant la thèse (2). Nous allons prouver plus précisément que si ''s'' est un nombre naturel, si <math>\ a_{1}, \dotsc , a_{s}</math> sont des éléments de X, alors <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> est de la forme :<math>(5) \quad a_{1} \ldots a_{s} = x_{1, 1} \dotsm x_{1, r_{1}} \ x_{2, 1} \ldots x_{2, r_{2}} \ldots x_{n, 1} \dotsm x_{n, r_{n}}</math> avec :<math>\ x_{i,j} \in X_{i}</math> pour tout <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) et tout <math>\ j</math>, :<math>\ r_{1} + \dotsb + r_{n} = s,</math> <math>\ r_{i}</math> pouvant être nul comme convenu plus haut. Nous raisonnons par récurrence sur ''s''. Si s = 0, l'énoncé est banal, donc nous pouvons supposer s > 0. Nous pouvons alors considérer le plus petit indice <math>\ i</math> (<math>\ 1 \leq i \leq n</math>) tel que <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> puisse s'écrire comme produit de ''s'' éléments de X dont un au moins appartienne à <math>\ X_{i}</math>. D'après (4), <math>\ a_{1} \dotsm a_{s}</math> peut donc s'écrire :<math>(6) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} \dotsm a'_{s}</math> avec <math>\ a'_{1}, \dotsc , a'_{s}</math> dans X et <math>\ a'_{1}</math> dans <math>X_{i}</math>. Par hypothèse de récurrence sur ''s'', <math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s}</math> est de la forme :<math>\ a'_{2} \dotsm a'_{s} = y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> où <math>\ y_{j,k}</math> appartient à <math>\ X_{j}</math> pour tout <math>\ j</math> et tout <math>\ k</math> et où :<math>(7) \quad r_{1} + \dotsb + r_{n} = s-1.</math> On a alors :<math>(8) \quad a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{1, 1} \dotsm y_{1, r_{1}} \ y_{2, 1} \dotsm y_{2, r_{2}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}}.</math> Par minimalité de ''i'', aucun des <math>\ y_{j,k}</math> ne peut appartenir à un <math>\ X_{t}</math> avec t < i, donc les <math>\ r_{t}</math> pour t < i sont nuls et (7) et (8) donnent :<math>\ a_{1} \dotsm a_{s} = a'_{1} y_{i, 1} \dotsm y_{i, r_{i}} \dotsm y_{n, 1} \dotsm y_{n, r_{n}},</math> avec <math>\ (1 + r_{i}) + \dotsb + r_{n} = s,</math> ce qui démontre notre thèse (5) par récurrence sur ''s''. Remarque. Voici une façon plus « algorithmique » de démontrer la thèse (5). Si ''x'' est un élément de G et <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> un s-uplet d'éléments de l'intervalle naturel [1, n], convenons de dire que <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' si ''x'' peut s'écrire sous la forme :<math>x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> avec <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math><br /> Pour démontrer la thèse (5), il s'agit de prouver que tout élément de G qui est produit de ''s'' éléments de X admet un s-uplet d'appartenances croissant (au sens large). Soit donc :<math>(9) \quad x = a_{1} \dotsm a_{s},</math> tous les <math>\ a_{i}</math> appartenant à X. Nous pouvons choisir un s-uplet d'appartenances de ''x'', soit <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math>, tel que <math>\ a_{i} \in X_{j_{i}}</math> pour tout <math>\ i (1 \leq s).</math>.<br /> Si ce s-uplet n’est pas croissant, il existe un indice <math>\ k < s</math> tel que <math>\ j_{k} > j_{k+1}.</math> D'après (3), nous pouvons remplacer, dans l’expression (9) de ''x'', le produit partiel <math>\ a_{k} a_{k+1}</math> par <math>\ a_{k+1} a'</math>, où <math>\ a'</math> est un élément de X et donc d'un certain <math>\ X_{r}.</math> Alors <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{k-1}, j_{k+1}, r, j_{k+2}, \dotsc, j_{s})</math> est un s-uplet d'appartenances de ''x'' et est strictement plus petit que le s-uplet d'appartenances <math>\ (j_{1}, \dotsc , j_{s})</math> selon l’ordre lexicographique. Puisque l’ensemble <math>\ [1, n]^{s}</math> est fini, on aboutira, en répétant les opérations au besoin, à un s-uplet d'appartenances croissant, comme annoncé. }} b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient <math>A_{1}, \dotsc, A_{n}</math> ces conjugués. Alors :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = A_{1} \dotsm A_{n}</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.1, exerc. 13, p. 10.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Dans l'énoncé du point a), faisons :<math>\ X = A_{1} \cup \dotsb \cup A_{n},</math> de sorte que <math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle = \langle X \rangle.</math> Comme les <math>\ A_{i}</math> sont des groupes, <math>\ X = X^{-1}</math>, donc <math>\langle X \rangle</math> est l’ensemble des produits d'éléments de X, donc, d’après le point a), tout élément de <math>\langle X \rangle</math> est de la forme <math>\ p_{1} \dotsm p_{n}</math>, où, pour chaque ''i'', <math>\ p_{i}</math> est un produit d'éléments de <math>\ A_{i}.</math> Comme chaque <math>\ A_{i}</math> est un groupe, <math>\ p_{i}</math> appartient à <math>\ A_{i}</math>, donc :<math>\langle A_{1}, \dotsc, A_{n} \rangle \subseteq A_{1} \dotsm A_{n}.</math> L'inclusion réciproque est évidente. }} c) Soient G un groupe, ''x'' un élément de G et <math>\ A_{1}, A_{2}</math> deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble <math>\ \{x^{g} \vert g \in G \}</math> des conjugués de ''x'' dans G. Supposons que <math>\ \langle C \rangle = G</math> et <math>\ C \subseteq A_{1} \cup A_{2}</math>. Prouver que <math>\ A_{1} = G</math> ou <math>\ A_{2} = G</math><ref>H. Kurzweil et B. Stellmacher, ''The Theory of Finite Groups'', New York, 2004, 1.2, exerc. 5, p. 15.</ref>. (Appliquer le point a).) {{Solution | contenu = Posons <math>\ X = C \cup C^{-1}.</math> Il est clair que <math>\ X^{g} \subseteq X</math> pour tout g dans G. Nous pouvons donc appliquer le point a) à <math>\ X = C \cup C^{-1},</math> <math>\ n = 2,</math> <math>\ X_{1} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ X_{2} = (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Nous trouvons ainsi que tout produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> est de la forme <math>\ p_{1} p_{2}</math>, où <math>\ p_{1}</math> est un produit d'éléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> un produit déléments de <math>\ (C \cup C^{-1}) \cap A_{2}</math>. Mais, d’après l'hypothèse <C> = G, tout élément de G est produit d'éléments de <math>\ C \cup C^{-1}</math> et, d’autre part, <math>\ p_{1}</math> appartient évidemment à <math>\ A_{1}</math> et <math>\ p_{2}</math> à <math>\ A_{2}</math>. Donc :<math>(1) \quad G = A_{1} A_{2}.</math> Prouvons maintenant que G est égal à <math>\ A_{1}</math> ou à <math>\ A_{2}</math>. Puisque G = <C>, il suffit de prouver que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Supposons que C ne soit pas contenu dans <math>\ A_{1}</math>. Il existe alors un élément ''y'' de C qui n'appartient pas à <math>\ A_{1}</math>. Soit ''g'' un élément de G. D'après (1), ''g'' est de la forme <math>\ a_{1}a_{2}</math> avec <math>\ a_{1}\in A_{1}</math> et <math>\ a_{2}\in A_{2}</math>. Alors <math>\ y^{a_{1}} \notin A_{1}</math>, sinon on aurait :<math>\ y \in A_{1}^{a_{1}^{-1}} = A_{1}.</math> Puisque <math>\ y^{a_{1}} \in C \subseteq A_{1} \cup A_{2},</math> on a donc :<math>\ y^{a_{1}} \in A_{2},</math> d'où <math>\ y^{a_{1}a_{2}} \in A_{2},</math> c'est-à-dire <math>\ y^{g} \in A_{2}.</math> Ceci étant vrai pour tout élément ''g'' de G et l’ensemble <math>\ \{y^{g} \vert g \in G \}</math> étant égal à C (puisque ''y'' est un conjugué de ''x''), nous avons donc <math>\ C \subseteq A_{2}.</math> Nous avons donc prouvé que si C n’est pas contenu dans <math>\ A_{1},</math> il est contenu dans <math>\ A_{2}</math>, ce qui revient à dire que C est contenu dans <math>\ A_{1}</math> ou dans <math>\ A_{2}</math>. Comme nous l'avons noté, l'énoncé en résulte. }} == Problème 11 (facile) == a) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(C_{A}(H)) = C_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in C_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ y^{-1}\sigma(h)y = \sigma(h)\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(h)y) = h\\ & \Leftrightarrow \forall h \in H, \ \sigma^{-1}(y)^{-1}h\sigma^{-1}(y) = h\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in C_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(C_{A}(H)). \end{align}</math> }} b) Soient A, B deux groupes, <math>\sigma</math> un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que <math>\sigma(N_{A}(H)) = N_{B}(\sigma (H)).</math> {{Solution | contenu = Pour tout élément ''y'' de B, <math>\begin{align} y \in N_{B}(\sigma(H)) & \Leftrightarrow y^{-1}\sigma(H)y = \sigma(H)\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y^{-1}\sigma(H)y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y)^{-1}H\sigma^{-1}(y) = H\\ & \Leftrightarrow \sigma^{-1}(y) \in N_{A}(H)\\ & \Leftrightarrow y \in \sigma(N_{A}(H)). \end{align} </math> }} c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et ''a'' un élément de G. Prouver que :<math>\qquad a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha)</math> et :<math>\qquad a^{-1}N_{G}(H)a = N_{G}(a^{-1}Ha).</math> (Il en résulte que si deux sous-groupes sont conjugués, leurs centralisateurs sont conjugués et leurs normalisateurs sont conjugués.) {{Solution | contenu = Appliquer les points a) et b) au cas où A = B = G et où <math>\sigma</math> est l'automorphisme <math>x \mapsto a^{-1}xa</math> de G. }} d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G. {{Solution | contenu = Soit ''a'' un élément de G. D'après le point c), :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(a^{-1}Ha).</math></div> Puisque H est normal dans G, on peut remplacer <math>a^{-1}Ha</math> par H, donc :<div style="text-align: center;"><math>a^{-1}C_{G}(H)a = C_{G}(H),</math></div> ce qui prouve que <math>C_{G}(H)</math> est normal dans G. }} == Problème 12 == (Le présent problème fait intervenir les groupes symétriques finis, qui seront étudiés dans le chapitre [[../../Groupes symétriques finis|Groupes symétriques finis]].) Soient <math>G</math> un groupe et <math>x\in G</math> un élément d'ordre <math>n</math>. On note : *<math>H=\langle x\rangle</math> le sous-groupe engendré par <math>x</math> ; *<math>C=\{y\in G\mid xy=yx\}</math> le centralisateur de <math>x</math> ; *<math>N=\{y\in G\mid Hy=yH\}</math> le normalisateur de <math>H</math>. Remarquons que l'on a toujours <math>H\subset C\subset N</math>. # ##Expliciter <math>H</math>, <math>C</math> et <math>N</math> dans le cas <math>G=S_4</math> et <math>x=(123)</math>. ##Même question, toujours dans le cas <math>G=S_4</math>, avec <math>x=(12)</math>. #On revient au cas général. Montrer que pour tout <math>y\in N</math>, il existe un entier <math>k</math> premier avec <math>n</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cet entier <math>k</math> est-il unique ? Montrer que si <math>n</math> est premier, <math>y^{k-1}\in C</math>. #Montrer que l'on peut définir une application <math>\varphi:N\to(\Z/n\Z)^\times</math> en posant <math>\varphi(y)=\bar k</math> (où <math>k</math> provient de la question précédente) et montrer que cette application est un morphisme de groupes. #Calculer le noyau de <math>\varphi</math>. #On suppose dans cette dernière question que <math>G</math> est un groupe symétrique <math>S_m</math> (où <math>m\ge2</math>). ##Montrer que les générateurs du groupe <math>H</math> sont deux à deux conjugués dans <math>G</math>. ##En déduire que les groupes <math>N/C</math> et <math>(\Z/n\Z)^\times</math> sont isomorphes. {{Solution|contenu= # ##<math>H=\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math>.<br /><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}=(123)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3))=(123)</math><br /><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\Leftrightarrow\sigma\in\{\mathrm{id},(123),(132)\}</math> donc <math>C=H</math>.<br /><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(123)\sigma^{-1}\in\{(123),(132)\}\Leftrightarrow</math><br /><math>\sigma\in H</math> ou <math>(\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3))\in\{(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)\}</math> donc<br /><math>N=\{\mathrm{id},(123),(132),(23),(13),(12)\}</math>. ##<math>H=\{\mathrm{id},(12)\}</math>.<br /><math>\sigma\in C\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)\Leftrightarrow(\sigma(1)\sigma(2))=(12)</math><br /><math>\Leftrightarrow(\sigma(1),\sigma(2))\in\{(1,2),(2,1)\}</math> donc <math>C=\{\mathrm{id},(34),(12),(12)(34)\}</math>.<br /><math>\sigma\in N\Leftrightarrow\sigma(12)\sigma^{-1}=(12)</math> donc <math>N=C</math>. #Pour tout <math>y\in N</math>, <math>\langle x\rangle=y\langle x\rangle y^{-1}=\langle yxy^{-1}\rangle</math> donc <math>yxy^{-1}</math> est un générateur de <math>\langle x\rangle</math>, c'est-à-dire un élément de la forme <math>x^k</math> avec <math>k</math> premier à <math>n</math>.<br />On a <math>x^k=x^{k'}\Leftrightarrow x^{k-k'}=e\Leftrightarrow n\mid k-k'</math>, donc <math>k</math> n'est pas unique.<br /><math>y^nxy^{-n}=x^{(k^n)}</math> et ([[Introduction à la théorie des nombres/Nombres premiers et fonctions arithmétiques#Rappels d'arithmétique élémentaire|petit théorème de Fermat]], <math>n</math> étant ici supposé premier) <math>k^n\equiv k\bmod n</math>, donc <math>y^nxy^{-n}=x^k=yxy^{-1}</math>, d'où <math>y^{n-1}x=xy^{n-1}</math>. #<math>\varphi</math> est bien défini car le <math>k</math> associé à <math>y</math> n'est pas unique mais sa classe modulo <math>n</math> l'est. <math>\varphi</math> est un morphisme car si <math>\varphi(y)=\bar k</math> et <math>\varphi(z)=\bar\ell</math> alors <math>(yz)x(yz)^{-1}=y(zxz^{-1})y^{-1}=y(x^\ell)y^{-1}=(yxy^{-1})^\ell=(x^k)^\ell</math> donc <math>\varphi(yz)=\overline{k\ell}=\varphi(y)\varphi(z)</math>. #<math>\varphi(y)=\bar1\Leftrightarrow yxy^{-1}=x</math> donc <math>\ker\varphi=C</math>. # ##Si <math>x</math> est un produit de cycles disjoints c<math>_1,\dots,c_m</math> d'ordres respectifs <math>n_1,\ldots,n_m</math> alors son ordre <math>n</math> est le ppcm des <math>n_i</math>. Tout générateur de <math>H</math> est de la forme <math>x^k=c_1^k\ldots c_m^k</math> où <math>k</math> est premier avec <math>n</math> donc avec chaque <math>n_i</math>, donc chaque <math>c_i^k</math> est encore un cycle d'ordre <math>n_i</math>, si bien que <math>x^k</math> est, comme <math>x</math>, un produit de cycles disjoints d'ordres <math>n_1,\ldots,n_m</math>, donc <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>S_n</math>. ##D'après le théorème de factorisation et les questions 3 et 4, la seule chose qui reste à vérifier est la surjectivité de <math>\varphi</math>. Soit <math>\bar k\in(\Z/n\Z)^\times</math>. D'après 5.1, <math>x^k</math> et <math>x</math> sont conjugués dans <math>G</math> donc il existe <math>y\in G</math> tel que <math>yxy^{-1}=x^k</math>. Cette équation assure de plus que <math>y</math> est non seulement dans <math>G</math> mais dans <math>N</math>, et que <math>\bar k=\varphi(y)\in\operatorname{im}\varphi</math>. }} == Problème 13 == L'objet de ce problème est de prouver que si <math>\varphi</math> est un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe G, alors <math>\varphi</math> est surjectif si et seulement pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> a) Soient G un groupe et H un sous-groupe propre de G. Notons G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. (Puisque le sous-groupe H de G n'est pas supposé normal dans G, l'ensemble G/H ne doit pas être vu comme un groupe.) D'après la théorie des ensembles, nous pouvons choisir un « élément » qui n'appartient pas à G/H et que nous noterons <math>\infty .</math> Notons X l'ensemble <math>(G/H) \cup \{ \infty \}</math> et notons K le groupe <math>S_{X}</math> des permutations de X. Pour tout élément <math>a</math> de G, notons <math>\tilde{a}</math> la transformation de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et, pour tout élément C de G/H, applique C sur aC ; donc, pour tout élément <math>b</math> de G, <math>\tilde{a} (bH) = (ab) H .</math> Prouver que pour tout élément <math>a</math> de G, <math>\tilde{a}</math> est une permutation de X, que l'application <math>f : G \to S_X : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X </math> et que si <math>a\in H</math> alors la permutation <math>f(a)</math> fixe l'élément H de X. {{Solution|contenu= Pour tout élément <math>a</math> de G, la transformation <math>C \mapsto aC</math> de G/H est une permutation de G/H, par exemple parce qu'elle admet la transformation <math>C \mapsto a^{-1}C</math> pour réciproque. D'autre part, l'unique transformation de <math>\{ \infty \}</math> est évidemment une permutation de <math>\{ \infty \} .</math> Comme les ensembles G/H et <math>\{ \infty \}</math> sont disjoints, il en résulte que la transformation <math>\tilde{a}</math> de X qui applique <math>\infty</math> sur lui-même et qui, pour tout élément C de G/H, applique C sur aH est une permutation de X. Prouvons que l'application :<math>f : G \to S_{X} : a \mapsto \tilde{a}</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Soient <math>a, b</math> des éléments de G. Alors :<math>\tilde{b}(C) = bC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{b}(\infty) = \infty .</math> Donc, d'après la définition de <math>\tilde{a}</math>, :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(C)) = abC</math> pour tout élément C de G/H et :<math>\tilde{a} (\tilde{b}(\infty)) = \infty .</math> Cela montre que <math>\tilde{a} \circ \tilde{b} = \widetilde{ab}</math>, autrement dit <math>f(a) \circ f(b) = f(ab)</math>, donc <math>f</math> est bien un homomorphisme de G dans <math>K = S_{X}.</math> Si <math>a\in H</math> alors :<math>f(a)(H)= aH = H</math>.<!-- mais pas aC=C pour les autres éléments C de G/H--> }} b) Prouver que, dans les hypothèses du point a) (G est un groupe et H un sous-groupe propre de H), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes de G dans L qui coïncident en tout élément de H. Indications. De façon générale, si T est un ensemble et <math>x, y</math> deux différents éléments de T, on note <math>(x \ y)</math> la permutation de T qui applique <math>x</math> sur <math>y</math>, <math>y</math> sur <math>x</math> et qui laisse fixes les autres éléments de T. Une telle permutation est appelée une transposition de T. Dans les hypothèses et notations du point a) on définit un homomorphisme <math>g</math> de G dans <math>K = S_X</math> par <math>g = \gamma \circ f</math>, où <math>f</math> est l'homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> considéré au point a) et où <math>\gamma</math> est l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X .</math> Prouver que <math>f</math> et <math>g</math> sont deux différents homomorphismes de G dans K et que <math>f \vert H = g \vert H,</math> ce qui prouve le point b). {{Solution|contenu= Puisque, d'après le point a), <math>f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X</math> et que <math>\gamma</math> est par définition l'automorphisme intérieur <math>\sigma \mapsto (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)^{-1} = (H \ \infty) \circ \sigma \circ (H \ \infty)</math> du groupe <math>S_X = K</math>, le composé <math>g = \gamma \circ f</math> est un homomorphisme de G dans <math>K = S_X .</math> La permutation <math>f(a)</math> fixe toujours <math>\infty</math> par construction, et l'on a vu au point a) que si <math>a\in H</math>, elle fixe aussi H. Dans ce cas, la conjugaison par la transposition <math>(H \ \infty)</math> n'est d'aucun effet sur <math>f(a)</math>. Donc :(1)<math>\qquad f \vert H = g \vert H .</math> Prouvons que <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Puisque H est supposé être un sous-groupe propre de G, nous pouvons choisir un élément <math>a</math> de G qui n'appartient pas à H. Alors :(2)<math>\qquad \tilde{a}</math> applique l'élément H de G/H sur aH et :(3)<math>\qquad (H \ \infty) \circ \tilde{a} \circ (H \ \infty)</math> applique l'élément H de G/H sur H. Puisque nous avons choisi <math>a</math> hors de H, les deux classes aH et H sont distinctes, donc il résulte de (2) et (3) que <math>\tilde{a}</math> et <math>(H \ \infty) \circ \tilde{a}\circ(H \ \infty)</math> sont distincts, autrement dit <math>f(a)</math> et <math>g(a)</math> sont distincts, donc <math>f</math> et <math>g</math> sont distincts. Joint à (1), cela prouve l'énoncé du point b) (avec L = K). }} c) Soit <math>\varphi</math> un homomorphisme d'un groupe <math>G_0</math> dans un groupe <math>G .</math> Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes : :(i)<math>\qquad \varphi</math> est surjectif ; :(ii) <math>\qquad</math>pour tout groupe L et pour tous homomorphismes <math>f, g</math> de G dans L, l'égalité <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi </math> entraîne <math>f = g .</math> Indication : utiliser le point b). {{Solution|contenu= L'implication (i) est vraie même si on se contente de supposer que <math>G_0</math> et <math>G</math> sont des ensembles et <math>\varphi</math> une application de <math>G_0</math> dans <math>G .</math> (Voir une remarque dans la solution du problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]].) Pour prouver l'implication (ii) <math>\Rightarrow</math> (i), prouvons l'implication contraposée. Supposons donc que :(hyp. 1)<math>\qquad \varphi</math> n'est pas surjectif et prouvons :(thèse 2)<math>\qquad </math>qu'il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L tels que <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi .</math> Puisque <math>\varphi</math> n'est pas surjectif, <math>\varphi (G_0)</math> est un sous-groupe propre de G, donc, d'après le point b), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes <math>f</math> et <math>g</math> de G dans L qui coïncident en tout élément de <math>\varphi (G_0)</math>. Alors <math>f \circ \varphi = g \circ \varphi</math> avec <math>f \not= g</math>, ce qui prouve notre thèse (2). }} Remarque. Le point c) montre que dans la catégorie des groupes, les {{w|épimorphisme}}s sont les homomorphismes surjectifs de groupes. L'énoncé analogue pour les groupes abéliens est démontré au problème 8 de la série [[../Sous-groupe distingué et groupe quotient|Sous-groupe distingué et groupe quotient]]. ==Problème 14== Soit Y une partie d'un ensemble X. Dans le groupe S{{ind|X}} des permutations de X, on considère le sous-groupe A fixateur de Y : :<math>A:=\{\sigma\in S_X\mid\forall y\in Y\quad\sigma(y)=y\}</math>. Soit M le sous-monoïde de S{{ind|X}} formé des éléments <math>s</math> tels que <math>sAs^{-1}\subset A.</math> L'objet de ce problème est de montrer que M est un sous-groupe de S{{ind|X}} (auquel cas M est le normalisateur de A dans S{{ind|X}}) si et seulement si Y ou X\Y est fini<ref>Bourbaki, ''Algèbre'', 1970, ch. I, § 5, n° 3, p. I.54, et exercice 27 sur ledit § 5, p. I.134.</ref>. On pose pour cela : :<math>N:=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)\subset Y\}</math>. #Vérifier que N ⊂ M. #Si X\Y est un singleton, identifier A, puis M. #Si X\Y n'est pas un singleton, montrer que M ⊂ N. #Vérifier que si Y ou X\Y est fini, N est un sous-groupe de S{{ind|X}}. #Démontrer la réciproque. #Conclure. {{Solution|contenu= #Si <math>s\in N</math> et <math>\sigma\in A</math> alors <math>sAs^{-1}\in A</math> car <math>\forall y\in Y\quad s^{-1}(y)\in Y</math> donc <math>\sigma(s^{-1}(y))=s^{-1}(y)</math> donc <math>s(\sigma(s^{-1}(y)))=y</math>. #Si X\Y est un singleton, A = { id{{ind|X}} } donc M = S{{ind|X}}. #Supposons que X\Y n'est pas un singleton et que s est une permutation de X n'appartenant pas à N et montrons qu'alors, s n'appartient pas non plus à M. Par hypothèse, il existe <math>y\in Y</math> tel que l'élément <math>u:=s^{-1}(y)</math> appartienne à X\Y, et X\Y contient un autre élément v. La transposition <math>\sigma:=(u v)</math> appartient alors à A, mais <math>s\sigma s^{-1}\notin A</math> (donc <math>s\notin M</math>) car <math>s\sigma s^{-1}(y)=s\sigma(u)=s(v)\ne s(u)=y</math>. #Si Y est fini alors <math>N=\{s\in S_X\mid s^{-1}(Y)=Y\}</math> donc N{{exp|–1}} = N.<br />Dualement, puisque N s'écrit aussi <math>N=\{s\in S_X\mid s(X\setminus Y)\subset X\setminus Y\}</math>, si X\Y est fini alors N{{exp|–1}} = N. #Supposons que Y et X\Y sont infinis et montrons qu'alors, il existe dans N une permutation s dont l'inverse n'appartient pas à N. Fixons un élément z de X\Y. Puisque [[Introduction aux mathématiques/Exercices/Ensembles infinis#Exercice 1-4|Y est équipotent à Y∪{z} et X\Y est équipotent à X\(Y∪{z})]], il existe une permutation s de X telle que s(Y) = Y∪{z}. Cette permutation s appartient à N (car <math>s^{-1}(Y)\subset s^{-1}(Y\cup\{z\})=Y</math>) mais pas son inverse (car <math>s(Y)=Y\cup\{z\}\not\subset Y</math>). #Si Y ou X\Y est fini alors M est un sous-groupe de S{{ind|X}} d'après les questions 1, 2, 3 et 4. Réciproquement, si M est un sous-groupe de S{{ind|X}} alors Y ou X\Y est fini d'après les questions 1, 3 et 5. }} ==Problème 15== Soit G un groupe. #Montrer que s'il existe un sous-groupe H de Z(G) tel que G/H soit monogène, alors G est abélien. #En déduire que si Aut(G) est monogène, alors G est abélien. {{Solution|contenu= #Soient H un tel sous-groupe et g un élément de G dont la classe modulo H engendre G/H. Alors, pour tous éléments x et y de G, x = g{{exp|m}} h et y = g{{exp|n}} k avec m, n entiers et h, k éléments de H, donc<br />xy = g{{exp|m}} h g{{exp|n}} k = g{{exp|m+n}} hk = g{{exp|m+n}} kh = g{{exp|n}} k g{{exp|m}} h = yx. On peut dire aussi, plus élégamment, que G est engendré par {g} ∪ Z(G) ; comme deux éléments de {g} ∪ Z(G) commutent toujours et qu'un groupe engendré par une partie dont tous les éléments commutent entre eux est commutatif (voir chapitre théorique), il en résulte que G est commutatif.) #Si le groupe Aut(G) est monogène alors le sous-groupe Int(G) l'est aussi, or (chapitre théorique) Int(G) est isomorphe à G/Z(G), donc G/Z(G) est monogène. On conclut grâce à la question précédente. }} Remarque. Il résulte du point 1°, appliqué au cas où H = Z(G), que le centre d'un groupe n'est jamais d'indice premier dans ce groupe. == Références == <references/> {{Bas de page | idfaculté = mathématiques | précédent = [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/]] | suivant = [[../Action de groupe/]] }} ked19n317zu3dqw03xoj1wp526wp45p 104 62285 988217 981601 2026-11-08T16:21:55Z Ambre Troizat 8860 /* 1826 */ 1826 - Charles Ganilh, Dictionnaire analytique d’économie politique, Bruxelles 988217 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ {{Annexe | idfaculté = histoire | numéro = 6 | niveau = 9 | précédent = [[../Bibliographie/]] | suivant = [[../../|Sommaire]] }} __TOC__ {{Clr}} == XIX{{e}} siècle == {{Citation bloc|Welcome to Recovered Histories.<br />Anti-Slavery International has digitised its collection of 18th and 19th century literature on the Transatlantic Slave Trade. Recovered Histories captures the narratives of the enslaved, enslavers, slave ship surgeons, abolitionists, parliamentarians, clergy, planters and rebels.<br />Use the themed narratives as starting points or "Search Collection<ref>[http://recoveredhistories.org/browse.php?orderby=date Recovered Histories ; Search Collection]</ref>" to explore over 40,000 pages in the collection.|Recovered Histories, Anti-Slavery International<ref>[http://recoveredhistories.org/index.php Welcome to Recovered Histories], Anti-Slavery International Thomas Clarkson House The Stableyard Broomgrove Road London SW9 9TL</ref>}} == 1800 - 1809 == == 1800 == * 1800 - {{bibliographie|Q30556866}} <!-- Henri Grégoire, Apologie de Barthélemy de Las Casas --> * 1800 - {{bibliographie|Q115618879}} <!-- Pierre Gallet.- Précis sur la paix --> == 1801 == * 1801 - {{bibliographie|Q97584147}} <!-- Toussaint Louverture, Constitution républicaine des colonies française de Saint-Domaingue --> * 1801 - {{bibliographie|Q24036923}} <!-- Gabriel Chastenet-Desterre, Précis historique du régiment de Crête, dragons : suivi D'un discours sur la vengeance --> * 1801 - {{bibliographie|Q55759087}} <!-- Vœu général des habitans propriétaires, et autres citoyens actifs de l'isle Guadeloupe et dépendances --> * 1801 - {{bibliographie|Q77812134}} <!-- Dominique Dufour de Pradt, Les trois Ages des colonies --> * 1801 - {{bibliographie|Q118288072}} <!-- La mort de Robespierre : tragédie en trois actes et en vers --> === Considérations sur le célibat === * 1801-1802 - {{bibliographie|Q102121207}} <!-- Considérations sur le célibat, œuvre littéraire --> ** 1801 - {{bibliographie|Q102121289}} <!-- Considérations sur le célibat --> ** 1802 - {{bibliographie|Q102121399}} <!-- Défense des "Considérations sur le célibat" --> === 1802 === * 1802 - {{bibliographie|Q59308377}} <!-- 1802 - Pierre François Page, Traité d'économie politique et de commerce des colonies --> * 1802 - {{bibliographie|Q27861716}} * 1802 - {{bibliographie|Q32634465}} <!-- Charles-Yves Cousin d'Avallon, Histoire de Toussaint-Louverture --> * 1802 - {{bibliographie|Q101536113}} <!-- Examen de l'esclavage en général, et particulièrement de l'esclavage des nègres dans les colonies françaises de l'Amérique --> ** 1802 - {{bibliographie|Q101536608}} <!-- Examen de l'esclavage en général, et particulièrement de l'esclavage des nègres dans les colonies françaises de l'Amérique, Tome I --> ** 1802 - {{bibliographie|Q101536933}} <!-- Examen de l'esclavage en général, et particulièrement de l'esclavage des nègres dans les colonies françaises de l'Amérique, Tome 2 --> * 1802 - {{bibliographie|Q112706892}} <!-- Histoire de la Révolution de France pendant les dernières années du règne de Louis XVI --> ** 1802 - {{bibliographie|Q112707500}} <!-- Histoire de la Révolution de France pendant les dernières années du règne de Louis XVI --> * 1802 - {{bibliographie|Q113868908}} <!-- Arrêté rétablissant l'esclavage à la Guadeloupe, 27 messidor an X (16-07-1802) --> * 1802 - {{bibliographie|Q115618533}} <!-- Bythis, ou L'élève de l'africain (Q115618533) --> ** 2022 - {{bibliographie|Q115618689}} <!-- Bythis ou l'élève de l'Africain 1802, édition commentée, 2022 --> * 1802 - {{bibliographie|Q132765172}} <!-- Christophe Colomb et l'Université de Salamanque --> == 1803 == * 1803 - {{bibliographie|Q120638153}} <!-- Précis ou tableau chronologique des événemens et de la législation de la Révolution --> * 1803 - [[w:Georges-Louis Leclerc de Buffon|Georges Louis Leclerc, comte de Buffon]].- [[d:Q51380751|Q51380751 - Histoire naturelle, générale et particulière : avec la description du cabinet de roi]] ** 1804 - [[w:Georges-Louis Leclerc de Buffon|Georges Louis Leclerc, comte de Buffon]].- [[d:Q51488914|Q51488914 - Histoire naturelle, générale et particulière, avec la description du Cabinet du roi]] * 1803 - {{bibliographie|Q118383847}} <!-- Précis pour Hypolite Defrasans, habitant propriétaire à la Guadeloupe --> * 1803 - {{bibliographie|Q118398414}} <!-- Le cri de la vengeance. Sur la rupture de la paix, et les forfaits des ministres de l'Angleterre --> {{Citation bloc|10. VITRINE N° 27 — Texier de La Boëssière, père.- Lettre autographe écrite au Commissaire du Gouvernement près le Théâtre français, 12 vendémiaire an 12<ref>12 vendémiaire an 12 = 5 octobre 1803</ref>. La Boëssière demande l'autorisation de faire réciter sur la scène de ce théâtre les strophes qu'il a composées sur la rupture de la paix par l'Angleterre.|1889 - {{bibliographie|Q118402538}},<ref>Exposition universelle internationale de 1889 à Paris. Exposition rétrospective du travail et des sciences anthropologiques. Section V. Arts militaires, [https://www.google.fr/books/edition/Arts_militaires/g0o9AQAAMAAJ?hl=fr&gbpv=1&pg=PA308&printsec=frontcover page 308]</ref}} * 1803 - {{bibliographie|Q120638153}} <!-- Précis ou tableau chronologique des événemens et de la législation de la Révolution --> == 1804 == * 1804 - {{bibliographie|Q110914182}} <!--La proclamation de l'Indépendance, 1er janvier 1804 --> * 1804 - {{bibliographie|Q24036995}} <!-- notice sur la vie militaire, politique et privée de M. Baudry-Deslozières, Colonel-Inspecteur du régiment de Crète, dragons --> == 1805 == * 1805 - {{bibliographie|Q22666633}} <!-- Armand-Gaston Camus.- Lettres sur la profession d'avocat --> * 1805 - {{bibliographie|Q90267914}} <!-- Jean Abeille, Essai sur nos colonies et sur le rétablissement de Saint Domingue --> == 1806 == * 1806 - {{bibliographie|Q66498909}} <!-- Jean-Gabriel Stedman, William Blake.- Narrative of a five years' expedition --> * 1806 - {{bibliographie|Q118405902}} <!-- Stances à leurs majestés impériales et royales, Napoléon et Joséphine --> == 1807 == * 1807 - {{bibliographie|Q59641294}} <!-- William Wilberforce.- A Letter on the Abolition of the Slave Trade --> ** 2010 - {{bibliographie|Q59640654}} <!-- William Wilberforce et université de Cambridge (dir.), A Letter on the Abolition of the Slave Trade --> * 1807 - {{bibliographie|Q26251030}} <!-- Jules-Philippe-Benjamin de Rohr, Observations sur la culture du coton --> * 1807 - {{bibliographie|Q29175464}} <!-- Essai sur l'application des lois coercitives et de contrainte par corps --> == 1808 == <b>1808 - Henri Grégoire, De la littérature des Nègres</b> * 1808 - {{bibliographie|Q19153634}} <!-- 1808 - Henri Grégoire, De la littérature des Nègres, Première édition --> ** 1810 - {{bibliographie|Q50818560}} <!-- 1810 - Henri Grégoire, De la littérature des Nègres, --> ** 1810 - {{bibliographie|Q31501365}} <!-- 1810 - Henri Grégoire (trad. du français par David Baillie Warden), An Enquiry Concerning the Intellectual and Moral Faculties, and Literature of Negroes --> * 1808-1827 - {{bibliographie|Q91905360}} ** 1808 - {{bibliographie|Q91914634}} <!-- 1808 - François Richard de Tussac, Flore des Antilles --> * 1808 - {{bibliographie|Q131928163}} <!-- To Thomas Jefferson from Pseudonym: "A Slave", 30 November 1808 --> ** 2011 - {{bibliographie|Q131928085}} <!-- A Slave’ Writes Thomas Jefferson --> === Œuvres & catalogue des livres de la bibliothèquede M. Turgot === 1808-1811 - Œuvres de M. Turgot, 9 vol. in-8°, portrait au tome I * 1808 - {{bibliographie|Q79408781}}, {{BNF|31505417d}} <!-- Œuvres de M. Turgot --> ** 1913-1923 - {{bibliographie|Q84358168}}, <!-- Œuvres de Turgot et documents le concernant --> ''** 1974 - <nowiki> - {{bibliographie|}}</nowiki>, Bibliothèque nationale (France) & Institut d'études économiques, Université Hitotsubashi.- Catalogue des livres de la bibliothèque de Turgot d'après le catalogue manuscrit conservé dans la Bibliothèque nationale, 1974, 2 volumes, à créer.'' == 1809 == [[Fichier:Napoléon & Joséphine au bal de la ville de Paris, 4 décembre 1809.png|100px|vignette|gauche|Napoléon & Joséphine au bal de la ville de Paris, 4 décembre 1809]] 1809 - {{bibliographie|Q108690510}} <!-- Le chevalier de Saint-Georges ou le débauché corrigé par l'amour, volume 1 --> ** Les "Liaisons dangereuses" de Choderlos de Laclos suivies de ''Le chevalier de Saint-Georges ou le débauché corrigé par l'amour'' ** 1782 - {{bibliographie|Q115943695}} <!-- Jugements contemporains sur les "Liaisons dangereuses" de Choderlos de Laclos --> == 1810 - 1819 == === 1811 === * 1811 - {{bibliographie|Q29343719}} <!-- Œuvres completes de Buffon --> === 1812 === * 1812 - {{bibliographie|Q29017789}}, traduction de {{bibliographie|Q29017809}}, 1797 * 1812 - {{bibliographie|Q112336197}} <!-- Quelques réflexions d'un homme du monde, sur les spectacles, la musique, le jeu et le duel --> === 1813 === ;Correspondance littéraire, philosophique et critique * 1813 - {{bibliographie|Q27516197}} <!-- Correspondance littéraire, philosophique et critique 1753 jusqu'en 1769, Première partie, 1813 --> * 1813 - {{bibliographie|Q27516261}} <!-- Correspondance littéraire, philosophique et critique 1753 jusqu'en 1769, Troisième et dernière Partie, Tome IV --> * 1813 - {{bibliographie|Q109810740}} <!-- Correspondance littéraire, philosophique et critique, adressée à un souverain d'Allemagne, Tome 5 --> - * 1813 - {{bibliographie|Q28023154}} <!-- --> === 1814 === * 1814 - {{bibliographie|Q19152129}} <!-- Benjamin Constant, De l’esprit de conquête et de l’usurpation dans leur rapports avec la civilisation européenne --> * 1814 - {{bibliographie|Q26702080}} <!-- Louis-Marie Bajot, Répertoire de l'administrateur de la marine --> * 1814 - {{bibliographie|Q27339467}} <!-- Antoine-François Ève, Tableau historique des prisons d'État en France sous le règne de Buonaparte --> * 1814 - {{bibliographie|Q27554587}} <!-- Augustin-Jean Brulley, Propositions pour rentrer en possession de la partie française de Saint-Domingue --> * 1814 - {{bibliographie|Q55500722}} <!-- F. Mazères, De l'Utilité des colonies --> * 1814 - {{bibliographie|Q59212095}} <!-- William Wilberforce, A letter to His Excellency the Prince of Talleyrand-Perigord on the subject of the slave trade --> * 1814 - {{bibliographie|Q112914147}} <!-- Procès de Louis XVI, roi de France avec la liste comparative des appels nominaux --> ;Thomas Clarkson 1789-1814 - {{bibliographie|Q99670401}} <!-- Thomas Clarkson.- Essai sur les désavantages politiques de la traite des nègres --> * 1814 - {{bibliographie|Q99669291}} <!-- Thomas Clarkson, Résumé du témoignage --> * 1814 - {{bibliographie|Q99670240}} <!-- Joseph Palisot de Beauvois, Réfutation d'un écrit intitulé : Résumé du témoignage... --> * 1814 - {{bibliographie|Q105734233}} <!-- Considérations importantes sur l'abolition générale de la traite des nègres --> * 1814 - {{bibliographie|Q115618897}} <!-- Des colonies, et particulièrement de celle de Saint-Domingue --> === 1814-1815 - Les traités de Vienne === * 1815 - {{bibliographie|Q28768010}} <!-- Traités de Vienne --> === 1814-1815 - Louis XVIII, roi de France et de Navarre (6 avril 1814-20 mars 1815) === * [[w:Louis XVIII|Louis XVIII]] * 1815 - {{bibliographie|Q28937223}} <!-- Louis XVIII --> === Les Cent-Jours (20 mars 1815-8 juillet 1815) === * [[w:Cent-Jours|Cent-Jours]] : 29 mars1815 - Napoléon abolit la traite des Noirs en application des traités de Vienne === 1815 === * 1815 - {{bibliographie|Q19154069}} ← De la traite et de l’esclavage des Noirs et des Blancs --> == 1816 == * 1816 - {{bibliographie|Q59196311}} <!-- Dominique Dufour de Pradt, Du congrès de Vienne --> * 1816 - {{bibliographie|Q110415914}} <!-- Relation de la captivité de S. A. S. Mgr le duc de Montpensier --> === Alexandre-Auguste Robineau, peintre et musicien === * 1816 - {{bibliographie|Q112207787}} <!-- Les Caprices de la fortune --> ** 1927 - {{bibliographie|Q117861452}} On y trouve : "Extrait de la vie d'Auguste Robineau [[w:Alexandre-Auguste Robineau|Alexandre-Auguste Robineau]], peintre et musicien, encore existant, après avoir échappé aux quatre élémens.— ''Feuillets d'histoire du violon''. Son fils, Adel, poursuivi par la Terreur meurt en Guyane. {{Citation bloc|C'est pour son Altesse Royale qu'il fit le tableau de l'assaut entre St. George et M^elle,°. la Chevalière d'Eon, gravé en Angleterre.|Les Caprices de la fortune, p. 8.}} ** Cf. [https://www.google.fr/books/edition/Biographie_universelle_ancienne_et_moder/G_8-AAAAcAAJ?hl=fr&gbpv=1&dq=Auguste+Robineau&pg=PA183&printsec=frontcover Robineau Auguste peintre et musicien ==== Œuvres de Alexandre-Auguste Robineau ==== * [[d:Q28026332|Friedrich Abel (1725-1787)]] * [[d:Q28027557|The Fencing-Match between the Chevalier de Saint-George and the Chevalier d'Eon]] * [[d:Q28018284|The Chevalier de Saint-George (1745-99)]] * [[d:Q28016365|George IV (1762-1830) when Prince of Wales (buste)]] * [[d:Q28043427|George IV (1762-1830) when Prince of Wales anglais (en pied)]] === 1817 === * 1817 - {{bibliographie|Q27480214}} === 1818 === * 1818 - {{bibliographie|Q26921295}} <!-- Antoine Loysel, Lettres sur la profession d'avocat et Bibliothèque --> * 1818 - {{bibliographie|Q23014317}} <!-- Texier La Boëssière (fils), Traité de l'art des armes --> * 1818 - {{bibliographie|Q110401314}} <!-- Affaire Saint-Morys. Procès verbal unique --> === 1819 === * 1819 - {{bibliographie|Q26204789}} <!-- Tableau de la Révolution française depuis son origine jusqu'en 1814, suivi de "Précis de l'histoire de la Révolution française" --> * 1819 - {{bibliographie|Q60718129}} <!-- Pierre-Louis Roederer, De la propriété considérée dans ses rapports avec les droits politiques --> * 1819-1874 - {{bibliographie|Q3020413}}, publié dans {{bibliographie|Q29918672}} 1874.}} <!-- Benjamin Constant, Charles Léopold Louandre, De la liberté des Anciens comparée à celle des Modernes --> * 1819 - {{bibliographie|Q132781341}} <!-- Mémoires pour servir à l'histoire de la révolution de Saint-Domingue, Volume 1 -->. [https://archive.org/details/mmoirespourser02lacr/page/n5/mode/2up Volume 2] ; [https://archive.org/search?query=creator%3A%22Lacroix%2C+Pamphile%2C+vicomte+de%2C+1774-1842%22 2 Volumes]. ** 1819 - {{bibliographie|Q132783090}} <!-- Mémoires pour servir à l'histoire de la révolution de Saint-Domingue, Volume 2 --> == 1820 - 1829 == == 1821 == * 1821 - {{bibliographie|Q27861892}} <!-- --> ** 1841 - {{bibliographie|Q27861943}} <!-- --> * 1821 - {{bibliographie|Q84934066}} Œuvre écrite <!-- Marceline Desbordes-Valmore, Les Veillées des Antilles --> ** 1821 - {{bibliographie|Q84934707}} <!-- Marceline Desbordes-Valmore, Les Veillées des Antilles, Tome premier --> ** 1821 - {{bibliographie|Q84937765}} <!-- Marceline Desbordes-Valmore, Les Veillées des Antilles, Tome second --> ** 2006 - {{bibliographie|Q84938155}} <!-- Marceline Desbordes-Valmore, Les Veillées des Antilles, L'Harmattan 2006 --> === 1821 - Isambert, Decrusy & Cie - Recueil général des anciennes lois françaises, 420-1789 === * 1821 - {{bibliographie|Q22338208}} <!-- Isambert, Decrusy & Cie.- Recueil général des anciennes lois françaises, depuis l'an 420 jusqu'à la Révolution de 1789 --> ** 1821 - {{bibliographie|Q22338335}} <!-- Isambert, Decrusy & Cie.- Recueil général des anciennes lois françaises, depuis l'an 420 jusqu'à la Révolution de 1789 --> === 1821 - Code général français 1789-1815, Ménard et Desenne fils === * 1821 - {{bibliographie|Q108634808}}, [https://www.google.fr/books/edition/Code_général_français/IlFDAAAAcAAJ Volume 18 sur Google Livres] <!-- Code général français, contenant les lois et actes du gouvernement, publiés depuis l'ouverture des Etats généraux au 5 mai 1789, jusqu'au 8 juillet 1815 --> === 1813-1825 - Les aventures d'Eugène de Senneville et de Guillaume Delorme anglais === [[Fichier:Louis Benoit Picard by Lucile Foullon-Vachot.jpg|100px|vignette|gauche|Lucile Foullon-Vachot.- Louis Benoit Picard]] * 1813 - {{BNF|31104256t}}. Voir la collection sur <nowiki>[Internet Archive]</nowiki> * 1813 - {{bibliographie|Q118185687}} Épître à L.-B. Picard, membre de l'Institut, sur son roman intitulé "Les Aventures d'Eugène de Senneville et de Guillaume Delorme --> * 1814 - {{bibliographie|Q118185046}} Voir l'édition en un volume sur <nowiki>[https://archive.org/details/lesaventuresdeu00picagoog Internet Archive]</nowiki> ; <nowiki>[https://www.google.fr/books/edition/Les_aventures_d_Eugène_de_Senneville_et/gMRqsoF2CB0C Google livre]</nowiki> <!-- Les Aventures d'Eugène de Senneville et de Guillaume Delorme, écrites par Eugène en 1787, publiées par L.-B. Picard --> * 1821 - {{bibliographie|Q118112377}} <!-- Les aventures d'Eugène de Senneville et de Guillaume Delorme --> ** 1821 - Voir la collection sur <nowiki>[https://archive.org/search?query=Les+aventures+d%27Eug%C3%A8ne+de+Senneville+et+de+Guillaume+Delorme&and%5B%5D=year%3A%221821%22 Internet Archive], 13 ouvrages</nowiki> * 1825 - {{BNF|311042575}}, 6 volumes, Paris : Barba, 5e éd., 1825. * 1877 - {{bibliographie|Q118146029}} <!-- Thèâtre de Picard --> === 1822 === * 1822 - {{bibliographie|Q67212722}} <!-- Article du journal des savants de janvier 1822 --> * 1822 - {{bibliographie|Q27857598}} <!-- --> * 1822 - {{bibliographie|Q28310338}} <!-- --> === 1823 === * 1823 - {{bibliographie|Q25990421}} <!-- --> * [[d:Q26423155|1823]] - {{bibliographie|Q26423155}} <!-- --> ** 1823 - {{bibliographie|Q26898695}} <!-- -> * 1823 - {{bibliographie|Q27627143}}, [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&startRecord=0&maximumRecords=15&page=1&collapsing=disabled&query=dc.relation%20all%20%22cb31456877g%22%20sortby%20dc.date%2Fsort.ascending Toutes les éditions sur Gallica] ; [http://catalogue.bm-grenoble.fr/in/faces/browse.xhtml?facetClause=%2BSubjectHeadingFacet%3A%22France+1789-1799+%28Révolution%29%22%3B%2BAuthorFacet%3A%22Thiers%2C+Adolphe+%281797-1877%29%22%3B&pageNo=1&query=Collection%3A%22101%22&queryid=49fb7d1e-5a93-4339-a22c-d31de977f7c1&pageSize=20&sort=score&view=list&debug=false&escapePiwik=1&bSuppressSearchHistory=false&mz=%D0%B6 "''Histoire de la Révolution française''"Toutes les éditions dans les Bibliothèques municipales de Grenoble] <!-- --> ** 1834 - {{bibliographie|Q27636342}} <!-- --> ** 1838 - {{bibliographie|Q27627619}} <!-- --> === 1824 === ** 1824-1938 - {{bibliographie|Q27908367}} <!-- France, Bulletin des lois et Jean-Baptiste Duvergier, Collection complète des lois, décrets, ordonnances, règlemens avis du Conseil d'état, Publiée sur les éditions officielles du Louvre --> * 1824-1949 - {{bibliographie|Q66311056}} <!-- Jean-Baptiste Duvergier, France, Collection complète des lois --> ** 1824 - {{bibliographie|Q66311094}} <!-- Jean-Baptiste Duvergier, France, Collection complète des lois, volume 3 --> * 1824 - {{bibliographie|Q26454463}} ** Contient : [[d:Q26423155|1823]] - {{bibliographie|Q26423155}}, [https://books.google.fr/books?id=7zszAQAAMAAJ&hl=fr&pg=RA4-PA3#v=onepage&q&f=false Section 12, p.3] * 1824 - {{bibliographie|Q26904539}} <!-- --> * 1824 - {{bibliographie|Q28937349}} <!-- --> * 1824 - {{bibliographie|Q19132200}} <!-- Affrachissement de Louis X Hutin, 1315 --> * 1824 - {{bibliographie|Q29398754}} <!-- Affrachissements --> * 1824 - {{bibliographie|Q37731025}} <!-- American Philosophical Society Library, Catalogue of the library --> * 1824 - {{bibliographie|Q65460168}} <!-- Faits relatifs à la traite des noirs, œuvre écrite --> ** 1824 - {{bibliographie|Q64617369}} <!-- Société de la morale chrétienne et Comité pour l'abolition de la traite des noirs, Faits relatifs à la traite des noirs --> ** 1826 - {{bibliographie|Q64617559}} <!-- Société de la morale chrétienne et Comité pour l'abolition de la traite des noirs, Faits relatifs à la traite des noirs --> * [[d:Q96186503|1824]] - {{bibliographie|Q96186503}} <!-- Décade historique ou Tableau politique de l'Europe, depuis 1786 jusqu'en 1796 --> * 1824 - {{bibliographie|Q110494704}} <!-- Mémoires de S. A. S. Louis-Antoine-Philippe d'Orléans, duc de Montpensier --> * 1824 - {{bibliographie|Q115581414}} <!-- Théodore Regnault, Montesquieu et William Blackstone, Tableaux analytiques de "l'Esprit des lois--> === 1825 === * 1825 - {{bibliographie|Q28224887}} <!-- Louis-Gabriel Michaud (dir.), Biographie universelle, ancienne et moderne --> ** 1825 - {{bibliographie|Q28225207}} <!-- Louis-Gabriel Michaud (dir.), Saint-George (Le chevalier de) --> * 1825 - {{bibliographie|Q79412652}} <!-- Euripide, Jean Racine et Louis-Aimé Martin (dir.).- Traduction de l'Iphigénie en Aulide d'Euripide dans Œuvres complètes de J. Racine, Volume III --> * 1825 - {{bibliographie|Q108573891}} <!-- Jocko, ou le Singe du Brésil --> * 1825-1840 - {{bibliographie|Q103166359}} <!-- Antoine de Jomini, Histoire critique et militaire des guerres de la Révolution --> ** 1825 - {{bibliographie|Q102446389}} <!-- Antoine de Jomini, Histoire critique et militaire des guerres de la Révolution --> ** 1840 - {{bibliographie|Q103168105}} <!-- Antoine de Jomini, Histoire critique et militaire des guerres de la Révolution --> ==== Déclaration d'indépendance de Haïti & Ordonnance du Roi Charles X de France n°1798 du 17 avril 1825 ==== La déclaration d'indépendance de Haïti a lieu le 1er janvier 1804. Cette indépendance n’est reconnu par la France, puissance coloniale qu'en 1825, par ordonnance. La France impose alors ses conditions drastiques pour un coût estimé en 2022 à… * 1804 - {{bibliographie|Q111134571}} <!-- Déclaration d'indépendance de Haïti, 1804 --> * 1825 - {{bibliographie|Q111127608}} <!-- Ordonnance du Roi Charles X de France n°1798 du 17 avril 1825 --> ** 1825 - {{bibliographie|Q109717872}} <!-- Le Chant haïtien, hommage à S. M. Charles X à l'occasion de l'émancipation d'Haïti --> ** 2003 - {{bibliographie|Q110894717}} article scientifique comprenant le texte <!-- L'ordonnance de Charles X du 17 avril 1825 --> ** 2019 - {{Lien web |langue= fr|auteur= Rezo Nòdwès|titre= Dette de l’Indépendance : "L’Ordonnance de 1825" qui rend aujourd’hui Haïti pauvre et très dépendant !|url= https://rezonodwes.com/?p=146118|date= 30 décembre 2019|site= rezonodwes.com|consulté le= 6 mars 2022}} ** {{Lien web |langue=en |format=pdf |titre=Déclaration d’indépendance |url=https://webarchive.nationalarchives.gov.uk/ukgwa/+/https://www.nationalarchives.gov.uk/dol/images/examples/haiti/0001.pdf|site=nationalarchives.gov.uk |éditeur=National Archives |lieu=UK}}. === 1826 === * 1826 - {{bibliographie|Q31873367}} 13 avril 1826 <!-- Auguste-Louis de Staël-Holstein, Comité pour l'abolition de la traite des noirs, Rapport verbal --> * 1826 - {{bibliographie|Q32607059}} <!-- Jean Baptiste Guislain Wallez, Précis historique des négociations entre la France et Saint-Domingue --> * 1826 - {{bibliographie|Q22284489}} <!-- Mémoire de Isambert pour Bissette --> * 1826 - {{bibliographie|Q64617559}} <!-- Société de la morale chrétienne et Comité pour l'abolition de la traite des noirs, Faits relatifs à la traite des noirs --> * 1826 - Loi et ordonnances relatives à la République d'Haïti, et aux indemnités stipulées en faveur des anciens colons de Saint-Domingue, {{BNF|33463783w}}. * 1826 - {{bibliographie|Q22344388}} <!-- (en) Amelia Opie (ill. anonyme), The Black Man's Lament; or How To Make Sugar, Londres --> * 1826 - {{bibliographie|Q19164287}} <!-- Dictionnaire analytique d’économie politique --> === 1827 === * 1827 - {{bibliographie|Q110796208}} <!-- L'art de l'horlogerie enseigné en trente leçons --> ;Charles Dupin, Forces productives et commerciales de la France par le Bon Charles Dupin * 1827 - {{bibliographie|Q66216353}} <!-- Charles Dupin, Forces productives et commerciales de la France par le Bon Charles Dupin --> ** 1827 - {{bibliographie|Q66216739}} <!-- Charles Dupin, Forces productives et commerciales de la France par le Bon Charles Dupin --> ** 1827 - {{bibliographie|Q66217855}} <!-- Charles Dupin, Forces productives et commerciales de la France par le Bon Charles Dupin --> ;Voir également : *Dupin, Charles (1784-1873).- Institut royal de France. Progrès des sciences et des arts de la marine française depuis la paix. Discours lu à la séance publique de l'Académie des sciences, le 27 mars 1820, par Ch. Dupin,..., impr. de F. Didot, 1820 {{BNF|303795288}} *Dupin, Charles (1784-1873), Discours et leçons sur l'industrie, le commerce, la marine et sur les sciences appliquées aux arts / par le Bon Charles Dupin,..., Bachelier, 1825, {{BNF|30379473t}} ==== Histoire de France, depuis la fin du règne de Louis XVI jusqu'à l'année 1825 ==== * [[d:Q116771668|1827]] - {{bibliographie|Q116771668}}, œuvre littéraire <!-- Histoire de France, depuis la fin du règne de Louis XVI jusqu'à l'année 1825 (Q116771668) --> ** Voir l'ensemble des publications : {{BNF|30971294b}} ; <[https://archive.org/search?query=Histoire+de+France%2C+depuis+la+fin+du+r%C3%A8gne+de+Louis+XVI+jusqu%27a+l%27ann%C3%A9e+1825 Internet Archive]> ** 1827 - {{bibliographie|Q116771685}}, Tome premier/9 <!-- Histoire de France, depuis la fin du règne de Louis XVI jusqu'à l'année 1825, Tome 1 --> === 1828 === * 1828 - {{bibliographie|Q60428576}} <!-- Marie-Antoine Carême (ill. Charles Normand, Auguste Hibon et Étienne-Jules Thierry), Le cuisinier parisien --> * 1828 - {{bibliographie|Q27780194}} <!-- France et Convention nationale, Débats de la Convention nationale --> * 1828- c.1840 - {{bibliographie|Q28252400}}. Contient une critique du roman de Beauvoir, Le Chevalier de Saint-Georges * 1828 - {{bibliographie|Q30545983}} <!-- Morenas.- Précis historique de la traite des noirs et de l'esclavage colonial --> * 1828 - {{bibliographie|Q124611602}} <!-- Le La Bruyère des domestiques, précédé de considérations sur l'état de domesticité en général --> ==== 1828-1838 : ==== * 1828-1838 - {{bibliographie|Q60603487}} <!-- Série : Armand d'Allonville, Alphonse de Beauchamp, Adam Schubart, Mémoires tirés des papiers d'un homme d'État --> ** 1838 - {{bibliographie|Q60603621}} <!-- Mémoires tirés des papiers d'un homme d'État sur les causes secrètes la politique des cabinets dans les guerres de la Révolution. Tome 13 --> * 1828 - {{bibliographie|Q104093915}} <!-- Charles X et France, Ordonnance du Roi concernant le gouvernement de la Guyane française --> ==== 1828-1867 - Victoires, conquêtes, désastres, revers et guerres civiles des Français ==== * 1817-1821 - {{bibliographie|Q60499423}} {{BNF|34080998m}} <!-- Victoires, conquêtes, désastres, revers et guerres civiles des Français, série, Nouvelle édition 1817-1821 --> * 1817-1825 - {{bibliographie|Q27480214}} {{BNF|36378831k}} <!-- Victoires, conquêtes, désastres, revers et guerres civiles des Français, série, Nouvelle édition 1817-1825 --> * 1828-1831 - {{bibliographie|Q60494266}} {{BNF|36378832x}} ''La [[w:Bataille de Navarin|bataille de Navarin]] eut lieu le 20 octobre [[w:1827|1827]]'' <!-- Victoires, conquêtes, désastres, revers et guerres civiles des Français, série, Deuxième édition 1828-1831 --> * 1854-1867 - {{bibliographie|Q60495876}} {{BNF|36378835z}} <!-- Victoires, conquêtes, désastres, revers et guerres civiles des Français, série, Nouvelle édition 1854-1867 --> == 1829 == * [[d:Q27514761|1829-1830]] - {{bibliographie|Q27514402}} <!-- --> ** [[d:Q27514761|1830]] - {{bibliographie|Q27514761}}, Tome treizième, 1786 — 1787 <!-- --> * [[d:Q27949885|1829-1830]] - {{bibliographie|Q27949885}}. Musique de [[d:Q497494|Michele Carafa]], représenté pour la première fois, sur le Théâtre Royal de l'Opéra-Comique, par les Comédiens ordinaires du Roi, le 24 septembre 1829, [https://books.google.fr/books?id=-CdFAQAAMAAJ&hl=fr&pg=PA1#v=onepage&q&f=false Attribué à Joseph Bologne de Saint-George (Chevalier de)]. ** [[d:Q27853275|1829-1830]] - {{bibliographie|Q27853275}} <!-- --> * 1829 - {{bibliographie|Q32148736}} <!-- Œuvres diverses de M. le baron Auguste de Staël --> * 1829 - {{bibliographie|Q19165818}} Discours sur le style (français), Prononcé à l'Académie française par M. de Buffon, le jour de sa réception le 25 août 1753, Publié dans ''Œuvres complètes de Buffon, augmentées par Cuvier'', 1829, Édition Pillot, Librairie Salmon, Paris, 1829. Voir autres éditions sur [https://catalogue.bnf.fr/changerPageAdv.do?mots0=ALL;-1;0;Discours%20sur%20le%20style&mots1=ALL;0;0;Buffon&mots2=&mots3=&mots4=&facPays=&suppPhys=&faclocs=&facDocs=&facNots=&facSpec=&typoCarto=&typoIcono=&typoAudio=&typoMus=&typoNumis=&typoPerio=&langue0=&langue1=&langue2=&langue3=&langue4=&datepub=&dateCreaSpec=&dateEnregistrement=&typeDatePer=&corpus=&index=&numNotice=&listeAffinages=&nbResultParPage=10&afficheRegroup=false&pageEnCours=1&trouveDansFiltre=&trouverDansActif=false&triResultParPage=5&critereRecherche=&issn=&pageRech=rav BNF] ;<br>1896 - [[d:Q229264|Georges-Louis Leclerc de Buffon, (1707 - 1788).- Discours sur le style]], [https://athena.unige.ch/athena/buffon/buffon-discours-sur-le-style.pdf édition de l'abbé J. Pierre, Librairie Ch. Poussielgue, Paris, Exemplaire BPU Genève Tp 3921]. <!-- --> === 1803-1829-1830 - Histoire de la Louisiane et de la cession de cette colonie par la France === * 1829-2013 - {{bibliographie|Q119723650}}, [[d:Q119723650|œuvre littéraire]] <!-- Histoire de la Louisiane et de la cession de cette colonie par la France aux États-Unis de l'Amérique septentrionale --> * 1829 - {{bibliographie|Q119578205}} <!-- Histoire de la Louisiane et de la cession de cette colonie par la France aux États-Unis de l'Amérique septentrionale --> * 1829 - {{bibliographie|Q119725300}} <!-- Histoire de la Louisiane et de la cession de cette colonie par la France aux États-Unis de l'Amérique septentrionale --> * 1830 - {{bibliographie|Q119723526}} <!-- The History of Louisiana : Particularly of the Cession of that Colony to the United States of America --> ** 2013 - {{bibliographie|Q119726398}} <!-- De la case au grenier : bref aperçu des habitats ruraux des « nègres » et des maîtres dans la Louisiane coloniale des années 1720-1740 --> ==== Revue des deux Mondes, fondée en 1829 ==== * 1 août 1829 - {{bibliographie|Q1569226}} <!-- --> ** '''1860 - {{bibliographie|Q29389365}}''' <!-- --> *** 1860 - {{bibliographie|Q17358608}} <!-- -> *** 1860 - {{bibliographie|Q17357476}} <!-- Élisée Reclus, Le Code noir et les esclaves --> ** '''1861 - {{bibliographie|Q29389737}}''' <!-- --> *** 1861 - {{bibliographie|Q29390563}} ** '''1861 - {{bibliographie|Q29477312}}''' *** 1861 - {{bibliographie|Q17357108}} <!-- --> *** 1861 - {{bibliographie|Q17357109}} <!-- --> == 1830 - 1839 == === 1830 === * 1830 - {{bibliographie|Q27463670}} <!-- --> * 1830 - {{bibliographie|Q28020542}} <!-- --> * [[d:Q27888761|1830-1840]] - {{bibliographie|Q27888761}}, [http://gallica.bnf.fr/services/engine/search/sru?operation=searchRetrieve&version=1.2&collapsing=disabled&query=dc.relation%20all%20%22cb307941569%22 Lire sur Gallica, 23 volumes]. * 1830 - {{Bibliographie|Q101377945}} <!-- La Jamaïque. Journal des hommes de couleur --> * 1830 - {{Bibliographie|Q87766220}} <!-- Georgie Loi barbare contre les hommes de couleur --> === 1831 === * 1831 - {{bibliographie|Q78745503}} <!-- André de Lacharière, Observations sur les Antilles françaises --> * 1831 - {{bibliographie|Q2868770}} <!-- --> == 1832 == === Du gouvernement au {{S|XIX}} === * 1832 - {{bibliographie|Q29789256}} <!-- Vie politique de Louis-Philippe-Joseph d'Orléans-Égalité --> === De la justice {{S|XIX}} === * 1832 - {{bibliographie|Q26923267}} <!-- Profession d'avocat --> ** 1833 - {{bibliographie|Q26921415}} <!-- Lettres sur la profession d'avocat --> ** 1976 - {{bibliographie|Q26922718}} <!-- pour faire suite aux «Lettres sur la profession d'avocat» --> === Des relations de travail {{S|XIX}} === * 1832 - {{bibliographie|Q124750333}} <!-- De l’esclavage aux colonies françaises, et spécialement à la Guadeloupe --> === Des relations sociales et politiques {{S|XIX}} === * 1832 - {{bibliographie|Q78310524}} <!-- Amédée de Cools des Noyers, Droit et nécessité des garanties sociales et politiques réclamées par les colonies françaises --> ==== Des relations sociales au {{S|XIX}} ==== ==== Des relations politiques au {{S|XIX}} ==== === 1833 === * 1833 (13 février) - {{bibliographie|Q76878791}} <!-- Jean-Élie Gautier (dir.), Rapport relatif à l'état des hommes de couleur et au régime législatif des colonies <!-- * 1833 {{bibliographie|Q81071538}}, [https://books.google.fr/books?id=nlhpAAAAcAAJ&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepage&q=monnaie&f=false monnaie] <!-- Égypte/Grèce. Récompense promise à qui découvrira ou ramènera deux esclaves --> * 1833-1976 - {{Bibliographie|Q26922718}}, Reproduction : Fac-sim. de l'éd. de Bruxelles : H. Tarlier, 1833 <!-- Armand-Gaston Camus et André Marie Jean Jacques Dupin, Bibliothèque choisie des livres de droit --> * 1833 - {{bibliographie|Q87750623}} <!-- Cyrille Bissette, Notes sur le projet de loi relatif au régime législatif des colonies --> * 1833 - {{bibliographie|Q117474266}} publié dans {{bibliographie|Q117474151}} <!-- De la production du sucre sans le concours des esclaves --> * 1833 - {{bibliographie|Q117469540}} publié dans {{bibliographie|Q117476983}} <!-- Des progrès de la musique depuis le commencement du dix-neuvième siècle (Q117469540 === 1834 === * [[d:Q27956258|1834-1933]] - {{bibliographie|Q27956258}} * [[d:Q26430467|1834-1842]] - {{bibliographie|Q26430467}} * 1834 - {{bibliographie|Q27685551}} <!-- --> * 1834 - {{bibliographie|Q28151092}} <!-- --> ** 1834 - {{bibliographie|Q28151210}} <!-- --> * 1834 - {{bibliographie|Q28172900}}, Biographe de Saint-George (le chevalier de) * 1834 - {{bibliographie|Q107045925}} <!-- Bulletin annoté des lois, décrets et ordonnances, 7 janvier - 30 septembre 1791 --> ** 20 avril 1791 - {{bibliographie|Q107047149}}, {{Gallica|id=bpt6k65172061|f=99|pp=93-101}} <!-- Révolution française, abolition des droits seigneuriaux --> * 1834 - {{bibliographie|Q22666715}} <!-- Jean-Marie Pardessus, Tableau du commerce antérieurement à la découverte de l'Amérique --> * 1834-1841 - {{bibliographie|Q106163840}}, œuvre littéraire de Charles Comte <!-- --> ** 1834 - {{bibliographie|Q106170651}} <!-- Charles Comte, Traité de la propriété, Volume I --> ** 1834 - {{bibliographie|Q106190142}} <!-- Charles Comte, Traité de la propriété, Volume II --> ** 1841 - {{bibliographie|Q106190973}} <!-- Charles Comte, Traité de la propriété, Volume III --> *-*-* * 1834 - {{bibliographie|Q110507773}} <!-- Histoire chronologique de la Révolution française --> ==== 1834 - Histoire parlementaire de la Révolution française, par MM. Buchez et Roux ==== * 1834 - {{bibliographie|Q23017994}} <!-- --> * 1837 - {{bibliographie|Q29533912}} <!-- --> ==== 1834-1998 - Société française pour l'abolition de l'esclavage ==== * 1834 - {{bibliographie|Q3488338}} <!-- Société française pour l'abolition de l'esclavage (organisation) --> * 1834 - {{bibliographie|Q105459431}} <!--Société Française pour l'Abolition de l'Esclavage, périodique, 1834-1843 --> Je crois qu'il faudrait créer "L'Abolitionniste français (1844-1850)" ??? * 1837 - {{bibliographie|Q19232248}} <!--Société française pour l’abolition de l’esclavage article dans Revue des Deux Mondes T.10, 1837 --> ** 1998 - {{bibliographie|Q105459715}} <!--La Société française pour l'abolition de l'esclavage, 1834-1850 recherche en histoire de l'abolition de l'esclavage --> ** 1998 - {{bibliographie|Q105461366}} <!--La Société française pour l'abolition de l'esclavage, 1834-1850, compte-rendu de lecture --> ==== 11-1789/3-1790 - 1834-1999 : Les bières flottantes des négriers Bières flottantes des négriers ==== * 1834-1835 - {{bibliographie|Q28541544}}, Publication d'une version des "[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62183489.r=Bières%20flottantes%20des%20négriers%20Bières%20flottantes%20des%20négriers?rk=21459;2 Les bières flottantes des négriers Bières flottantes des négriers]", [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62183489/f182.image.r=Discours%20inedit%20sur%20la%20traite%20des%20negres "Discours inédit sur la traite des nègres", volume 7, p. 158]. * 1834 - {{bibliographie|Q28540980}} <!-- --> * 1999 - {{bibliographie|Q28537712}} <!-- --> * 2001 - {{bibliographie|Q28537507}}, juillet 2001 ;* 1834 - {{bibliographie|Q66314415}} <!-- --> * 1834 - {{bibliographie|Q66382997}} <!-- --> * 1834 - {{bibliographie|Q110414420}} <!-- Mémoires secrets de Antoine-Philippe d'Orléans, duc de Montpensier --> === 1835 === * 23 avril 1835 - {{bibliographie|Q81927383}} <!-- Lettre à M. Isambert, Signé : Bon de Cools & autres délégués des colonies --> * 1835 - {{bibliographie|Q79339957}} <!-- Armand-Jacques Lherbette, De la liberté commerciale, et de la réforme de nos lois de douanes --> * 1835 - {{bibliographie|Q83972698}}, Epistémologie du droit, [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k58148807/f13.item.r=droit%20naturel droit naturel], 1829-1835 <!-- Eugène Lerminier, Introduction générale à l'histoire du droit --> * 1835 - {{bibliographie|Q85221792}} <!-- 1835 - Johann Moritz Rugendas, Voyage pittoresque dans le Brésil --> ** 2020 - {{bibliographie|Q85685323}}, publié le 13 février 2020 <!-- Sébastien Rozeaux.- 1888 - L’abolition de l’esclavage au Brésil vue par la presse française --> * 1835 - {{bibliographie|Q90126131}} <!-- Eugène Sue, Histoire de la marine française depuis le XVe siècle jusqu'à nos jours --> * 1835 - {{bibliographie|Q106135616}} <!-- Roger de Beauvoir, Le café Procope --> * 1835 - {{bibliographie|Q110185719}}, Les jardins du Palais Royal après l'Opéra : "''Le fameux Saint-Georges jouait souvent du violon''" {{Gallica|id=bpt6k208330j|f=33|pp=25}} <!-- Souvenirs de Mme Louise-Élisabeth Vigée-Lebrun, T. 1 () --> === 1836 === * [[d:Q28567612|1836]] - {{bibliographie|Q28567612}} <!-- --> * 1836 - {{bibliographie|Q841025}} <!-- --> ** 1841 - {{bibliographie|Q28806948}} <!-- --> *** 1841 - {{bibliographie|Q28806983}} <!-- --> * 1836 - {{bibliographie|Q78641123}} <!-- André de Lacharière, De l'affranchissement des esclaves dans les colonies françaises --> * 1836 - {{bibliographie|Q79405990}} <!-- Jean-Jacques Altmeyer, Introduction à l'étude philosophique de l'histoire de l'humanité --> * 1836 - {{bibliographie|Q86704260}} <!-- Alcide Dessalines d'Orbigny, Voyage pittoresque dans les deux Amériques --> * 1836 - {{bibliographie|Q98970950}} <!-- De l'abolition de l'esclavage --> * 1836 - {{bibliographie|Q99360498}} <!-- Zachary Macaulay, Détails sur l'émancipation des esclaves dans les colonies anglaises --> * 1836 - {{bibliographie|Q133295661}} <!--Précis sur les établissements français formés à Madagascar --> == 1837 == * 1837 & 1840 - {{bibliographie|Q26884610}} <!-- Henri Grégoire, Mémoires de Grégoire --> * 1837 - {{bibliographie|Q19232248}} <!-- Société française pour l’abolition de l’esclavage--> * 1837 - {{bibliographie|Q24005400}} <!-- Henri Grégoire, Hippolyte Carnot, Mémoires de Grégoire --> ** 1837 - {{bibliographie|Q19218665}}, Tome premier, <!-- Henri Grégoire, Hippolyte Carnot (dir.) et Ambroise Dupont (dir.), Mémoires de Grégoire: ancien évêque de Blois --> * 1837 - {{bibliographie|Q28219467}} <!--François-Joseph Fétis, Biographie universelle des musiciens --> ** 1837 - {{bibliographie|Q28221253}} <!-- François-Joseph Fétis.- Saint-George (le chevalier de) --> * 1837 - {{bibliographie|Q28239200}} <!-- Georges Touchard-Lafosse, Souvenirs d'un demi-siècle --> * 1837 - {{bibliographie|Q67028737}} <!-- Henri-Alexandre Wallon, Du droit d'asyle : thèse --> === 1837-1853 - Amédée Gréhan.- La France maritime === * 1837 - {{bibliographie|Q119849515}}, Œuvre littéraire <!-- Amédée Gréhan.- La France maritime --> * 1837 - {{bibliographie|Q119850389}}. <!-- Amédée Gréhan.- La France maritime, Volume 1er --> Voir dans Amédée Gréhan et ministère de la Marine (dir.), La France maritime, volume premier, [https://archive.org/details/bub_gb_PAgwAAAAYAAJ/page/16/mode/2up?q=%22cap+des+Florides%22 édition de 1853], le texte cité dans [https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Maurice_Martin.-_Pr%C3%A9cis_d%27histoire_de_la_Guadeloupe,_1931,_ADG18256-0001.pdf/13 Précis d'histoire de la Guadeloupe, page 13]. [https://archive.org/details/bub_gb_PAgwAAAAYAAJ/page/18/mode/2up?q=%22Cette+race+d%E2%80%99hommes+forts%22 Les Caraïbes, habitants des petites Antilles], [https://fr.wikisource.org/wiki/Page:Maurice_Martin.-_Pr%C3%A9cis_d%27histoire_de_la_Guadeloupe,_1931,_ADG18256-0001.pdf/15 Lecture, page 15]. "''Les Antilles. Coup d’œil Général - Le spectacle de ces Iles fit sur mot une telle Impression que j'avais presque pris la résolution d'y passer le reste de mes jours. (Lettre de Colomb.). Avant d'aborder le continent occidental, le vaisseau poussé par les brises alisées rencontre entre le 60° et le 80° de longitude, une longue chaîne d'Iles qui semblent placées aux avant-postes, pour inviter le navigateur charmé à poursuivre le cours de son voyage... ''" == 1838 == 1838 - 1843 {{bibliographie|Q86473521}}, œuvre écrite <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies --> 1838 - {{bibliographie|Q88288369}} <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies, t.1 --> 1840 - {{bibliographie|Q88187346}} <!-- Catalogue général des livres composant les Bibliothèques du département de la Marine et des colonies, t.2 --> === 1838 - Agénor de Gasparin, Esclavage et traite === * 1838 - {{bibliographie|Q31850563}} <!-- Agénor de Gasparin, Esclavage et traite --> ** 1839 - {{bibliographie|Q31853008}} <!-- Agénor de Gasparin, De l'affranchissement des esclaves et de ses rapports avec la politique actuelle --> === Antoine François Passy, Abolition de l'esclavage dans les colonies françaises === * 1838 {{bibliographie|Q78159119}} <!-- Théodore Lechevalier et Antoine François Passy, Abolition de l'esclavage dans les colonies françaises --> * 1838 - {{bibliographie|Q78210840}} <!-- 1838 - Charles de Rémusat.- Rapport fait au nom de la commission chargée de l'examen de la proposition de M. Passy --> * 1838 - {{bibliographie|Q78287434}} <!-- Amédée de Cools des Noyers, Quelques Observations d'un délégué des colonies --> * 1838 (11 février)- {{bibliographie|Q78295410}} <!-- 1838 - Conil, Observations sur la proposition de M. de Passy --> * 1838 - {{bibliographie|Q78599768}} <!-- Antoine Charma, Leçons de philosophie sociale, année scholaire1837-1838 --> * 1838 - {{bibliographie|Q78643883}} <!-- André de Lacharière, Réflexions sur l'affranchissement des esclaves dans les colonies française --> * 1838 - {{bibliographie|Q78645295}} <!-- François Mongin de Montrol, Analyse de la discussion de la Chambre des Députés--> === Collection complète des lois, décrets, ordonnances, réglemens, et avis du Conseil-d'État === Notice de périodique : {{BNF|375780597}} 132 années disponibles - 148 numéros : <https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb375780597/date> Version numérisée : <https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb375780597/date> * 1838 - {{bibliographie|Q117007489}} <!-- Collection complète des lois, décrets, ordonnances, règlements --> == 1839 == * 1839 - {{bibliographie|Q60483890}} <!-- Timothée Dehay, Les colonies et la métropole, le sucre exotique et le sucre indigène --> * 1839 - {{bibliographie|Q26132783}} <!-- oseph Droz, Histoire du règne de Louis XVI, pendant les années où l'on pouvait prévenir ou diriger la Révolution française --> * 1839 - {{bibliographie|Q31853008}} <!-- Agénor de Gasparin, De l'affranchissement des esclaves et de ses rapports avec la politique actuelle pour faire suite à [[d:Q31850563|Q31850563]] --> * 1839-1848 - {{bibliographie|Q76003091}} <!-- 1839-1848 - Marc-Antoine Jullien de Paris, Annales du Parlement francais, Firmin Didot --> ** 1999 - {{bibliographie|Q76399942}} <!-- Michèle Benaiteau et Marc-Antoine Jullien de Paris (1789‑1848). Une biographie politique --> * 1839 - {{bibliographie|Q78612651}} [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k49975b Lire tome premier sur Gallica]. <!-- Victor Cousin, Cours d'histoire de la philosophie morale au dix-huitième siècle --> * 1839 - {{bibliographie|Q97035656}} <!-- Lettres sur la race noire et la race blanche --> == 1840 - 1849 == == 1840 == * 1840 - {{bibliographie|Q108114250}} <!-- Le Chevalier de Saint-George (Revue de Paris) --> === Réflexion politique sur l’abolition de l'esclavage sous la monarchie de Juillet === * 31 janvier 1840 - {{bibliographie|Q81836810}} <!-- Émancipation des esclaves par les délégués des ''4 Vieilles'' --> * 26 mai 1840 - {{bibliographie|Q86586103}} <!-- Commission instituée par décision royale du 26 mai 1840 --> * 1840 - {{bibliographie|Q19224828}}, œuvre littéraire. [https://catalog.hathitrust.org/Record/007903594 Précis de l'abolition de l'esclavage dans les colonies anglaises, imprimé par ordre de M. l'Amiral Baron Duperre], Paris, Imprimerie royale * 26 mai 1840-mars 1843 - {{bibliographie|Q80120151}} [https://catalog.hathitrust.org/Record/008685179 Ministère de la Marine, Commission instituée par décision royale du 26 mai 1840, pour l'examen des questions relatives à l'esclavage et à la constitution politique des colonies] ; [https://catalog.hathitrust.org/Record/100206399 At head of title] : Ministère de la marine et des colonies. Commission instituée, par décision royale du 26 mai 1840, pour l'examen des questions relatives à l'esclavage et à la constitution politique des colonies. == 1841 == * 1841 - {{bibliographie|Q19169754}} <!-- Essai sur les moyens d’extirper les préjugés des blancs contre la couleur des Africains et des sang-mêlés --> == 1842 == * 1842 - {{bibliographie|Q124419155}} <!-- Projets pour l'amélioration et l'embellissement du 10e arrondissement --> == 1844 == * 1844 - {{bibliographie|Q70203520}} adressé à [[w:Victor de Broglie (1756-1794)|Victor de Broglie]], Président de la Commission instituée par décision royale du 26 mai 1840 pour l'examen des questions relatives à l'esclavage et à la constitution politique des colonies, === 1844 - Liberté immédiate et absolue ou esclavage (autres éditions) === [[Fichier:Marie-Charlotte-Pauline Lézardière - Théorie des lois politiques de la monarchie française, page de titre, 1844.png|100px|vignette|gauche]] * 1844 - {{bibliographie|Q119411476}}. ''{{BNF|30009400n}} = 1 volume de 66 pages'', {{BNF|36400586t}}, {{BNF|313386665}}.Edition Au comptoir des Imprimeurs-Unis, 1844 = [https://books.google.fr/books?id=EGMIAAAAQAAJ Volume 1], [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k37334d Théorie des lois politiques de la monarchie française. 2 / par Mlle de Lézardière], [https://www.google.com/search?tbm=bks&q=la+loi+se+fait+par+la+constitution+du+roi+et+le+consentement+du+peuple la loi se fait par la constitution du roi et le consentement du peuple], [https://catalog.hathitrust.org/Record/010468598 Théorie des loix politiques de la monarchie françoise]. Cf. édition 1792 : {{BNF|308135362}} <!-- Théorie des lois politiques de la monarchie française, Tome premier --> ** 1844 - {{bibliographie|Q120083603}} <!-- Notice sur le Vicomte Charles Robert de Lézardière --> == 1845 == * 1845 - {{bibliographie|Q86679268}} Jean-Baptiste Rouvellat de Cussac : arrivé aux Antilles en 1829, devenu conseiller aux Cours royales de la Guadeloupe et de la Martinique. [[d:Q24150816|Généalogie et Histoire de la Caraïbe]] numéro 172 Juillet-août 2004, [http://www.ghcaraibe.org/bul/sombul.html page 4244], fondateur : [[d:Q86689643|Philippe Rossignol]]. <!-- Situation des esclaves dans les colonies françaises, urgence de leur émancipation --> * 1845 - {{bibliographie|Q29885902}} <!-- Rapports et débats des Chambres législatives concernant les lois des 18 et 19 juillet 1845 relatives au régime des esclaves --> * 1845 - {{bibliographie|Q116999261}} <!-- Exposés des motifs, rapports et débats des chambres législatives concernant les lois des 18 et 19 juillet 1845 --> === 1845 - Baptiste Capefigue.- L'Europe depuis l'avénement du roi Louis-Philippe === * 1845 - {{bibliographie|Q117234998}} Œuvre littéraire en 10 volumes <!-- L'Europe depuis l'avénement du roi Louis-Philippe --> * 1845 - {{bibliographie|Q117235147}} <!-- L'Europe depuis l'avénement du roi Louis-Philippe, volume premier --> * 1845 - {{bibliographie|}} <!-- --> * 1845 - {{bibliographie|}} <!-- --> === Mots Clés === * Esclavage - Esclavage chrétien - [https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2038750/f287.item Servage plus dur dans les manufactures / esclavage des serfs (pp. 272 et suivantes)] - === 1846 === * 1846 - {{bibliographie|Q133295546}} <!--Histoire et géographie de Madagascar depuis la découverte de l'île, en 1506 --> === 1847 === * 1847 - {{bibliographie|Q116060807}} <!-- [https://www.google.com/search?q=Le+Pelletier+de+Saint-R%C3%A9my+%2B+De+la+repr%C3%A9sentation+des+colonies+dans+le+Parlement&tbm=bks&sxsrf=AJOqlzVeJGYG1Ypi26F3t860zS7mHY1ZSQ%3A1673118253206&ei=LcK5Y-qWDLODkdUP36qNaA&ved=0ahUKEwiq4ZiZk7b8AhWzQaQEHV9VAw0Q4dUDCAg&oq=Le+Pelletier+de+Saint-R%C3%A9my+%2B+De+la+repr%C3%A9sentation+des+colonies+dans+le+Parlement&gs_lcp=Cg1nd3Mtd2l6LWJvb2tzEAxQhwhYr4YBYKWTAWgAcAB4AIABhQGIAa8DkgEDMy4ymAEAoAEBoAECwAEB&sclient=gws-wiz-books Le Pelletier de Saint-Rémy + De la représentation des colonies dans le Parlement] --> === 1750-1831 - Henri Grégoire === 1750-1831 - [[w:Henri Grégoire|Henri Grégoire]] * 1840 - {{bibliographie|Q26884610}} * 1840 - {{bibliographie|Q26904722}}, Tome second === 1794-1860 - Philippe Le Bas === 1794-1860 - [[w:Philippe Le Bas|Philippe Le Bas]] ==== Philippe Le Bas, France. Dictionnaire encyclopédique par Philippe Le Bas ==== * 1840 - {{bibliographie|Q67393233}} Publié dans {{bibliographie|Q67084925}} <!-- 1840 - anonyme, Asile (Droit d') --> === 1797-1871 - Pierre Leroux === 1797-1871 - [[w:Pierre Leroux|Pierre Leroux]] ==== Pensée chrétienne ==== * 1840 - {{bibliographie|Q19153269}} * [[d:Q19153274|1840]] - {{bibliographie|Q19153274}} Cf. [[d:Q28807573|Pierre Leroux.- De l'humanité, de son principe et de son avenir]] === 1803-1850 - Édouard Biot === 1803-1850 - [[w:Édouard Biot|Édouard Constant Biot]] * 1840 - {{bibliographie|Q77433773}} <!-- Édouard Biot, De l'abolition de l'esclavage ancien en occident --> === 1804-1893 - Victor Schoelcher === * 1842 - {{bibliographie|Q65180203}} <!-- Des colonies françaises : abolition immédiate de l'esclavage --> === 1807-1866 - Roger de Beauvoir === ==== 1840 - 2001 - Roger de Beauvoir.- Le chevalier de Saint-George''s'' : une œuvre romanesque & théâtrale du {{S|XIX}} ==== 1807-1866 - [[w:Roger de Beauvoir|Roger de Beauvoir]] * {{bibliographie|Q29111757}} [[d:Q29111757|œuvre romanesque, sur Wikidata]] * 1840 - {{bibliographie|Q23591344}} [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5674383x Tome Troisième] [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k5674683z Tome Quatrième] * 1840 - {{bibliographie|Q23681251}} [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=chi.81384107;view=1up;seq=5 Tome Premier] [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=chi.81384570;view=1up;seq=7 Tome Second] [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=chi.81384758;view=1up;seq=5 Tome Troisième] [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=chi.81384152;view=1up;seq=5 Tome Quatrième] * 1840 - {{bibliographie|Q29113492}} <!-- --> * 1846 - {{bibliographie|Q29113597}} * 1856 - {{bibliographie|Q29113903}} * 1862 - {{bibliographie|Q29117753}} Citations [https://books.google.fr/books?id=I7A5AAAAcAAJ&hl=fr&pg=PA238#v=onepage&q=Messire&f=false Messire Jean Nicolas de Boulongne], père du chevalier de Saint-George. * 1869 - {{bibliographie|Q29114047}} Citations [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k209341j/f241.item.r=Jean%20Nicolas%20de%20Boulongne%20 Messire Jean Nicolas de Boulongne], père du chevalier de Saint-George. {{bibliographie|Q29113372}} [[d:Q29113372|œuvre théâtrale, sur Wikidata]] * 1840 - {{bibliographie|Q28123257}} === Histoire de Louis XVI === * 1840 - {{bibliographie|Q17358564}} <!-- Pellegrino Rossi, Histoire de Louis XVI, par M. Droz--> === 1841 === * 1841 - {{bibliographie|Q72091616}} <!-- (en) John Gideon Millingen, The history of duelling --> ** 1841 - {{bibliographie|Q72090430}} <!-- (en) John Gideon Millingen, The history of duelling --> ** 1841 - {{bibliographie|Q72091681}} <!-- (en) John Gideon Millingen, The history of duelling --> <b>1841 - Le Christianisme et l'esclavage / De l'Abolition de l'esclavage par le christianisme dans les 15 premiers siècles</b> * 1841 - {{bibliographie|Q81078498}} <!-- Le Christianisme et l'esclavage --> ** 1841 - {{bibliographie|Q81080501}} <!--Le Christianisme et l'esclavage --> ** 1841 - {{bibliographie|Q81081925}} <!-- De l'Abolition de l'esclavage par le christianisme dans les 15 premiers siècles --> <b>1841-1848 - La Revue indépendante, magazine politique</b> * [[d:Q3821109|1841-1848]] - {{bibliographie|Q3821109}} <!-- La Revue indépendante, magazine politique --> ** [[d:Q83886523|1845]] - {{bibliographie|Q83886523}} <!-- La Revue indépendante, magazine politique --> *** 1845 - {{bibliographie|Q83887545}}, [[s:es:Autor:Frédéric Lacroix|Autor:Frédéric Lacroix]], es:Wikisource <!-- Frédéric Lacroix, Les esclaves de la France, et les nègres libres de l'Angleterre --> === 1842 === * [[d:Q61642300|1842-1927]] - {{bibliographie|Q61642300}} <!-- Thomas More, Victor Stouvenel, L'Utopie de Thomas Morus, traduction nouvelle, par M. Victor Stouvenel --> * [[d:Q64699458|1842-1844]] - {{bibliographie|Q64699458}} <!-- Bertrand Barère de vieuzac, Mémoires de B. Barère --> ** 1842 - {{bibliographie|Q64699503}} <!-- Bertrand Barère de Vieuzac, Mémoires de B. Barère --> ** 1842 - {{bibliographie|Q64707009}} <!-- Bertrand Barère de Vieuzac, Mémoires de B. Barère --> ** 1843 - {{bibliographie|Q64711683}} <!-- Bertrand Barère de Vieuzac, Mémoires de B. Barère --> ** 1844 - {{bibliographie|Q64711746}} <!-- Bertrand Barère de Vieuzac, Mémoires de B. Barère --> * 1842 - {{bibliographie|Q17360720}} <!-- Léonce Guilhaud de Lavergne, « Le Parti de la Monarchie Constitutionnelle en 1789 » --> * 1842 - {{bibliographie|Q65180203}} <!-- Victor Schœlcher, Des colonies françaises : abolition immédiate de l'esclavage --> * 1842 - {{bibliographie|Q70204566}} <!-- (en) George William Alexander, Letters on the Slave-trade, Slavery, and Emancipation --> * 1842 - {{bibliographie|Q81832333}} <!-- Euripide (trad. Nicolas Artaud), Tragédies d'Euripide traduites du grec --> * 1842-1862 - {{bibliographie|Q82281795}} <!-- Œuvre écrite, James William Massie, The American Crisis, in Relation to the Anti-slavery Cause --> ** 1842 - {{bibliographie|Q82275845}} <!-- James William Massie, The American Crisis, in Relation to the Anti-slavery Cause --> ** 1862 - {{bibliographie|Q82282771}} <!-- James William Massie, The American Crisis, in Relation to the Anti-slavery Cause * 1842 - {{bibliographie|Q17360720}} <!--Le Parti de la Monarchie Constitutionnelle en 1789 --> == 1843 == * 1843 - {{bibliographie|Q67079489}} œuvre écrite <!-- --> *Q88302934) ** 1843 - {{bibliographie|Q67079880}} <!-- --> * 1843 - {{bibliographie|Q27919305}} <!-- --> * 1843 - {{bibliographie|Q66371863}} <!-- (la) Gaius et Léo Domenget (dir.), Gaius Institutionum : Institutes de Gaius --> * 1843 - {{bibliographie|Q88302934}} <!-- --> * 1843 - {{bibliographie|Q92206179}} <!-- Jean-Baptiste Capefigue, L'Europe pendant la révolution française --> * 1843 - {{bibliographie|Q107933733}}, Aka Joseph Bologne de Saint-George <!--Saint-George (Le chevalier de) --> == 1844 == * 1844 - {{bibliographie|Q30015734}} <!-- Histoire des Belges à la fin du XVIIIe siècle --> * 1844 - {{bibliographie|Q66735970}} <!-- Cours Royale de Paris, 23 décembre 1843, Furcy C. Héritiers Lorry --> ** 1844 - {{bibliographie|Q80197312}} <!-- Affaire Furcy C. Héritiers Lorry, Ile Bourbon --> * 1844 - {{bibliographie|Q70203520}} <!-- George William Alexander, John Scoble.- Liberté immédiate et absolue ou esclavage. Observations sur le rapport de M. le duc de Broglie --> * 1844 - {{bibliographie|Q80201131}} <!-- 1844 - Gabriel Lafond de Lurcy, Un mot sur l'émancipation de l'esclavage et sur le commerce maritime de la France --> * 1844 - {{bibliographie|Q97012770}} <!-- Pierre-Paul Castelli.- De l'esclavage en général et de l'émancipation des noirs --> * [[d:Q114214226|''1792''-1844]] - {{bibliographie|Q114214226}} <!-- Théorie des lois politiques de la monarchie française --> == 1845 == * 1845 - {{bibliographie|Q26845749}} <!-- Dissertation de Grotius sur la liberté des mers --> * 1845 - {{bibliographie|Q28807573}} <!-- Pierre Leroux, De l'humanité, de son principe et de son avenir --> * 1845 - {{bibliographie|Q29050991}} <!-- Histoire des Etats généraux de France --> * 1845 - {{bibliographie|Q28243565}} <!-- "''Il paraît depuis quelque temps dans le monde un mulâtre, nommé M. de Saint-Georges''" --> * 1845 - {{bibliographie|Q27669967}} <!-- Léandre Ducharme, Journal d’un exilé politique aux terres australes --> * 1845 - {{bibliographie|Q29885902}} <!-- Rapports et débats des chambres législatives concernant les lois des 18 et 19 juillet 1845 --> * 1845 - {{bibliographie|Q76873128}} <!-- Adresse votée par le conseil colonial, séance du 24 octobre 1845, en réponse au discours d'ouverture de la session --> * 1845 - {{bibliographie|Q76883351}} <!-- Les Colonies françaises devant la Chambre des Pairs, analyse de la discussion générale du projet de loi sur le régime colonial --> * 1845 - {{bibliographie|Q111264816}} <!-- Discours prononcé sur l'abolition de l'esclavage, par M. le Cte de Montalembert --> * 1845 - {{bibliographie|Q111416270}}, Études révolutionnaires <!--Philippe d'Orléans-Égalité --> === 1845-1847 - Robert du Var.- Histoire de la classe ouvrière === * 1845 - {{bibliographie|Q23017904}} <!-- Robert du Var, Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours, Volume Premier --> ** 1845 - {{bibliographie|Q25962763}} <!-- Robert du Var, Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours, Volume second --> ** 1845 - {{bibliographie|Q25967502}} <!-- Robert du Var, Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours, Volume troisième --> ** 1845 - {{bibliographie|Q25970861}} <!-- Robert du Var, Histoire de la classe ouvrière depuis l'esclave jusqu'au prolétaire de nos jours, Volume quatrième --> * 1845 - {{bibliographie|Q76873128}} <!-- Adresse votée par le conseil colonial, séance du 24 octobre 1845 --> ==== Œuvres de Chateaubriand sous l'angle de l'esclavage ==== '''1838''' - {{bibliographie|Q29189282}} Comprend : Féodalité, chevalerie, éducation, mœurs générales des {{S|XII-XIII-XIV}}s &, considérations sur l’esclavage à ces époques, [https://books.google.fr/books?id=8FpDAQAAMAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA70#v=onepage&q=esclave&f=false 11 résultats] ; [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA529#v=onepage&q=esclave&f=false 37 résultats pour "esclavage"] '''1838''' - {{bibliographie|Q29248730}} Comprend : [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA529#v=onepage&q=Terre%20de%20France%20+%20esclave&f=false Féodalité, chevalerie, éducation, mœurs générales des {{S|XII-XIII-XIV}}s] & considérations sur l’esclavage à ces époques, [https://books.google.fr/books?id=9FY9AAAAcAAJ&dq=Terre%20de%20France%20%2B%20esclave&hl=fr&pg=PA529#v=onepage&q=esclave&f=false 37 résultats pour "esclavage"] '''1845''' - {{bibliographie|Q29187862}} Comprend : récit du règne de Louis X dit Hutin, avec le texte des lettres du 3 juillet 1315 abolissant l'esclavage, '''1861''' - {{bibliographie|Q29186080}} === 1846 === ==== 1846-1848 : Alexandre Sandelin, Répertoire général d'économie politique ancienne et moderne ==== * 1846 - {{bibliographie|Q28049494}}, Ouvrage d'économie en 6 volumes, 1846-1848 ** 1848 - {{bibliographie|Q61747000}} <!-- Alexandre Sandelin, Répertoire général d'économie politique ancienne et moderne, volume 6 --> *** 1848 - {{bibliographie|Q61747038}} <!-- Alexandre Sandelin, Répertoire général d'économie politique, Système colonial --> * 1846 - {{bibliographie|Q19173276}} <!-- Pierre Clément, Histoire de la vie et de l'administration de Colbert --> ==== Pierre-Joseph Proudhon.- Système des contradictions économiques ou Philosophie de la misère ==== * 1846 - {{bibliographie|Q3962164}} <!-- Pierre-Joseph Proudhon, Système des contradictions économiques ou philosophie de la misère --> == 1847 == === 1847 - Alphonse de Lamartine.- Histoire des Girondins === [[Fichier:Alphonse de Lamartine.PNG|100px|vignette|gauche|Alphonse de Lamartine (1790-1869)]] [[w:Alphonse de Lamartine|Alphonse de Lamartine, sur Wikipédia]] 1847 - [[d:Q188697|Alphonse de Lamartine]].- [[d:Q16642011|Histoire des Girondins, ''œuvre littéraire, histoire politique'']], <!-- {{bibliographie|Q16642011}} --> 1848 - {{bibliographie|Q59918020}} <!-- Alphonse de Lamartine (trad. Henry Ryde), History of the Girondists --> * 1847 - {{bibliographie|Q100154440}} <!-- Ministère de la Marine et Ange René Armand de Mackau (dir.), Compte rendu au roi de l'exécution des lois des 18 et 19 juillet 1845 --> === 1847-1853 - Jules Michelet, Histoire de la Révolution française === * 1847-1853 - {{bibliographie|Q28733299}} <!-- 1847-1853 - Jules Michelet, Histoire de la Révolution française --> ** 1853 - {{bibliographie|Q28733321}} 1790 <!-- Jules Michelet, Histoire de la Révolution française --> ; Henri-Alexandre Wallon, Histoire de l'esclavage dans l'antiquité * '''1847-2004 - {{bibliographie|Q66935919}}''' <!-- --> ** 1847 - {{bibliographie|Q66920335}} <!-- --> ** 1879 - {{bibliographie|Q66920861}} <!-- --> ** 1879 - {{bibliographie|Q66934006}} <!-- --> ** 1879 - {{bibliographie|Q66934828}} <!-- --> ** 2004 - {{bibliographie|Q26202597}} <!-- --> === 1847 - Réimpression de l'ancien Moniteur === 1847 - France, Révolution française, Alexandre Ray (dir.) et Léonard-Charles-André-Gustave Gallois (dir.), Réimpression de l'ancien Moniteur : seule histoire authentique et inalterée de la Révolution française, depuis la réunion des États-Généraux jusqu'au Consulat (mai 1789-novembre 1799), avec des notes explicatives par Léonard Gallois, Paris, Plon frères,‎ nil (notice BnF no FRBNF30477645)Voir et modifier les données sur Wikidata === Bibliographie de 1847 === * 1847 - {{bibliographie|Q61739688}} <!-- Aimé Champollion-Figeac, Captivité du roi François Ier --> * 1847 - {{bibliographie|Q27837128}} <!-- France, Révolution française, Alexandre Ray (dir.) et Léonard-Charles-André-Gustave Gallois (dir.), Réimpression de l'ancien Moniteur --> * 1847 - {{bibliographie|Q78911054}} <!-- Conseil colonial de l'île Bourbon, Adresse au roi, du conseil colonial de l'île Bourbon --> == 1848 == [[Fichier:"Avis" manuscrit - Le Roi usant de sa prérogative Constitutionnelle a chargé MM. Thiers et O. Barrot de former un Cabinet, février 1848.png|100px|vignette|gauche|[[d:Q118087805|"Avis" manuscrit]], Fin de la monarchie de Juillet]] * 1848 - {{bibliographie|Q118087805}} <!-- "Avis" manuscrit - Le Roi usant de sa prérogative Constitutionnelle a chargé MM. Thiers et O. Barrot de former un Cabinet --> * [[d:Q27699445|1848]] - {{bibliographie|Q27699445}}, [http://www2.assemblee-nationale.fr/decouvrir-l-assemblee/histoire/grands-moments-d-eloquence/alphonse-de-lamartine-le-droit-au-travail-7-septembre-1848 Lire en ligne]. * 1848 - {{bibliographie|Q28824086}} <!-- Pierre Leroux, De l'Egalité --> * 1848 - {{bibliographie|Q29018268}} <!-- Alphonse Jobez, Une préface au socialisme --> * 1848 - {{bibliographie|Q3207099}} <!-- La Cause du peuple par George Sand --> * 1848 - {{bibliographie|Q30955156}} <!-- Abolition de l'esclavage, discours 1847, Guadeloupe --> * 1848 - {{bibliographie|Q59918020}} <!-- Alphonse de Lamartine (trad. Henry Ryde), History of the Girondists --> * [[d:Q63436182|1848]] - {{bibliographie|Q63436182}} <!-- Gouvernement provisoire de 1848, Émile Carrey, Recueil complet des actes du Gouvernement provisoire --> * 1848 - {{bibliographie|Q76132437}} <!-- France et Eugène Pelletan, Collection de documents pour servir à l'histoire de la chute de la maison d'Orléans et de l'établissement de la république --> * 1848 - {{bibliographie|Q76157116}} <!-- Commission pour l'abolition de l'esclavage.- Rapport fait au ministre de la Marine et des colonies, par la commission instituée pour préparer l'acte de l'abolition immédiate de l'esclavage --> * 1848 - {{bibliographie|Q76452597}} <!-- Adolphe Ambroise Alexandre Gatine et Jacques Adélaïde-Merlande (dir.), L'abolition de l'esclavage à la Guadeloupe --> ** 2012 - {{bibliographie|Q82312015}} <!-- Adolphe Ambroise Alexandre Gatine et Jacques Adélaïde-Merlande (dir.), L'abolition de l'esclavage à la Guadeloupe, 1848 --> * 1848 - {{bibliographie|Q107231326}}, publié dans {{bibliographie|Q107231251}} <!-- Proclamation de l'abolition de l'esclavage à la Guyane française --> * 1848 - {{bibliographie|Q110492936}} <!-- Mémoires du général Dumouriez --> * 1848 - {{bibliographie|Q111310446}} <!-- Suite des Mémoires du général Dumouriez --> * 1848 - {{bibliographie|Q111358958}} <!-- De la souveraineté du peuple et des principes du gouvernement républicain moderne --> === 1849 === * 1849 - {{bibliographie|Q28019119}} <!-- Alexandre Dumas, Le Collier de la Reine --> * 1849 - {{bibliographie|Q29351380}} dans {{bibliographie|Q29351044}} <!-- "''Cet homme (le Chevalier de Saint-George) est le dernier grand artiste en escrime qui ait pu atteindre à une aussi haute renommée''". --> * 1849 - {{bibliographie|Q31465878}} <!-- A mes Compatriotes, les électeurs de la Guadeloupe par le Représentant de La Guadeloupe Louisy-Mathieu --> * 1849 - {{bibliographie|Q331092}} <!-- (fr) Henry David Thoreau, La Désobéissance civile (français), Civil Disobedience --> * 1849 - {{bibliographie|Q55701356}} <!-- Louis Reybaud, Études sur les réformateurs ou socialistes modernes. VIe édition précédée du rapport de M. Jay et de celui de M. Villemain --> * 1849 - {{bibliographie|Q47528303}} <!-- Pierre-Joseph Proudhon, Qu’est-ce que la propriété ? --> * 1849 - {{bibliographie|Q70205701}} <!-- George William Alexander et John Scoble, De l'esclavage et de la Traité des Nègres --> * 1849 - {{bibliographie|Q76452597}} <!-- Adolphe Ambroise Alexandre Gatine, Abolition de l'esclavage à la Guadeloupe --> == 1850 - 1899 == Cf. : [[Recherche:Les abolitions des traites et des esclavages/Annexe/Bibliographie du XIXè siècle/Bibliographie du XIXè siècle (1850-1899)|Bibliographie du XIXè siècle/Bibliographie du XIXè siècle (1850-1899)]] == Notes & Références == {{Références}} {{Bas de page | idfaculté = histoire | précédent = [[../Bibliographie/]] | suivant = [[../../|Sommaire]] }} oq3fo51ap4uxy3nlw5nahaencps0pez 0 70805 988221 982894 2026-11-08T22:14:30Z Phl7605 31541 /* 1ère définition d'une force « conservative » */ 988221 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « <u>forces ne dépendant pas explicitement du temps</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une force dépendant explicitement du temps<ref name="force conservative dépendant explicitement du temps"> Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer <u>en figeant le temps</u> mais <u>les conséquences énergétiques</u> qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps <u>ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps</u> ; <br>{{Al|3}}aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.</ref> sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après<math>\big)</math>. == 1^ère définition d'une force « conservative » == {{Définition|titre=1^ère définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> est indépendant du chemin suivi <math>\;(\Gamma)\;</math> »<ref name="travail non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> <center>ou ssi «<math>\;W_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>»<ref name="travail non nul" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>mais dépendant de <math>\;M_1\;</math> et de <math>\;M_2\big]\;</math> peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> prise entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c'est-à-dire «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1) = \Delta S_{\vec{F}}\;</math>». == 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative == === 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » === {{Définition|titre=2^ème définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique »<ref name="travail élémentaire non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> ou <center>ssi «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte »<ref name="travail élémentaire non nul" />{{,}}<ref name="différentielle totale"> Ou différentielle totale.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> d'une fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dS_{\vec{F}} = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}en notant <math>\;M'\;</math> le point infiniment voisin de <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>». === Justification de l'équivalence entre les deux définitions === {{Al|5}}<u>Justification directe</u> « 1^ère définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 2^ème définition » : si « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> tels que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math> ce qui se réécrit « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépend que des points extrêmes <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> et non du chemin utilisé » c'est-à-dire que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math>, <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M) = dS_{\vec{F}}\;</math> ». {{Al|5}}<u>Justification réciproque</u> « 2^ème définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math> », « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> est égal à <math>\;S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1)\;</math> sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> ». === Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N<ref name="C.N."> Conditions(s) Nécessaire(s).</ref>. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative</u> : Une force</u> <math>\;\vec{F}(M)</math>, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point <math>\;M\;</math> notées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow \rho\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow r\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)||Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>est conservative</u> <u>si les dérivées croisées des</u> fonctions <u>cœfficients des éléments de coordonnées</u> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés <math>\;\left( dx\,,\,dy\,,\,dz \right)\;</math><ref name="dx, dy, dz"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow d\rho = (dM)_\rho\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{\rho}\\ dz \rightarrow dz = (dM)_z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow dr = (dM)_r\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{r}\\ dz \rightarrow d \varphi = \dfrac{(dM)_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>de son travail élémentaire</u> <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> <u>sont égales</u> ce qui s'écrit, suivant le type de repérage, * en repérage cartésien : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial (\rho\; F_\theta)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial (\rho\;F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en cylindro-polaire"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho(M)\;d \rho + F_\theta(M)\;\rho\,d \theta + F_z(M)\;dz</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta (M) + \rho\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\;\left[ \dfrac{\partial (F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\; F_\theta \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;F_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en sphérique"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r(M)\;dr + F_\theta(M)\;r\,d \theta + F_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta(M) + r\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;F_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\;F_\varphi(M) + \sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : }}le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x"> Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore sphérique <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;\varphi</math>.</ref>, le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dx\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = d \rho\;\vec{u}_\rho</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et axiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dz\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dr\;\vec{u}_r</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et longitudale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\rho}{d \rho} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = \rho\;</math> et axiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_z}{dz} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_r}{dr} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = r\;</math> et longitudale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\varphi}{d \varphi} = r\;\sin(\theta)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable <math>\;x\;</math><ref> En effet dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dx + 0 \times dy\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial x} \right)_{\!\!y}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_x\;</math> indépendant de <math>\;y</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho\;d \rho + 0 \times \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\rho\;</math> indépendant de <math>\;\theta</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times d \rho + F_\theta \; \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;\rho\;</math> indépendant de <math>\;\rho\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{\rho}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r\;dr + 0 \times r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_r\;</math> indépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + F_\theta \; r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;r\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{r}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + 0 \times r\; d \theta + F_\varphi \; r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\varphi\;r\;\sin(\theta)\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\varphi\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\varphi)}{r\;\sin(\theta)}</math>.</ref>. === Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Rappel de préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S<ref name="C.S."> Conditions(s) Suffisante(s).</ref>. pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel de préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}Ci-dessous le théorème de Poincaré<ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force soit conservative. {{Théorème| titre= Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles) |contenu ={{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire <u>vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées</u> des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un <u>ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^n,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math> ; on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P</math> » <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> de son domaine de définition est une force conservative. <center><math>\Updownarrow</math></center> {{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est <u>fermé<ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée" /> de son domaine de définition est une force conservative.}} {{Al|5}}<u>C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x" /> le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx" /> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est conservative pour <math>\;M \in\;</math> à la courbe continue paramétré par <math>\;x\big]\;</math> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable {{Nobr|<math>\;x\;</math><ref> Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.</ref>}} en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable<ref> Ceci correspondant à un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math> sur lequel le travail élémentaire est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N<ref name="C.N." />. pour qu'elles soient conservatives <math>\;\big[</math>à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par <math>\;x\;</math> la fonction cœfficient de <math>\;dx\;</math> ne dépendant que de <math>\;x\;</math> ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire<ref name ="forme différentielle fermée" /><math>\big]\;</math> sont usuellement définies sur une [[w:Partie_étoilée|partie étoilée]]<ref name="partie étoilée" /> et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que leur travail élémentaire est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> sans vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]]<ref name="partie étoilée" /> de la partie sur laquelle elles sont définies. == Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative == === 1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition| titre=1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative| contenu ={{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]\;</math> est le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> s'identifie à l'opposé de la différentielle de <math>\;U_{\vec{F}}(M)</math> » soit <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math>» ou «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}}\;</math>»<ref> On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt <math>\;\big(</math>raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> En accord avec la définition des « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point <math>\;M\;</math> se déplace sur une courbe continue.</ref> ;</center>}} {{Al|5}}dans le S.I<ref name="S.I."> Système International.</ref>. des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en <math>\;J</math>. === Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}\;</math> : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive la force conservative » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}\;</math> : <u>Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées</u> est <u>la différence de l'énergie potentielle du point matériel</u> dans le champ de force conservative <u>entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie</u> soit «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"/> indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» se réécrit avec <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math> «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = U_{\vec{F}}(M_1) - U_{\vec{F}}(M_2) =</math> <math>-\Delta U_{\vec{F}}\;</math>». === 2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative|contenu ={{Al|5}}On appelle énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]</math>, le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit l'opposé de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> c'est-à-dire <center>«<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.</ref> : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}le gradient du champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> tel que sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit la différentielle du champ scalaire<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «<math>\;\left\lbrace \vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et par suite «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}réciproquement si on multiplie chaque membre de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative. == 1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique == {{Al|5}}Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, entre un instant initial <math>\;t_1\;</math> et un instant final <math>\;t_2</math>, en distinguant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> dont on utilise le caractère conservatif <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)}\;</math> }}en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée <math>\;U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>des « forces non conservatives »<ref name="forces non conservatives"> Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.</ref> <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}soit «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1) = \Delta K_M\;</math>» où on remplace le travail de chaque force conservative par «<math>\;W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_1) - U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_2) = -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = \sum\limits_j \left[ -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] = - \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «<math>\;- \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta K_M\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}en transposant les termes d'énergies potentielles <math>\;\big(</math>ce qui entraîne un changement de signe<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;\sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta\! \left[ K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» c'est-à-dire une relation définissant une <u>'''nouvelle''' grandeur énergétique</u>, <u>'''somme'''</u> de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur <u>'''restant constante en absence de travail des forces non conservatives'''</u><ref name="forces non conservatives" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}on comprend donc l'importance du signe <math>\;-\;</math> dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «<math>\;-\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math> devenant, lors du changement de membre, <math>\;+\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas » est la « <u>somme</u> » <math>\;\big(</math>et non la différence<math>\big)\;</math> de termes ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;2\;</math> contributions <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;K_M\;</math>»<ref> Grandeur <u>dépendant du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la cinétique du point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>»<ref> D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;<br>{{Al|3}}enfin on admettra que l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie<math>\big)\;</math> est <u>indépendante du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la position du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» }}dans le champ de forces conservatives. == Exemples de forces « non conservatives » == === La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives » === ==== Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide ==== {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c.-à-d._sans_frottement)_ou_non_idéales_(c.-à-d._avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = 0\;</math>» car <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à la surface du solide en <math>\;M\;</math> est toujours <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.</ref> étant toujours colinéaire et de sens opposé au <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0}\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> étant }}vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|base<math>\big)\;</math>}} de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{s\;</math> abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d.27un_point_sur_une_courbe_continue|Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}la force de frottement solide «<math>\;\vec{R}_\tau = \overline{R_\tau}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{R_\tau} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref> soit, avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide }}la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du frottement solide avec glissement<ref name="loi de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \mu_d\;R_n\;</math>» avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;\mu_d\;</math> le cœfficient de frottement dynamique » et <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;R_n > 0\;</math> la composante normale de la réaction »<ref> On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> dans le solide.</ref>, d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}l'expression du travail de la force de frottement «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \mu_d\;R_n(s) \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn"> Où <math>\;\mathrm{sgn}(x)\;</math> est la fonction « signe de <math>\;x</math> » telle que <math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\-1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}pour un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math> car <math>\;ds\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math><ref> Cas assez fréquent.</ref>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right) < 0\;</math>»<ref name="assez fréquent"> Dans le cas assez fréquent où <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math> avec un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;s_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;s_1</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}ce résultat montrant clairement <math>\;\big(</math>dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante<math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement }}que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi<ref> <math>\;s_2 - s_1\;</math> étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que }}ceci restant vrai même si <math>\;R_n(s)\;</math> n'est pas constante<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,<br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. ==== Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non ==== {{Al|5}}La résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide"> Encore appelée force de frottement fluide.</ref> d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un fluide<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative, que le frottement soit linéaire<ref name="frottement fluide linéaire> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, quadratique<ref name="frottement fluide quadratique> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou autres<ref name="frottement fluide à vitesse élevée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}son travail le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie par <math>\;M\;</math> pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> est <math>\;< 0\;</math>» car, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}pour un solide assimilable à un point matériel, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" />, on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet" /> où <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne" /> mesurée à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur celle-ci et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref>, <math>\;\vert \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \vert\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert v_M(t) \vert = \vert \dot{s}_M(t) \vert\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ \dot{s}(t) \right] \Vert \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour une forme quadratique de force de frottement fluide <math>\;\Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert = h'\;v^2(t)\;</math><ref> Très fréquent.</ref> avec <math>\;h'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}constante positive caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide<ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut trouver plus de détails dans la note [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#cite_note-30|³⁰]] du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique constante positive caractéristique }}et de la densité de ce dernier<ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt < 0\;</math>»<ref name="cas très fréquent"> Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}ce résultat permettant d'établir <math>\;\big(</math>dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide<math>\big)</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> ainsi que celle d'abscisse curviligne<ref name="abscisse curviligne" /> du point, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi<ref> En supposant, par exemple, que de la connaissance de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v = v(t)\\ s = s(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et par élimination de <math>\;t\;</math> on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit <math>\;v = v(s)\;</math> ce qui permettrait de réécrire, avec <math>\;v(t)\;dt = ds</math>, et en supposant le mouvement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} v^2(s)\;ds\;</math> et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir que }}ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide" /> sur un point <math>\;M\;</math> développe un travail négatif », <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> en conclusion «}}<math>\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position <u>ne définit pas un champ de forces</u> et qu'il est par conséquent <u>inutile d'envisager son caractère conservatif</u>, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif. ==== Forces de liaison par fil idéal tendu ==== {{Al|5}}La force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par un fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> tendu sur un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#4ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fil,_cas_du_fil_idéal|4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont la norme <math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert\;</math> définit la tension du fil idéal<ref name="fil idéal" /> est non conservative, son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T}) =</math> <math>\vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> n’étant en général pas une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" />{{,}}<ref> Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour <math>\;\vec{T} = \overrightarrow{\text{cste}}\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\uparrow\;</math><u>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : on suspend un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à l'aide d'une corde idéale<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}sur <math>\;M\;</math> s'exercent <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> qui fait que le point <math>\;\downarrow\;</math> en absence d'autres forces et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{T}\;</math> de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction }}<math>\;\vec{T}\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» ou, en prenant <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;-m\;g\;\vec{u}_z + T\;\vec{u}_z = m\;a_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right]\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}« la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour hisser <math>\;M\;</math> d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2\;</math> on peut régler le mouvement de montée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}<math>\big[</math>c'est-à-dire qu'on peut régler <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> en modifiant la tension de la corde<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> }}ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «<math>\;\vec{T}\;</math> non conservatif »<ref> Pour la montée verticale de <math>\;M\;</math> la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;<br>{{Al|3}}on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où <math>\;\vec{T}\;</math> en une même position <math>\;M\;</math> dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\uparrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;> 0</math>, le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> avec <math>\;dz > 0\;</math>» est tel que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> montant de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz > 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer l'évaluation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}celle-ci vérifiant que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde"> En effet si on connaît la loi horaire de position <math>\;z = z(t)\;</math> et que cette loi soit inversable on peut en déduire <math>\;t = t(z)\;</math> et réécrire le travail de la force selon <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <math>\displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left\lbrace g + a_{M,\,z}\!\left[ t(z) \right] \right\rbrace dz\;</math> permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une traction douce d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} m\; g\; dz = m\;g\;h\;</math> ou * une traction rapide d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq 2\;m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} 2\;m\; g\; dz = 2\;m\;g\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour monter le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}<math>\Rightarrow\;</math> la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « motrice ». {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\downarrow\;</math><u>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : dans le paragraphe précédent relatif à la <math>\;\uparrow\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, on a établi que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde sur <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force }}<math>\;\vec{T} = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\downarrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dz < 0 \\ T > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En supposant que le fil reste tendu.</ref> suit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> <math>\downarrow\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}<math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<math>\displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où }}<math>\Rightarrow\;</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde" />{{,}}<ref> Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une retenue forte d'accélération <math>\;a_{M,\,z} < 0\;</math> telle que <math>\;\vert a_{M,\,z} \vert \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} m\; g\; dz</math> <math>= -m\;g\;h\;</math> ou * une retenue faible d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq -\dfrac{g}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq \dfrac{m\;g}{2}\;</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} \dfrac{m\;g}{2}\; dz = -\dfrac{m\;g}{2}\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour descendre le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « résistive ». {{Al|5}}En conclusion, la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par une corde idéale<ref name="fil idéal" /> sur un point <math>\;M\;</math> est « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|En conclusion, la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par une corde idéale sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}développe « un travail positif ou négatif », <math>\;\vec{T}(M)\;</math> est donc « motrice ou résistive »<ref> Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».</ref>. === Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal === {{Al|5}}Parmi toutes les forces de contact <math>\big[</math>détaillées dans le chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qu'un point <math>\;M\;</math> peut subir c'est l'« <u>unique force de contact conservative</u> »<ref> N'a donc pas sa place dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Exemples_de_forces_«_non_conservatives_»|Exemples de forces non conservatives]] » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».</ref>, elle sera étudiée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#3ème_exemple_de_force_conservative_:_la_«_tension_d'un_ressort_idéal_lié_à_un_point_matériel_»_et_l'«_énergie_potentielle_élastique_du_point_»|3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point]] » plus bas dans ce chapitre. == Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Définition| titre= Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)| contenu ={{Al|5}}L'« énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« énergie mécanique }}est la grandeur scalaire <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;K_M(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <br>{{Al|35}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de }}<math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}cette énergie ne dépendant pas explicitement de <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> cette énergie }}étant indépendante du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.}} {{Al|5}}Dans le S.I<ref name="S.I." />. des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en <math>\;J</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive le champ de forces conservatives » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». == Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Al|5}}Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., <br>{{Al|5}}seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|Point matériel à mouvement conservatif]] » plus bas dans ce chapitre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation }}détaillés au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation introduits}}sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I.. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail <math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" /> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> correspondants <math>\;\Delta E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1)\;</math>» soit <center>«<math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1) = \Delta E_{m,\,M}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> sur cette même durée</u>. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail élémentaire <math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives {{Nobr|<math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" />}} appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement élémentaire dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>selon n'importe quelle {{Nobr|direction<math>\big)\;</math>»}} est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t</math> <math>\;d E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math><ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d E_{m,\,M}\;</math> et la différence <math>\;E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t) = dE_{m,\,M}\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" />.</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux élémentaires</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Al|5}}La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_justification_du_signe_«_-_»_dans_la_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»_par_réécriture_du_théorème_de_l'énergie_cinétique|1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser <math>\;t_1 = t\;</math> et <math>\;t_2 = t + dt\;</math> <math>\big\{</math>en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car <math>\;dt\;</math> y est toujours aussi petit que possible<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" /><math>\big\}</math>. === Point matériel « à mouvement conservatif » === {{Définition| titre=Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »|contenu={{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas<ref> Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini <math>\;\big(</math>même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé<math>\big)</math> car le travail d'une force dépend du référentiel</ref>.}} {{Al|5}}<u>Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen</u> : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante : <center>« <u>Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée</u> »<ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ; <br>{{Al|3}}a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul<math>\big)\;</math> et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée <math>\;\big(</math>rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable<math>\big)</math>.</ref>.</center> == 2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative == === Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> qui lui est imposé dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}on exerce sur <math>\;M\;</math> une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> }}permettant le déplacement du point d'une position initiale <math>\;M_{\text{ini}}\;</math> vers une position finale <math>\;M_{\text{fin}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> permettant le déplacement du point }}de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique"> C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que <math>\;K_M(t) \simeq 0\;</math> en toute position.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}« le travail développé dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par la force motrice<ref name="force motrice considérée comme non conservative"> Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.</ref> <math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> à déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" /> »<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique"> Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où <br>{{Al|3}}à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n}\;</math> avec <math>\;n \geqslant 1\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, }}d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessite une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty\;</math> <math>\big(</math>car à vitesse <math>\;v_M \simeq 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie }}est de valeur absolue d'ordre de grandeur <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n} \times \Delta s_M \simeq 0\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M}}\;</math> }}«<math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}}) + W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>». === Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}En l'absence de forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> travaillant lors d'un déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" />{{,}}<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique" /> c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou <br>{{Al|23}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « }}une force de frottement solide »<ref> Liste non exhaustive.</ref>{{,}}<ref name="forces non conservatives travaillant à déplacement quasi-statique"> Bien qu'à déplacement quasi-statique <math>\;v_M \simeq 0\;</math> ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessitant une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty</math>, ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force <math>\;\times \Delta s_M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force <math>\;\times \Delta t_M\;</math> de forme indéterminée <math>\;0 \times \infty\;</math>»<math>\big\}</math>, raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, une force motrice }}«<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t\;</math>»<ref> On adapte donc à chaque instant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> pour être opposée à <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.</ref> et {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on applique à <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\; \cancel{+\; \sum\limits_i W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{i,\,\text{non cons. à trav. nul}})}\; = \Delta E_{m,\,M} = E_m(M_{\text{fin}}) - E_m(M_{\text{ini}})\;</math>»<ref name="force motrice considérée comme non conservative" /> avec, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}compte-tenu du déplacement quasi-statique de <math>\;M\;</math><ref name="déplacement quasi-statique" />, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M) \simeq U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}Or la force motrice étant choisie telle que <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t</math>, on en déduit «<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = -W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, «<math>\;-W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» dont on déduit la propriété suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = -\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}\;</math>»<ref name="propriétés de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en considérant un déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> quelconque, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) = -d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique - bis"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math> et la différence <math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec <math>\;\overrightarrow{M_tM_{t + dt}}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}})}</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}ce qui justifie la présence du signe «<math>\;-\;</math>» dans les définitions de l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />. == Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique » == === Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{Al|5}}<u>La puissance mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point</u> <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t)\;</math><ref name="puissance mécanique"> Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.</ref> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{E}_{m,\,M}(t)\big]</math>. === Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique » === {{Al|5}}À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale<ref name="forme locale associée à une forme intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » (ou vice-versa) du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par <math>\;dt\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale }}«<math>\;\dfrac{\sum\limits_i \delta W\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]}{dt} = \dfrac{dE_{m,\,M}}{dt}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}en reconnaissant la puissance mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le membre de droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant }}la puissance des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquée à <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le membre de gauche <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center> === Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{théorème | titre= Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique }}sont <u>les puissances</u><math>\;\big(</math><u>non nulles</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif » === {{Al|5}}On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous : {{Al|5}}<u>Définition</u><math>\;\big(</math><u>équivalente</u><math>\big)</math> : Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne développent aucune puissance soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> si les éventuelles forces non conservatives }}«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence dans un référentiel galiléen</u> : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}« <u>l'énergie mécanique du point</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen</u> ». == 1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point » == === Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> « uniforme »<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme"> Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à <math>\;1\,\%\;</math> près dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, le poids d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\color{transparent}{\vec{g}}\;</math> « uniforme », le poids d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est l'intensité de la pesanteur terrestre ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> d'où <center>« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est une force conservative ».</center> === « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}L'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme }}se détermine par «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» soit «<math>\;-m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même, en cylindro-polaire, }} le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{pes}}}{dz} = m\;g\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle de pesanteur en</u><math>\;z = 0\;\big(</math><u>niveau du sol</u><math>\big)\;</math> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{pes}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>À retenir</u> : Si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\uparrow</math>, «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> avec la référence en <math>\;z = 0\;</math>» <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|À retenir : }}si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\downarrow</math>, on obtient, « avec la même référence, <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math>»<ref> En effet, <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dz} = -m\;g\;</math> soit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math> <math>= -m\;g\;z\;</math> si référence en <math>\;z = 0</math>.</ref> <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la profondeur <math>\;z\big]</math>. === Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}<u>Toute énergie potentielle</u> d'un point matériel <math>\;M\;</math> est une « <u>réserve d'énergie</u> pour <math>\;M\;</math>» <math>\blacktriangleright\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie <math>\;\big(</math>par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément }}en énergie cinétique<math>\big)\;</math>»<ref> Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ; <center>cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> un point matériel <math>\;M\;</math> au repos à une altitude <math>\;z</math>, possède l’énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z > 0\;</math> si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au repos à une altitude <math>\;\color{transparent}{z}</math>, }}possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}abandonné à lui-même, <u>il chute spontanément</u> en acquérant de l’énergie cinétique <math>\;K_M \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> abandonné à lui-même, }}la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air »<ref> Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi * à déformer l'objet assimilé à un point matériel <math>\;\big(</math>on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables<math>\big)\;</math> toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique <math>\;\big(</math>celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides<math>\big)\;</math> doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique<math>\big)\;</math> ou * à l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre alors dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne<math>\big)\;</math> ou encore * à le déformer et l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre encore dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le replacer à l'altitude initiale <math>\;z\big)</math>, il faut exercer sur lui une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> <math>\uparrow\;</math> de manière « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" />,<br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire <math>\;\big(</math>énergie potentielle pour nous<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation }}en énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\nearrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}le théorème de la variation d’énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> appliqué à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(M_z) - E_m(M_0) = U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{E_m(M_z) - E_m(M_0)}</math> }}<math>= W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) > 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;K_M(t) \simeq 0\;\;\forall\;t\;</math> d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables <math>\;\big(</math>elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> à exercer pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fasse de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" /> est l'opposé de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -m\;\vec{g}\;</math>»<ref> En effet les seules forces étant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> et <math>\;m\;\vec{g}\;</math> <math>\big(</math>les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle<math>\big)\;</math> d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n. <math>\;\ldots</math></ref> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> la force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> à exercer }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) = W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(-m\;\vec{g}) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>»<ref> Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «<math>\;-\;</math>» dans la définition de l'énergie potentielle «<math>\;W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g}) = -\left[ U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) \right]\;</math>».</ref>. == 2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point » == <center>Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique »<ref name="astre à symétrie sphérique"> Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre de l'astre.</ref>, c'est une bonne approximation pour <br>le Soleil « {{grossir|☉|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique"> Symbole astronomique.</ref> et les planètes qui gravitent autour de lui <math>\;\big(</math>dont la Terre « {{grossir|♁|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique" /><math>\big)\;</math> ainsi que <br>les plus gros satellites naturels de ces planètes <math>\;\big(</math>dont la Lune « {{grossir|☽|facteur=1.25}} »<ref> Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été « {{grossir|☾|facteur=1.25}} » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Sur les 79 satellites naturels de Jupiter <math>\;\big(</math>la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique {{grossir|♃|facteur=1.25}} et de volume mille trois cents fois celui de la Terre<math>\big)\;</math> confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Jupiter, Io <math>\;\big(</math>de taille similaire à celle de la Lune<math>\big)</math>, Europe <math>\;\big(</math>de même taille que Io<math>\big)</math>, Ganymède <math>\;\big(</math>le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune<math>\big)\;</math> et Callisto <math>\;\big(</math>le 3^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune<math>\big)</math>, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en [[w:Résonance_orbitale|résonance orbitale]], ce qui a pour conséquence la [[w:Résonance orbitale#Stabilité des orbites|stabilité des orbites]]<math>\big]</math>, les autres ont une forme irrégulière ;<br>{{Al|3}}il en est de même pour Saturne <math>\;\big(</math>de symbole astronomique {{grossir|♄|facteur=1.5}} et de volume neuf cents fois celui de la Terre<math>\big)</math>, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Saturne, Mimas <math>\;\big(\simeq 400\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Encelade <math>\;\big(\simeq 500\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Téthys <math>\;\big(\simeq 1050\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Dioné <math>\;\big(\simeq 1100\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Rhéa <math>\;\big(\simeq 1550\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>le 2^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, <math>\simeq 5150\;km\;</math> de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote<math>\big)</math> et Japet <math>\;\big(\simeq 1450\;km\;</math> de diamètre<math>\big)\big]</math>, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>.</center> === Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> de masse <math>\;m_{\!\mathcal{A}}\;</math> et de rayon <math>\;R_{\!\mathcal{A}}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les coordonnées sphériques du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> sont <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;\color{transparent}{O_{\!\mathcal{A}}}\;</math> de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\!\mathcal{A}}}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math>,}} la base sphérique liée à <math>\;M</math>, <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}la position de <math>\;M\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;r > R_{\!\mathcal{A}}</math>, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point <math>\;M\;</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui }}«<math>\;\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>», «<math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la [[w:Constante_de_gravitation|constante de gravitation universelle]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui «<math>\;\color{transparent}{\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\; \vec{u}_r}\;</math>», « }}<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\; 10^{-11}\; S.I.\;</math>»<ref name="U.S.I."> [[w:Unités_de_base_du_Système_international|Unité du Système International]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s’écrit donc «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{1}{r}\bigg)\;</math> <center>d'où « la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation créé par l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> notée <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» soit «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{dr} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M) = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{r^2} = r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{-1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> à l'<math>\infty\;</math> de ce dernier</u><ref name="référence à l'infini"> Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.</ref> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = 0</math>, on obtient «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r}\;</math>» ; <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /></u> : <br>{{Al|5}}en choisissant la <u>référence au niveau du sol de l'astre</u> c'est-à-dire <math>\;r = R_{\!\mathcal{A}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(R_{\!\mathcal{A}}) = 0\;</math> dont on déduit <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}} + cste = 0\;</math> soit <math>\;cste = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\!\mathcal{A}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m\;\dfrac{r - R_{\!\mathcal{A}}}{R_{\!\mathcal{A}}\;r}\;</math> avec référence à la surface de l'astre »<ref name="référence à la surface de l'astre"> Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}\;</math> avec référence à la surface terrestre »<ref name="référence à la surface de l'astre" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique, car <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(R_{\text{♁}} + z) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{R_{\text{♁}} + z} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> === Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre === [[File:Énergie potentielle gravitationnelle terrestre.png|thumb|500px|Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> en fonction de sa distance <math>\;r\;</math> au centre de la Terre, avec référence à l'infini, <math>\;r\;</math> et <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> étant en grandeurs réduites<ref> C.-à-d. respectivement en unité <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre, }}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}} \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des <math>\;r\;</math>». {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r} + \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> de la quantité <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math> <math>\big\{</math>à tracer soi-même<math>\big\}</math>, d'où le graphe s'identifiant à <br>{{Al|5}}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère" /> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}d'équation «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}},\;\;\forall\;r\;</math>» soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> et d'ordonnée <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>. === Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol === {{Al|5}}Après définition de l'« altitude du point <math>\;M\;</math> par rapport au niveau du sol terrestre selon <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de }}l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;M\;</math> avec référence au niveau du sol «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}} + z} = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z)\;</math>»<ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> est notée <math>\;U(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = U(r)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = f(r)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U(r) \\ U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = U(r) \\ U = U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;g(z)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = f(r) \\ U = g(z)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> avec référence au niveau du sol selon }}<math>\;\big[</math>on vérifie qu'il s'agit d'une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\big]</math> ; {{Al|5}}dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre <math>\;\bigg(\!</math>par exemple <math>\;z \lesssim \dfrac{R_{\text{♁}}}{100} \simeq 64\;km\!\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}on peut considérer <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut }}réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" /> ou, en en prenant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" />{{,}}<ref> En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où <math>\;\dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}} = \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{-1} \simeq 1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z = m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z\;</math>»<ref name="abus de notation" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}avec «<math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ». {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre <math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre }}l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;g</math>, on observe alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification }}avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c c l} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M) \simeq m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z \!\!&\simeq&\!\! m\;g\;z = U_{\text{pes}}(M) \\ \qquad\text{si } z \ll R_{\text{♁}} \!\!&&\!\! \text{si }\vec{g} \text{ est uniforme}\end{array}\right\rbrace\;</math>». == 3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point » == === Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe === [[File:Ressort idéal et force exercée sur une extrémité.png|thumb|Schéma d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives <math>\;\big(</math>ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide<math>\big)\;</math> et parfaitement élastique.</ref> dont une extrémité est liée à un point matériel <math>\;M</math>, l'autre extrémité étant notée <math>\;A</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position qu'occuperait <math>\;M\;</math> si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée]] {{Al|5}}Notant <math>\;A\;</math> l'autre extrémité du ressort « idéal »<ref name="ressort idéal" /> lié au point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;l_0\;</math> la longueur à vide du ressort et <math>\;k\;</math> la raideur de ce dernier, <br>{{Al|5}}la « force que le ressort exerce sur <math>\;M\;</math>»<ref name="tension du ressort"> Appelée vecteur tension du ressort <math>\;\big(</math>ou simplement tension du ressort<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\vec{T}\;</math><ref> En absence d'ambiguïté.</ref> est donnée par la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]] <ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> «<math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>»<ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|Cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon avec « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;l = \Vert \overrightarrow{AM} \Vert\;</math> étant la longueur à charge du ressort », {{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}loi de Hooke<ref name="Hooke" /> que l'on peut réécrire selon «<math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math>» avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}«<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ; {{Al|5}}quand <math>\;A\;</math> est fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le meilleur repérage du point <math>\;M\;</math> est le repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" />, dans ces conditions <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> lié à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}« la longueur à charge <math>\;l\;</math> s'identifiant au rayon polaire <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel === {{Al|5}}Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on déplace de façon élémentaire le point <math>\;M\;</math> selon le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, l'extrémité <math>\;A\;</math> étant fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" /> » pour <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur <math>\;l\;</math> à charge du ressort, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> » pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les deux autres étant angulaires notées respectivement <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math><ref> Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on en déduit le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}</math>, «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = -k\;(l - l_0)\; \vec{u}_r \cdot \left[ dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi \right] = -k\;(l - l_0)\; dl\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dl\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où }}<math>\;\big(</math>en effet le cœfficient de <math>\;dl\;</math> est une [[w:Fonction_affine|fonction affine]] s'intégrant en [[w:Fonction_quadratique|fonction quadratique]]<math>\big)\;</math> <center>d'où « le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration"> Nous nous limitons à ce cas car <math>\;A\;</math> mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de <math>\;t</math>.</ref> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}<u>Autre démonstration</u><ref> Plus délicate, préférer la précédente.</ref> : partant de <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math> avec «<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge <math>\;M_t\;</math>»<ref name="directions de AMt et AM0 identiques"> <math>\;M_0\;</math> étant une position liée à <math>\;M_t</math>, si la direction de <math>\;AM_t\;</math> change, la direction de <math>\;AM_0\;</math> change simultanément.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}soit un vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> avec l'autre extrémité <math>\;A\;</math> du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> fixe, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> on envisage }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{AM} \right] = d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» d'où le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> s'écrit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{d M} = -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot \left\lbrace d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}</math> }}<math>= -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}explicitons <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}\;</math> qui étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{AM_0}^2 = l_0^{\,2} = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{AM_0} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math> d'où <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}\bigg\}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui }}est aussi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui est aussi <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;\overrightarrow{M_{0,\,t}M_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons }}d'où «<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math>» permettant de réécrire le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]}\;</math>» qui est effectivement }}<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] = d\! \left[ \dfrac{\overrightarrow{M_0M}^2}{2} \right]</math>. <center>« le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration" /> ».</center> === « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel === {{Al|5}}L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> c'est-à-dire son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal »<ref name="ressort idéal" /> notée <math>\;U_{\text{élast}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» soit «<math>\;-k\;(l - l_0)\; dl = -dU_{\text{élast}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!l,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!l,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou encore «<math>\;-k\;(l - l_0)\; d(l - l_0) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d (l - l_0)} = k\;(l - l_0)\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite"> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;\Delta l = l - l_0</math>.</ref> ou, en introduisant l'« allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d\, \Delta l} = k\;\Delta l\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{élast}}(M) = U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{k\, \left( \Delta l \right)^2}{2} + cste\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert \Delta l \vert\;</math><ref> L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point }}elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de }}la valeur absolue de l'allongement algébrique<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal</u><ref name="ressort idéal" /> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( \Delta l \right)^2 = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l - l_0 \right)^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c'est-à-dire <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0}</math>, on en déduit «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l) =}</math> }}avec référence « ressort à vide » ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> peut se réécrire <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}«<math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\; \overrightarrow{M_0M}^2\;</math> avec référence en <math>\;M_0\;</math> <math>\big(</math>position de <math>\;M\;</math> avec ressort à vide, la <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}direction de l'axe étant inchangée <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}par rapport à sa position à charge<math>\big)\;</math>». === Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal === [[File:Ressort idéal - énergie potentielle élastique.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l\;</math> de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort]] {{Al|5}}Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> du ressort <math>\;\big(l\;</math> étant la longueur du ressort à charge<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique }}est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre }}avec une unité d’abscisse arbitraire notée <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec }}l'unité d'ordonnée correspondante étant <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point <math>\;M\;</math> a une position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable"> Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui « n'est pas la position à vide »<ref name="équilibre hors position à vide"> Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur <math>\;M\;</math> comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.</ref>, on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> et l'énergie potentielle élastique s'écrivant <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l \right)^2 + cste</math>, la condition de référence <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}) = 0\;</math> nous conduit à <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} + cste</math> <math>= 0\;</math> soit <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2}\;</math> et par suite <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l \right)^2 - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right]\;</math> avec référence en la position d'équilibre » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on note «<math>\;x\;</math> l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «<math>\;\Delta l = \Delta l_{\text{éq}} + x\;</math>», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}} + x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l_{\text{éq}} + x \right)^{\!2} - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right] = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math>»<ref> <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> étant toujours <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big(</math>puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide<math>\big)</math>, l'énergie potentielle <u>purement élastique</u> du point matériel ne s'écrit jamais <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\;x^2}\;</math> avec <math>\;x = \Delta l - \Delta l_{\text{éq}} = \left( l - l_0 \right) - \left( l_{\text{éq}} - l_0 \right) = l - l_{\text{éq}}\;</math> <math>\big[</math>erreur encore trop fréquente<math>\big]</math>.</ref> ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative <math>\;\ldots</math> <br> == 4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point » == === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}Soit un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> « uniforme »<ref name="champ électrique uniforme"> Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est <math>\;\perp\;</math> aux armatures <math>\;\big(</math>sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches<math>\big)\;</math> et son sens est celui des potentiels électriques <math>\;\searrow</math> ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.</ref>, la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\vec{E}\;</math><ref name="uz sens des potentiels croissants"> Donc <math>\;\vec{u}_z\;</math> est dans le sens des potentiels électriques <math>\;\nearrow</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix pour analogie champs électrique et de pesanteur"> Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{g}\;</math> c.-à-d. dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;E = \Vert \vec{E} \Vert\;</math> est la norme du champ électrique terrestre et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où }}la « référence des potentiels électriques »<ref> Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».</ref> choisie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où la « référence }}confondue avec l’origine des cotes ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\big(</math>le cœfficient de <math>\;dz\;</math> étant une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> <math>\;q\;\vec{E}\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math><ref> On ne note pas <math>\;U_{\text{élect}}\;</math> pour des raisons évidentes, <math>\;U\;</math> étant réservée aux tensions électriques.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}se définit par «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» soit «<math>\;-q\;E\;dz = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{dz} = q\;E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z)</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par «<math>\;\color{transparent}{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} = q\;E}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)}</math> }}<math>= q\;E\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle électrostatique en</u> <math>\;z = 0\;</math> <math>\big(</math><u>endroit de la référence des potentiels électriques</u><ref> C.-à-d. la masse du circuit électrique.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z) = q\;E\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \left[ -E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -E\;dz\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>« cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépendant que de <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math>}}<math>\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel"> Voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à «<math>\;\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}(V)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit «<math>\;-E\;dz = -dV\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV}{dz} = E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V(M) = V(z) = E\; z + cste'\;</math>» et, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}avec choix de la référence des potentiels électriques en <math>\;z = 0</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, <br>{{Al|56}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;V(M) = V(z) = E\; z\;</math> <math>\big(</math>référence à l'origine des cotes<math>\big)\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> en <math>\;M\;</math> noté <math>\;V(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» à condition que « }}identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'origine des cotes «<math>\;V(M) = E\; z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels électriques. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M)\\ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on retrouve «<math>\;\vec{F}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math>». === En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme === {{Al|5}}On admet qu'un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> est un « champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|On admet qu'un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(M)}\;</math> quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> par }}ou «<math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\;</math>»<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ; <center>toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple »<ref> Par exemple avec <math>\;\vec{E}(M) = E_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + E_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_y + E_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z</math>, les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » (théorème de Poincaré réécrit en terme de champ vectoriel) du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte <math>\;dV = -\delta \mathcal{C}(\vec{E}) =</math> <math>- \left[ E_x(x,\, y,\, z)\, dx + E_y(x,\, y,\, z)\, dy + E_z(x,\, y,\, z)\, dz \right]\;</math> en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme…]] » du même chap.<math>28</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}« la force électrique exercée sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> placé dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> c'est-à-dire <math>\;q\; \vec{E}(M)\;</math> étant donc <u>conservative</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> }}dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}cette dernière étant liée au potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de cette dernière étant liée }}à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques. == 5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M » == === Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton === ==== Loi d'interaction de Coulomb ==== {{Al|5}}Entre deux points matériels <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> de charges respectives <math>\;q\;</math> et <math>\;q'\;</math> s'exerce une « interaction électrostatique » telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide s’écrivant <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> « la force }}«<math>\;r\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math>», «<math>\;\vec{u}_{M'M}\;</math> vecteur unitaire de la droite <math>\;MM'\;</math> dirigé de <math>\;M'\;</math> vers <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M\;</math> exerce sur <math>\;M'\;</math> dans le vide est l'opposé de celle que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\vec{F}_{M'\, \leftarrow\, M} = -\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{MM'}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}ces forces étant appelées « forces de Coulomb »<ref name="Coulomb" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] »<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité#Permittivité_du_vide_et_permittivité_relative|permittivité diélectrique de l'air sec]] étant <math>\;0,06\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> de valeur telle que «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.\;</math><ref name="U.S.I." /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'interaction électrostatique est « attractive pour <math>\;q\;q'\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'interaction électrostatique est }}« répulsive pour <math>\;q\;q'\;> 0\;</math>». ==== Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M ==== {{Al|5}}D'après la loi d'interaction de Coulomb<ref name="Coulomb" />, le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> la force électrostatique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce }}«<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="loi d'interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;r\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique du point <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» avec }}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|22}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» }}le repérage sphérique étant de pôle <math>\;O\;</math><ref name="repérage sphérique" />. {{Al|5}}<u>Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb</u><ref name="Coulomb" /> : le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}un vecteur champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> dont l'action sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> se révèle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}par « la force électrique définie par <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, \vec{E}_O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math> identique à <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O}\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}«<math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>existant même en absence de charge <math>\;q\;</math><ref> La présence d'une charge <math>\;q\;</math> en <math>\;M\;</math> permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge <math>\;q\;</math> est appelée « charge témoin ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centrifuge<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> répulsive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est attractive.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;< 0\;</math> {{Transparent|le champ électrique }}<math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centripète<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> attractive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est répulsive.</ref>. ==== Cas particulier du champ électrique créé par un proton ==== {{Al|5}}« Un proton placé en <math>\;O\;</math> étant de charge <math>\;q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> centrifuge », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique }}variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation }}<math>\big(</math>à l'exception du sens bien entendu<math>\big)</math>. === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> qu'un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur un autre point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow O} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{-1}{r}\bigg)\;</math> d'où <center>« la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math> sur un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{El\, \leftarrow Pr} = -e\; \vec{E}_{Pr}(M) = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> est une force conservative », <br>{{Transparent|« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;\color{transparent}{Pr}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{+e}\;</math> sur un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{-e}\;</math> à savoir}}<math>\;\big(</math>le proton <math>\;Pr\;</math> étant le pôle du repérage sphérique de l'électron <math>\;El\big)</math>.</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se détermine par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{r^2} = -r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>-\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle électrostatique due au point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle électrostatique }}est une fonction de valeur absolue <math>\;\searrow\;</math> avec la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie électrostatique due au point</u><math>\;O\;</math><u>de charge</u><math>\;q_O\;</math><u>à l'infini de ce dernier</u> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math>» ; <center>l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique du point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />, <br>{{Al|50}}<math>\big[</math>si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive <math>\;\searrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O</math>, <br>{{Al|55}}si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> soit «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\bigg[</math>« cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dr}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}le cœfficient de <math>\;dr\;</math> étant une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> s'intégrant en <math>\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math><ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable" /> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> en la position <math>\;M\;</math> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V_O(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV_O\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à <math>\;\vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right]\!(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr = -dV_O\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV_O}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r} + cste'\;</math>» ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}avec l'<math>\infty\;</math> pour référence des potentiels électriques, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les <math>\;2\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique en <math>\;M</math>, <math>\;V_O(M)</math>, dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}</math>, dont dérive le champ électrique }}créé par <math>\;O\;(q_O)\;</math> en <math>\;M</math> <br>{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» si « la référence }}est identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'<math>\infty\;</math> on a <math>\;V_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O} \right](M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V_O \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}d'où, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect},\leftarrow\,O} \right](M)\\ \vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> on retrouve «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math>». === « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton » === {{Al|5}}Cas particulier de l'exposé du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier de l'exposé du paragraphe }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier }}« l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> dans le champ électrique créé par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math>»<ref> L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}, \leftarrow\,Pr}(El) = -e\;V_{Pr}(El) = -e\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r} < 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;r\;</math> étant la distance séparant l'électron du proton »<ref> Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1^er <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton <math>\;\big(</math>dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Lois de la puiss. et de l'énerg. cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] }} puqj23zvadtsr5t1bpmww9h1k8arhge 988222 988221 2026-11-08T22:16:03Z Phl7605 31541 /* 1ère définition d'une force « conservative » */ 988222 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « <u>forces ne dépendant pas explicitement du temps</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une force dépendant explicitement du temps<ref name="force conservative dépendant explicitement du temps"> Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer <u>en figeant le temps</u> mais <u>les conséquences énergétiques</u> qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps <u>ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps</u> ; <br>{{Al|3}}aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.</ref> sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après<math>\big)</math>. == 1^ère définition d'une force « conservative » == {{Définition|titre=1^ère définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> est indépendant du chemin suivi <math>\;(\Gamma)\;</math> »<ref name="travail non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> <center>ou ssi «<math>\;W_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>»<ref name="travail non nul" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>mais dépendant de <math>\;M_1\;</math> et de <math>\;M_2\big]\;</math> peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> prise entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c'est-à-dire «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1) = \Delta S_{\vec{F}}\;</math>». == 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative == === 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » === {{Définition|titre=2^ème définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique »<ref name="travail élémentaire non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> ou <center>ssi «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte »<ref name="travail élémentaire non nul" />{{,}}<ref name="différentielle totale"> Ou différentielle totale.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> d'une fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dS_{\vec{F}} = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}en notant <math>\;M'\;</math> le point infiniment voisin de <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>». === Justification de l'équivalence entre les deux définitions === {{Al|5}}<u>Justification directe</u> « 1^ère définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 2^ème définition » : si « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> tels que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math> ce qui se réécrit « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépend que des points extrêmes <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> et non du chemin utilisé » c'est-à-dire que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math>, <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M) = dS_{\vec{F}}\;</math> ». {{Al|5}}<u>Justification réciproque</u> « 2^ème définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math> », « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> est égal à <math>\;S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1)\;</math> sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> ». === Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N<ref name="C.N."> Conditions(s) Nécessaire(s).</ref>. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative</u> : Une force</u> <math>\;\vec{F}(M)</math>, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point <math>\;M\;</math> notées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow \rho\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow r\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)||Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>est conservative</u> <u>si les dérivées croisées des</u> fonctions <u>cœfficients des éléments de coordonnées</u> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés <math>\;\left( dx\,,\,dy\,,\,dz \right)\;</math><ref name="dx, dy, dz"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow d\rho = (dM)_\rho\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{\rho}\\ dz \rightarrow dz = (dM)_z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow dr = (dM)_r\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{r}\\ dz \rightarrow d \varphi = \dfrac{(dM)_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>de son travail élémentaire</u> <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> <u>sont égales</u> ce qui s'écrit, suivant le type de repérage, * en repérage cartésien : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial (\rho\; F_\theta)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial (\rho\;F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en cylindro-polaire"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho(M)\;d \rho + F_\theta(M)\;\rho\,d \theta + F_z(M)\;dz</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta (M) + \rho\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\;\left[ \dfrac{\partial (F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\; F_\theta \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;F_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en sphérique"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r(M)\;dr + F_\theta(M)\;r\,d \theta + F_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta(M) + r\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;F_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\;F_\varphi(M) + \sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : }}le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x"> Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore sphérique <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;\varphi</math>.</ref>, le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dx\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = d \rho\;\vec{u}_\rho</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et axiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dz\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dr\;\vec{u}_r</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et longitudale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\rho}{d \rho} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = \rho\;</math> et axiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_z}{dz} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_r}{dr} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = r\;</math> et longitudale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\varphi}{d \varphi} = r\;\sin(\theta)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable <math>\;x\;</math><ref> En effet dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dx + 0 \times dy\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial x} \right)_{\!\!y}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_x\;</math> indépendant de <math>\;y</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho\;d \rho + 0 \times \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\rho\;</math> indépendant de <math>\;\theta</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times d \rho + F_\theta \; \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;\rho\;</math> indépendant de <math>\;\rho\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{\rho}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r\;dr + 0 \times r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_r\;</math> indépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + F_\theta \; r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;r\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{r}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + 0 \times r\; d \theta + F_\varphi \; r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\varphi\;r\;\sin(\theta)\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\varphi\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\varphi)}{r\;\sin(\theta)}</math>.</ref>. === Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Rappel de préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S<ref name="C.S."> Conditions(s) Suffisante(s).</ref>. pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel de préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}Ci-dessous le théorème de Poincaré<ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force soit conservative. {{Théorème| titre= Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles) |contenu ={{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire <u>vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées</u> des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un <u>ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^n,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math> ; on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P</math> » <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> de son domaine de définition est une force conservative. <center><math>\Updownarrow</math></center> {{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est <u>fermé<ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée" /> de son domaine de définition est une force conservative.}} {{Al|5}}<u>C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x" /> le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx" /> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est conservative pour <math>\;M \in\;</math> à la courbe continue paramétré par <math>\;x\big]\;</math> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable {{Nobr|<math>\;x\;</math><ref> Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.</ref>}} en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable<ref> Ceci correspondant à un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math> sur lequel le travail élémentaire est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N<ref name="C.N." />. pour qu'elles soient conservatives <math>\;\big[</math>à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par <math>\;x\;</math> la fonction cœfficient de <math>\;dx\;</math> ne dépendant que de <math>\;x\;</math> ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire<ref name ="forme différentielle fermée" /><math>\big]\;</math> sont usuellement définies sur une [[w:Partie_étoilée|partie étoilée]]<ref name="partie étoilée" /> et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que leur travail élémentaire est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> sans vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]]<ref name="partie étoilée" /> de la partie sur laquelle elles sont définies. == Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative == === 1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition| titre=1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative| contenu ={{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]\;</math> est le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> s'identifie à l'opposé de la différentielle de <math>\;U_{\vec{F}}(M)</math> » soit <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math>» ou «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}}\;</math>»<ref> On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt <math>\;\big(</math>raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> En accord avec la définition des « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point <math>\;M\;</math> se déplace sur une courbe continue.</ref> ;</center>}} {{Al|5}}dans le S.I<ref name="S.I."> Système International.</ref>. des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en <math>\;J</math>. === Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}\;</math> : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive la force conservative » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}\;</math> : <u>Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées</u> est <u>la différence de l'énergie potentielle du point matériel</u> dans le champ de force conservative <u>entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie</u> soit «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"/> indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» se réécrit avec <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math> «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = U_{\vec{F}}(M_1) - U_{\vec{F}}(M_2) =</math> <math>-\Delta U_{\vec{F}}\;</math>». === 2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative|contenu ={{Al|5}}On appelle énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]</math>, le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit l'opposé de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> c'est-à-dire <center>«<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.</ref> : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}le gradient du champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> tel que sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit la différentielle du champ scalaire<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «<math>\;\left\lbrace \vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et par suite «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}réciproquement si on multiplie chaque membre de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative. == 1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique == {{Al|5}}Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, entre un instant initial <math>\;t_1\;</math> et un instant final <math>\;t_2</math>, en distinguant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> dont on utilise le caractère conservatif <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)}\;</math> }}en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée <math>\;U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>des « forces non conservatives »<ref name="forces non conservatives"> Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.</ref> <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}soit «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1) = \Delta K_M\;</math>» où on remplace le travail de chaque force conservative par «<math>\;W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_1) - U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_2) = -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = \sum\limits_j \left[ -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] = - \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «<math>\;- \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta K_M\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}en transposant les termes d'énergies potentielles <math>\;\big(</math>ce qui entraîne un changement de signe<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;\sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta\! \left[ K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» c'est-à-dire une relation définissant une <u>'''nouvelle''' grandeur énergétique</u>, <u>'''somme'''</u> de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur <u>'''restant constante en absence de travail des forces non conservatives'''</u><ref name="forces non conservatives" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}on comprend donc l'importance du signe <math>\;-\;</math> dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «<math>\;-\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math> devenant, lors du changement de membre, <math>\;+\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas » est la « <u>somme</u> » <math>\;\big(</math>et non la différence<math>\big)\;</math> de termes ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;2\;</math> contributions <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;K_M\;</math>»<ref> Grandeur <u>dépendant du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la cinétique du point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>»<ref> D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;<br>{{Al|3}}enfin on admettra que l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie<math>\big)\;</math> est <u>indépendante du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la position du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» }}dans le champ de forces conservatives. == Exemples de forces « non conservatives » == === La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives » === ==== Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide ==== {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c.-à-d._sans_frottement)_ou_non_idéales_(c.-à-d._avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = 0\;</math>» car <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à la surface du solide en <math>\;M\;</math> est toujours <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.</ref> étant toujours colinéaire et de sens opposé au <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0}\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> étant }}vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|base<math>\big)\;</math>}} de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{s\;</math> abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d.27un_point_sur_une_courbe_continue|Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}la force de frottement solide «<math>\;\vec{R}_\tau = \overline{R_\tau}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{R_\tau} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref> soit, avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide }}la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du frottement solide avec glissement<ref name="loi de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \mu_d\;R_n\;</math>» avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;\mu_d\;</math> le cœfficient de frottement dynamique » et <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;R_n > 0\;</math> la composante normale de la réaction »<ref> On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> dans le solide.</ref>, d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}l'expression du travail de la force de frottement «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \mu_d\;R_n(s) \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn"> Où <math>\;\mathrm{sgn}(x)\;</math> est la fonction « signe de <math>\;x</math> » telle que <math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\-1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}pour un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math> car <math>\;ds\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math><ref> Cas assez fréquent.</ref>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right) < 0\;</math>»<ref name="assez fréquent"> Dans le cas assez fréquent où <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math> avec un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;s_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;s_1</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}ce résultat montrant clairement <math>\;\big(</math>dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante<math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement }}que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi<ref> <math>\;s_2 - s_1\;</math> étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que }}ceci restant vrai même si <math>\;R_n(s)\;</math> n'est pas constante<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,<br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. ==== Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non ==== {{Al|5}}La résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide"> Encore appelée force de frottement fluide.</ref> d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un fluide<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative, que le frottement soit linéaire<ref name="frottement fluide linéaire> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, quadratique<ref name="frottement fluide quadratique> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou autres<ref name="frottement fluide à vitesse élevée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}son travail le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie par <math>\;M\;</math> pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> est <math>\;< 0\;</math>» car, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}pour un solide assimilable à un point matériel, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" />, on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet" /> où <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne" /> mesurée à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur celle-ci et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref>, <math>\;\vert \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \vert\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert v_M(t) \vert = \vert \dot{s}_M(t) \vert\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ \dot{s}(t) \right] \Vert \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour une forme quadratique de force de frottement fluide <math>\;\Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert = h'\;v^2(t)\;</math><ref> Très fréquent.</ref> avec <math>\;h'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}constante positive caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide<ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut trouver plus de détails dans la note [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#cite_note-30|³⁰]] du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique constante positive caractéristique }}et de la densité de ce dernier<ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt < 0\;</math>»<ref name="cas très fréquent"> Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}ce résultat permettant d'établir <math>\;\big(</math>dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide<math>\big)</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> ainsi que celle d'abscisse curviligne<ref name="abscisse curviligne" /> du point, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi<ref> En supposant, par exemple, que de la connaissance de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v = v(t)\\ s = s(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et par élimination de <math>\;t\;</math> on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit <math>\;v = v(s)\;</math> ce qui permettrait de réécrire, avec <math>\;v(t)\;dt = ds</math>, et en supposant le mouvement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} v^2(s)\;ds\;</math> et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir que }}ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide" /> sur un point <math>\;M\;</math> développe un travail négatif », <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> en conclusion «}}<math>\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position <u>ne définit pas un champ de forces</u> et qu'il est par conséquent <u>inutile d'envisager son caractère conservatif</u>, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif. ==== Forces de liaison par fil idéal tendu ==== {{Al|5}}La force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par un fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> tendu sur un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#4ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fil,_cas_du_fil_idéal|4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont la norme <math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert\;</math> définit la tension du fil idéal<ref name="fil idéal" /> est non conservative, son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T}) =</math> <math>\vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> n’étant en général pas une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" />{{,}}<ref> Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour <math>\;\vec{T} = \overrightarrow{\text{cste}}\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\uparrow\;</math><u>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : on suspend un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à l'aide d'une corde idéale<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}sur <math>\;M\;</math> s'exercent <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> qui fait que le point <math>\;\downarrow\;</math> en absence d'autres forces et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{T}\;</math> de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction }}<math>\;\vec{T}\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» ou, en prenant <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;-m\;g\;\vec{u}_z + T\;\vec{u}_z = m\;a_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right]\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}« la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour hisser <math>\;M\;</math> d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2\;</math> on peut régler le mouvement de montée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}<math>\big[</math>c'est-à-dire qu'on peut régler <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> en modifiant la tension de la corde<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> }}ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «<math>\;\vec{T}\;</math> non conservatif »<ref> Pour la montée verticale de <math>\;M\;</math> la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;<br>{{Al|3}}on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où <math>\;\vec{T}\;</math> en une même position <math>\;M\;</math> dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\uparrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;> 0</math>, le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> avec <math>\;dz > 0\;</math>» est tel que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> montant de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz > 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer l'évaluation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}celle-ci vérifiant que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde"> En effet si on connaît la loi horaire de position <math>\;z = z(t)\;</math> et que cette loi soit inversable on peut en déduire <math>\;t = t(z)\;</math> et réécrire le travail de la force selon <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <math>\displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left\lbrace g + a_{M,\,z}\!\left[ t(z) \right] \right\rbrace dz\;</math> permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une traction douce d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} m\; g\; dz = m\;g\;h\;</math> ou * une traction rapide d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq 2\;m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} 2\;m\; g\; dz = 2\;m\;g\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour monter le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}<math>\Rightarrow\;</math> la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « motrice ». {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\downarrow\;</math><u>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : dans le paragraphe précédent relatif à la <math>\;\uparrow\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, on a établi que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde sur <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force }}<math>\;\vec{T} = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\downarrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dz < 0 \\ T > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En supposant que le fil reste tendu.</ref> suit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> <math>\downarrow\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}<math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<math>\displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où }}<math>\Rightarrow\;</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde" />{{,}}<ref> Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une retenue forte d'accélération <math>\;a_{M,\,z} < 0\;</math> telle que <math>\;\vert a_{M,\,z} \vert \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} m\; g\; dz</math> <math>= -m\;g\;h\;</math> ou * une retenue faible d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq -\dfrac{g}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq \dfrac{m\;g}{2}\;</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} \dfrac{m\;g}{2}\; dz = -\dfrac{m\;g}{2}\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour descendre le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « résistive ». {{Al|5}}En conclusion, la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par une corde idéale<ref name="fil idéal" /> sur un point <math>\;M\;</math> est « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|En conclusion, la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par une corde idéale sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}développe « un travail positif ou négatif », <math>\;\vec{T}(M)\;</math> est donc « motrice ou résistive »<ref> Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».</ref>. === Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal === {{Al|5}}Parmi toutes les forces de contact <math>\big[</math>détaillées dans le chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qu'un point <math>\;M\;</math> peut subir c'est l'« <u>unique force de contact conservative</u> »<ref> N'a donc pas sa place dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Exemples_de_forces_«_non_conservatives_»|Exemples de forces non conservatives]] » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».</ref>, elle sera étudiée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#3ème_exemple_de_force_conservative_:_la_«_tension_d'un_ressort_idéal_lié_à_un_point_matériel_»_et_l'«_énergie_potentielle_élastique_du_point_»|3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point]] » plus bas dans ce chapitre. == Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Définition| titre= Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)| contenu ={{Al|5}}L'« énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« énergie mécanique }}est la grandeur scalaire <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;K_M(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <br>{{Al|35}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de }}<math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}cette énergie ne dépendant pas explicitement de <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> cette énergie }}étant indépendante du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.}} {{Al|5}}Dans le S.I<ref name="S.I." />. des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en <math>\;J</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive le champ de forces conservatives » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». == Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Al|5}}Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., <br>{{Al|5}}seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|Point matériel à mouvement conservatif]] » plus bas dans ce chapitre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation }}détaillés au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation introduits}}sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I.. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail <math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" /> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> correspondants <math>\;\Delta E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1)\;</math>» soit <center>«<math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1) = \Delta E_{m,\,M}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> sur cette même durée</u>. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail élémentaire <math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives {{Nobr|<math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" />}} appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement élémentaire dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>selon n'importe quelle {{Nobr|direction<math>\big)\;</math>»}} est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t</math> <math>\;d E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math><ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d E_{m,\,M}\;</math> et la différence <math>\;E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t) = dE_{m,\,M}\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" />.</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux élémentaires</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Al|5}}La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_justification_du_signe_«_-_»_dans_la_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»_par_réécriture_du_théorème_de_l'énergie_cinétique|1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser <math>\;t_1 = t\;</math> et <math>\;t_2 = t + dt\;</math> <math>\big\{</math>en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car <math>\;dt\;</math> y est toujours aussi petit que possible<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" /><math>\big\}</math>. === Point matériel « à mouvement conservatif » === {{Définition| titre=Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »|contenu={{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas<ref> Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini <math>\;\big(</math>même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé<math>\big)</math> car le travail d'une force dépend du référentiel</ref>.}} {{Al|5}}<u>Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen</u> : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante : <center>« <u>Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée</u> »<ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ; <br>{{Al|3}}a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul<math>\big)\;</math> et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée <math>\;\big(</math>rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable<math>\big)</math>.</ref>.</center> == 2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative == === Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> qui lui est imposé dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}on exerce sur <math>\;M\;</math> une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> }}permettant le déplacement du point d'une position initiale <math>\;M_{\text{ini}}\;</math> vers une position finale <math>\;M_{\text{fin}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> permettant le déplacement du point }}de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique"> C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que <math>\;K_M(t) \simeq 0\;</math> en toute position.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}« le travail développé dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par la force motrice<ref name="force motrice considérée comme non conservative"> Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.</ref> <math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> à déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" /> »<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique"> Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où <br>{{Al|3}}à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n}\;</math> avec <math>\;n \geqslant 1\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, }}d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessite une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty\;</math> <math>\big(</math>car à vitesse <math>\;v_M \simeq 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie }}est de valeur absolue d'ordre de grandeur <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n} \times \Delta s_M \simeq 0\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M}}\;</math> }}«<math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}}) + W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>». === Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}En l'absence de forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> travaillant lors d'un déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" />{{,}}<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique" /> c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou <br>{{Al|23}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « }}une force de frottement solide »<ref> Liste non exhaustive.</ref>{{,}}<ref name="forces non conservatives travaillant à déplacement quasi-statique"> Bien qu'à déplacement quasi-statique <math>\;v_M \simeq 0\;</math> ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessitant une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty</math>, ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force <math>\;\times \Delta s_M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force <math>\;\times \Delta t_M\;</math> de forme indéterminée <math>\;0 \times \infty\;</math>»<math>\big\}</math>, raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, une force motrice }}«<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t\;</math>»<ref> On adapte donc à chaque instant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> pour être opposée à <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.</ref> et {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on applique à <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\; \cancel{+\; \sum\limits_i W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{i,\,\text{non cons. à trav. nul}})}\; = \Delta E_{m,\,M} = E_m(M_{\text{fin}}) - E_m(M_{\text{ini}})\;</math>»<ref name="force motrice considérée comme non conservative" /> avec, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}compte-tenu du déplacement quasi-statique de <math>\;M\;</math><ref name="déplacement quasi-statique" />, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M) \simeq U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}Or la force motrice étant choisie telle que <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t</math>, on en déduit «<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = -W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, «<math>\;-W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» dont on déduit la propriété suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = -\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}\;</math>»<ref name="propriétés de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en considérant un déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> quelconque, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) = -d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique - bis"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math> et la différence <math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec <math>\;\overrightarrow{M_tM_{t + dt}}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}})}</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}ce qui justifie la présence du signe «<math>\;-\;</math>» dans les définitions de l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />. == Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique » == === Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{Al|5}}<u>La puissance mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point</u> <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t)\;</math><ref name="puissance mécanique"> Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.</ref> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{E}_{m,\,M}(t)\big]</math>. === Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique » === {{Al|5}}À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale<ref name="forme locale associée à une forme intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » (ou vice-versa) du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par <math>\;dt\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale }}«<math>\;\dfrac{\sum\limits_i \delta W\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]}{dt} = \dfrac{dE_{m,\,M}}{dt}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}en reconnaissant la puissance mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le membre de droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant }}la puissance des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquée à <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le membre de gauche <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center> === Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{théorème | titre= Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique }}sont <u>les puissances</u><math>\;\big(</math><u>non nulles</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif » === {{Al|5}}On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous : {{Al|5}}<u>Définition</u><math>\;\big(</math><u>équivalente</u><math>\big)</math> : Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne développent aucune puissance soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> si les éventuelles forces non conservatives }}«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence dans un référentiel galiléen</u> : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}« <u>l'énergie mécanique du point</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen</u> ». == 1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point » == === Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> « uniforme »<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme"> Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à <math>\;1\,\%\;</math> près dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, le poids d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\color{transparent}{\vec{g}}\;</math> « uniforme », le poids d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est l'intensité de la pesanteur terrestre ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> d'où <center>« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est une force conservative ».</center> === « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}L'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme }}se détermine par «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» soit «<math>\;-m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même, en cylindro-polaire, }} le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{pes}}}{dz} = m\;g\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle de pesanteur en</u><math>\;z = 0\;\big(</math><u>niveau du sol</u><math>\big)\;</math> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{pes}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>À retenir</u> : Si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\uparrow</math>, «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> avec la référence en <math>\;z = 0\;</math>» <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|À retenir : }}si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\downarrow</math>, on obtient, « avec la même référence, <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math>»<ref> En effet, <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dz} = -m\;g\;</math> soit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math> <math>= -m\;g\;z\;</math> si référence en <math>\;z = 0</math>.</ref> <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la profondeur <math>\;z\big]</math>. === Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}<u>Toute énergie potentielle</u> d'un point matériel <math>\;M\;</math> est une « <u>réserve d'énergie</u> pour <math>\;M\;</math>» <math>\blacktriangleright\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie <math>\;\big(</math>par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément }}en énergie cinétique<math>\big)\;</math>»<ref> Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ; <center>cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> un point matériel <math>\;M\;</math> au repos à une altitude <math>\;z</math>, possède l’énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z > 0\;</math> si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au repos à une altitude <math>\;\color{transparent}{z}</math>, }}possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}abandonné à lui-même, <u>il chute spontanément</u> en acquérant de l’énergie cinétique <math>\;K_M \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> abandonné à lui-même, }}la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air »<ref> Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi * à déformer l'objet assimilé à un point matériel <math>\;\big(</math>on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables<math>\big)\;</math> toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique <math>\;\big(</math>celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides<math>\big)\;</math> doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique<math>\big)\;</math> ou * à l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre alors dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne<math>\big)\;</math> ou encore * à le déformer et l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre encore dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le replacer à l'altitude initiale <math>\;z\big)</math>, il faut exercer sur lui une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> <math>\uparrow\;</math> de manière « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" />,<br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire <math>\;\big(</math>énergie potentielle pour nous<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation }}en énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\nearrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}le théorème de la variation d’énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> appliqué à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(M_z) - E_m(M_0) = U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{E_m(M_z) - E_m(M_0)}</math> }}<math>= W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) > 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;K_M(t) \simeq 0\;\;\forall\;t\;</math> d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables <math>\;\big(</math>elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> à exercer pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fasse de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" /> est l'opposé de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -m\;\vec{g}\;</math>»<ref> En effet les seules forces étant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> et <math>\;m\;\vec{g}\;</math> <math>\big(</math>les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle<math>\big)\;</math> d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n. <math>\;\ldots</math></ref> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> la force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> à exercer }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) = W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(-m\;\vec{g}) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>»<ref> Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «<math>\;-\;</math>» dans la définition de l'énergie potentielle «<math>\;W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g}) = -\left[ U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) \right]\;</math>».</ref>. == 2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point » == <center>Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique »<ref name="astre à symétrie sphérique"> Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre de l'astre.</ref>, c'est une bonne approximation pour <br>le Soleil « {{grossir|☉|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique"> Symbole astronomique.</ref> et les planètes qui gravitent autour de lui <math>\;\big(</math>dont la Terre « {{grossir|♁|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique" /><math>\big)\;</math> ainsi que <br>les plus gros satellites naturels de ces planètes <math>\;\big(</math>dont la Lune « {{grossir|☽|facteur=1.25}} »<ref> Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été « {{grossir|☾|facteur=1.25}} » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Sur les 79 satellites naturels de Jupiter <math>\;\big(</math>la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique {{grossir|♃|facteur=1.25}} et de volume mille trois cents fois celui de la Terre<math>\big)\;</math> confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Jupiter, Io <math>\;\big(</math>de taille similaire à celle de la Lune<math>\big)</math>, Europe <math>\;\big(</math>de même taille que Io<math>\big)</math>, Ganymède <math>\;\big(</math>le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune<math>\big)\;</math> et Callisto <math>\;\big(</math>le 3^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune<math>\big)</math>, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en [[w:Résonance_orbitale|résonance orbitale]], ce qui a pour conséquence la [[w:Résonance orbitale#Stabilité des orbites|stabilité des orbites]]<math>\big]</math>, les autres ont une forme irrégulière ;<br>{{Al|3}}il en est de même pour Saturne <math>\;\big(</math>de symbole astronomique {{grossir|♄|facteur=1.5}} et de volume neuf cents fois celui de la Terre<math>\big)</math>, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Saturne, Mimas <math>\;\big(\simeq 400\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Encelade <math>\;\big(\simeq 500\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Téthys <math>\;\big(\simeq 1050\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Dioné <math>\;\big(\simeq 1100\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Rhéa <math>\;\big(\simeq 1550\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>le 2^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, <math>\simeq 5150\;km\;</math> de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote<math>\big)</math> et Japet <math>\;\big(\simeq 1450\;km\;</math> de diamètre<math>\big)\big]</math>, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>.</center> === Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> de masse <math>\;m_{\!\mathcal{A}}\;</math> et de rayon <math>\;R_{\!\mathcal{A}}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les coordonnées sphériques du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> sont <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;\color{transparent}{O_{\!\mathcal{A}}}\;</math> de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\!\mathcal{A}}}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math>,}} la base sphérique liée à <math>\;M</math>, <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}la position de <math>\;M\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;r > R_{\!\mathcal{A}}</math>, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point <math>\;M\;</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui }}«<math>\;\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>», «<math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la [[w:Constante_de_gravitation|constante de gravitation universelle]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui «<math>\;\color{transparent}{\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\; \vec{u}_r}\;</math>», « }}<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\; 10^{-11}\; S.I.\;</math>»<ref name="U.S.I."> [[w:Unités_de_base_du_Système_international|Unité du Système International]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s’écrit donc «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{1}{r}\bigg)\;</math> <center>d'où « la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation créé par l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> notée <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» soit «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{dr} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M) = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{r^2} = r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{-1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> à l'<math>\infty\;</math> de ce dernier</u><ref name="référence à l'infini"> Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.</ref> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = 0</math>, on obtient «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r}\;</math>» ; <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /></u> : <br>{{Al|5}}en choisissant la <u>référence au niveau du sol de l'astre</u> c'est-à-dire <math>\;r = R_{\!\mathcal{A}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(R_{\!\mathcal{A}}) = 0\;</math> dont on déduit <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}} + cste = 0\;</math> soit <math>\;cste = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\!\mathcal{A}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m\;\dfrac{r - R_{\!\mathcal{A}}}{R_{\!\mathcal{A}}\;r}\;</math> avec référence à la surface de l'astre »<ref name="référence à la surface de l'astre"> Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}\;</math> avec référence à la surface terrestre »<ref name="référence à la surface de l'astre" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique, car <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(R_{\text{♁}} + z) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{R_{\text{♁}} + z} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> === Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre === [[File:Énergie potentielle gravitationnelle terrestre.png|thumb|500px|Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> en fonction de sa distance <math>\;r\;</math> au centre de la Terre, avec référence à l'infini, <math>\;r\;</math> et <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> étant en grandeurs réduites<ref> C.-à-d. respectivement en unité <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre, }}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}} \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des <math>\;r\;</math>». {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r} + \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> de la quantité <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math> <math>\big\{</math>à tracer soi-même<math>\big\}</math>, d'où le graphe s'identifiant à <br>{{Al|5}}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère" /> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}d'équation «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}},\;\;\forall\;r\;</math>» soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> et d'ordonnée <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>. === Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol === {{Al|5}}Après définition de l'« altitude du point <math>\;M\;</math> par rapport au niveau du sol terrestre selon <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de }}l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;M\;</math> avec référence au niveau du sol «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}} + z} = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z)\;</math>»<ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> est notée <math>\;U(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = U(r)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = f(r)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U(r) \\ U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = U(r) \\ U = U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;g(z)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = f(r) \\ U = g(z)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> avec référence au niveau du sol selon }}<math>\;\big[</math>on vérifie qu'il s'agit d'une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\big]</math> ; {{Al|5}}dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre <math>\;\bigg(\!</math>par exemple <math>\;z \lesssim \dfrac{R_{\text{♁}}}{100} \simeq 64\;km\!\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}on peut considérer <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut }}réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" /> ou, en en prenant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" />{{,}}<ref> En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où <math>\;\dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}} = \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{-1} \simeq 1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z = m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z\;</math>»<ref name="abus de notation" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}avec «<math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ». {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre <math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre }}l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;g</math>, on observe alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification }}avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c c l} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M) \simeq m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z \!\!&\simeq&\!\! m\;g\;z = U_{\text{pes}}(M) \\ \qquad\text{si } z \ll R_{\text{♁}} \!\!&&\!\! \text{si }\vec{g} \text{ est uniforme}\end{array}\right\rbrace\;</math>». == 3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point » == === Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe === [[File:Ressort idéal et force exercée sur une extrémité.png|thumb|Schéma d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives <math>\;\big(</math>ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide<math>\big)\;</math> et parfaitement élastique.</ref> dont une extrémité est liée à un point matériel <math>\;M</math>, l'autre extrémité étant notée <math>\;A</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position qu'occuperait <math>\;M\;</math> si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée]] {{Al|5}}Notant <math>\;A\;</math> l'autre extrémité du ressort « idéal »<ref name="ressort idéal" /> lié au point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;l_0\;</math> la longueur à vide du ressort et <math>\;k\;</math> la raideur de ce dernier, <br>{{Al|5}}la « force que le ressort exerce sur <math>\;M\;</math>»<ref name="tension du ressort"> Appelée vecteur tension du ressort <math>\;\big(</math>ou simplement tension du ressort<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\vec{T}\;</math><ref> En absence d'ambiguïté.</ref> est donnée par la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]] <ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> «<math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>»<ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|Cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon avec « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;l = \Vert \overrightarrow{AM} \Vert\;</math> étant la longueur à charge du ressort », {{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}loi de Hooke<ref name="Hooke" /> que l'on peut réécrire selon «<math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math>» avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}«<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ; {{Al|5}}quand <math>\;A\;</math> est fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le meilleur repérage du point <math>\;M\;</math> est le repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" />, dans ces conditions <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> lié à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}« la longueur à charge <math>\;l\;</math> s'identifiant au rayon polaire <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel === {{Al|5}}Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on déplace de façon élémentaire le point <math>\;M\;</math> selon le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, l'extrémité <math>\;A\;</math> étant fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" /> » pour <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur <math>\;l\;</math> à charge du ressort, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> » pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les deux autres étant angulaires notées respectivement <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math><ref> Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on en déduit le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}</math>, «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = -k\;(l - l_0)\; \vec{u}_r \cdot \left[ dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi \right] = -k\;(l - l_0)\; dl\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dl\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où }}<math>\;\big(</math>en effet le cœfficient de <math>\;dl\;</math> est une [[w:Fonction_affine|fonction affine]] s'intégrant en [[w:Fonction_quadratique|fonction quadratique]]<math>\big)\;</math> <center>d'où « le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration"> Nous nous limitons à ce cas car <math>\;A\;</math> mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de <math>\;t</math>.</ref> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}<u>Autre démonstration</u><ref> Plus délicate, préférer la précédente.</ref> : partant de <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math> avec «<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge <math>\;M_t\;</math>»<ref name="directions de AMt et AM0 identiques"> <math>\;M_0\;</math> étant une position liée à <math>\;M_t</math>, si la direction de <math>\;AM_t\;</math> change, la direction de <math>\;AM_0\;</math> change simultanément.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}soit un vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> avec l'autre extrémité <math>\;A\;</math> du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> fixe, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> on envisage }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{AM} \right] = d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» d'où le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> s'écrit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{d M} = -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot \left\lbrace d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}</math> }}<math>= -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}explicitons <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}\;</math> qui étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{AM_0}^2 = l_0^{\,2} = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{AM_0} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math> d'où <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}\bigg\}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui }}est aussi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui est aussi <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;\overrightarrow{M_{0,\,t}M_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons }}d'où «<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math>» permettant de réécrire le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]}\;</math>» qui est effectivement }}<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] = d\! \left[ \dfrac{\overrightarrow{M_0M}^2}{2} \right]</math>. <center>« le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration" /> ».</center> === « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel === {{Al|5}}L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> c'est-à-dire son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal »<ref name="ressort idéal" /> notée <math>\;U_{\text{élast}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» soit «<math>\;-k\;(l - l_0)\; dl = -dU_{\text{élast}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!l,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!l,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou encore «<math>\;-k\;(l - l_0)\; d(l - l_0) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d (l - l_0)} = k\;(l - l_0)\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite"> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;\Delta l = l - l_0</math>.</ref> ou, en introduisant l'« allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d\, \Delta l} = k\;\Delta l\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{élast}}(M) = U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{k\, \left( \Delta l \right)^2}{2} + cste\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert \Delta l \vert\;</math><ref> L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point }}elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de }}la valeur absolue de l'allongement algébrique<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal</u><ref name="ressort idéal" /> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( \Delta l \right)^2 = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l - l_0 \right)^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c'est-à-dire <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0}</math>, on en déduit «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l) =}</math> }}avec référence « ressort à vide » ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> peut se réécrire <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}«<math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\; \overrightarrow{M_0M}^2\;</math> avec référence en <math>\;M_0\;</math> <math>\big(</math>position de <math>\;M\;</math> avec ressort à vide, la <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}direction de l'axe étant inchangée <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}par rapport à sa position à charge<math>\big)\;</math>». === Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal === [[File:Ressort idéal - énergie potentielle élastique.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l\;</math> de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort]] {{Al|5}}Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> du ressort <math>\;\big(l\;</math> étant la longueur du ressort à charge<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique }}est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre }}avec une unité d’abscisse arbitraire notée <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec }}l'unité d'ordonnée correspondante étant <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point <math>\;M\;</math> a une position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable"> Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui « n'est pas la position à vide »<ref name="équilibre hors position à vide"> Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur <math>\;M\;</math> comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.</ref>, on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> et l'énergie potentielle élastique s'écrivant <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l \right)^2 + cste</math>, la condition de référence <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}) = 0\;</math> nous conduit à <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} + cste</math> <math>= 0\;</math> soit <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2}\;</math> et par suite <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l \right)^2 - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right]\;</math> avec référence en la position d'équilibre » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on note «<math>\;x\;</math> l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «<math>\;\Delta l = \Delta l_{\text{éq}} + x\;</math>», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}} + x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l_{\text{éq}} + x \right)^{\!2} - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right] = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math>»<ref> <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> étant toujours <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big(</math>puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide<math>\big)</math>, l'énergie potentielle <u>purement élastique</u> du point matériel ne s'écrit jamais <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\;x^2}\;</math> avec <math>\;x = \Delta l - \Delta l_{\text{éq}} = \left( l - l_0 \right) - \left( l_{\text{éq}} - l_0 \right) = l - l_{\text{éq}}\;</math> <math>\big[</math>erreur encore trop fréquente<math>\big]</math>.</ref> ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative <math>\;\ldots</math> <br> == 4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point » == === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}Soit un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> « uniforme »<ref name="champ électrique uniforme"> Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est <math>\;\perp\;</math> aux armatures <math>\;\big(</math>sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches<math>\big)\;</math> et son sens est celui des potentiels électriques <math>\;\searrow</math> ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.</ref>, la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\vec{E}\;</math><ref name="uz sens des potentiels croissants"> Donc <math>\;\vec{u}_z\;</math> est dans le sens des potentiels électriques <math>\;\nearrow</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix pour analogie champs électrique et de pesanteur"> Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{g}\;</math> c.-à-d. dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;E = \Vert \vec{E} \Vert\;</math> est la norme du champ électrique terrestre et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où }}la « référence des potentiels électriques »<ref> Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».</ref> choisie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où la « référence }}confondue avec l’origine des cotes ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\big(</math>le cœfficient de <math>\;dz\;</math> étant une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> <math>\;q\;\vec{E}\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math><ref> On ne note pas <math>\;U_{\text{élect}}\;</math> pour des raisons évidentes, <math>\;U\;</math> étant réservée aux tensions électriques.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}se définit par «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» soit «<math>\;-q\;E\;dz = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{dz} = q\;E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z)</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par «<math>\;\color{transparent}{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} = q\;E}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)}</math> }}<math>= q\;E\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle électrostatique en</u> <math>\;z = 0\;</math> <math>\big(</math><u>endroit de la référence des potentiels électriques</u><ref> C.-à-d. la masse du circuit électrique.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z) = q\;E\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \left[ -E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -E\;dz\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>« cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépendant que de <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math>}}<math>\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel"> Voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à «<math>\;\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}(V)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit «<math>\;-E\;dz = -dV\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV}{dz} = E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V(M) = V(z) = E\; z + cste'\;</math>» et, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}avec choix de la référence des potentiels électriques en <math>\;z = 0</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, <br>{{Al|56}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;V(M) = V(z) = E\; z\;</math> <math>\big(</math>référence à l'origine des cotes<math>\big)\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> en <math>\;M\;</math> noté <math>\;V(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» à condition que « }}identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'origine des cotes «<math>\;V(M) = E\; z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels électriques. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M)\\ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on retrouve «<math>\;\vec{F}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math>». === En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme === {{Al|5}}On admet qu'un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> est un « champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|On admet qu'un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(M)}\;</math> quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> par }}ou «<math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\;</math>»<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ; <center>toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple »<ref> Par exemple avec <math>\;\vec{E}(M) = E_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + E_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_y + E_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z</math>, les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » (théorème de Poincaré réécrit en terme de champ vectoriel) du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte <math>\;dV = -\delta \mathcal{C}(\vec{E}) =</math> <math>- \left[ E_x(x,\, y,\, z)\, dx + E_y(x,\, y,\, z)\, dy + E_z(x,\, y,\, z)\, dz \right]\;</math> en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme…]] » du même chap.<math>28</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}« la force électrique exercée sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> placé dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> c'est-à-dire <math>\;q\; \vec{E}(M)\;</math> étant donc <u>conservative</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> }}dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}cette dernière étant liée au potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de cette dernière étant liée }}à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques. == 5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M » == === Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton === ==== Loi d'interaction de Coulomb ==== {{Al|5}}Entre deux points matériels <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> de charges respectives <math>\;q\;</math> et <math>\;q'\;</math> s'exerce une « interaction électrostatique » telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide s’écrivant <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> « la force }}«<math>\;r\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math>», «<math>\;\vec{u}_{M'M}\;</math> vecteur unitaire de la droite <math>\;MM'\;</math> dirigé de <math>\;M'\;</math> vers <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M\;</math> exerce sur <math>\;M'\;</math> dans le vide est l'opposé de celle que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\vec{F}_{M'\, \leftarrow\, M} = -\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{MM'}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}ces forces étant appelées « forces de Coulomb »<ref name="Coulomb" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] »<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité#Permittivité_du_vide_et_permittivité_relative|permittivité diélectrique de l'air sec]] étant <math>\;0,06\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> de valeur telle que «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.\;</math><ref name="U.S.I." /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'interaction électrostatique est « attractive pour <math>\;q\;q'\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'interaction électrostatique est }}« répulsive pour <math>\;q\;q'\;> 0\;</math>». ==== Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M ==== {{Al|5}}D'après la loi d'interaction de Coulomb<ref name="Coulomb" />, le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> la force électrostatique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce }}«<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="loi d'interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;r\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique du point <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» avec }}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|22}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» }}le repérage sphérique étant de pôle <math>\;O\;</math><ref name="repérage sphérique" />. {{Al|5}}<u>Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb</u><ref name="Coulomb" /> : le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}un vecteur champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> dont l'action sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> se révèle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}par « la force électrique définie par <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, \vec{E}_O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math> identique à <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O}\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}«<math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>existant même en absence de charge <math>\;q\;</math><ref> La présence d'une charge <math>\;q\;</math> en <math>\;M\;</math> permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge <math>\;q\;</math> est appelée « charge témoin ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centrifuge<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> répulsive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est attractive.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;< 0\;</math> {{Transparent|le champ électrique }}<math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centripète<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> attractive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est répulsive.</ref>. ==== Cas particulier du champ électrique créé par un proton ==== {{Al|5}}« Un proton placé en <math>\;O\;</math> étant de charge <math>\;q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> centrifuge », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique }}variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation }}<math>\big(</math>à l'exception du sens bien entendu<math>\big)</math>. === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> qu'un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur un autre point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow O} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{-1}{r}\bigg)\;</math> d'où <center>« la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math> sur un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{El\, \leftarrow Pr} = -e\; \vec{E}_{Pr}(M) = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> est une force conservative », <br>{{Transparent|« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;\color{transparent}{Pr}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{+e}\;</math> sur un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{-e}\;</math> à savoir}}<math>\;\big(</math>le proton <math>\;Pr\;</math> étant le pôle du repérage sphérique de l'électron <math>\;El\big)</math>.</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se détermine par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{r^2} = -r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>-\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle électrostatique due au point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle électrostatique }}est une fonction de valeur absolue <math>\;\searrow\;</math> avec la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie électrostatique due au point</u><math>\;O\;</math><u>de charge</u><math>\;q_O\;</math><u>à l'infini de ce dernier</u> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math>» ; <center>l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique du point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />, <br>{{Al|50}}<math>\big[</math>si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive <math>\;\searrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O</math>, <br>{{Al|55}}si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> soit «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\bigg[</math>« cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dr}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}le cœfficient de <math>\;dr\;</math> étant une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> s'intégrant en <math>\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math><ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable" /> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> en la position <math>\;M\;</math> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V_O(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV_O\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à <math>\;\vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right]\!(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr = -dV_O\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV_O}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r} + cste'\;</math>» ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}avec l'<math>\infty\;</math> pour référence des potentiels électriques, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les <math>\;2\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique en <math>\;M</math>, <math>\;V_O(M)</math>, dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}</math>, dont dérive le champ électrique }}créé par <math>\;O\;(q_O)\;</math> en <math>\;M</math> <br>{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» si « la référence }}est identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'<math>\infty\;</math> on a <math>\;V_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O} \right](M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V_O \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}d'où, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect},\leftarrow\,O} \right](M)\\ \vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> on retrouve «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math>». === « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton » === {{Al|5}}Cas particulier de l'exposé du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier de l'exposé du paragraphe }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier }}« l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> dans le champ électrique créé par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math>»<ref> L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}, \leftarrow\,Pr}(El) = -e\;V_{Pr}(El) = -e\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r} < 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;r\;</math> étant la distance séparant l'électron du proton »<ref> Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1^er <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton <math>\;\big(</math>dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Lois de la puiss. et de l'énerg. cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] }} dhpa3lbnxp54m72veo0vcrhoyc2cl5v 988223 988222 2026-11-08T22:17:53Z Phl7605 31541 /* 1ère définition d'une force « conservative » */ 988223 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « <u>forces ne dépendant pas explicitement du temps</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une force dépendant explicitement du temps<ref name="force conservative dépendant explicitement du temps"> Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer <u>en figeant le temps</u> mais <u>les conséquences énergétiques</u> qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps <u>ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps</u> ; <br>{{Al|3}}aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.</ref> sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après<math>\big)</math>. == 1^ère définition d'une force « conservative » == {{Définition|titre=1^ère définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> est indépendant du chemin suivi <math>\;(\Gamma)\;</math> »<ref name="travail non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> <center>ou ssi «<math>\;W_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>»<ref name="travail non nul" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>mais dépendant de <math>\;M_1\;</math> et de <math>\;M_2\big]\;</math> peut s'écrire sous <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence : }}la forme d'une différence de fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> prise entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c'est-à-dire «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1) = \Delta S_{\vec{F}}\;</math>». == 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative == === 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » === {{Définition|titre=2^ème définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique »<ref name="travail élémentaire non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> ou <center>ssi «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte »<ref name="travail élémentaire non nul" />{{,}}<ref name="différentielle totale"> Ou différentielle totale.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> d'une fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dS_{\vec{F}} = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}en notant <math>\;M'\;</math> le point infiniment voisin de <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>». === Justification de l'équivalence entre les deux définitions === {{Al|5}}<u>Justification directe</u> « 1^ère définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 2^ème définition » : si « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> tels que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math> ce qui se réécrit « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépend que des points extrêmes <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> et non du chemin utilisé » c'est-à-dire que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math>, <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M) = dS_{\vec{F}}\;</math> ». {{Al|5}}<u>Justification réciproque</u> « 2^ème définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math> », « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> est égal à <math>\;S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1)\;</math> sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> ». === Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N<ref name="C.N."> Conditions(s) Nécessaire(s).</ref>. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative</u> : Une force</u> <math>\;\vec{F}(M)</math>, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point <math>\;M\;</math> notées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow \rho\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow r\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)||Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>est conservative</u> <u>si les dérivées croisées des</u> fonctions <u>cœfficients des éléments de coordonnées</u> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés <math>\;\left( dx\,,\,dy\,,\,dz \right)\;</math><ref name="dx, dy, dz"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow d\rho = (dM)_\rho\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{\rho}\\ dz \rightarrow dz = (dM)_z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow dr = (dM)_r\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{r}\\ dz \rightarrow d \varphi = \dfrac{(dM)_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>de son travail élémentaire</u> <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> <u>sont égales</u> ce qui s'écrit, suivant le type de repérage, * en repérage cartésien : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial (\rho\; F_\theta)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial (\rho\;F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en cylindro-polaire"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho(M)\;d \rho + F_\theta(M)\;\rho\,d \theta + F_z(M)\;dz</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta (M) + \rho\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\;\left[ \dfrac{\partial (F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\; F_\theta \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;F_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en sphérique"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r(M)\;dr + F_\theta(M)\;r\,d \theta + F_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta(M) + r\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;F_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\;F_\varphi(M) + \sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : }}le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x"> Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore sphérique <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;\varphi</math>.</ref>, le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dx\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = d \rho\;\vec{u}_\rho</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et axiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dz\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dr\;\vec{u}_r</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et longitudale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\rho}{d \rho} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = \rho\;</math> et axiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_z}{dz} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_r}{dr} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = r\;</math> et longitudale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\varphi}{d \varphi} = r\;\sin(\theta)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable <math>\;x\;</math><ref> En effet dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dx + 0 \times dy\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial x} \right)_{\!\!y}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_x\;</math> indépendant de <math>\;y</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho\;d \rho + 0 \times \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\rho\;</math> indépendant de <math>\;\theta</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times d \rho + F_\theta \; \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;\rho\;</math> indépendant de <math>\;\rho\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{\rho}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r\;dr + 0 \times r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_r\;</math> indépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + F_\theta \; r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;r\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{r}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + 0 \times r\; d \theta + F_\varphi \; r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\varphi\;r\;\sin(\theta)\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\varphi\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\varphi)}{r\;\sin(\theta)}</math>.</ref>. === Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Rappel de préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S<ref name="C.S."> Conditions(s) Suffisante(s).</ref>. pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel de préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}Ci-dessous le théorème de Poincaré<ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force soit conservative. {{Théorème| titre= Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles) |contenu ={{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire <u>vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées</u> des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un <u>ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^n,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math> ; on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P</math> » <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> de son domaine de définition est une force conservative. <center><math>\Updownarrow</math></center> {{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est <u>fermé<ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée" /> de son domaine de définition est une force conservative.}} {{Al|5}}<u>C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x" /> le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx" /> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est conservative pour <math>\;M \in\;</math> à la courbe continue paramétré par <math>\;x\big]\;</math> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable {{Nobr|<math>\;x\;</math><ref> Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.</ref>}} en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable<ref> Ceci correspondant à un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math> sur lequel le travail élémentaire est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N<ref name="C.N." />. pour qu'elles soient conservatives <math>\;\big[</math>à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par <math>\;x\;</math> la fonction cœfficient de <math>\;dx\;</math> ne dépendant que de <math>\;x\;</math> ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire<ref name ="forme différentielle fermée" /><math>\big]\;</math> sont usuellement définies sur une [[w:Partie_étoilée|partie étoilée]]<ref name="partie étoilée" /> et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que leur travail élémentaire est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> sans vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]]<ref name="partie étoilée" /> de la partie sur laquelle elles sont définies. == Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative == === 1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition| titre=1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative| contenu ={{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]\;</math> est le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> s'identifie à l'opposé de la différentielle de <math>\;U_{\vec{F}}(M)</math> » soit <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math>» ou «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}}\;</math>»<ref> On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt <math>\;\big(</math>raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> En accord avec la définition des « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point <math>\;M\;</math> se déplace sur une courbe continue.</ref> ;</center>}} {{Al|5}}dans le S.I<ref name="S.I."> Système International.</ref>. des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en <math>\;J</math>. === Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}\;</math> : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive la force conservative » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}\;</math> : <u>Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées</u> est <u>la différence de l'énergie potentielle du point matériel</u> dans le champ de force conservative <u>entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie</u> soit «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"/> indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» se réécrit avec <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math> «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = U_{\vec{F}}(M_1) - U_{\vec{F}}(M_2) =</math> <math>-\Delta U_{\vec{F}}\;</math>». === 2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative|contenu ={{Al|5}}On appelle énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]</math>, le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit l'opposé de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> c'est-à-dire <center>«<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.</ref> : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}le gradient du champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> tel que sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit la différentielle du champ scalaire<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «<math>\;\left\lbrace \vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et par suite «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}réciproquement si on multiplie chaque membre de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative. == 1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique == {{Al|5}}Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, entre un instant initial <math>\;t_1\;</math> et un instant final <math>\;t_2</math>, en distinguant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> dont on utilise le caractère conservatif <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)}\;</math> }}en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée <math>\;U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>des « forces non conservatives »<ref name="forces non conservatives"> Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.</ref> <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}soit «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1) = \Delta K_M\;</math>» où on remplace le travail de chaque force conservative par «<math>\;W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_1) - U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_2) = -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = \sum\limits_j \left[ -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] = - \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «<math>\;- \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta K_M\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}en transposant les termes d'énergies potentielles <math>\;\big(</math>ce qui entraîne un changement de signe<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;\sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta\! \left[ K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» c'est-à-dire une relation définissant une <u>'''nouvelle''' grandeur énergétique</u>, <u>'''somme'''</u> de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur <u>'''restant constante en absence de travail des forces non conservatives'''</u><ref name="forces non conservatives" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}on comprend donc l'importance du signe <math>\;-\;</math> dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «<math>\;-\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math> devenant, lors du changement de membre, <math>\;+\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas » est la « <u>somme</u> » <math>\;\big(</math>et non la différence<math>\big)\;</math> de termes ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;2\;</math> contributions <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;K_M\;</math>»<ref> Grandeur <u>dépendant du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la cinétique du point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>»<ref> D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;<br>{{Al|3}}enfin on admettra que l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie<math>\big)\;</math> est <u>indépendante du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la position du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» }}dans le champ de forces conservatives. == Exemples de forces « non conservatives » == === La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives » === ==== Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide ==== {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c.-à-d._sans_frottement)_ou_non_idéales_(c.-à-d._avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = 0\;</math>» car <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à la surface du solide en <math>\;M\;</math> est toujours <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.</ref> étant toujours colinéaire et de sens opposé au <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0}\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> étant }}vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|base<math>\big)\;</math>}} de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{s\;</math> abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d.27un_point_sur_une_courbe_continue|Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}la force de frottement solide «<math>\;\vec{R}_\tau = \overline{R_\tau}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{R_\tau} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref> soit, avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide }}la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du frottement solide avec glissement<ref name="loi de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \mu_d\;R_n\;</math>» avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;\mu_d\;</math> le cœfficient de frottement dynamique » et <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;R_n > 0\;</math> la composante normale de la réaction »<ref> On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> dans le solide.</ref>, d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}l'expression du travail de la force de frottement «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \mu_d\;R_n(s) \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn"> Où <math>\;\mathrm{sgn}(x)\;</math> est la fonction « signe de <math>\;x</math> » telle que <math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\-1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}pour un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math> car <math>\;ds\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math><ref> Cas assez fréquent.</ref>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right) < 0\;</math>»<ref name="assez fréquent"> Dans le cas assez fréquent où <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math> avec un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;s_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;s_1</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}ce résultat montrant clairement <math>\;\big(</math>dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante<math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement }}que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi<ref> <math>\;s_2 - s_1\;</math> étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que }}ceci restant vrai même si <math>\;R_n(s)\;</math> n'est pas constante<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,<br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. ==== Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non ==== {{Al|5}}La résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide"> Encore appelée force de frottement fluide.</ref> d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un fluide<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative, que le frottement soit linéaire<ref name="frottement fluide linéaire> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, quadratique<ref name="frottement fluide quadratique> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou autres<ref name="frottement fluide à vitesse élevée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}son travail le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie par <math>\;M\;</math> pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> est <math>\;< 0\;</math>» car, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}pour un solide assimilable à un point matériel, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" />, on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet" /> où <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne" /> mesurée à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur celle-ci et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref>, <math>\;\vert \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \vert\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert v_M(t) \vert = \vert \dot{s}_M(t) \vert\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ \dot{s}(t) \right] \Vert \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour une forme quadratique de force de frottement fluide <math>\;\Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert = h'\;v^2(t)\;</math><ref> Très fréquent.</ref> avec <math>\;h'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}constante positive caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide<ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut trouver plus de détails dans la note [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#cite_note-30|³⁰]] du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique constante positive caractéristique }}et de la densité de ce dernier<ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt < 0\;</math>»<ref name="cas très fréquent"> Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}ce résultat permettant d'établir <math>\;\big(</math>dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide<math>\big)</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> ainsi que celle d'abscisse curviligne<ref name="abscisse curviligne" /> du point, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi<ref> En supposant, par exemple, que de la connaissance de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v = v(t)\\ s = s(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et par élimination de <math>\;t\;</math> on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit <math>\;v = v(s)\;</math> ce qui permettrait de réécrire, avec <math>\;v(t)\;dt = ds</math>, et en supposant le mouvement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} v^2(s)\;ds\;</math> et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir que }}ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide" /> sur un point <math>\;M\;</math> développe un travail négatif », <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> en conclusion «}}<math>\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position <u>ne définit pas un champ de forces</u> et qu'il est par conséquent <u>inutile d'envisager son caractère conservatif</u>, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif. ==== Forces de liaison par fil idéal tendu ==== {{Al|5}}La force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par un fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> tendu sur un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#4ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fil,_cas_du_fil_idéal|4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont la norme <math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert\;</math> définit la tension du fil idéal<ref name="fil idéal" /> est non conservative, son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T}) =</math> <math>\vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> n’étant en général pas une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" />{{,}}<ref> Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour <math>\;\vec{T} = \overrightarrow{\text{cste}}\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\uparrow\;</math><u>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : on suspend un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à l'aide d'une corde idéale<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}sur <math>\;M\;</math> s'exercent <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> qui fait que le point <math>\;\downarrow\;</math> en absence d'autres forces et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{T}\;</math> de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction }}<math>\;\vec{T}\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» ou, en prenant <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;-m\;g\;\vec{u}_z + T\;\vec{u}_z = m\;a_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right]\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}« la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour hisser <math>\;M\;</math> d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2\;</math> on peut régler le mouvement de montée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}<math>\big[</math>c'est-à-dire qu'on peut régler <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> en modifiant la tension de la corde<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> }}ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «<math>\;\vec{T}\;</math> non conservatif »<ref> Pour la montée verticale de <math>\;M\;</math> la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;<br>{{Al|3}}on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où <math>\;\vec{T}\;</math> en une même position <math>\;M\;</math> dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\uparrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;> 0</math>, le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> avec <math>\;dz > 0\;</math>» est tel que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> montant de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz > 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer l'évaluation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}celle-ci vérifiant que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde"> En effet si on connaît la loi horaire de position <math>\;z = z(t)\;</math> et que cette loi soit inversable on peut en déduire <math>\;t = t(z)\;</math> et réécrire le travail de la force selon <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <math>\displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left\lbrace g + a_{M,\,z}\!\left[ t(z) \right] \right\rbrace dz\;</math> permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une traction douce d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} m\; g\; dz = m\;g\;h\;</math> ou * une traction rapide d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq 2\;m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} 2\;m\; g\; dz = 2\;m\;g\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour monter le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}<math>\Rightarrow\;</math> la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « motrice ». {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\downarrow\;</math><u>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : dans le paragraphe précédent relatif à la <math>\;\uparrow\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, on a établi que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde sur <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force }}<math>\;\vec{T} = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\downarrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dz < 0 \\ T > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En supposant que le fil reste tendu.</ref> suit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> <math>\downarrow\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}<math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<math>\displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où }}<math>\Rightarrow\;</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde" />{{,}}<ref> Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une retenue forte d'accélération <math>\;a_{M,\,z} < 0\;</math> telle que <math>\;\vert a_{M,\,z} \vert \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} m\; g\; dz</math> <math>= -m\;g\;h\;</math> ou * une retenue faible d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq -\dfrac{g}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq \dfrac{m\;g}{2}\;</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} \dfrac{m\;g}{2}\; dz = -\dfrac{m\;g}{2}\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour descendre le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « résistive ». {{Al|5}}En conclusion, la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par une corde idéale<ref name="fil idéal" /> sur un point <math>\;M\;</math> est « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|En conclusion, la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par une corde idéale sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}développe « un travail positif ou négatif », <math>\;\vec{T}(M)\;</math> est donc « motrice ou résistive »<ref> Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».</ref>. === Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal === {{Al|5}}Parmi toutes les forces de contact <math>\big[</math>détaillées dans le chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qu'un point <math>\;M\;</math> peut subir c'est l'« <u>unique force de contact conservative</u> »<ref> N'a donc pas sa place dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Exemples_de_forces_«_non_conservatives_»|Exemples de forces non conservatives]] » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».</ref>, elle sera étudiée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#3ème_exemple_de_force_conservative_:_la_«_tension_d'un_ressort_idéal_lié_à_un_point_matériel_»_et_l'«_énergie_potentielle_élastique_du_point_»|3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point]] » plus bas dans ce chapitre. == Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Définition| titre= Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)| contenu ={{Al|5}}L'« énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« énergie mécanique }}est la grandeur scalaire <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;K_M(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <br>{{Al|35}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de }}<math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}cette énergie ne dépendant pas explicitement de <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> cette énergie }}étant indépendante du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.}} {{Al|5}}Dans le S.I<ref name="S.I." />. des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en <math>\;J</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive le champ de forces conservatives » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». == Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Al|5}}Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., <br>{{Al|5}}seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|Point matériel à mouvement conservatif]] » plus bas dans ce chapitre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation }}détaillés au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation introduits}}sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I.. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail <math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" /> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> correspondants <math>\;\Delta E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1)\;</math>» soit <center>«<math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1) = \Delta E_{m,\,M}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> sur cette même durée</u>. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail élémentaire <math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives {{Nobr|<math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" />}} appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement élémentaire dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>selon n'importe quelle {{Nobr|direction<math>\big)\;</math>»}} est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t</math> <math>\;d E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math><ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d E_{m,\,M}\;</math> et la différence <math>\;E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t) = dE_{m,\,M}\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" />.</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux élémentaires</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Al|5}}La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_justification_du_signe_«_-_»_dans_la_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»_par_réécriture_du_théorème_de_l'énergie_cinétique|1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser <math>\;t_1 = t\;</math> et <math>\;t_2 = t + dt\;</math> <math>\big\{</math>en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car <math>\;dt\;</math> y est toujours aussi petit que possible<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" /><math>\big\}</math>. === Point matériel « à mouvement conservatif » === {{Définition| titre=Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »|contenu={{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas<ref> Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini <math>\;\big(</math>même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé<math>\big)</math> car le travail d'une force dépend du référentiel</ref>.}} {{Al|5}}<u>Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen</u> : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante : <center>« <u>Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée</u> »<ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ; <br>{{Al|3}}a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul<math>\big)\;</math> et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée <math>\;\big(</math>rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable<math>\big)</math>.</ref>.</center> == 2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative == === Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> qui lui est imposé dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}on exerce sur <math>\;M\;</math> une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> }}permettant le déplacement du point d'une position initiale <math>\;M_{\text{ini}}\;</math> vers une position finale <math>\;M_{\text{fin}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> permettant le déplacement du point }}de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique"> C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que <math>\;K_M(t) \simeq 0\;</math> en toute position.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}« le travail développé dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par la force motrice<ref name="force motrice considérée comme non conservative"> Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.</ref> <math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> à déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" /> »<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique"> Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où <br>{{Al|3}}à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n}\;</math> avec <math>\;n \geqslant 1\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, }}d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessite une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty\;</math> <math>\big(</math>car à vitesse <math>\;v_M \simeq 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie }}est de valeur absolue d'ordre de grandeur <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n} \times \Delta s_M \simeq 0\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M}}\;</math> }}«<math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}}) + W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>». === Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}En l'absence de forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> travaillant lors d'un déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" />{{,}}<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique" /> c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou <br>{{Al|23}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « }}une force de frottement solide »<ref> Liste non exhaustive.</ref>{{,}}<ref name="forces non conservatives travaillant à déplacement quasi-statique"> Bien qu'à déplacement quasi-statique <math>\;v_M \simeq 0\;</math> ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessitant une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty</math>, ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force <math>\;\times \Delta s_M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force <math>\;\times \Delta t_M\;</math> de forme indéterminée <math>\;0 \times \infty\;</math>»<math>\big\}</math>, raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, une force motrice }}«<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t\;</math>»<ref> On adapte donc à chaque instant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> pour être opposée à <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.</ref> et {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on applique à <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\; \cancel{+\; \sum\limits_i W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{i,\,\text{non cons. à trav. nul}})}\; = \Delta E_{m,\,M} = E_m(M_{\text{fin}}) - E_m(M_{\text{ini}})\;</math>»<ref name="force motrice considérée comme non conservative" /> avec, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}compte-tenu du déplacement quasi-statique de <math>\;M\;</math><ref name="déplacement quasi-statique" />, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M) \simeq U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}Or la force motrice étant choisie telle que <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t</math>, on en déduit «<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = -W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, «<math>\;-W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» dont on déduit la propriété suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = -\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}\;</math>»<ref name="propriétés de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en considérant un déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> quelconque, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) = -d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique - bis"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math> et la différence <math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec <math>\;\overrightarrow{M_tM_{t + dt}}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}})}</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}ce qui justifie la présence du signe «<math>\;-\;</math>» dans les définitions de l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />. == Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique » == === Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{Al|5}}<u>La puissance mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point</u> <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t)\;</math><ref name="puissance mécanique"> Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.</ref> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{E}_{m,\,M}(t)\big]</math>. === Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique » === {{Al|5}}À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale<ref name="forme locale associée à une forme intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » (ou vice-versa) du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par <math>\;dt\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale }}«<math>\;\dfrac{\sum\limits_i \delta W\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]}{dt} = \dfrac{dE_{m,\,M}}{dt}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}en reconnaissant la puissance mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le membre de droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant }}la puissance des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquée à <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le membre de gauche <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center> === Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{théorème | titre= Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique }}sont <u>les puissances</u><math>\;\big(</math><u>non nulles</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif » === {{Al|5}}On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous : {{Al|5}}<u>Définition</u><math>\;\big(</math><u>équivalente</u><math>\big)</math> : Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne développent aucune puissance soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> si les éventuelles forces non conservatives }}«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence dans un référentiel galiléen</u> : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}« <u>l'énergie mécanique du point</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen</u> ». == 1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point » == === Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> « uniforme »<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme"> Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à <math>\;1\,\%\;</math> près dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, le poids d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\color{transparent}{\vec{g}}\;</math> « uniforme », le poids d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est l'intensité de la pesanteur terrestre ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> d'où <center>« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est une force conservative ».</center> === « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}L'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme }}se détermine par «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» soit «<math>\;-m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même, en cylindro-polaire, }} le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{pes}}}{dz} = m\;g\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle de pesanteur en</u><math>\;z = 0\;\big(</math><u>niveau du sol</u><math>\big)\;</math> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{pes}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>À retenir</u> : Si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\uparrow</math>, «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> avec la référence en <math>\;z = 0\;</math>» <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|À retenir : }}si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\downarrow</math>, on obtient, « avec la même référence, <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math>»<ref> En effet, <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dz} = -m\;g\;</math> soit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math> <math>= -m\;g\;z\;</math> si référence en <math>\;z = 0</math>.</ref> <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la profondeur <math>\;z\big]</math>. === Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}<u>Toute énergie potentielle</u> d'un point matériel <math>\;M\;</math> est une « <u>réserve d'énergie</u> pour <math>\;M\;</math>» <math>\blacktriangleright\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie <math>\;\big(</math>par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément }}en énergie cinétique<math>\big)\;</math>»<ref> Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ; <center>cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> un point matériel <math>\;M\;</math> au repos à une altitude <math>\;z</math>, possède l’énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z > 0\;</math> si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au repos à une altitude <math>\;\color{transparent}{z}</math>, }}possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}abandonné à lui-même, <u>il chute spontanément</u> en acquérant de l’énergie cinétique <math>\;K_M \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> abandonné à lui-même, }}la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air »<ref> Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi * à déformer l'objet assimilé à un point matériel <math>\;\big(</math>on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables<math>\big)\;</math> toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique <math>\;\big(</math>celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides<math>\big)\;</math> doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique<math>\big)\;</math> ou * à l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre alors dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne<math>\big)\;</math> ou encore * à le déformer et l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre encore dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le replacer à l'altitude initiale <math>\;z\big)</math>, il faut exercer sur lui une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> <math>\uparrow\;</math> de manière « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" />,<br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire <math>\;\big(</math>énergie potentielle pour nous<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation }}en énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\nearrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}le théorème de la variation d’énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> appliqué à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(M_z) - E_m(M_0) = U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{E_m(M_z) - E_m(M_0)}</math> }}<math>= W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) > 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;K_M(t) \simeq 0\;\;\forall\;t\;</math> d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables <math>\;\big(</math>elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> à exercer pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fasse de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" /> est l'opposé de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -m\;\vec{g}\;</math>»<ref> En effet les seules forces étant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> et <math>\;m\;\vec{g}\;</math> <math>\big(</math>les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle<math>\big)\;</math> d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n. <math>\;\ldots</math></ref> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> la force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> à exercer }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) = W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(-m\;\vec{g}) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>»<ref> Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «<math>\;-\;</math>» dans la définition de l'énergie potentielle «<math>\;W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g}) = -\left[ U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) \right]\;</math>».</ref>. == 2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point » == <center>Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique »<ref name="astre à symétrie sphérique"> Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre de l'astre.</ref>, c'est une bonne approximation pour <br>le Soleil « {{grossir|☉|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique"> Symbole astronomique.</ref> et les planètes qui gravitent autour de lui <math>\;\big(</math>dont la Terre « {{grossir|♁|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique" /><math>\big)\;</math> ainsi que <br>les plus gros satellites naturels de ces planètes <math>\;\big(</math>dont la Lune « {{grossir|☽|facteur=1.25}} »<ref> Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été « {{grossir|☾|facteur=1.25}} » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Sur les 79 satellites naturels de Jupiter <math>\;\big(</math>la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique {{grossir|♃|facteur=1.25}} et de volume mille trois cents fois celui de la Terre<math>\big)\;</math> confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Jupiter, Io <math>\;\big(</math>de taille similaire à celle de la Lune<math>\big)</math>, Europe <math>\;\big(</math>de même taille que Io<math>\big)</math>, Ganymède <math>\;\big(</math>le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune<math>\big)\;</math> et Callisto <math>\;\big(</math>le 3^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune<math>\big)</math>, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en [[w:Résonance_orbitale|résonance orbitale]], ce qui a pour conséquence la [[w:Résonance orbitale#Stabilité des orbites|stabilité des orbites]]<math>\big]</math>, les autres ont une forme irrégulière ;<br>{{Al|3}}il en est de même pour Saturne <math>\;\big(</math>de symbole astronomique {{grossir|♄|facteur=1.5}} et de volume neuf cents fois celui de la Terre<math>\big)</math>, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Saturne, Mimas <math>\;\big(\simeq 400\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Encelade <math>\;\big(\simeq 500\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Téthys <math>\;\big(\simeq 1050\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Dioné <math>\;\big(\simeq 1100\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Rhéa <math>\;\big(\simeq 1550\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>le 2^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, <math>\simeq 5150\;km\;</math> de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote<math>\big)</math> et Japet <math>\;\big(\simeq 1450\;km\;</math> de diamètre<math>\big)\big]</math>, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>.</center> === Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> de masse <math>\;m_{\!\mathcal{A}}\;</math> et de rayon <math>\;R_{\!\mathcal{A}}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les coordonnées sphériques du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> sont <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;\color{transparent}{O_{\!\mathcal{A}}}\;</math> de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\!\mathcal{A}}}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math>,}} la base sphérique liée à <math>\;M</math>, <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}la position de <math>\;M\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;r > R_{\!\mathcal{A}}</math>, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point <math>\;M\;</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui }}«<math>\;\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>», «<math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la [[w:Constante_de_gravitation|constante de gravitation universelle]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui «<math>\;\color{transparent}{\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\; \vec{u}_r}\;</math>», « }}<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\; 10^{-11}\; S.I.\;</math>»<ref name="U.S.I."> [[w:Unités_de_base_du_Système_international|Unité du Système International]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s’écrit donc «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{1}{r}\bigg)\;</math> <center>d'où « la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation créé par l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> notée <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» soit «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{dr} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M) = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{r^2} = r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{-1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> à l'<math>\infty\;</math> de ce dernier</u><ref name="référence à l'infini"> Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.</ref> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = 0</math>, on obtient «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r}\;</math>» ; <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /></u> : <br>{{Al|5}}en choisissant la <u>référence au niveau du sol de l'astre</u> c'est-à-dire <math>\;r = R_{\!\mathcal{A}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(R_{\!\mathcal{A}}) = 0\;</math> dont on déduit <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}} + cste = 0\;</math> soit <math>\;cste = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\!\mathcal{A}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m\;\dfrac{r - R_{\!\mathcal{A}}}{R_{\!\mathcal{A}}\;r}\;</math> avec référence à la surface de l'astre »<ref name="référence à la surface de l'astre"> Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}\;</math> avec référence à la surface terrestre »<ref name="référence à la surface de l'astre" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique, car <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(R_{\text{♁}} + z) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{R_{\text{♁}} + z} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> === Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre === [[File:Énergie potentielle gravitationnelle terrestre.png|thumb|500px|Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> en fonction de sa distance <math>\;r\;</math> au centre de la Terre, avec référence à l'infini, <math>\;r\;</math> et <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> étant en grandeurs réduites<ref> C.-à-d. respectivement en unité <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre, }}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}} \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des <math>\;r\;</math>». {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r} + \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> de la quantité <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math> <math>\big\{</math>à tracer soi-même<math>\big\}</math>, d'où le graphe s'identifiant à <br>{{Al|5}}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère" /> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}d'équation «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}},\;\;\forall\;r\;</math>» soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> et d'ordonnée <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>. === Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol === {{Al|5}}Après définition de l'« altitude du point <math>\;M\;</math> par rapport au niveau du sol terrestre selon <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de }}l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;M\;</math> avec référence au niveau du sol «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}} + z} = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z)\;</math>»<ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> est notée <math>\;U(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = U(r)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = f(r)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U(r) \\ U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = U(r) \\ U = U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;g(z)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = f(r) \\ U = g(z)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> avec référence au niveau du sol selon }}<math>\;\big[</math>on vérifie qu'il s'agit d'une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\big]</math> ; {{Al|5}}dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre <math>\;\bigg(\!</math>par exemple <math>\;z \lesssim \dfrac{R_{\text{♁}}}{100} \simeq 64\;km\!\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}on peut considérer <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut }}réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" /> ou, en en prenant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" />{{,}}<ref> En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où <math>\;\dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}} = \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{-1} \simeq 1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z = m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z\;</math>»<ref name="abus de notation" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}avec «<math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ». {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre <math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre }}l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;g</math>, on observe alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification }}avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c c l} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M) \simeq m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z \!\!&\simeq&\!\! m\;g\;z = U_{\text{pes}}(M) \\ \qquad\text{si } z \ll R_{\text{♁}} \!\!&&\!\! \text{si }\vec{g} \text{ est uniforme}\end{array}\right\rbrace\;</math>». == 3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point » == === Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe === [[File:Ressort idéal et force exercée sur une extrémité.png|thumb|Schéma d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives <math>\;\big(</math>ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide<math>\big)\;</math> et parfaitement élastique.</ref> dont une extrémité est liée à un point matériel <math>\;M</math>, l'autre extrémité étant notée <math>\;A</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position qu'occuperait <math>\;M\;</math> si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée]] {{Al|5}}Notant <math>\;A\;</math> l'autre extrémité du ressort « idéal »<ref name="ressort idéal" /> lié au point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;l_0\;</math> la longueur à vide du ressort et <math>\;k\;</math> la raideur de ce dernier, <br>{{Al|5}}la « force que le ressort exerce sur <math>\;M\;</math>»<ref name="tension du ressort"> Appelée vecteur tension du ressort <math>\;\big(</math>ou simplement tension du ressort<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\vec{T}\;</math><ref> En absence d'ambiguïté.</ref> est donnée par la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]] <ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> «<math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>»<ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|Cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon avec « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;l = \Vert \overrightarrow{AM} \Vert\;</math> étant la longueur à charge du ressort », {{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}loi de Hooke<ref name="Hooke" /> que l'on peut réécrire selon «<math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math>» avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}«<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ; {{Al|5}}quand <math>\;A\;</math> est fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le meilleur repérage du point <math>\;M\;</math> est le repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" />, dans ces conditions <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> lié à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}« la longueur à charge <math>\;l\;</math> s'identifiant au rayon polaire <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel === {{Al|5}}Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on déplace de façon élémentaire le point <math>\;M\;</math> selon le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, l'extrémité <math>\;A\;</math> étant fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" /> » pour <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur <math>\;l\;</math> à charge du ressort, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> » pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les deux autres étant angulaires notées respectivement <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math><ref> Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on en déduit le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}</math>, «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = -k\;(l - l_0)\; \vec{u}_r \cdot \left[ dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi \right] = -k\;(l - l_0)\; dl\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dl\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où }}<math>\;\big(</math>en effet le cœfficient de <math>\;dl\;</math> est une [[w:Fonction_affine|fonction affine]] s'intégrant en [[w:Fonction_quadratique|fonction quadratique]]<math>\big)\;</math> <center>d'où « le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration"> Nous nous limitons à ce cas car <math>\;A\;</math> mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de <math>\;t</math>.</ref> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}<u>Autre démonstration</u><ref> Plus délicate, préférer la précédente.</ref> : partant de <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math> avec «<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge <math>\;M_t\;</math>»<ref name="directions de AMt et AM0 identiques"> <math>\;M_0\;</math> étant une position liée à <math>\;M_t</math>, si la direction de <math>\;AM_t\;</math> change, la direction de <math>\;AM_0\;</math> change simultanément.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}soit un vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> avec l'autre extrémité <math>\;A\;</math> du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> fixe, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> on envisage }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{AM} \right] = d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» d'où le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> s'écrit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{d M} = -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot \left\lbrace d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}</math> }}<math>= -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}explicitons <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}\;</math> qui étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{AM_0}^2 = l_0^{\,2} = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{AM_0} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math> d'où <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}\bigg\}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui }}est aussi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui est aussi <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;\overrightarrow{M_{0,\,t}M_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons }}d'où «<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math>» permettant de réécrire le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]}\;</math>» qui est effectivement }}<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] = d\! \left[ \dfrac{\overrightarrow{M_0M}^2}{2} \right]</math>. <center>« le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration" /> ».</center> === « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel === {{Al|5}}L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> c'est-à-dire son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal »<ref name="ressort idéal" /> notée <math>\;U_{\text{élast}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» soit «<math>\;-k\;(l - l_0)\; dl = -dU_{\text{élast}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!l,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!l,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou encore «<math>\;-k\;(l - l_0)\; d(l - l_0) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d (l - l_0)} = k\;(l - l_0)\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite"> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;\Delta l = l - l_0</math>.</ref> ou, en introduisant l'« allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d\, \Delta l} = k\;\Delta l\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{élast}}(M) = U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{k\, \left( \Delta l \right)^2}{2} + cste\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert \Delta l \vert\;</math><ref> L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point }}elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de }}la valeur absolue de l'allongement algébrique<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal</u><ref name="ressort idéal" /> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( \Delta l \right)^2 = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l - l_0 \right)^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c'est-à-dire <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0}</math>, on en déduit «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l) =}</math> }}avec référence « ressort à vide » ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> peut se réécrire <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}«<math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\; \overrightarrow{M_0M}^2\;</math> avec référence en <math>\;M_0\;</math> <math>\big(</math>position de <math>\;M\;</math> avec ressort à vide, la <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}direction de l'axe étant inchangée <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}par rapport à sa position à charge<math>\big)\;</math>». === Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal === [[File:Ressort idéal - énergie potentielle élastique.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l\;</math> de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort]] {{Al|5}}Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> du ressort <math>\;\big(l\;</math> étant la longueur du ressort à charge<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique }}est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre }}avec une unité d’abscisse arbitraire notée <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec }}l'unité d'ordonnée correspondante étant <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point <math>\;M\;</math> a une position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable"> Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui « n'est pas la position à vide »<ref name="équilibre hors position à vide"> Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur <math>\;M\;</math> comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.</ref>, on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> et l'énergie potentielle élastique s'écrivant <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l \right)^2 + cste</math>, la condition de référence <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}) = 0\;</math> nous conduit à <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} + cste</math> <math>= 0\;</math> soit <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2}\;</math> et par suite <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l \right)^2 - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right]\;</math> avec référence en la position d'équilibre » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on note «<math>\;x\;</math> l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «<math>\;\Delta l = \Delta l_{\text{éq}} + x\;</math>», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}} + x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l_{\text{éq}} + x \right)^{\!2} - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right] = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math>»<ref> <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> étant toujours <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big(</math>puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide<math>\big)</math>, l'énergie potentielle <u>purement élastique</u> du point matériel ne s'écrit jamais <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\;x^2}\;</math> avec <math>\;x = \Delta l - \Delta l_{\text{éq}} = \left( l - l_0 \right) - \left( l_{\text{éq}} - l_0 \right) = l - l_{\text{éq}}\;</math> <math>\big[</math>erreur encore trop fréquente<math>\big]</math>.</ref> ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative <math>\;\ldots</math> <br> == 4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point » == === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}Soit un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> « uniforme »<ref name="champ électrique uniforme"> Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est <math>\;\perp\;</math> aux armatures <math>\;\big(</math>sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches<math>\big)\;</math> et son sens est celui des potentiels électriques <math>\;\searrow</math> ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.</ref>, la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\vec{E}\;</math><ref name="uz sens des potentiels croissants"> Donc <math>\;\vec{u}_z\;</math> est dans le sens des potentiels électriques <math>\;\nearrow</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix pour analogie champs électrique et de pesanteur"> Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{g}\;</math> c.-à-d. dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;E = \Vert \vec{E} \Vert\;</math> est la norme du champ électrique terrestre et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où }}la « référence des potentiels électriques »<ref> Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».</ref> choisie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où la « référence }}confondue avec l’origine des cotes ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\big(</math>le cœfficient de <math>\;dz\;</math> étant une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> <math>\;q\;\vec{E}\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math><ref> On ne note pas <math>\;U_{\text{élect}}\;</math> pour des raisons évidentes, <math>\;U\;</math> étant réservée aux tensions électriques.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}se définit par «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» soit «<math>\;-q\;E\;dz = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{dz} = q\;E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z)</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par «<math>\;\color{transparent}{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} = q\;E}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)}</math> }}<math>= q\;E\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle électrostatique en</u> <math>\;z = 0\;</math> <math>\big(</math><u>endroit de la référence des potentiels électriques</u><ref> C.-à-d. la masse du circuit électrique.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z) = q\;E\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \left[ -E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -E\;dz\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>« cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépendant que de <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math>}}<math>\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel"> Voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à «<math>\;\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}(V)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit «<math>\;-E\;dz = -dV\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV}{dz} = E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V(M) = V(z) = E\; z + cste'\;</math>» et, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}avec choix de la référence des potentiels électriques en <math>\;z = 0</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, <br>{{Al|56}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;V(M) = V(z) = E\; z\;</math> <math>\big(</math>référence à l'origine des cotes<math>\big)\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> en <math>\;M\;</math> noté <math>\;V(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» à condition que « }}identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'origine des cotes «<math>\;V(M) = E\; z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels électriques. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M)\\ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on retrouve «<math>\;\vec{F}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math>». === En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme === {{Al|5}}On admet qu'un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> est un « champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|On admet qu'un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(M)}\;</math> quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> par }}ou «<math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\;</math>»<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ; <center>toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple »<ref> Par exemple avec <math>\;\vec{E}(M) = E_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + E_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_y + E_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z</math>, les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » (théorème de Poincaré réécrit en terme de champ vectoriel) du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte <math>\;dV = -\delta \mathcal{C}(\vec{E}) =</math> <math>- \left[ E_x(x,\, y,\, z)\, dx + E_y(x,\, y,\, z)\, dy + E_z(x,\, y,\, z)\, dz \right]\;</math> en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme…]] » du même chap.<math>28</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}« la force électrique exercée sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> placé dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> c'est-à-dire <math>\;q\; \vec{E}(M)\;</math> étant donc <u>conservative</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> }}dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}cette dernière étant liée au potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de cette dernière étant liée }}à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques. == 5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M » == === Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton === ==== Loi d'interaction de Coulomb ==== {{Al|5}}Entre deux points matériels <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> de charges respectives <math>\;q\;</math> et <math>\;q'\;</math> s'exerce une « interaction électrostatique » telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide s’écrivant <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> « la force }}«<math>\;r\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math>», «<math>\;\vec{u}_{M'M}\;</math> vecteur unitaire de la droite <math>\;MM'\;</math> dirigé de <math>\;M'\;</math> vers <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M\;</math> exerce sur <math>\;M'\;</math> dans le vide est l'opposé de celle que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\vec{F}_{M'\, \leftarrow\, M} = -\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{MM'}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}ces forces étant appelées « forces de Coulomb »<ref name="Coulomb" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] »<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité#Permittivité_du_vide_et_permittivité_relative|permittivité diélectrique de l'air sec]] étant <math>\;0,06\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> de valeur telle que «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.\;</math><ref name="U.S.I." /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'interaction électrostatique est « attractive pour <math>\;q\;q'\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'interaction électrostatique est }}« répulsive pour <math>\;q\;q'\;> 0\;</math>». ==== Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M ==== {{Al|5}}D'après la loi d'interaction de Coulomb<ref name="Coulomb" />, le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> la force électrostatique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce }}«<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="loi d'interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;r\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique du point <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» avec }}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|22}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» }}le repérage sphérique étant de pôle <math>\;O\;</math><ref name="repérage sphérique" />. {{Al|5}}<u>Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb</u><ref name="Coulomb" /> : le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}un vecteur champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> dont l'action sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> se révèle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}par « la force électrique définie par <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, \vec{E}_O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math> identique à <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O}\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}«<math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>existant même en absence de charge <math>\;q\;</math><ref> La présence d'une charge <math>\;q\;</math> en <math>\;M\;</math> permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge <math>\;q\;</math> est appelée « charge témoin ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centrifuge<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> répulsive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est attractive.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;< 0\;</math> {{Transparent|le champ électrique }}<math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centripète<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> attractive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est répulsive.</ref>. ==== Cas particulier du champ électrique créé par un proton ==== {{Al|5}}« Un proton placé en <math>\;O\;</math> étant de charge <math>\;q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> centrifuge », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique }}variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation }}<math>\big(</math>à l'exception du sens bien entendu<math>\big)</math>. === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> qu'un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur un autre point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow O} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{-1}{r}\bigg)\;</math> d'où <center>« la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math> sur un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{El\, \leftarrow Pr} = -e\; \vec{E}_{Pr}(M) = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> est une force conservative », <br>{{Transparent|« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;\color{transparent}{Pr}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{+e}\;</math> sur un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{-e}\;</math> à savoir}}<math>\;\big(</math>le proton <math>\;Pr\;</math> étant le pôle du repérage sphérique de l'électron <math>\;El\big)</math>.</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se détermine par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{r^2} = -r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>-\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle électrostatique due au point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle électrostatique }}est une fonction de valeur absolue <math>\;\searrow\;</math> avec la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie électrostatique due au point</u><math>\;O\;</math><u>de charge</u><math>\;q_O\;</math><u>à l'infini de ce dernier</u> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math>» ; <center>l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique du point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />, <br>{{Al|50}}<math>\big[</math>si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive <math>\;\searrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O</math>, <br>{{Al|55}}si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> soit «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\bigg[</math>« cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dr}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}le cœfficient de <math>\;dr\;</math> étant une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> s'intégrant en <math>\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math><ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable" /> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> en la position <math>\;M\;</math> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V_O(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV_O\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à <math>\;\vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right]\!(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr = -dV_O\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV_O}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r} + cste'\;</math>» ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}avec l'<math>\infty\;</math> pour référence des potentiels électriques, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les <math>\;2\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique en <math>\;M</math>, <math>\;V_O(M)</math>, dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}</math>, dont dérive le champ électrique }}créé par <math>\;O\;(q_O)\;</math> en <math>\;M</math> <br>{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» si « la référence }}est identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'<math>\infty\;</math> on a <math>\;V_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O} \right](M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V_O \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}d'où, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect},\leftarrow\,O} \right](M)\\ \vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> on retrouve «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math>». === « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton » === {{Al|5}}Cas particulier de l'exposé du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier de l'exposé du paragraphe }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier }}« l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> dans le champ électrique créé par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math>»<ref> L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}, \leftarrow\,Pr}(El) = -e\;V_{Pr}(El) = -e\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r} < 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;r\;</math> étant la distance séparant l'électron du proton »<ref> Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1^er <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton <math>\;\big(</math>dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Lois de la puiss. et de l'énerg. cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] }} 5vq0sw89rqenfzhayvvg4kn3tokjq5n 988224 988223 2026-11-08T22:19:16Z Phl7605 31541 Annulation de la modification [[Special:Diff/988223|988223]] de [[Special:Contributions/Phl7605|Phl7605]] ([[User talk:Phl7605|discussion]]) 988224 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « <u>forces ne dépendant pas explicitement du temps</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une force dépendant explicitement du temps<ref name="force conservative dépendant explicitement du temps"> Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer <u>en figeant le temps</u> mais <u>les conséquences énergétiques</u> qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps <u>ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps</u> ; <br>{{Al|3}}aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.</ref> sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après<math>\big)</math>. == 1^ère définition d'une force « conservative » == {{Définition|titre=1^ère définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> est indépendant du chemin suivi <math>\;(\Gamma)\;</math> »<ref name="travail non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> <center>ou ssi «<math>\;W_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>»<ref name="travail non nul" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>mais dépendant de <math>\;M_1\;</math> et de <math>\;M_2\big]\;</math> peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> prise entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c'est-à-dire «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1) = \Delta S_{\vec{F}}\;</math>». == 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative == === 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » === {{Définition|titre=2^ème définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique »<ref name="travail élémentaire non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> ou <center>ssi «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte »<ref name="travail élémentaire non nul" />{{,}}<ref name="différentielle totale"> Ou différentielle totale.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> d'une fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dS_{\vec{F}} = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}en notant <math>\;M'\;</math> le point infiniment voisin de <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>». === Justification de l'équivalence entre les deux définitions === {{Al|5}}<u>Justification directe</u> « 1^ère définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 2^ème définition » : si « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> tels que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math> ce qui se réécrit « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépend que des points extrêmes <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> et non du chemin utilisé » c'est-à-dire que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math>, <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M) = dS_{\vec{F}}\;</math> ». {{Al|5}}<u>Justification réciproque</u> « 2^ème définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math> », « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> est égal à <math>\;S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1)\;</math> sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> ». === Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N<ref name="C.N."> Conditions(s) Nécessaire(s).</ref>. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative</u> : Une force</u> <math>\;\vec{F}(M)</math>, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point <math>\;M\;</math> notées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow \rho\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow r\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)||Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>est conservative</u> <u>si les dérivées croisées des</u> fonctions <u>cœfficients des éléments de coordonnées</u> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés <math>\;\left( dx\,,\,dy\,,\,dz \right)\;</math><ref name="dx, dy, dz"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow d\rho = (dM)_\rho\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{\rho}\\ dz \rightarrow dz = (dM)_z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow dr = (dM)_r\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{r}\\ dz \rightarrow d \varphi = \dfrac{(dM)_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>de son travail élémentaire</u> <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> <u>sont égales</u> ce qui s'écrit, suivant le type de repérage, * en repérage cartésien : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial (\rho\; F_\theta)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial (\rho\;F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en cylindro-polaire"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho(M)\;d \rho + F_\theta(M)\;\rho\,d \theta + F_z(M)\;dz</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta (M) + \rho\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\;\left[ \dfrac{\partial (F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\; F_\theta \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;F_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en sphérique"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r(M)\;dr + F_\theta(M)\;r\,d \theta + F_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta(M) + r\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;F_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\;F_\varphi(M) + \sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : }}le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x"> Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore sphérique <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;\varphi</math>.</ref>, le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dx\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = d \rho\;\vec{u}_\rho</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et axiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dz\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dr\;\vec{u}_r</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et longitudale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\rho}{d \rho} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = \rho\;</math> et axiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_z}{dz} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_r}{dr} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = r\;</math> et longitudale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\varphi}{d \varphi} = r\;\sin(\theta)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable <math>\;x\;</math><ref> En effet dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dx + 0 \times dy\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial x} \right)_{\!\!y}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_x\;</math> indépendant de <math>\;y</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho\;d \rho + 0 \times \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\rho\;</math> indépendant de <math>\;\theta</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times d \rho + F_\theta \; \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;\rho\;</math> indépendant de <math>\;\rho\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{\rho}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r\;dr + 0 \times r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_r\;</math> indépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + F_\theta \; r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;r\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{r}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + 0 \times r\; d \theta + F_\varphi \; r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\varphi\;r\;\sin(\theta)\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\varphi\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\varphi)}{r\;\sin(\theta)}</math>.</ref>. === Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Rappel de préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S<ref name="C.S."> Conditions(s) Suffisante(s).</ref>. pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel de préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}Ci-dessous le théorème de Poincaré<ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force soit conservative. {{Théorème| titre= Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles) |contenu ={{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire <u>vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées</u> des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un <u>ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^n,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math> ; on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P</math> » <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> de son domaine de définition est une force conservative. <center><math>\Updownarrow</math></center> {{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est <u>fermé<ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée" /> de son domaine de définition est une force conservative.}} {{Al|5}}<u>C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x" /> le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx" /> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est conservative pour <math>\;M \in\;</math> à la courbe continue paramétré par <math>\;x\big]\;</math> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable {{Nobr|<math>\;x\;</math><ref> Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.</ref>}} en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable<ref> Ceci correspondant à un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math> sur lequel le travail élémentaire est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N<ref name="C.N." />. pour qu'elles soient conservatives <math>\;\big[</math>à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par <math>\;x\;</math> la fonction cœfficient de <math>\;dx\;</math> ne dépendant que de <math>\;x\;</math> ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire<ref name ="forme différentielle fermée" /><math>\big]\;</math> sont usuellement définies sur une [[w:Partie_étoilée|partie étoilée]]<ref name="partie étoilée" /> et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que leur travail élémentaire est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> sans vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]]<ref name="partie étoilée" /> de la partie sur laquelle elles sont définies. == Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative == === 1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition| titre=1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative| contenu ={{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]\;</math> est le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> s'identifie à l'opposé de la différentielle de <math>\;U_{\vec{F}}(M)</math> » soit <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math>» ou «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}}\;</math>»<ref> On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt <math>\;\big(</math>raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> En accord avec la définition des « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point <math>\;M\;</math> se déplace sur une courbe continue.</ref> ;</center>}} {{Al|5}}dans le S.I<ref name="S.I."> Système International.</ref>. des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en <math>\;J</math>. === Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}\;</math> : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive la force conservative » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}\;</math> : <u>Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées</u> est <u>la différence de l'énergie potentielle du point matériel</u> dans le champ de force conservative <u>entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie</u> soit «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"/> indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» se réécrit avec <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math> «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = U_{\vec{F}}(M_1) - U_{\vec{F}}(M_2) =</math> <math>-\Delta U_{\vec{F}}\;</math>». === 2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative|contenu ={{Al|5}}On appelle énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]</math>, le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit l'opposé de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> c'est-à-dire <center>«<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.</ref> : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}le gradient du champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> tel que sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit la différentielle du champ scalaire<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «<math>\;\left\lbrace \vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et par suite «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}réciproquement si on multiplie chaque membre de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative. == 1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique == {{Al|5}}Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, entre un instant initial <math>\;t_1\;</math> et un instant final <math>\;t_2</math>, en distinguant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> dont on utilise le caractère conservatif <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)}\;</math> }}en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée <math>\;U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>des « forces non conservatives »<ref name="forces non conservatives"> Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.</ref> <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}soit «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1) = \Delta K_M\;</math>» où on remplace le travail de chaque force conservative par «<math>\;W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_1) - U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_2) = -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = \sum\limits_j \left[ -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] = - \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «<math>\;- \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta K_M\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}en transposant les termes d'énergies potentielles <math>\;\big(</math>ce qui entraîne un changement de signe<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;\sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta\! \left[ K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» c'est-à-dire une relation définissant une <u>'''nouvelle''' grandeur énergétique</u>, <u>'''somme'''</u> de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur <u>'''restant constante en absence de travail des forces non conservatives'''</u><ref name="forces non conservatives" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}on comprend donc l'importance du signe <math>\;-\;</math> dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «<math>\;-\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math> devenant, lors du changement de membre, <math>\;+\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas » est la « <u>somme</u> » <math>\;\big(</math>et non la différence<math>\big)\;</math> de termes ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;2\;</math> contributions <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;K_M\;</math>»<ref> Grandeur <u>dépendant du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la cinétique du point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>»<ref> D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;<br>{{Al|3}}enfin on admettra que l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie<math>\big)\;</math> est <u>indépendante du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la position du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» }}dans le champ de forces conservatives. == Exemples de forces « non conservatives » == === La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives » === ==== Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide ==== {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c.-à-d._sans_frottement)_ou_non_idéales_(c.-à-d._avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = 0\;</math>» car <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à la surface du solide en <math>\;M\;</math> est toujours <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.</ref> étant toujours colinéaire et de sens opposé au <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0}\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> étant }}vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|base<math>\big)\;</math>}} de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{s\;</math> abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d.27un_point_sur_une_courbe_continue|Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}la force de frottement solide «<math>\;\vec{R}_\tau = \overline{R_\tau}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{R_\tau} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref> soit, avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide }}la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du frottement solide avec glissement<ref name="loi de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \mu_d\;R_n\;</math>» avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;\mu_d\;</math> le cœfficient de frottement dynamique » et <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;R_n > 0\;</math> la composante normale de la réaction »<ref> On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> dans le solide.</ref>, d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}l'expression du travail de la force de frottement «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \mu_d\;R_n(s) \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn"> Où <math>\;\mathrm{sgn}(x)\;</math> est la fonction « signe de <math>\;x</math> » telle que <math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\-1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}pour un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math> car <math>\;ds\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math><ref> Cas assez fréquent.</ref>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right) < 0\;</math>»<ref name="assez fréquent"> Dans le cas assez fréquent où <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math> avec un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;s_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;s_1</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}ce résultat montrant clairement <math>\;\big(</math>dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante<math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement }}que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi<ref> <math>\;s_2 - s_1\;</math> étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que }}ceci restant vrai même si <math>\;R_n(s)\;</math> n'est pas constante<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,<br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. ==== Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non ==== {{Al|5}}La résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide"> Encore appelée force de frottement fluide.</ref> d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un fluide<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative, que le frottement soit linéaire<ref name="frottement fluide linéaire> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, quadratique<ref name="frottement fluide quadratique> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou autres<ref name="frottement fluide à vitesse élevée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}son travail le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie par <math>\;M\;</math> pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> est <math>\;< 0\;</math>» car, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}pour un solide assimilable à un point matériel, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" />, on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet" /> où <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne" /> mesurée à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur celle-ci et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref>, <math>\;\vert \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \vert\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert v_M(t) \vert = \vert \dot{s}_M(t) \vert\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ \dot{s}(t) \right] \Vert \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour une forme quadratique de force de frottement fluide <math>\;\Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert = h'\;v^2(t)\;</math><ref> Très fréquent.</ref> avec <math>\;h'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}constante positive caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide<ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut trouver plus de détails dans la note [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#cite_note-30|³⁰]] du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique constante positive caractéristique }}et de la densité de ce dernier<ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt < 0\;</math>»<ref name="cas très fréquent"> Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}ce résultat permettant d'établir <math>\;\big(</math>dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide<math>\big)</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> ainsi que celle d'abscisse curviligne<ref name="abscisse curviligne" /> du point, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi<ref> En supposant, par exemple, que de la connaissance de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v = v(t)\\ s = s(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et par élimination de <math>\;t\;</math> on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit <math>\;v = v(s)\;</math> ce qui permettrait de réécrire, avec <math>\;v(t)\;dt = ds</math>, et en supposant le mouvement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} v^2(s)\;ds\;</math> et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir que }}ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide" /> sur un point <math>\;M\;</math> développe un travail négatif », <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> en conclusion «}}<math>\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position <u>ne définit pas un champ de forces</u> et qu'il est par conséquent <u>inutile d'envisager son caractère conservatif</u>, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif. ==== Forces de liaison par fil idéal tendu ==== {{Al|5}}La force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par un fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> tendu sur un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#4ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fil,_cas_du_fil_idéal|4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont la norme <math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert\;</math> définit la tension du fil idéal<ref name="fil idéal" /> est non conservative, son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T}) =</math> <math>\vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> n’étant en général pas une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" />{{,}}<ref> Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour <math>\;\vec{T} = \overrightarrow{\text{cste}}\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\uparrow\;</math><u>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : on suspend un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à l'aide d'une corde idéale<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}sur <math>\;M\;</math> s'exercent <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> qui fait que le point <math>\;\downarrow\;</math> en absence d'autres forces et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{T}\;</math> de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction }}<math>\;\vec{T}\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» ou, en prenant <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;-m\;g\;\vec{u}_z + T\;\vec{u}_z = m\;a_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right]\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}« la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour hisser <math>\;M\;</math> d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2\;</math> on peut régler le mouvement de montée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}<math>\big[</math>c'est-à-dire qu'on peut régler <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> en modifiant la tension de la corde<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> }}ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «<math>\;\vec{T}\;</math> non conservatif »<ref> Pour la montée verticale de <math>\;M\;</math> la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;<br>{{Al|3}}on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où <math>\;\vec{T}\;</math> en une même position <math>\;M\;</math> dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\uparrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;> 0</math>, le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> avec <math>\;dz > 0\;</math>» est tel que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> montant de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz > 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer l'évaluation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}celle-ci vérifiant que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde"> En effet si on connaît la loi horaire de position <math>\;z = z(t)\;</math> et que cette loi soit inversable on peut en déduire <math>\;t = t(z)\;</math> et réécrire le travail de la force selon <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <math>\displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left\lbrace g + a_{M,\,z}\!\left[ t(z) \right] \right\rbrace dz\;</math> permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une traction douce d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} m\; g\; dz = m\;g\;h\;</math> ou * une traction rapide d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq 2\;m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} 2\;m\; g\; dz = 2\;m\;g\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour monter le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}<math>\Rightarrow\;</math> la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « motrice ». {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\downarrow\;</math><u>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : dans le paragraphe précédent relatif à la <math>\;\uparrow\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, on a établi que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde sur <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force }}<math>\;\vec{T} = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\downarrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dz < 0 \\ T > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En supposant que le fil reste tendu.</ref> suit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> <math>\downarrow\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}<math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<math>\displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où }}<math>\Rightarrow\;</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde" />{{,}}<ref> Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une retenue forte d'accélération <math>\;a_{M,\,z} < 0\;</math> telle que <math>\;\vert a_{M,\,z} \vert \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} m\; g\; dz</math> <math>= -m\;g\;h\;</math> ou * une retenue faible d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq -\dfrac{g}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq \dfrac{m\;g}{2}\;</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} \dfrac{m\;g}{2}\; dz = -\dfrac{m\;g}{2}\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour descendre le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « résistive ». {{Al|5}}En conclusion, la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par une corde idéale<ref name="fil idéal" /> sur un point <math>\;M\;</math> est « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|En conclusion, la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par une corde idéale sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}développe « un travail positif ou négatif », <math>\;\vec{T}(M)\;</math> est donc « motrice ou résistive »<ref> Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».</ref>. === Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal === {{Al|5}}Parmi toutes les forces de contact <math>\big[</math>détaillées dans le chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qu'un point <math>\;M\;</math> peut subir c'est l'« <u>unique force de contact conservative</u> »<ref> N'a donc pas sa place dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Exemples_de_forces_«_non_conservatives_»|Exemples de forces non conservatives]] » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».</ref>, elle sera étudiée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#3ème_exemple_de_force_conservative_:_la_«_tension_d'un_ressort_idéal_lié_à_un_point_matériel_»_et_l'«_énergie_potentielle_élastique_du_point_»|3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point]] » plus bas dans ce chapitre. == Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Définition| titre= Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)| contenu ={{Al|5}}L'« énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« énergie mécanique }}est la grandeur scalaire <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;K_M(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <br>{{Al|35}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de }}<math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}cette énergie ne dépendant pas explicitement de <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> cette énergie }}étant indépendante du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.}} {{Al|5}}Dans le S.I<ref name="S.I." />. des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en <math>\;J</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive le champ de forces conservatives » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». == Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Al|5}}Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., <br>{{Al|5}}seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|Point matériel à mouvement conservatif]] » plus bas dans ce chapitre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation }}détaillés au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation introduits}}sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I.. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail <math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" /> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> correspondants <math>\;\Delta E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1)\;</math>» soit <center>«<math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1) = \Delta E_{m,\,M}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> sur cette même durée</u>. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail élémentaire <math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives {{Nobr|<math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" />}} appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement élémentaire dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>selon n'importe quelle {{Nobr|direction<math>\big)\;</math>»}} est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t</math> <math>\;d E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math><ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d E_{m,\,M}\;</math> et la différence <math>\;E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t) = dE_{m,\,M}\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" />.</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux élémentaires</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Al|5}}La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_justification_du_signe_«_-_»_dans_la_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»_par_réécriture_du_théorème_de_l'énergie_cinétique|1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser <math>\;t_1 = t\;</math> et <math>\;t_2 = t + dt\;</math> <math>\big\{</math>en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car <math>\;dt\;</math> y est toujours aussi petit que possible<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" /><math>\big\}</math>. === Point matériel « à mouvement conservatif » === {{Définition| titre=Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »|contenu={{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas<ref> Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini <math>\;\big(</math>même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé<math>\big)</math> car le travail d'une force dépend du référentiel</ref>.}} {{Al|5}}<u>Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen</u> : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante : <center>« <u>Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée</u> »<ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ; <br>{{Al|3}}a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul<math>\big)\;</math> et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée <math>\;\big(</math>rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable<math>\big)</math>.</ref>.</center> == 2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative == === Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> qui lui est imposé dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}on exerce sur <math>\;M\;</math> une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> }}permettant le déplacement du point d'une position initiale <math>\;M_{\text{ini}}\;</math> vers une position finale <math>\;M_{\text{fin}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> permettant le déplacement du point }}de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique"> C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que <math>\;K_M(t) \simeq 0\;</math> en toute position.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}« le travail développé dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par la force motrice<ref name="force motrice considérée comme non conservative"> Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.</ref> <math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> à déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" /> »<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique"> Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où <br>{{Al|3}}à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n}\;</math> avec <math>\;n \geqslant 1\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, }}d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessite une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty\;</math> <math>\big(</math>car à vitesse <math>\;v_M \simeq 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie }}est de valeur absolue d'ordre de grandeur <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n} \times \Delta s_M \simeq 0\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M}}\;</math> }}«<math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}}) + W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>». === Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}En l'absence de forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> travaillant lors d'un déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" />{{,}}<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique" /> c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou <br>{{Al|23}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « }}une force de frottement solide »<ref> Liste non exhaustive.</ref>{{,}}<ref name="forces non conservatives travaillant à déplacement quasi-statique"> Bien qu'à déplacement quasi-statique <math>\;v_M \simeq 0\;</math> ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessitant une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty</math>, ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force <math>\;\times \Delta s_M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force <math>\;\times \Delta t_M\;</math> de forme indéterminée <math>\;0 \times \infty\;</math>»<math>\big\}</math>, raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, une force motrice }}«<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t\;</math>»<ref> On adapte donc à chaque instant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> pour être opposée à <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.</ref> et {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on applique à <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\; \cancel{+\; \sum\limits_i W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{i,\,\text{non cons. à trav. nul}})}\; = \Delta E_{m,\,M} = E_m(M_{\text{fin}}) - E_m(M_{\text{ini}})\;</math>»<ref name="force motrice considérée comme non conservative" /> avec, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}compte-tenu du déplacement quasi-statique de <math>\;M\;</math><ref name="déplacement quasi-statique" />, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M) \simeq U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}Or la force motrice étant choisie telle que <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t</math>, on en déduit «<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = -W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, «<math>\;-W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» dont on déduit la propriété suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = -\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}\;</math>»<ref name="propriétés de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en considérant un déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> quelconque, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) = -d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique - bis"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math> et la différence <math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec <math>\;\overrightarrow{M_tM_{t + dt}}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}})}</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}ce qui justifie la présence du signe «<math>\;-\;</math>» dans les définitions de l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />. == Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique » == === Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{Al|5}}<u>La puissance mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point</u> <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t)\;</math><ref name="puissance mécanique"> Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.</ref> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{E}_{m,\,M}(t)\big]</math>. === Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique » === {{Al|5}}À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale<ref name="forme locale associée à une forme intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » (ou vice-versa) du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par <math>\;dt\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale }}«<math>\;\dfrac{\sum\limits_i \delta W\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]}{dt} = \dfrac{dE_{m,\,M}}{dt}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}en reconnaissant la puissance mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le membre de droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant }}la puissance des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquée à <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le membre de gauche <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center> === Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{théorème | titre= Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique }}sont <u>les puissances</u><math>\;\big(</math><u>non nulles</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif » === {{Al|5}}On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous : {{Al|5}}<u>Définition</u><math>\;\big(</math><u>équivalente</u><math>\big)</math> : Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne développent aucune puissance soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> si les éventuelles forces non conservatives }}«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence dans un référentiel galiléen</u> : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}« <u>l'énergie mécanique du point</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen</u> ». == 1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point » == === Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> « uniforme »<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme"> Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à <math>\;1\,\%\;</math> près dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, le poids d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\color{transparent}{\vec{g}}\;</math> « uniforme », le poids d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est l'intensité de la pesanteur terrestre ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> d'où <center>« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est une force conservative ».</center> === « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}L'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme }}se détermine par «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» soit «<math>\;-m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même, en cylindro-polaire, }} le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{pes}}}{dz} = m\;g\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle de pesanteur en</u><math>\;z = 0\;\big(</math><u>niveau du sol</u><math>\big)\;</math> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{pes}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>À retenir</u> : Si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\uparrow</math>, «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> avec la référence en <math>\;z = 0\;</math>» <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|À retenir : }}si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\downarrow</math>, on obtient, « avec la même référence, <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math>»<ref> En effet, <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dz} = -m\;g\;</math> soit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math> <math>= -m\;g\;z\;</math> si référence en <math>\;z = 0</math>.</ref> <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la profondeur <math>\;z\big]</math>. === Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}<u>Toute énergie potentielle</u> d'un point matériel <math>\;M\;</math> est une « <u>réserve d'énergie</u> pour <math>\;M\;</math>» <math>\blacktriangleright\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie <math>\;\big(</math>par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément }}en énergie cinétique<math>\big)\;</math>»<ref> Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ; <center>cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> un point matériel <math>\;M\;</math> au repos à une altitude <math>\;z</math>, possède l’énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z > 0\;</math> si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au repos à une altitude <math>\;\color{transparent}{z}</math>, }}possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}abandonné à lui-même, <u>il chute spontanément</u> en acquérant de l’énergie cinétique <math>\;K_M \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> abandonné à lui-même, }}la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air »<ref> Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi * à déformer l'objet assimilé à un point matériel <math>\;\big(</math>on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables<math>\big)\;</math> toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique <math>\;\big(</math>celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides<math>\big)\;</math> doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique<math>\big)\;</math> ou * à l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre alors dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne<math>\big)\;</math> ou encore * à le déformer et l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre encore dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le replacer à l'altitude initiale <math>\;z\big)</math>, il faut exercer sur lui une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> <math>\uparrow\;</math> de manière « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" />,<br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire <math>\;\big(</math>énergie potentielle pour nous<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation }}en énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\nearrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}le théorème de la variation d’énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> appliqué à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(M_z) - E_m(M_0) = U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{E_m(M_z) - E_m(M_0)}</math> }}<math>= W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) > 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;K_M(t) \simeq 0\;\;\forall\;t\;</math> d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables <math>\;\big(</math>elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> à exercer pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fasse de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" /> est l'opposé de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -m\;\vec{g}\;</math>»<ref> En effet les seules forces étant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> et <math>\;m\;\vec{g}\;</math> <math>\big(</math>les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle<math>\big)\;</math> d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n. <math>\;\ldots</math></ref> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> la force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> à exercer }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) = W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(-m\;\vec{g}) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>»<ref> Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «<math>\;-\;</math>» dans la définition de l'énergie potentielle «<math>\;W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g}) = -\left[ U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) \right]\;</math>».</ref>. == 2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point » == <center>Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique »<ref name="astre à symétrie sphérique"> Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre de l'astre.</ref>, c'est une bonne approximation pour <br>le Soleil « {{grossir|☉|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique"> Symbole astronomique.</ref> et les planètes qui gravitent autour de lui <math>\;\big(</math>dont la Terre « {{grossir|♁|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique" /><math>\big)\;</math> ainsi que <br>les plus gros satellites naturels de ces planètes <math>\;\big(</math>dont la Lune « {{grossir|☽|facteur=1.25}} »<ref> Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été « {{grossir|☾|facteur=1.25}} » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Sur les 79 satellites naturels de Jupiter <math>\;\big(</math>la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique {{grossir|♃|facteur=1.25}} et de volume mille trois cents fois celui de la Terre<math>\big)\;</math> confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Jupiter, Io <math>\;\big(</math>de taille similaire à celle de la Lune<math>\big)</math>, Europe <math>\;\big(</math>de même taille que Io<math>\big)</math>, Ganymède <math>\;\big(</math>le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune<math>\big)\;</math> et Callisto <math>\;\big(</math>le 3^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune<math>\big)</math>, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en [[w:Résonance_orbitale|résonance orbitale]], ce qui a pour conséquence la [[w:Résonance orbitale#Stabilité des orbites|stabilité des orbites]]<math>\big]</math>, les autres ont une forme irrégulière ;<br>{{Al|3}}il en est de même pour Saturne <math>\;\big(</math>de symbole astronomique {{grossir|♄|facteur=1.5}} et de volume neuf cents fois celui de la Terre<math>\big)</math>, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Saturne, Mimas <math>\;\big(\simeq 400\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Encelade <math>\;\big(\simeq 500\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Téthys <math>\;\big(\simeq 1050\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Dioné <math>\;\big(\simeq 1100\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Rhéa <math>\;\big(\simeq 1550\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>le 2^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, <math>\simeq 5150\;km\;</math> de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote<math>\big)</math> et Japet <math>\;\big(\simeq 1450\;km\;</math> de diamètre<math>\big)\big]</math>, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>.</center> === Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> de masse <math>\;m_{\!\mathcal{A}}\;</math> et de rayon <math>\;R_{\!\mathcal{A}}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les coordonnées sphériques du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> sont <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;\color{transparent}{O_{\!\mathcal{A}}}\;</math> de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\!\mathcal{A}}}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math>,}} la base sphérique liée à <math>\;M</math>, <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}la position de <math>\;M\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;r > R_{\!\mathcal{A}}</math>, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point <math>\;M\;</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui }}«<math>\;\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>», «<math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la [[w:Constante_de_gravitation|constante de gravitation universelle]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui «<math>\;\color{transparent}{\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\; \vec{u}_r}\;</math>», « }}<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\; 10^{-11}\; S.I.\;</math>»<ref name="U.S.I."> [[w:Unités_de_base_du_Système_international|Unité du Système International]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s’écrit donc «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{1}{r}\bigg)\;</math> <center>d'où « la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation créé par l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> notée <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» soit «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{dr} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M) = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{r^2} = r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{-1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> à l'<math>\infty\;</math> de ce dernier</u><ref name="référence à l'infini"> Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.</ref> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = 0</math>, on obtient «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r}\;</math>» ; <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /></u> : <br>{{Al|5}}en choisissant la <u>référence au niveau du sol de l'astre</u> c'est-à-dire <math>\;r = R_{\!\mathcal{A}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(R_{\!\mathcal{A}}) = 0\;</math> dont on déduit <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}} + cste = 0\;</math> soit <math>\;cste = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\!\mathcal{A}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m\;\dfrac{r - R_{\!\mathcal{A}}}{R_{\!\mathcal{A}}\;r}\;</math> avec référence à la surface de l'astre »<ref name="référence à la surface de l'astre"> Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}\;</math> avec référence à la surface terrestre »<ref name="référence à la surface de l'astre" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique, car <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(R_{\text{♁}} + z) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{R_{\text{♁}} + z} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> === Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre === [[File:Énergie potentielle gravitationnelle terrestre.png|thumb|500px|Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> en fonction de sa distance <math>\;r\;</math> au centre de la Terre, avec référence à l'infini, <math>\;r\;</math> et <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> étant en grandeurs réduites<ref> C.-à-d. respectivement en unité <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre, }}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}} \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des <math>\;r\;</math>». {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r} + \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> de la quantité <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math> <math>\big\{</math>à tracer soi-même<math>\big\}</math>, d'où le graphe s'identifiant à <br>{{Al|5}}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère" /> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}d'équation «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}},\;\;\forall\;r\;</math>» soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> et d'ordonnée <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>. === Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol === {{Al|5}}Après définition de l'« altitude du point <math>\;M\;</math> par rapport au niveau du sol terrestre selon <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de }}l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;M\;</math> avec référence au niveau du sol «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}} + z} = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z)\;</math>»<ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> est notée <math>\;U(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = U(r)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = f(r)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U(r) \\ U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = U(r) \\ U = U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;g(z)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = f(r) \\ U = g(z)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> avec référence au niveau du sol selon }}<math>\;\big[</math>on vérifie qu'il s'agit d'une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\big]</math> ; {{Al|5}}dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre <math>\;\bigg(\!</math>par exemple <math>\;z \lesssim \dfrac{R_{\text{♁}}}{100} \simeq 64\;km\!\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}on peut considérer <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut }}réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" /> ou, en en prenant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" />{{,}}<ref> En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où <math>\;\dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}} = \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{-1} \simeq 1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z = m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z\;</math>»<ref name="abus de notation" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}avec «<math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ». {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre <math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre }}l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;g</math>, on observe alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification }}avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c c l} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M) \simeq m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z \!\!&\simeq&\!\! m\;g\;z = U_{\text{pes}}(M) \\ \qquad\text{si } z \ll R_{\text{♁}} \!\!&&\!\! \text{si }\vec{g} \text{ est uniforme}\end{array}\right\rbrace\;</math>». == 3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point » == === Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe === [[File:Ressort idéal et force exercée sur une extrémité.png|thumb|Schéma d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives <math>\;\big(</math>ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide<math>\big)\;</math> et parfaitement élastique.</ref> dont une extrémité est liée à un point matériel <math>\;M</math>, l'autre extrémité étant notée <math>\;A</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position qu'occuperait <math>\;M\;</math> si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée]] {{Al|5}}Notant <math>\;A\;</math> l'autre extrémité du ressort « idéal »<ref name="ressort idéal" /> lié au point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;l_0\;</math> la longueur à vide du ressort et <math>\;k\;</math> la raideur de ce dernier, <br>{{Al|5}}la « force que le ressort exerce sur <math>\;M\;</math>»<ref name="tension du ressort"> Appelée vecteur tension du ressort <math>\;\big(</math>ou simplement tension du ressort<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\vec{T}\;</math><ref> En absence d'ambiguïté.</ref> est donnée par la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]] <ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> «<math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>»<ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|Cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon avec « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;l = \Vert \overrightarrow{AM} \Vert\;</math> étant la longueur à charge du ressort », {{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}loi de Hooke<ref name="Hooke" /> que l'on peut réécrire selon «<math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math>» avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}«<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ; {{Al|5}}quand <math>\;A\;</math> est fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le meilleur repérage du point <math>\;M\;</math> est le repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" />, dans ces conditions <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> lié à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}« la longueur à charge <math>\;l\;</math> s'identifiant au rayon polaire <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel === {{Al|5}}Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on déplace de façon élémentaire le point <math>\;M\;</math> selon le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, l'extrémité <math>\;A\;</math> étant fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" /> » pour <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur <math>\;l\;</math> à charge du ressort, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> » pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les deux autres étant angulaires notées respectivement <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math><ref> Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on en déduit le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}</math>, «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = -k\;(l - l_0)\; \vec{u}_r \cdot \left[ dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi \right] = -k\;(l - l_0)\; dl\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dl\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où }}<math>\;\big(</math>en effet le cœfficient de <math>\;dl\;</math> est une [[w:Fonction_affine|fonction affine]] s'intégrant en [[w:Fonction_quadratique|fonction quadratique]]<math>\big)\;</math> <center>d'où « le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration"> Nous nous limitons à ce cas car <math>\;A\;</math> mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de <math>\;t</math>.</ref> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}<u>Autre démonstration</u><ref> Plus délicate, préférer la précédente.</ref> : partant de <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math> avec «<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge <math>\;M_t\;</math>»<ref name="directions de AMt et AM0 identiques"> <math>\;M_0\;</math> étant une position liée à <math>\;M_t</math>, si la direction de <math>\;AM_t\;</math> change, la direction de <math>\;AM_0\;</math> change simultanément.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}soit un vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> avec l'autre extrémité <math>\;A\;</math> du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> fixe, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> on envisage }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{AM} \right] = d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» d'où le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> s'écrit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{d M} = -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot \left\lbrace d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}</math> }}<math>= -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}explicitons <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}\;</math> qui étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{AM_0}^2 = l_0^{\,2} = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{AM_0} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math> d'où <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}\bigg\}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui }}est aussi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui est aussi <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;\overrightarrow{M_{0,\,t}M_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons }}d'où «<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math>» permettant de réécrire le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]}\;</math>» qui est effectivement }}<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] = d\! \left[ \dfrac{\overrightarrow{M_0M}^2}{2} \right]</math>. <center>« le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration" /> ».</center> === « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel === {{Al|5}}L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> c'est-à-dire son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal »<ref name="ressort idéal" /> notée <math>\;U_{\text{élast}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» soit «<math>\;-k\;(l - l_0)\; dl = -dU_{\text{élast}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!l,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!l,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou encore «<math>\;-k\;(l - l_0)\; d(l - l_0) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d (l - l_0)} = k\;(l - l_0)\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite"> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;\Delta l = l - l_0</math>.</ref> ou, en introduisant l'« allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d\, \Delta l} = k\;\Delta l\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{élast}}(M) = U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{k\, \left( \Delta l \right)^2}{2} + cste\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert \Delta l \vert\;</math><ref> L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point }}elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de }}la valeur absolue de l'allongement algébrique<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal</u><ref name="ressort idéal" /> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( \Delta l \right)^2 = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l - l_0 \right)^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c'est-à-dire <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0}</math>, on en déduit «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l) =}</math> }}avec référence « ressort à vide » ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> peut se réécrire <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}«<math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\; \overrightarrow{M_0M}^2\;</math> avec référence en <math>\;M_0\;</math> <math>\big(</math>position de <math>\;M\;</math> avec ressort à vide, la <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}direction de l'axe étant inchangée <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}par rapport à sa position à charge<math>\big)\;</math>». === Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal === [[File:Ressort idéal - énergie potentielle élastique.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l\;</math> de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort]] {{Al|5}}Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> du ressort <math>\;\big(l\;</math> étant la longueur du ressort à charge<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique }}est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre }}avec une unité d’abscisse arbitraire notée <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec }}l'unité d'ordonnée correspondante étant <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point <math>\;M\;</math> a une position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable"> Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui « n'est pas la position à vide »<ref name="équilibre hors position à vide"> Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur <math>\;M\;</math> comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.</ref>, on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> et l'énergie potentielle élastique s'écrivant <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l \right)^2 + cste</math>, la condition de référence <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}) = 0\;</math> nous conduit à <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} + cste</math> <math>= 0\;</math> soit <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2}\;</math> et par suite <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l \right)^2 - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right]\;</math> avec référence en la position d'équilibre » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on note «<math>\;x\;</math> l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «<math>\;\Delta l = \Delta l_{\text{éq}} + x\;</math>», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}} + x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l_{\text{éq}} + x \right)^{\!2} - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right] = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math>»<ref> <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> étant toujours <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big(</math>puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide<math>\big)</math>, l'énergie potentielle <u>purement élastique</u> du point matériel ne s'écrit jamais <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\;x^2}\;</math> avec <math>\;x = \Delta l - \Delta l_{\text{éq}} = \left( l - l_0 \right) - \left( l_{\text{éq}} - l_0 \right) = l - l_{\text{éq}}\;</math> <math>\big[</math>erreur encore trop fréquente<math>\big]</math>.</ref> ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative <math>\;\ldots</math> <br> == 4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point » == === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}Soit un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> « uniforme »<ref name="champ électrique uniforme"> Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est <math>\;\perp\;</math> aux armatures <math>\;\big(</math>sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches<math>\big)\;</math> et son sens est celui des potentiels électriques <math>\;\searrow</math> ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.</ref>, la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\vec{E}\;</math><ref name="uz sens des potentiels croissants"> Donc <math>\;\vec{u}_z\;</math> est dans le sens des potentiels électriques <math>\;\nearrow</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix pour analogie champs électrique et de pesanteur"> Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{g}\;</math> c.-à-d. dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;E = \Vert \vec{E} \Vert\;</math> est la norme du champ électrique terrestre et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où }}la « référence des potentiels électriques »<ref> Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».</ref> choisie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où la « référence }}confondue avec l’origine des cotes ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\big(</math>le cœfficient de <math>\;dz\;</math> étant une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> <math>\;q\;\vec{E}\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math><ref> On ne note pas <math>\;U_{\text{élect}}\;</math> pour des raisons évidentes, <math>\;U\;</math> étant réservée aux tensions électriques.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}se définit par «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» soit «<math>\;-q\;E\;dz = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{dz} = q\;E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z)</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par «<math>\;\color{transparent}{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} = q\;E}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)}</math> }}<math>= q\;E\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle électrostatique en</u> <math>\;z = 0\;</math> <math>\big(</math><u>endroit de la référence des potentiels électriques</u><ref> C.-à-d. la masse du circuit électrique.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z) = q\;E\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \left[ -E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -E\;dz\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>« cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépendant que de <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math>}}<math>\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel"> Voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à «<math>\;\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}(V)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit «<math>\;-E\;dz = -dV\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV}{dz} = E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V(M) = V(z) = E\; z + cste'\;</math>» et, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}avec choix de la référence des potentiels électriques en <math>\;z = 0</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, <br>{{Al|56}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;V(M) = V(z) = E\; z\;</math> <math>\big(</math>référence à l'origine des cotes<math>\big)\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> en <math>\;M\;</math> noté <math>\;V(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» à condition que « }}identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'origine des cotes «<math>\;V(M) = E\; z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels électriques. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M)\\ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on retrouve «<math>\;\vec{F}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math>». === En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme === {{Al|5}}On admet qu'un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> est un « champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|On admet qu'un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(M)}\;</math> quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> par }}ou «<math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\;</math>»<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ; <center>toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple »<ref> Par exemple avec <math>\;\vec{E}(M) = E_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + E_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_y + E_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z</math>, les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » (théorème de Poincaré réécrit en terme de champ vectoriel) du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte <math>\;dV = -\delta \mathcal{C}(\vec{E}) =</math> <math>- \left[ E_x(x,\, y,\, z)\, dx + E_y(x,\, y,\, z)\, dy + E_z(x,\, y,\, z)\, dz \right]\;</math> en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme…]] » du même chap.<math>28</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}« la force électrique exercée sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> placé dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> c'est-à-dire <math>\;q\; \vec{E}(M)\;</math> étant donc <u>conservative</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> }}dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}cette dernière étant liée au potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de cette dernière étant liée }}à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques. == 5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M » == === Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton === ==== Loi d'interaction de Coulomb ==== {{Al|5}}Entre deux points matériels <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> de charges respectives <math>\;q\;</math> et <math>\;q'\;</math> s'exerce une « interaction électrostatique » telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide s’écrivant <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> « la force }}«<math>\;r\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math>», «<math>\;\vec{u}_{M'M}\;</math> vecteur unitaire de la droite <math>\;MM'\;</math> dirigé de <math>\;M'\;</math> vers <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M\;</math> exerce sur <math>\;M'\;</math> dans le vide est l'opposé de celle que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\vec{F}_{M'\, \leftarrow\, M} = -\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{MM'}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}ces forces étant appelées « forces de Coulomb »<ref name="Coulomb" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] »<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité#Permittivité_du_vide_et_permittivité_relative|permittivité diélectrique de l'air sec]] étant <math>\;0,06\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> de valeur telle que «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.\;</math><ref name="U.S.I." /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'interaction électrostatique est « attractive pour <math>\;q\;q'\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'interaction électrostatique est }}« répulsive pour <math>\;q\;q'\;> 0\;</math>». ==== Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M ==== {{Al|5}}D'après la loi d'interaction de Coulomb<ref name="Coulomb" />, le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> la force électrostatique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce }}«<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="loi d'interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;r\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique du point <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» avec }}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|22}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» }}le repérage sphérique étant de pôle <math>\;O\;</math><ref name="repérage sphérique" />. {{Al|5}}<u>Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb</u><ref name="Coulomb" /> : le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}un vecteur champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> dont l'action sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> se révèle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}par « la force électrique définie par <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, \vec{E}_O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math> identique à <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O}\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}«<math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>existant même en absence de charge <math>\;q\;</math><ref> La présence d'une charge <math>\;q\;</math> en <math>\;M\;</math> permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge <math>\;q\;</math> est appelée « charge témoin ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centrifuge<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> répulsive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est attractive.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;< 0\;</math> {{Transparent|le champ électrique }}<math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centripète<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> attractive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est répulsive.</ref>. ==== Cas particulier du champ électrique créé par un proton ==== {{Al|5}}« Un proton placé en <math>\;O\;</math> étant de charge <math>\;q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> centrifuge », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique }}variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation }}<math>\big(</math>à l'exception du sens bien entendu<math>\big)</math>. === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> qu'un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur un autre point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow O} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{-1}{r}\bigg)\;</math> d'où <center>« la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math> sur un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{El\, \leftarrow Pr} = -e\; \vec{E}_{Pr}(M) = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> est une force conservative », <br>{{Transparent|« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;\color{transparent}{Pr}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{+e}\;</math> sur un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{-e}\;</math> à savoir}}<math>\;\big(</math>le proton <math>\;Pr\;</math> étant le pôle du repérage sphérique de l'électron <math>\;El\big)</math>.</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se détermine par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{r^2} = -r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>-\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle électrostatique due au point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle électrostatique }}est une fonction de valeur absolue <math>\;\searrow\;</math> avec la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie électrostatique due au point</u><math>\;O\;</math><u>de charge</u><math>\;q_O\;</math><u>à l'infini de ce dernier</u> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math>» ; <center>l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique du point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />, <br>{{Al|50}}<math>\big[</math>si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive <math>\;\searrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O</math>, <br>{{Al|55}}si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> soit «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\bigg[</math>« cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dr}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}le cœfficient de <math>\;dr\;</math> étant une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> s'intégrant en <math>\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math><ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable" /> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> en la position <math>\;M\;</math> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V_O(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV_O\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à <math>\;\vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right]\!(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr = -dV_O\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV_O}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r} + cste'\;</math>» ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}avec l'<math>\infty\;</math> pour référence des potentiels électriques, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les <math>\;2\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique en <math>\;M</math>, <math>\;V_O(M)</math>, dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}</math>, dont dérive le champ électrique }}créé par <math>\;O\;(q_O)\;</math> en <math>\;M</math> <br>{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» si « la référence }}est identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'<math>\infty\;</math> on a <math>\;V_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O} \right](M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V_O \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}d'où, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect},\leftarrow\,O} \right](M)\\ \vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> on retrouve «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math>». === « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton » === {{Al|5}}Cas particulier de l'exposé du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier de l'exposé du paragraphe }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier }}« l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> dans le champ électrique créé par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math>»<ref> L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}, \leftarrow\,Pr}(El) = -e\;V_{Pr}(El) = -e\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r} < 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;r\;</math> étant la distance séparant l'électron du proton »<ref> Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1^er <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton <math>\;\big(</math>dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Lois de la puiss. et de l'énerg. cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] }} dhpa3lbnxp54m72veo0vcrhoyc2cl5v 988225 988224 2026-11-08T22:19:57Z Phl7605 31541 Annulation de la modification [[Special:Diff/988222|988222]] de [[Special:Contributions/Phl7605|Phl7605]] ([[User talk:Phl7605|discussion]]) 988225 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « <u>forces ne dépendant pas explicitement du temps</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une force dépendant explicitement du temps<ref name="force conservative dépendant explicitement du temps"> Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer <u>en figeant le temps</u> mais <u>les conséquences énergétiques</u> qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps <u>ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps</u> ; <br>{{Al|3}}aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.</ref> sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après<math>\big)</math>. == 1^ère définition d'une force « conservative » == {{Définition|titre=1^ère définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> est indépendant du chemin suivi <math>\;(\Gamma)\;</math> »<ref name="travail non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> <center>ou ssi «<math>\;W_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>»<ref name="travail non nul" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>mais dépendant de <math>\;M_1\;</math> et de <math>\;M_2\big]\;</math> peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> prise entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c'est-à-dire «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1) = \Delta S_{\vec{F}}\;</math>». == 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative == === 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » === {{Définition|titre=2^ème définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique »<ref name="travail élémentaire non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> ou <center>ssi «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte »<ref name="travail élémentaire non nul" />{{,}}<ref name="différentielle totale"> Ou différentielle totale.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> d'une fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dS_{\vec{F}} = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}en notant <math>\;M'\;</math> le point infiniment voisin de <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>». === Justification de l'équivalence entre les deux définitions === {{Al|5}}<u>Justification directe</u> « 1^ère définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 2^ème définition » : si « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> tels que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math> ce qui se réécrit « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépend que des points extrêmes <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> et non du chemin utilisé » c'est-à-dire que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math>, <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M) = dS_{\vec{F}}\;</math> ». {{Al|5}}<u>Justification réciproque</u> « 2^ème définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math> », « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> est égal à <math>\;S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1)\;</math> sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> ». === Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N<ref name="C.N."> Conditions(s) Nécessaire(s).</ref>. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative</u> : Une force</u> <math>\;\vec{F}(M)</math>, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point <math>\;M\;</math> notées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow \rho\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow r\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)||Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>est conservative</u> <u>si les dérivées croisées des</u> fonctions <u>cœfficients des éléments de coordonnées</u> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés <math>\;\left( dx\,,\,dy\,,\,dz \right)\;</math><ref name="dx, dy, dz"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow d\rho = (dM)_\rho\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{\rho}\\ dz \rightarrow dz = (dM)_z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow dr = (dM)_r\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{r}\\ dz \rightarrow d \varphi = \dfrac{(dM)_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>de son travail élémentaire</u> <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> <u>sont égales</u> ce qui s'écrit, suivant le type de repérage, * en repérage cartésien : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial (\rho\; F_\theta)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial (\rho\;F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en cylindro-polaire"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho(M)\;d \rho + F_\theta(M)\;\rho\,d \theta + F_z(M)\;dz</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta (M) + \rho\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\;\left[ \dfrac{\partial (F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\; F_\theta \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;F_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en sphérique"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r(M)\;dr + F_\theta(M)\;r\,d \theta + F_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta(M) + r\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;F_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\;F_\varphi(M) + \sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : }}le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x"> Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore sphérique <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;\varphi</math>.</ref>, le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dx\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = d \rho\;\vec{u}_\rho</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et axiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dz\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dr\;\vec{u}_r</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et longitudale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\rho}{d \rho} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = \rho\;</math> et axiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_z}{dz} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_r}{dr} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = r\;</math> et longitudale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\varphi}{d \varphi} = r\;\sin(\theta)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable <math>\;x\;</math><ref> En effet dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dx + 0 \times dy\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial x} \right)_{\!\!y}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_x\;</math> indépendant de <math>\;y</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho\;d \rho + 0 \times \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\rho\;</math> indépendant de <math>\;\theta</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times d \rho + F_\theta \; \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;\rho\;</math> indépendant de <math>\;\rho\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{\rho}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r\;dr + 0 \times r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_r\;</math> indépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + F_\theta \; r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;r\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{r}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + 0 \times r\; d \theta + F_\varphi \; r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\varphi\;r\;\sin(\theta)\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\varphi\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\varphi)}{r\;\sin(\theta)}</math>.</ref>. === Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Rappel de préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S<ref name="C.S."> Conditions(s) Suffisante(s).</ref>. pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel de préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}Ci-dessous le théorème de Poincaré<ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force soit conservative. {{Théorème| titre= Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles) |contenu ={{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire <u>vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées</u> des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un <u>ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^n,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math> ; on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P</math> » <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> de son domaine de définition est une force conservative. <center><math>\Updownarrow</math></center> {{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est <u>fermé<ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée" /> de son domaine de définition est une force conservative.}} {{Al|5}}<u>C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x" /> le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx" /> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est conservative pour <math>\;M \in\;</math> à la courbe continue paramétré par <math>\;x\big]\;</math> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable {{Nobr|<math>\;x\;</math><ref> Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.</ref>}} en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable<ref> Ceci correspondant à un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math> sur lequel le travail élémentaire est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N<ref name="C.N." />. pour qu'elles soient conservatives <math>\;\big[</math>à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par <math>\;x\;</math> la fonction cœfficient de <math>\;dx\;</math> ne dépendant que de <math>\;x\;</math> ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire<ref name ="forme différentielle fermée" /><math>\big]\;</math> sont usuellement définies sur une [[w:Partie_étoilée|partie étoilée]]<ref name="partie étoilée" /> et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que leur travail élémentaire est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> sans vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]]<ref name="partie étoilée" /> de la partie sur laquelle elles sont définies. == Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative == === 1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition| titre=1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative| contenu ={{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]\;</math> est le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> s'identifie à l'opposé de la différentielle de <math>\;U_{\vec{F}}(M)</math> » soit <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math>» ou «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}}\;</math>»<ref> On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt <math>\;\big(</math>raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> En accord avec la définition des « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point <math>\;M\;</math> se déplace sur une courbe continue.</ref> ;</center>}} {{Al|5}}dans le S.I<ref name="S.I."> Système International.</ref>. des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en <math>\;J</math>. === Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}\;</math> : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive la force conservative » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}\;</math> : <u>Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées</u> est <u>la différence de l'énergie potentielle du point matériel</u> dans le champ de force conservative <u>entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie</u> soit «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"/> indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» se réécrit avec <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math> «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = U_{\vec{F}}(M_1) - U_{\vec{F}}(M_2) =</math> <math>-\Delta U_{\vec{F}}\;</math>». === 2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative|contenu ={{Al|5}}On appelle énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]</math>, le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit l'opposé de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> c'est-à-dire <center>«<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.</ref> : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}le gradient du champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> tel que sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit la différentielle du champ scalaire<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «<math>\;\left\lbrace \vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et par suite «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}réciproquement si on multiplie chaque membre de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative. == 1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique == {{Al|5}}Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, entre un instant initial <math>\;t_1\;</math> et un instant final <math>\;t_2</math>, en distinguant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> dont on utilise le caractère conservatif <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)}\;</math> }}en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée <math>\;U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>des « forces non conservatives »<ref name="forces non conservatives"> Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.</ref> <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}soit «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1) = \Delta K_M\;</math>» où on remplace le travail de chaque force conservative par «<math>\;W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_1) - U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_2) = -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = \sum\limits_j \left[ -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] = - \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «<math>\;- \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta K_M\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}en transposant les termes d'énergies potentielles <math>\;\big(</math>ce qui entraîne un changement de signe<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;\sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta\! \left[ K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» c'est-à-dire une relation définissant une <u>'''nouvelle''' grandeur énergétique</u>, <u>'''somme'''</u> de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur <u>'''restant constante en absence de travail des forces non conservatives'''</u><ref name="forces non conservatives" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}on comprend donc l'importance du signe <math>\;-\;</math> dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «<math>\;-\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math> devenant, lors du changement de membre, <math>\;+\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas » est la « <u>somme</u> » <math>\;\big(</math>et non la différence<math>\big)\;</math> de termes ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;2\;</math> contributions <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;K_M\;</math>»<ref> Grandeur <u>dépendant du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la cinétique du point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>»<ref> D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;<br>{{Al|3}}enfin on admettra que l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie<math>\big)\;</math> est <u>indépendante du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la position du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» }}dans le champ de forces conservatives. == Exemples de forces « non conservatives » == === La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives » === ==== Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide ==== {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c.-à-d._sans_frottement)_ou_non_idéales_(c.-à-d._avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = 0\;</math>» car <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à la surface du solide en <math>\;M\;</math> est toujours <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.</ref> étant toujours colinéaire et de sens opposé au <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0}\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> étant }}vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|base<math>\big)\;</math>}} de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{s\;</math> abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d.27un_point_sur_une_courbe_continue|Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}la force de frottement solide «<math>\;\vec{R}_\tau = \overline{R_\tau}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{R_\tau} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref> soit, avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide }}la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du frottement solide avec glissement<ref name="loi de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \mu_d\;R_n\;</math>» avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;\mu_d\;</math> le cœfficient de frottement dynamique » et <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;R_n > 0\;</math> la composante normale de la réaction »<ref> On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> dans le solide.</ref>, d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}l'expression du travail de la force de frottement «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \mu_d\;R_n(s) \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn"> Où <math>\;\mathrm{sgn}(x)\;</math> est la fonction « signe de <math>\;x</math> » telle que <math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\-1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}pour un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math> car <math>\;ds\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math><ref> Cas assez fréquent.</ref>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right) < 0\;</math>»<ref name="assez fréquent"> Dans le cas assez fréquent où <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math> avec un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;s_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;s_1</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}ce résultat montrant clairement <math>\;\big(</math>dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante<math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement }}que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi<ref> <math>\;s_2 - s_1\;</math> étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que }}ceci restant vrai même si <math>\;R_n(s)\;</math> n'est pas constante<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,<br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. ==== Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non ==== {{Al|5}}La résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide"> Encore appelée force de frottement fluide.</ref> d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un fluide<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative, que le frottement soit linéaire<ref name="frottement fluide linéaire> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, quadratique<ref name="frottement fluide quadratique> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou autres<ref name="frottement fluide à vitesse élevée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}son travail le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie par <math>\;M\;</math> pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> est <math>\;< 0\;</math>» car, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}pour un solide assimilable à un point matériel, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" />, on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet" /> où <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne" /> mesurée à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur celle-ci et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref>, <math>\;\vert \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \vert\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert v_M(t) \vert = \vert \dot{s}_M(t) \vert\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ \dot{s}(t) \right] \Vert \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour une forme quadratique de force de frottement fluide <math>\;\Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert = h'\;v^2(t)\;</math><ref> Très fréquent.</ref> avec <math>\;h'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}constante positive caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide<ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut trouver plus de détails dans la note [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#cite_note-30|³⁰]] du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique constante positive caractéristique }}et de la densité de ce dernier<ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt < 0\;</math>»<ref name="cas très fréquent"> Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}ce résultat permettant d'établir <math>\;\big(</math>dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide<math>\big)</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> ainsi que celle d'abscisse curviligne<ref name="abscisse curviligne" /> du point, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi<ref> En supposant, par exemple, que de la connaissance de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v = v(t)\\ s = s(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et par élimination de <math>\;t\;</math> on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit <math>\;v = v(s)\;</math> ce qui permettrait de réécrire, avec <math>\;v(t)\;dt = ds</math>, et en supposant le mouvement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} v^2(s)\;ds\;</math> et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir que }}ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide" /> sur un point <math>\;M\;</math> développe un travail négatif », <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> en conclusion «}}<math>\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position <u>ne définit pas un champ de forces</u> et qu'il est par conséquent <u>inutile d'envisager son caractère conservatif</u>, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif. ==== Forces de liaison par fil idéal tendu ==== {{Al|5}}La force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par un fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> tendu sur un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#4ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fil,_cas_du_fil_idéal|4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont la norme <math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert\;</math> définit la tension du fil idéal<ref name="fil idéal" /> est non conservative, son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T}) =</math> <math>\vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> n’étant en général pas une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" />{{,}}<ref> Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour <math>\;\vec{T} = \overrightarrow{\text{cste}}\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\uparrow\;</math><u>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : on suspend un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à l'aide d'une corde idéale<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}sur <math>\;M\;</math> s'exercent <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> qui fait que le point <math>\;\downarrow\;</math> en absence d'autres forces et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{T}\;</math> de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction }}<math>\;\vec{T}\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» ou, en prenant <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;-m\;g\;\vec{u}_z + T\;\vec{u}_z = m\;a_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right]\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}« la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour hisser <math>\;M\;</math> d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2\;</math> on peut régler le mouvement de montée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}<math>\big[</math>c'est-à-dire qu'on peut régler <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> en modifiant la tension de la corde<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> }}ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «<math>\;\vec{T}\;</math> non conservatif »<ref> Pour la montée verticale de <math>\;M\;</math> la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;<br>{{Al|3}}on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où <math>\;\vec{T}\;</math> en une même position <math>\;M\;</math> dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\uparrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;> 0</math>, le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> avec <math>\;dz > 0\;</math>» est tel que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> montant de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz > 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer l'évaluation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}celle-ci vérifiant que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde"> En effet si on connaît la loi horaire de position <math>\;z = z(t)\;</math> et que cette loi soit inversable on peut en déduire <math>\;t = t(z)\;</math> et réécrire le travail de la force selon <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <math>\displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left\lbrace g + a_{M,\,z}\!\left[ t(z) \right] \right\rbrace dz\;</math> permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une traction douce d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} m\; g\; dz = m\;g\;h\;</math> ou * une traction rapide d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq 2\;m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} 2\;m\; g\; dz = 2\;m\;g\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour monter le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}<math>\Rightarrow\;</math> la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « motrice ». {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\downarrow\;</math><u>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : dans le paragraphe précédent relatif à la <math>\;\uparrow\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, on a établi que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde sur <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force }}<math>\;\vec{T} = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\downarrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dz < 0 \\ T > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En supposant que le fil reste tendu.</ref> suit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> <math>\downarrow\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}<math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<math>\displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où }}<math>\Rightarrow\;</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde" />{{,}}<ref> Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une retenue forte d'accélération <math>\;a_{M,\,z} < 0\;</math> telle que <math>\;\vert a_{M,\,z} \vert \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} m\; g\; dz</math> <math>= -m\;g\;h\;</math> ou * une retenue faible d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq -\dfrac{g}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq \dfrac{m\;g}{2}\;</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} \dfrac{m\;g}{2}\; dz = -\dfrac{m\;g}{2}\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour descendre le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « résistive ». {{Al|5}}En conclusion, la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par une corde idéale<ref name="fil idéal" /> sur un point <math>\;M\;</math> est « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|En conclusion, la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par une corde idéale sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}développe « un travail positif ou négatif », <math>\;\vec{T}(M)\;</math> est donc « motrice ou résistive »<ref> Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».</ref>. === Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal === {{Al|5}}Parmi toutes les forces de contact <math>\big[</math>détaillées dans le chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qu'un point <math>\;M\;</math> peut subir c'est l'« <u>unique force de contact conservative</u> »<ref> N'a donc pas sa place dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Exemples_de_forces_«_non_conservatives_»|Exemples de forces non conservatives]] » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».</ref>, elle sera étudiée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#3ème_exemple_de_force_conservative_:_la_«_tension_d'un_ressort_idéal_lié_à_un_point_matériel_»_et_l'«_énergie_potentielle_élastique_du_point_»|3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point]] » plus bas dans ce chapitre. == Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Définition| titre= Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)| contenu ={{Al|5}}L'« énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« énergie mécanique }}est la grandeur scalaire <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;K_M(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <br>{{Al|35}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de }}<math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}cette énergie ne dépendant pas explicitement de <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> cette énergie }}étant indépendante du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.}} {{Al|5}}Dans le S.I<ref name="S.I." />. des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en <math>\;J</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive le champ de forces conservatives » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». == Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Al|5}}Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., <br>{{Al|5}}seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|Point matériel à mouvement conservatif]] » plus bas dans ce chapitre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation }}détaillés au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation introduits}}sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I.. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail <math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" /> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> correspondants <math>\;\Delta E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1)\;</math>» soit <center>«<math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1) = \Delta E_{m,\,M}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> sur cette même durée</u>. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail élémentaire <math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives {{Nobr|<math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" />}} appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement élémentaire dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>selon n'importe quelle {{Nobr|direction<math>\big)\;</math>»}} est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t</math> <math>\;d E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math><ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d E_{m,\,M}\;</math> et la différence <math>\;E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t) = dE_{m,\,M}\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" />.</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux élémentaires</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Al|5}}La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_justification_du_signe_«_-_»_dans_la_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»_par_réécriture_du_théorème_de_l'énergie_cinétique|1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser <math>\;t_1 = t\;</math> et <math>\;t_2 = t + dt\;</math> <math>\big\{</math>en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car <math>\;dt\;</math> y est toujours aussi petit que possible<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" /><math>\big\}</math>. === Point matériel « à mouvement conservatif » === {{Définition| titre=Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »|contenu={{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas<ref> Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini <math>\;\big(</math>même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé<math>\big)</math> car le travail d'une force dépend du référentiel</ref>.}} {{Al|5}}<u>Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen</u> : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante : <center>« <u>Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée</u> »<ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ; <br>{{Al|3}}a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul<math>\big)\;</math> et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée <math>\;\big(</math>rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable<math>\big)</math>.</ref>.</center> == 2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative == === Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> qui lui est imposé dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}on exerce sur <math>\;M\;</math> une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> }}permettant le déplacement du point d'une position initiale <math>\;M_{\text{ini}}\;</math> vers une position finale <math>\;M_{\text{fin}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> permettant le déplacement du point }}de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique"> C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que <math>\;K_M(t) \simeq 0\;</math> en toute position.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}« le travail développé dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par la force motrice<ref name="force motrice considérée comme non conservative"> Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.</ref> <math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> à déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" /> »<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique"> Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où <br>{{Al|3}}à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n}\;</math> avec <math>\;n \geqslant 1\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, }}d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessite une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty\;</math> <math>\big(</math>car à vitesse <math>\;v_M \simeq 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie }}est de valeur absolue d'ordre de grandeur <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n} \times \Delta s_M \simeq 0\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M}}\;</math> }}«<math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}}) + W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>». === Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}En l'absence de forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> travaillant lors d'un déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" />{{,}}<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique" /> c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou <br>{{Al|23}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « }}une force de frottement solide »<ref> Liste non exhaustive.</ref>{{,}}<ref name="forces non conservatives travaillant à déplacement quasi-statique"> Bien qu'à déplacement quasi-statique <math>\;v_M \simeq 0\;</math> ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessitant une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty</math>, ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force <math>\;\times \Delta s_M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force <math>\;\times \Delta t_M\;</math> de forme indéterminée <math>\;0 \times \infty\;</math>»<math>\big\}</math>, raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, une force motrice }}«<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t\;</math>»<ref> On adapte donc à chaque instant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> pour être opposée à <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.</ref> et {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on applique à <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\; \cancel{+\; \sum\limits_i W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{i,\,\text{non cons. à trav. nul}})}\; = \Delta E_{m,\,M} = E_m(M_{\text{fin}}) - E_m(M_{\text{ini}})\;</math>»<ref name="force motrice considérée comme non conservative" /> avec, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}compte-tenu du déplacement quasi-statique de <math>\;M\;</math><ref name="déplacement quasi-statique" />, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M) \simeq U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}Or la force motrice étant choisie telle que <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t</math>, on en déduit «<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = -W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, «<math>\;-W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» dont on déduit la propriété suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = -\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}\;</math>»<ref name="propriétés de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en considérant un déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> quelconque, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) = -d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique - bis"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math> et la différence <math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec <math>\;\overrightarrow{M_tM_{t + dt}}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}})}</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}ce qui justifie la présence du signe «<math>\;-\;</math>» dans les définitions de l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />. == Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique » == === Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{Al|5}}<u>La puissance mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point</u> <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t)\;</math><ref name="puissance mécanique"> Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.</ref> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{E}_{m,\,M}(t)\big]</math>. === Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique » === {{Al|5}}À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale<ref name="forme locale associée à une forme intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » (ou vice-versa) du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par <math>\;dt\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale }}«<math>\;\dfrac{\sum\limits_i \delta W\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]}{dt} = \dfrac{dE_{m,\,M}}{dt}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}en reconnaissant la puissance mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le membre de droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant }}la puissance des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquée à <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le membre de gauche <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center> === Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{théorème | titre= Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique }}sont <u>les puissances</u><math>\;\big(</math><u>non nulles</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif » === {{Al|5}}On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous : {{Al|5}}<u>Définition</u><math>\;\big(</math><u>équivalente</u><math>\big)</math> : Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne développent aucune puissance soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> si les éventuelles forces non conservatives }}«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence dans un référentiel galiléen</u> : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}« <u>l'énergie mécanique du point</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen</u> ». == 1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point » == === Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> « uniforme »<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme"> Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à <math>\;1\,\%\;</math> près dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, le poids d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\color{transparent}{\vec{g}}\;</math> « uniforme », le poids d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est l'intensité de la pesanteur terrestre ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> d'où <center>« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est une force conservative ».</center> === « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}L'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme }}se détermine par «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» soit «<math>\;-m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même, en cylindro-polaire, }} le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{pes}}}{dz} = m\;g\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle de pesanteur en</u><math>\;z = 0\;\big(</math><u>niveau du sol</u><math>\big)\;</math> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{pes}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>À retenir</u> : Si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\uparrow</math>, «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> avec la référence en <math>\;z = 0\;</math>» <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|À retenir : }}si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\downarrow</math>, on obtient, « avec la même référence, <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math>»<ref> En effet, <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dz} = -m\;g\;</math> soit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math> <math>= -m\;g\;z\;</math> si référence en <math>\;z = 0</math>.</ref> <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la profondeur <math>\;z\big]</math>. === Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}<u>Toute énergie potentielle</u> d'un point matériel <math>\;M\;</math> est une « <u>réserve d'énergie</u> pour <math>\;M\;</math>» <math>\blacktriangleright\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie <math>\;\big(</math>par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément }}en énergie cinétique<math>\big)\;</math>»<ref> Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ; <center>cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> un point matériel <math>\;M\;</math> au repos à une altitude <math>\;z</math>, possède l’énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z > 0\;</math> si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au repos à une altitude <math>\;\color{transparent}{z}</math>, }}possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}abandonné à lui-même, <u>il chute spontanément</u> en acquérant de l’énergie cinétique <math>\;K_M \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> abandonné à lui-même, }}la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air »<ref> Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi * à déformer l'objet assimilé à un point matériel <math>\;\big(</math>on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables<math>\big)\;</math> toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique <math>\;\big(</math>celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides<math>\big)\;</math> doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique<math>\big)\;</math> ou * à l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre alors dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne<math>\big)\;</math> ou encore * à le déformer et l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre encore dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le replacer à l'altitude initiale <math>\;z\big)</math>, il faut exercer sur lui une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> <math>\uparrow\;</math> de manière « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" />,<br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire <math>\;\big(</math>énergie potentielle pour nous<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation }}en énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\nearrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}le théorème de la variation d’énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> appliqué à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(M_z) - E_m(M_0) = U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{E_m(M_z) - E_m(M_0)}</math> }}<math>= W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) > 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;K_M(t) \simeq 0\;\;\forall\;t\;</math> d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables <math>\;\big(</math>elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> à exercer pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fasse de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" /> est l'opposé de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -m\;\vec{g}\;</math>»<ref> En effet les seules forces étant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> et <math>\;m\;\vec{g}\;</math> <math>\big(</math>les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle<math>\big)\;</math> d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n. <math>\;\ldots</math></ref> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> la force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> à exercer }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) = W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(-m\;\vec{g}) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>»<ref> Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «<math>\;-\;</math>» dans la définition de l'énergie potentielle «<math>\;W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g}) = -\left[ U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) \right]\;</math>».</ref>. == 2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point » == <center>Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique »<ref name="astre à symétrie sphérique"> Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre de l'astre.</ref>, c'est une bonne approximation pour <br>le Soleil « {{grossir|☉|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique"> Symbole astronomique.</ref> et les planètes qui gravitent autour de lui <math>\;\big(</math>dont la Terre « {{grossir|♁|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique" /><math>\big)\;</math> ainsi que <br>les plus gros satellites naturels de ces planètes <math>\;\big(</math>dont la Lune « {{grossir|☽|facteur=1.25}} »<ref> Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été « {{grossir|☾|facteur=1.25}} » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Sur les 79 satellites naturels de Jupiter <math>\;\big(</math>la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique {{grossir|♃|facteur=1.25}} et de volume mille trois cents fois celui de la Terre<math>\big)\;</math> confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Jupiter, Io <math>\;\big(</math>de taille similaire à celle de la Lune<math>\big)</math>, Europe <math>\;\big(</math>de même taille que Io<math>\big)</math>, Ganymède <math>\;\big(</math>le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune<math>\big)\;</math> et Callisto <math>\;\big(</math>le 3^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune<math>\big)</math>, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en [[w:Résonance_orbitale|résonance orbitale]], ce qui a pour conséquence la [[w:Résonance orbitale#Stabilité des orbites|stabilité des orbites]]<math>\big]</math>, les autres ont une forme irrégulière ;<br>{{Al|3}}il en est de même pour Saturne <math>\;\big(</math>de symbole astronomique {{grossir|♄|facteur=1.5}} et de volume neuf cents fois celui de la Terre<math>\big)</math>, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Saturne, Mimas <math>\;\big(\simeq 400\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Encelade <math>\;\big(\simeq 500\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Téthys <math>\;\big(\simeq 1050\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Dioné <math>\;\big(\simeq 1100\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Rhéa <math>\;\big(\simeq 1550\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>le 2^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, <math>\simeq 5150\;km\;</math> de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote<math>\big)</math> et Japet <math>\;\big(\simeq 1450\;km\;</math> de diamètre<math>\big)\big]</math>, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>.</center> === Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> de masse <math>\;m_{\!\mathcal{A}}\;</math> et de rayon <math>\;R_{\!\mathcal{A}}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les coordonnées sphériques du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> sont <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;\color{transparent}{O_{\!\mathcal{A}}}\;</math> de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\!\mathcal{A}}}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math>,}} la base sphérique liée à <math>\;M</math>, <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}la position de <math>\;M\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;r > R_{\!\mathcal{A}}</math>, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point <math>\;M\;</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui }}«<math>\;\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>», «<math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la [[w:Constante_de_gravitation|constante de gravitation universelle]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui «<math>\;\color{transparent}{\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\; \vec{u}_r}\;</math>», « }}<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\; 10^{-11}\; S.I.\;</math>»<ref name="U.S.I."> [[w:Unités_de_base_du_Système_international|Unité du Système International]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s’écrit donc «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{1}{r}\bigg)\;</math> <center>d'où « la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation créé par l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> notée <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» soit «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{dr} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M) = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{r^2} = r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{-1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> à l'<math>\infty\;</math> de ce dernier</u><ref name="référence à l'infini"> Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.</ref> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = 0</math>, on obtient «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r}\;</math>» ; <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /></u> : <br>{{Al|5}}en choisissant la <u>référence au niveau du sol de l'astre</u> c'est-à-dire <math>\;r = R_{\!\mathcal{A}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(R_{\!\mathcal{A}}) = 0\;</math> dont on déduit <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}} + cste = 0\;</math> soit <math>\;cste = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\!\mathcal{A}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m\;\dfrac{r - R_{\!\mathcal{A}}}{R_{\!\mathcal{A}}\;r}\;</math> avec référence à la surface de l'astre »<ref name="référence à la surface de l'astre"> Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}\;</math> avec référence à la surface terrestre »<ref name="référence à la surface de l'astre" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique, car <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(R_{\text{♁}} + z) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{R_{\text{♁}} + z} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> === Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre === [[File:Énergie potentielle gravitationnelle terrestre.png|thumb|500px|Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> en fonction de sa distance <math>\;r\;</math> au centre de la Terre, avec référence à l'infini, <math>\;r\;</math> et <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> étant en grandeurs réduites<ref> C.-à-d. respectivement en unité <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre, }}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}} \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des <math>\;r\;</math>». {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r} + \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> de la quantité <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math> <math>\big\{</math>à tracer soi-même<math>\big\}</math>, d'où le graphe s'identifiant à <br>{{Al|5}}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère" /> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}d'équation «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}},\;\;\forall\;r\;</math>» soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> et d'ordonnée <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>. === Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol === {{Al|5}}Après définition de l'« altitude du point <math>\;M\;</math> par rapport au niveau du sol terrestre selon <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de }}l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;M\;</math> avec référence au niveau du sol «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}} + z} = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z)\;</math>»<ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> est notée <math>\;U(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = U(r)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = f(r)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U(r) \\ U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = U(r) \\ U = U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;g(z)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = f(r) \\ U = g(z)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> avec référence au niveau du sol selon }}<math>\;\big[</math>on vérifie qu'il s'agit d'une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\big]</math> ; {{Al|5}}dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre <math>\;\bigg(\!</math>par exemple <math>\;z \lesssim \dfrac{R_{\text{♁}}}{100} \simeq 64\;km\!\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}on peut considérer <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut }}réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" /> ou, en en prenant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" />{{,}}<ref> En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où <math>\;\dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}} = \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{-1} \simeq 1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z = m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z\;</math>»<ref name="abus de notation" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}avec «<math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ». {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre <math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre }}l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;g</math>, on observe alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification }}avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c c l} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M) \simeq m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z \!\!&\simeq&\!\! m\;g\;z = U_{\text{pes}}(M) \\ \qquad\text{si } z \ll R_{\text{♁}} \!\!&&\!\! \text{si }\vec{g} \text{ est uniforme}\end{array}\right\rbrace\;</math>». == 3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point » == === Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe === [[File:Ressort idéal et force exercée sur une extrémité.png|thumb|Schéma d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives <math>\;\big(</math>ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide<math>\big)\;</math> et parfaitement élastique.</ref> dont une extrémité est liée à un point matériel <math>\;M</math>, l'autre extrémité étant notée <math>\;A</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position qu'occuperait <math>\;M\;</math> si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée]] {{Al|5}}Notant <math>\;A\;</math> l'autre extrémité du ressort « idéal »<ref name="ressort idéal" /> lié au point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;l_0\;</math> la longueur à vide du ressort et <math>\;k\;</math> la raideur de ce dernier, <br>{{Al|5}}la « force que le ressort exerce sur <math>\;M\;</math>»<ref name="tension du ressort"> Appelée vecteur tension du ressort <math>\;\big(</math>ou simplement tension du ressort<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\vec{T}\;</math><ref> En absence d'ambiguïté.</ref> est donnée par la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]] <ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> «<math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>»<ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|Cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon avec « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;l = \Vert \overrightarrow{AM} \Vert\;</math> étant la longueur à charge du ressort », {{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}loi de Hooke<ref name="Hooke" /> que l'on peut réécrire selon «<math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math>» avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}«<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ; {{Al|5}}quand <math>\;A\;</math> est fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le meilleur repérage du point <math>\;M\;</math> est le repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" />, dans ces conditions <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> lié à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}« la longueur à charge <math>\;l\;</math> s'identifiant au rayon polaire <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel === {{Al|5}}Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on déplace de façon élémentaire le point <math>\;M\;</math> selon le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, l'extrémité <math>\;A\;</math> étant fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" /> » pour <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur <math>\;l\;</math> à charge du ressort, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> » pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les deux autres étant angulaires notées respectivement <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math><ref> Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on en déduit le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}</math>, «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = -k\;(l - l_0)\; \vec{u}_r \cdot \left[ dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi \right] = -k\;(l - l_0)\; dl\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dl\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où }}<math>\;\big(</math>en effet le cœfficient de <math>\;dl\;</math> est une [[w:Fonction_affine|fonction affine]] s'intégrant en [[w:Fonction_quadratique|fonction quadratique]]<math>\big)\;</math> <center>d'où « le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration"> Nous nous limitons à ce cas car <math>\;A\;</math> mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de <math>\;t</math>.</ref> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}<u>Autre démonstration</u><ref> Plus délicate, préférer la précédente.</ref> : partant de <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math> avec «<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge <math>\;M_t\;</math>»<ref name="directions de AMt et AM0 identiques"> <math>\;M_0\;</math> étant une position liée à <math>\;M_t</math>, si la direction de <math>\;AM_t\;</math> change, la direction de <math>\;AM_0\;</math> change simultanément.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}soit un vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> avec l'autre extrémité <math>\;A\;</math> du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> fixe, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> on envisage }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{AM} \right] = d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» d'où le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> s'écrit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{d M} = -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot \left\lbrace d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}</math> }}<math>= -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}explicitons <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}\;</math> qui étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{AM_0}^2 = l_0^{\,2} = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{AM_0} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math> d'où <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}\bigg\}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui }}est aussi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui est aussi <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;\overrightarrow{M_{0,\,t}M_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons }}d'où «<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math>» permettant de réécrire le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]}\;</math>» qui est effectivement }}<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] = d\! \left[ \dfrac{\overrightarrow{M_0M}^2}{2} \right]</math>. <center>« le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration" /> ».</center> === « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel === {{Al|5}}L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> c'est-à-dire son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal »<ref name="ressort idéal" /> notée <math>\;U_{\text{élast}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» soit «<math>\;-k\;(l - l_0)\; dl = -dU_{\text{élast}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!l,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!l,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou encore «<math>\;-k\;(l - l_0)\; d(l - l_0) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d (l - l_0)} = k\;(l - l_0)\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite"> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;\Delta l = l - l_0</math>.</ref> ou, en introduisant l'« allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d\, \Delta l} = k\;\Delta l\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{élast}}(M) = U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{k\, \left( \Delta l \right)^2}{2} + cste\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert \Delta l \vert\;</math><ref> L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point }}elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de }}la valeur absolue de l'allongement algébrique<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal</u><ref name="ressort idéal" /> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( \Delta l \right)^2 = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l - l_0 \right)^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c'est-à-dire <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0}</math>, on en déduit «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l) =}</math> }}avec référence « ressort à vide » ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> peut se réécrire <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}«<math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\; \overrightarrow{M_0M}^2\;</math> avec référence en <math>\;M_0\;</math> <math>\big(</math>position de <math>\;M\;</math> avec ressort à vide, la <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}direction de l'axe étant inchangée <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}par rapport à sa position à charge<math>\big)\;</math>». === Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal === [[File:Ressort idéal - énergie potentielle élastique.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l\;</math> de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort]] {{Al|5}}Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> du ressort <math>\;\big(l\;</math> étant la longueur du ressort à charge<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique }}est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre }}avec une unité d’abscisse arbitraire notée <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec }}l'unité d'ordonnée correspondante étant <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point <math>\;M\;</math> a une position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable"> Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui « n'est pas la position à vide »<ref name="équilibre hors position à vide"> Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur <math>\;M\;</math> comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.</ref>, on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> et l'énergie potentielle élastique s'écrivant <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l \right)^2 + cste</math>, la condition de référence <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}) = 0\;</math> nous conduit à <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} + cste</math> <math>= 0\;</math> soit <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2}\;</math> et par suite <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l \right)^2 - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right]\;</math> avec référence en la position d'équilibre » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on note «<math>\;x\;</math> l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «<math>\;\Delta l = \Delta l_{\text{éq}} + x\;</math>», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}} + x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l_{\text{éq}} + x \right)^{\!2} - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right] = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math>»<ref> <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> étant toujours <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big(</math>puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide<math>\big)</math>, l'énergie potentielle <u>purement élastique</u> du point matériel ne s'écrit jamais <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\;x^2}\;</math> avec <math>\;x = \Delta l - \Delta l_{\text{éq}} = \left( l - l_0 \right) - \left( l_{\text{éq}} - l_0 \right) = l - l_{\text{éq}}\;</math> <math>\big[</math>erreur encore trop fréquente<math>\big]</math>.</ref> ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative <math>\;\ldots</math> <br> == 4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point » == === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}Soit un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> « uniforme »<ref name="champ électrique uniforme"> Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est <math>\;\perp\;</math> aux armatures <math>\;\big(</math>sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches<math>\big)\;</math> et son sens est celui des potentiels électriques <math>\;\searrow</math> ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.</ref>, la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\vec{E}\;</math><ref name="uz sens des potentiels croissants"> Donc <math>\;\vec{u}_z\;</math> est dans le sens des potentiels électriques <math>\;\nearrow</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix pour analogie champs électrique et de pesanteur"> Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{g}\;</math> c.-à-d. dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;E = \Vert \vec{E} \Vert\;</math> est la norme du champ électrique terrestre et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où }}la « référence des potentiels électriques »<ref> Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».</ref> choisie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où la « référence }}confondue avec l’origine des cotes ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\big(</math>le cœfficient de <math>\;dz\;</math> étant une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> <math>\;q\;\vec{E}\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math><ref> On ne note pas <math>\;U_{\text{élect}}\;</math> pour des raisons évidentes, <math>\;U\;</math> étant réservée aux tensions électriques.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}se définit par «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» soit «<math>\;-q\;E\;dz = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{dz} = q\;E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z)</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par «<math>\;\color{transparent}{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} = q\;E}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)}</math> }}<math>= q\;E\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle électrostatique en</u> <math>\;z = 0\;</math> <math>\big(</math><u>endroit de la référence des potentiels électriques</u><ref> C.-à-d. la masse du circuit électrique.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z) = q\;E\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \left[ -E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -E\;dz\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>« cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépendant que de <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math>}}<math>\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel"> Voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à «<math>\;\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}(V)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit «<math>\;-E\;dz = -dV\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV}{dz} = E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V(M) = V(z) = E\; z + cste'\;</math>» et, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}avec choix de la référence des potentiels électriques en <math>\;z = 0</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, <br>{{Al|56}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;V(M) = V(z) = E\; z\;</math> <math>\big(</math>référence à l'origine des cotes<math>\big)\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> en <math>\;M\;</math> noté <math>\;V(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» à condition que « }}identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'origine des cotes «<math>\;V(M) = E\; z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels électriques. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M)\\ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on retrouve «<math>\;\vec{F}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math>». === En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme === {{Al|5}}On admet qu'un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> est un « champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|On admet qu'un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(M)}\;</math> quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> par }}ou «<math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\;</math>»<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ; <center>toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple »<ref> Par exemple avec <math>\;\vec{E}(M) = E_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + E_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_y + E_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z</math>, les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » (théorème de Poincaré réécrit en terme de champ vectoriel) du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte <math>\;dV = -\delta \mathcal{C}(\vec{E}) =</math> <math>- \left[ E_x(x,\, y,\, z)\, dx + E_y(x,\, y,\, z)\, dy + E_z(x,\, y,\, z)\, dz \right]\;</math> en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme…]] » du même chap.<math>28</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}« la force électrique exercée sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> placé dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> c'est-à-dire <math>\;q\; \vec{E}(M)\;</math> étant donc <u>conservative</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> }}dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}cette dernière étant liée au potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de cette dernière étant liée }}à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques. == 5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M » == === Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton === ==== Loi d'interaction de Coulomb ==== {{Al|5}}Entre deux points matériels <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> de charges respectives <math>\;q\;</math> et <math>\;q'\;</math> s'exerce une « interaction électrostatique » telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide s’écrivant <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> « la force }}«<math>\;r\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math>», «<math>\;\vec{u}_{M'M}\;</math> vecteur unitaire de la droite <math>\;MM'\;</math> dirigé de <math>\;M'\;</math> vers <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M\;</math> exerce sur <math>\;M'\;</math> dans le vide est l'opposé de celle que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\vec{F}_{M'\, \leftarrow\, M} = -\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{MM'}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}ces forces étant appelées « forces de Coulomb »<ref name="Coulomb" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] »<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité#Permittivité_du_vide_et_permittivité_relative|permittivité diélectrique de l'air sec]] étant <math>\;0,06\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> de valeur telle que «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.\;</math><ref name="U.S.I." /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'interaction électrostatique est « attractive pour <math>\;q\;q'\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'interaction électrostatique est }}« répulsive pour <math>\;q\;q'\;> 0\;</math>». ==== Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M ==== {{Al|5}}D'après la loi d'interaction de Coulomb<ref name="Coulomb" />, le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> la force électrostatique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce }}«<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="loi d'interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;r\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique du point <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» avec }}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|22}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» }}le repérage sphérique étant de pôle <math>\;O\;</math><ref name="repérage sphérique" />. {{Al|5}}<u>Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb</u><ref name="Coulomb" /> : le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}un vecteur champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> dont l'action sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> se révèle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}par « la force électrique définie par <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, \vec{E}_O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math> identique à <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O}\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}«<math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>existant même en absence de charge <math>\;q\;</math><ref> La présence d'une charge <math>\;q\;</math> en <math>\;M\;</math> permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge <math>\;q\;</math> est appelée « charge témoin ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centrifuge<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> répulsive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est attractive.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;< 0\;</math> {{Transparent|le champ électrique }}<math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centripète<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> attractive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est répulsive.</ref>. ==== Cas particulier du champ électrique créé par un proton ==== {{Al|5}}« Un proton placé en <math>\;O\;</math> étant de charge <math>\;q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> centrifuge », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique }}variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation }}<math>\big(</math>à l'exception du sens bien entendu<math>\big)</math>. === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> qu'un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur un autre point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow O} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{-1}{r}\bigg)\;</math> d'où <center>« la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math> sur un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{El\, \leftarrow Pr} = -e\; \vec{E}_{Pr}(M) = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> est une force conservative », <br>{{Transparent|« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;\color{transparent}{Pr}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{+e}\;</math> sur un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{-e}\;</math> à savoir}}<math>\;\big(</math>le proton <math>\;Pr\;</math> étant le pôle du repérage sphérique de l'électron <math>\;El\big)</math>.</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se détermine par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{r^2} = -r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>-\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle électrostatique due au point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle électrostatique }}est une fonction de valeur absolue <math>\;\searrow\;</math> avec la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie électrostatique due au point</u><math>\;O\;</math><u>de charge</u><math>\;q_O\;</math><u>à l'infini de ce dernier</u> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math>» ; <center>l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique du point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />, <br>{{Al|50}}<math>\big[</math>si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive <math>\;\searrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O</math>, <br>{{Al|55}}si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> soit «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\bigg[</math>« cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dr}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}le cœfficient de <math>\;dr\;</math> étant une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> s'intégrant en <math>\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math><ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable" /> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> en la position <math>\;M\;</math> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V_O(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV_O\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à <math>\;\vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right]\!(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr = -dV_O\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV_O}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r} + cste'\;</math>» ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}avec l'<math>\infty\;</math> pour référence des potentiels électriques, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les <math>\;2\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique en <math>\;M</math>, <math>\;V_O(M)</math>, dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}</math>, dont dérive le champ électrique }}créé par <math>\;O\;(q_O)\;</math> en <math>\;M</math> <br>{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» si « la référence }}est identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'<math>\infty\;</math> on a <math>\;V_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O} \right](M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V_O \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}d'où, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect},\leftarrow\,O} \right](M)\\ \vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> on retrouve «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math>». === « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton » === {{Al|5}}Cas particulier de l'exposé du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier de l'exposé du paragraphe }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier }}« l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> dans le champ électrique créé par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math>»<ref> L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}, \leftarrow\,Pr}(El) = -e\;V_{Pr}(El) = -e\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r} < 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;r\;</math> étant la distance séparant l'électron du proton »<ref> Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1^er <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton <math>\;\big(</math>dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Lois de la puiss. et de l'énerg. cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] }} puqj23zvadtsr5t1bpmww9h1k8arhge 988226 988225 2026-11-08T22:20:31Z Phl7605 31541 Annulation de la modification [[Special:Diff/988221|988221]] de [[Special:Contributions/Phl7605|Phl7605]] ([[User talk:Phl7605|discussion]]) 988226 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « <u>forces ne dépendant pas explicitement du temps</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une force dépendant explicitement du temps<ref name="force conservative dépendant explicitement du temps"> Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer <u>en figeant le temps</u> mais <u>les conséquences énergétiques</u> qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps <u>ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps</u> ; <br>{{Al|3}}aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.</ref> sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après<math>\big)</math>. == 1^ère définition d'une force « conservative » == {{Définition|titre=1^ère définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> est indépendant du chemin suivi <math>\;(\Gamma)\;</math> »<ref name="travail non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> <center>ou ssi «<math>\;W_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>»<ref name="travail non nul" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>mais dépendant de <math>\;M_1\;</math> et de <math>\;M_2\big]\;</math> peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> prise entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c'est-à-dire «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1) = \Delta S_{\vec{F}}\;</math>». == 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative == === 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » === {{Définition|titre=2^ème définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique »<ref name="travail élémentaire non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> ou <center>ssi «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte »<ref name="travail élémentaire non nul" />{{,}}<ref name="différentielle totale"> Ou différentielle totale.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> d'une fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> c'est-à-dire <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dS_{\vec{F}} = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}en notant <math>\;M'\;</math> le point infiniment voisin de <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>». === Justification de l'équivalence entre les deux définitions === {{Al|5}}<u>Justification directe</u> « 1^ère définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 2^ème définition » : si « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> tels que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math> ce qui se réécrit « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépend que des points extrêmes <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> et non du chemin utilisé » c'est-à-dire que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math>, <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M) = dS_{\vec{F}}\;</math> ». {{Al|5}}<u>Justification réciproque</u> « 2^ème définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math> », « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> est égal à <math>\;S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1)\;</math> sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> ». === Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N<ref name="C.N."> Conditions(s) Nécessaire(s).</ref>. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative</u> : Une force</u> <math>\;\vec{F}(M)</math>, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point <math>\;M\;</math> notées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow \rho\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow r\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)||Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>est conservative</u> <u>si les dérivées croisées des</u> fonctions <u>cœfficients des éléments de coordonnées</u> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés <math>\;\left( dx\,,\,dy\,,\,dz \right)\;</math><ref name="dx, dy, dz"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow d\rho = (dM)_\rho\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{\rho}\\ dz \rightarrow dz = (dM)_z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow dr = (dM)_r\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{r}\\ dz \rightarrow d \varphi = \dfrac{(dM)_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>de son travail élémentaire</u> <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> <u>sont égales</u> ce qui s'écrit, suivant le type de repérage, * en repérage cartésien : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial (\rho\; F_\theta)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial (\rho\;F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en cylindro-polaire"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho(M)\;d \rho + F_\theta(M)\;\rho\,d \theta + F_z(M)\;dz</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta (M) + \rho\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\;\left[ \dfrac{\partial (F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\; F_\theta \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;F_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en sphérique"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r(M)\;dr + F_\theta(M)\;r\,d \theta + F_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta(M) + r\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;F_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\;F_\varphi(M) + \sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : }}le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N<ref name="C.N." />. <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>C.N<ref name="C.N." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x"> Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore sphérique <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;\varphi</math>.</ref>, le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dx\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = d \rho\;\vec{u}_\rho</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et axiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dz\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dr\;\vec{u}_r</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et longitudale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\rho}{d \rho} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = \rho\;</math> et axiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_z}{dz} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_r}{dr} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = r\;</math> et longitudale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\varphi}{d \varphi} = r\;\sin(\theta)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c'est-à-dire}} la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable <math>\;x\;</math><ref> En effet dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dx + 0 \times dy\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial x} \right)_{\!\!y}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_x\;</math> indépendant de <math>\;y</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho\;d \rho + 0 \times \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\rho\;</math> indépendant de <math>\;\theta</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times d \rho + F_\theta \; \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;\rho\;</math> indépendant de <math>\;\rho\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{\rho}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r\;dr + 0 \times r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_r\;</math> indépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + F_\theta \; r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;r\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{r}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + 0 \times r\; d \theta + F_\varphi \; r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\varphi\;r\;\sin(\theta)\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\varphi\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\varphi)}{r\;\sin(\theta)}</math>.</ref>. === Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Rappel de préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S<ref name="C.S."> Conditions(s) Suffisante(s).</ref>. pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel de préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}Ci-dessous le théorème de Poincaré<ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force soit conservative. {{Théorème| titre= Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles) |contenu ={{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire <u>vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées</u> des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un <u>ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^n,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math> ; on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P</math> » <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> de son domaine de définition est une force conservative. <center><math>\Updownarrow</math></center> {{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est <u>fermé<ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u><ref name="partie étoilée" /> de son domaine de définition est une force conservative.}} {{Al|5}}<u>C.S<ref name="C.S." />. pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x" /> le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx" /> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>c'est-à-dire la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est conservative pour <math>\;M \in\;</math> à la courbe continue paramétré par <math>\;x\big]\;</math> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx" /> <math>\;\big(</math>c'est-à-dire la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable {{Nobr|<math>\;x\;</math><ref> Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.</ref>}} en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable<ref> Ceci correspondant à un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math> sur lequel le travail élémentaire est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N<ref name="C.N." />. pour qu'elles soient conservatives <math>\;\big[</math>à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par <math>\;x\;</math> la fonction cœfficient de <math>\;dx\;</math> ne dépendant que de <math>\;x\;</math> ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire<ref name ="forme différentielle fermée" /><math>\big]\;</math> sont usuellement définies sur une [[w:Partie_étoilée|partie étoilée]]<ref name="partie étoilée" /> et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives <math>\;\big(</math>c'est-à-dire que leur travail élémentaire est une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> sans vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]]<ref name="partie étoilée" /> de la partie sur laquelle elles sont définies. == Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative == === 1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition| titre=1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative| contenu ={{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]\;</math> est le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> s'identifie à l'opposé de la différentielle de <math>\;U_{\vec{F}}(M)</math> » soit <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math>» ou «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}}\;</math>»<ref> On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt <math>\;\big(</math>raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative<math>\big)</math>.</ref>{{,}}<ref> En accord avec la définition des « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point <math>\;M\;</math> se déplace sur une courbe continue.</ref> ;</center>}} {{Al|5}}dans le S.I<ref name="S.I."> Système International.</ref>. des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en <math>\;J</math>. === Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}\;</math> : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive la force conservative » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}\;</math> : <u>Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées</u> est <u>la différence de l'énergie potentielle du point matériel</u> dans le champ de force conservative <u>entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie</u> soit «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"/> indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» se réécrit avec <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math> «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = U_{\vec{F}}(M_1) - U_{\vec{F}}(M_2) =</math> <math>-\Delta U_{\vec{F}}\;</math>». === 2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative|contenu ={{Al|5}}On appelle énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]</math>, le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit l'opposé de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> c'est-à-dire <center>«<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.</ref> : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}le gradient du champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> tel que sa circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit la différentielle du champ scalaire<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «<math>\;\left\lbrace \vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et par suite «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}réciproquement si on multiplie chaque membre de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c'est-à-dire la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative. == 1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique == {{Al|5}}Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen<ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, entre un instant initial <math>\;t_1\;</math> et un instant final <math>\;t_2</math>, en distinguant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> dont on utilise le caractère conservatif <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)}\;</math> }}en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée <math>\;U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>des « forces non conservatives »<ref name="forces non conservatives"> Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.</ref> <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}soit «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1) = \Delta K_M\;</math>» où on remplace le travail de chaque force conservative par «<math>\;W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_1) - U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_2) = -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = \sum\limits_j \left[ -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] = - \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «<math>\;- \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta K_M\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}en transposant les termes d'énergies potentielles <math>\;\big(</math>ce qui entraîne un changement de signe<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;\sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta\! \left[ K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» c'est-à-dire une relation définissant une <u>'''nouvelle''' grandeur énergétique</u>, <u>'''somme'''</u> de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur <u>'''restant constante en absence de travail des forces non conservatives'''</u><ref name="forces non conservatives" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}on comprend donc l'importance du signe <math>\;-\;</math> dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «<math>\;-\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math> devenant, lors du changement de membre, <math>\;+\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas » est la « <u>somme</u> » <math>\;\big(</math>et non la différence<math>\big)\;</math> de termes ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;2\;</math> contributions <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;K_M\;</math>»<ref> Grandeur <u>dépendant du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la cinétique du point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>»<ref> D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;<br>{{Al|3}}enfin on admettra que l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie<math>\big)\;</math> est <u>indépendante du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la position du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» }}dans le champ de forces conservatives. == Exemples de forces « non conservatives » == === La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives » === ==== Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide ==== {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c.-à-d._sans_frottement)_ou_non_idéales_(c.-à-d._avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = 0\;</math>» car <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à la surface du solide en <math>\;M\;</math> est toujours <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.</ref> étant toujours colinéaire et de sens opposé au <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0}\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> étant }}vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|base<math>\big)\;</math>}} de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{s\;</math> abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d.27un_point_sur_une_courbe_continue|Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}la force de frottement solide «<math>\;\vec{R}_\tau = \overline{R_\tau}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{R_\tau} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref> soit, avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide }}la loi empirique de Coulomb<ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du frottement solide avec glissement<ref name="loi de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \mu_d\;R_n\;</math>» avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;\mu_d\;</math> le cœfficient de frottement dynamique » et <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;R_n > 0\;</math> la composante normale de la réaction »<ref> On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> dans le solide.</ref>, d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}l'expression du travail de la force de frottement «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \mu_d\;R_n(s) \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn"> Où <math>\;\mathrm{sgn}(x)\;</math> est la fonction « signe de <math>\;x</math> » telle que <math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\-1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}pour un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math> car <math>\;ds\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math><ref> Cas assez fréquent.</ref>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right) < 0\;</math>»<ref name="assez fréquent"> Dans le cas assez fréquent où <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math> avec un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;s_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;s_1</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}ce résultat montrant clairement <math>\;\big(</math>dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante<math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement }}que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi<ref> <math>\;s_2 - s_1\;</math> étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que }}ceci restant vrai même si <math>\;R_n(s)\;</math> n'est pas constante<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,<br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. ==== Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non ==== {{Al|5}}La résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide"> Encore appelée force de frottement fluide.</ref> d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un fluide<ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative, que le frottement soit linéaire<ref name="frottement fluide linéaire> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, quadratique<ref name="frottement fluide quadratique> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou autres<ref name="frottement fluide à vitesse élevée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}son travail le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie par <math>\;M\;</math> pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> est <math>\;< 0\;</math>» car, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}pour un solide assimilable à un point matériel, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet<ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" />, on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet" /> où <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne" /> mesurée à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur celle-ci et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref>, <math>\;\vert \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \vert\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert v_M(t) \vert = \vert \dot{s}_M(t) \vert\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ \dot{s}(t) \right] \Vert \;ds\;</math>»<ref name="fonction sgn" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math>»<ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour une forme quadratique de force de frottement fluide <math>\;\Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert = h'\;v^2(t)\;</math><ref> Très fréquent.</ref> avec <math>\;h'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}constante positive caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide<ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut trouver plus de détails dans la note [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#cite_note-30|³⁰]] du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique constante positive caractéristique }}et de la densité de ce dernier<ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt < 0\;</math>»<ref name="cas très fréquent"> Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}ce résultat permettant d'établir <math>\;\big(</math>dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide<math>\big)</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée<ref name="vitesse instantanée" /> ainsi que celle d'abscisse curviligne<ref name="abscisse curviligne" /> du point, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi<ref> En supposant, par exemple, que de la connaissance de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v = v(t)\\ s = s(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et par élimination de <math>\;t\;</math> on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit <math>\;v = v(s)\;</math> ce qui permettrait de réécrire, avec <math>\;v(t)\;dt = ds</math>, et en supposant le mouvement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} v^2(s)\;ds\;</math> et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir que }}ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide" /> sur un point <math>\;M\;</math> développe un travail négatif », <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> en conclusion «}}<math>\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position <u>ne définit pas un champ de forces</u> et qu'il est par conséquent <u>inutile d'envisager son caractère conservatif</u>, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif. ==== Forces de liaison par fil idéal tendu ==== {{Al|5}}La force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par un fil idéal<ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> tendu sur un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#4ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fil,_cas_du_fil_idéal|4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont la norme <math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert\;</math> définit la tension du fil idéal<ref name="fil idéal" /> est non conservative, son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T}) =</math> <math>\vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> n’étant en général pas une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" />{{,}}<ref> Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour <math>\;\vec{T} = \overrightarrow{\text{cste}}\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\uparrow\;</math><u>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : on suspend un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à l'aide d'une corde idéale<ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}sur <math>\;M\;</math> s'exercent <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> qui fait que le point <math>\;\downarrow\;</math> en absence d'autres forces et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{T}\;</math> de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction }}<math>\;\vec{T}\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}l'application de la r.f.d.n<ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref>. au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» ou, en prenant <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;-m\;g\;\vec{u}_z + T\;\vec{u}_z = m\;a_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right]\;</math>» c'est-à-dire que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}« la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour hisser <math>\;M\;</math> d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2\;</math> on peut régler le mouvement de montée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}<math>\big[</math>c'est-à-dire qu'on peut régler <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> en modifiant la tension de la corde<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> }}ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «<math>\;\vec{T}\;</math> non conservatif »<ref> Pour la montée verticale de <math>\;M\;</math> la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;<br>{{Al|3}}on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où <math>\;\vec{T}\;</math> en une même position <math>\;M\;</math> dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\uparrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;> 0</math>, le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> avec <math>\;dz > 0\;</math>» est tel que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> montant de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz > 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer l'évaluation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}celle-ci vérifiant que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde"> En effet si on connaît la loi horaire de position <math>\;z = z(t)\;</math> et que cette loi soit inversable on peut en déduire <math>\;t = t(z)\;</math> et réécrire le travail de la force selon <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <math>\displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left\lbrace g + a_{M,\,z}\!\left[ t(z) \right] \right\rbrace dz\;</math> permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une traction douce d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} m\; g\; dz = m\;g\;h\;</math> ou * une traction rapide d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq 2\;m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} 2\;m\; g\; dz = 2\;m\;g\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour monter le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}<math>\Rightarrow\;</math> la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « motrice ». {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\downarrow\;</math><u>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u><ref name="fil idéal" /> : dans le paragraphe précédent relatif à la <math>\;\uparrow\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, on a établi que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde sur <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force }}<math>\;\vec{T} = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\downarrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dz < 0 \\ T > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>»<ref> En supposant que le fil reste tendu.</ref> suit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> <math>\downarrow\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}<math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<math>\displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où }}<math>\Rightarrow\;</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes<ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde" />{{,}}<ref> Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une retenue forte d'accélération <math>\;a_{M,\,z} < 0\;</math> telle que <math>\;\vert a_{M,\,z} \vert \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} m\; g\; dz</math> <math>= -m\;g\;h\;</math> ou * une retenue faible d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq -\dfrac{g}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq \dfrac{m\;g}{2}\;</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} \dfrac{m\;g}{2}\; dz = -\dfrac{m\;g}{2}\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour descendre le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « résistive ». {{Al|5}}En conclusion, la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par une corde idéale<ref name="fil idéal" /> sur un point <math>\;M\;</math> est « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|En conclusion, la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par une corde idéale sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}développe « un travail positif ou négatif », <math>\;\vec{T}(M)\;</math> est donc « motrice ou résistive »<ref> Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».</ref>. === Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal === {{Al|5}}Parmi toutes les forces de contact <math>\big[</math>détaillées dans le chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qu'un point <math>\;M\;</math> peut subir c'est l'« <u>unique force de contact conservative</u> »<ref> N'a donc pas sa place dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Exemples_de_forces_«_non_conservatives_»|Exemples de forces non conservatives]] » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».</ref>, elle sera étudiée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#3ème_exemple_de_force_conservative_:_la_«_tension_d'un_ressort_idéal_lié_à_un_point_matériel_»_et_l'«_énergie_potentielle_élastique_du_point_»|3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point]] » plus bas dans ce chapitre. == Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Définition| titre= Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)| contenu ={{Al|5}}L'« énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« énergie mécanique }}est la grandeur scalaire <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;K_M(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <br>{{Al|35}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de }}<math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}cette énergie ne dépendant pas explicitement de <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> cette énergie }}étant indépendante du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.}} {{Al|5}}Dans le S.I<ref name="S.I." />. des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en <math>\;J</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive le champ de forces conservatives » c'est-à-dire l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». == Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Al|5}}Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., <br>{{Al|5}}seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|Point matériel à mouvement conservatif]] » plus bas dans ce chapitre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation }}détaillés au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation introduits}}sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I.. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail <math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" /> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> correspondants <math>\;\Delta E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1)\;</math>» soit <center>«<math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1) = \Delta E_{m,\,M}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> sur cette même durée</u>. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail élémentaire <math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives {{Nobr|<math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" />}} appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement élémentaire dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>selon n'importe quelle {{Nobr|direction<math>\big)\;</math>»}} est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t</math> <math>\;d E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math><ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d E_{m,\,M}\;</math> et la différence <math>\;E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t) = dE_{m,\,M}\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" />.</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux élémentaires</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Al|5}}La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_justification_du_signe_«_-_»_dans_la_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»_par_réécriture_du_théorème_de_l'énergie_cinétique|1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser <math>\;t_1 = t\;</math> et <math>\;t_2 = t + dt\;</math> <math>\big\{</math>en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car <math>\;dt\;</math> y est toujours aussi petit que possible<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" /><math>\big\}</math>. === Point matériel « à mouvement conservatif » === {{Définition| titre=Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »|contenu={{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas<ref> Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini <math>\;\big(</math>même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé<math>\big)</math> car le travail d'une force dépend du référentiel</ref>.}} {{Al|5}}<u>Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen</u> : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante : <center>« <u>Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée</u> »<ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ; <br>{{Al|3}}a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul<math>\big)\;</math> et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée <math>\;\big(</math>rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable<math>\big)</math>.</ref>.</center> == 2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative == === Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> qui lui est imposé dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}on exerce sur <math>\;M\;</math> une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> }}permettant le déplacement du point d'une position initiale <math>\;M_{\text{ini}}\;</math> vers une position finale <math>\;M_{\text{fin}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> permettant le déplacement du point }}de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique"> C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que <math>\;K_M(t) \simeq 0\;</math> en toute position.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}« le travail développé dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par la force motrice<ref name="force motrice considérée comme non conservative"> Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.</ref> <math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> à déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" /> »<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique"> Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où <br>{{Al|3}}à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n}\;</math> avec <math>\;n \geqslant 1\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, }}d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessite une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty\;</math> <math>\big(</math>car à vitesse <math>\;v_M \simeq 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie }}est de valeur absolue d'ordre de grandeur <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n} \times \Delta s_M \simeq 0\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M}}\;</math> }}«<math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}}) + W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>». === Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}En l'absence de forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> travaillant lors d'un déplacement quasi-statique<ref name="déplacement quasi-statique" />{{,}}<ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique" /> c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou <br>{{Al|23}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c'est-à-dire l'absence de forces de contact comme « }}une force de frottement solide »<ref> Liste non exhaustive.</ref>{{,}}<ref name="forces non conservatives travaillant à déplacement quasi-statique"> Bien qu'à déplacement quasi-statique <math>\;v_M \simeq 0\;</math> ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessitant une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty</math>, ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force <math>\;\times \Delta s_M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force <math>\;\times \Delta t_M\;</math> de forme indéterminée <math>\;0 \times \infty\;</math>»<math>\big\}</math>, raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, une force motrice }}«<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t\;</math>»<ref> On adapte donc à chaque instant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> pour être opposée à <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.</ref> et {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on applique à <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\; \cancel{+\; \sum\limits_i W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{i,\,\text{non cons. à trav. nul}})}\; = \Delta E_{m,\,M} = E_m(M_{\text{fin}}) - E_m(M_{\text{ini}})\;</math>»<ref name="force motrice considérée comme non conservative" /> avec, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}compte-tenu du déplacement quasi-statique de <math>\;M\;</math><ref name="déplacement quasi-statique" />, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M) \simeq U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}Or la force motrice étant choisie telle que <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t</math>, on en déduit «<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = -W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, «<math>\;-W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» dont on déduit la propriété suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = -\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}\;</math>»<ref name="propriétés de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en considérant un déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> quelconque, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) = -d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>»<ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique - bis"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math> et la différence <math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec <math>\;\overrightarrow{M_tM_{t + dt}}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}}<ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}})}</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} \right]\!(M)\;</math>»<ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}ce qui justifie la présence du signe «<math>\;-\;</math>» dans les définitions de l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />. == Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique » == === Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{Al|5}}<u>La puissance mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point</u> <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> c'est-à-dire <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t)\;</math><ref name="puissance mécanique"> Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.</ref> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{E}_{m,\,M}(t)\big]</math>. === Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique » === {{Al|5}}À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale<ref name="forme locale associée à une forme intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » (ou vice-versa) du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par <math>\;dt\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale }}«<math>\;\dfrac{\sum\limits_i \delta W\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]}{dt} = \dfrac{dE_{m,\,M}}{dt}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}en reconnaissant la puissance mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le membre de droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant }}la puissance des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquée à <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le membre de gauche <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center> === Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{théorème | titre= Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique }}sont <u>les puissances</u><math>\;\big(</math><u>non nulles</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u><ref name="forces non conservatives" />. === Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif » === {{Al|5}}On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous : {{Al|5}}<u>Définition</u><math>\;\big(</math><u>équivalente</u><math>\big)</math> : Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}si les éventuelles forces non conservatives<ref name="forces non conservatives" /> ne développent aucune puissance soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> si les éventuelles forces non conservatives }}«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence dans un référentiel galiléen</u> : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}« <u>l'énergie mécanique du point</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen</u> ». == 1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point » == === Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> « uniforme »<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme"> Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à <math>\;1\,\%\;</math> près dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, le poids d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\color{transparent}{\vec{g}}\;</math> « uniforme », le poids d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est l'intensité de la pesanteur terrestre ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> d'où <center>« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est une force conservative ».</center> === « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}L'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme<ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme }}se détermine par «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» soit «<math>\;-m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même, en cylindro-polaire, }} le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{pes}}}{dz} = m\;g\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle de pesanteur en</u><math>\;z = 0\;\big(</math><u>niveau du sol</u><math>\big)\;</math> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{pes}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>À retenir</u> : Si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\uparrow</math>, «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> avec la référence en <math>\;z = 0\;</math>» <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|À retenir : }}si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\downarrow</math>, on obtient, « avec la même référence, <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math>»<ref> En effet, <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dz} = -m\;g\;</math> soit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math> <math>= -m\;g\;z\;</math> si référence en <math>\;z = 0</math>.</ref> <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la profondeur <math>\;z\big]</math>. === Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}<u>Toute énergie potentielle</u> d'un point matériel <math>\;M\;</math> est une « <u>réserve d'énergie</u> pour <math>\;M\;</math>» <math>\blacktriangleright\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie <math>\;\big(</math>par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément }}en énergie cinétique<math>\big)\;</math>»<ref> Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ; <center>cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> un point matériel <math>\;M\;</math> au repos à une altitude <math>\;z</math>, possède l’énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z > 0\;</math> si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au repos à une altitude <math>\;\color{transparent}{z}</math>, }}possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}abandonné à lui-même, <u>il chute spontanément</u> en acquérant de l’énergie cinétique <math>\;K_M \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> abandonné à lui-même, }}la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air »<ref> Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi * à déformer l'objet assimilé à un point matériel <math>\;\big(</math>on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables<math>\big)\;</math> toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique <math>\;\big(</math>celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides<math>\big)\;</math> doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique<math>\big)\;</math> ou * à l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre alors dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne<math>\big)\;</math> ou encore * à le déformer et l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre encore dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c'est-à-dire le replacer à l'altitude initiale <math>\;z\big)</math>, il faut exercer sur lui une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> <math>\uparrow\;</math> de manière « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" />,<br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire <math>\;\big(</math>énergie potentielle pour nous<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation }}en énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\nearrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}le théorème de la variation d’énergie mécanique<ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> appliqué à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(M_z) - E_m(M_0) = U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{E_m(M_z) - E_m(M_0)}</math> }}<math>= W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) > 0\;</math>»<ref> En effet <math>\;K_M(t) \simeq 0\;\;\forall\;t\;</math> d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables <math>\;\big(</math>elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> à exercer pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fasse de façon « quasi-statique »<ref name="déplacement quasi-statique" /> est l'opposé de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -m\;\vec{g}\;</math>»<ref> En effet les seules forces étant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> et <math>\;m\;\vec{g}\;</math> <math>\big(</math>les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle<math>\big)\;</math> d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n. <math>\;\ldots</math></ref> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> la force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> à exercer }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) = W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(-m\;\vec{g}) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>»<ref> Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «<math>\;-\;</math>» dans la définition de l'énergie potentielle «<math>\;W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g}) = -\left[ U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) \right]\;</math>».</ref>. == 2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point » == <center>Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique »<ref name="astre à symétrie sphérique"> Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre de l'astre.</ref>, c'est une bonne approximation pour <br>le Soleil « {{grossir|☉|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique"> Symbole astronomique.</ref> et les planètes qui gravitent autour de lui <math>\;\big(</math>dont la Terre « {{grossir|♁|facteur=1.25}} »<ref name="symbole astronomique" /><math>\big)\;</math> ainsi que <br>les plus gros satellites naturels de ces planètes <math>\;\big(</math>dont la Lune « {{grossir|☽|facteur=1.25}} »<ref> Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été « {{grossir|☾|facteur=1.25}} » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}}<ref> Sur les 79 satellites naturels de Jupiter <math>\;\big(</math>la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique {{grossir|♃|facteur=1.25}} et de volume mille trois cents fois celui de la Terre<math>\big)\;</math> confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Jupiter, Io <math>\;\big(</math>de taille similaire à celle de la Lune<math>\big)</math>, Europe <math>\;\big(</math>de même taille que Io<math>\big)</math>, Ganymède <math>\;\big(</math>le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune<math>\big)\;</math> et Callisto <math>\;\big(</math>le 3^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune<math>\big)</math>, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en [[w:Résonance_orbitale|résonance orbitale]], ce qui a pour conséquence la [[w:Résonance orbitale#Stabilité des orbites|stabilité des orbites]]<math>\big]</math>, les autres ont une forme irrégulière ;<br>{{Al|3}}il en est de même pour Saturne <math>\;\big(</math>de symbole astronomique {{grossir|♄|facteur=1.5}} et de volume neuf cents fois celui de la Terre<math>\big)</math>, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Saturne, Mimas <math>\;\big(\simeq 400\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Encelade <math>\;\big(\simeq 500\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Téthys <math>\;\big(\simeq 1050\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Dioné <math>\;\big(\simeq 1100\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Rhéa <math>\;\big(\simeq 1550\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>le 2^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, <math>\simeq 5150\;km\;</math> de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote<math>\big)</math> et Japet <math>\;\big(\simeq 1450\;km\;</math> de diamètre<math>\big)\big]</math>, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>.</center> === Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> de masse <math>\;m_{\!\mathcal{A}}\;</math> et de rayon <math>\;R_{\!\mathcal{A}}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les coordonnées sphériques du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> sont <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;\color{transparent}{O_{\!\mathcal{A}}}\;</math> de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\!\mathcal{A}}}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math>,}} la base sphérique liée à <math>\;M</math>, <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}la position de <math>\;M\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;r > R_{\!\mathcal{A}}</math>, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point <math>\;M\;</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui }}«<math>\;\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>», «<math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la [[w:Constante_de_gravitation|constante de gravitation universelle]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c'est-à-dire telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui «<math>\;\color{transparent}{\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\; \vec{u}_r}\;</math>», « }}<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\; 10^{-11}\; S.I.\;</math>»<ref name="U.S.I."> [[w:Unités_de_base_du_Système_international|Unité du Système International]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s’écrit donc «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{1}{r}\bigg)\;</math> <center>d'où « la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation créé par l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> notée <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» soit «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{dr} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M) = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{r^2} = r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{-1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> à l'<math>\infty\;</math> de ce dernier</u><ref name="référence à l'infini"> Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.</ref> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = 0</math>, on obtient «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r}\;</math>» ; <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /></u> : <br>{{Al|5}}en choisissant la <u>référence au niveau du sol de l'astre</u> c'est-à-dire <math>\;r = R_{\!\mathcal{A}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(R_{\!\mathcal{A}}) = 0\;</math> dont on déduit <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}} + cste = 0\;</math> soit <math>\;cste = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\!\mathcal{A}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m\;\dfrac{r - R_{\!\mathcal{A}}}{R_{\!\mathcal{A}}\;r}\;</math> avec référence à la surface de l'astre »<ref name="référence à la surface de l'astre"> Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}\;</math> avec référence à la surface terrestre »<ref name="référence à la surface de l'astre" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre<ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique, car <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(R_{\text{♁}} + z) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{R_{\text{♁}} + z} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> === Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre === [[File:Énergie potentielle gravitationnelle terrestre.png|thumb|500px|Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> en fonction de sa distance <math>\;r\;</math> au centre de la Terre, avec référence à l'infini, <math>\;r\;</math> et <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> étant en grandeurs réduites<ref> C.-à-d. respectivement en unité <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre, }}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}} \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des <math>\;r\;</math>». {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r} + \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> de la quantité <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math> <math>\big\{</math>à tracer soi-même<math>\big\}</math>, d'où le graphe s'identifiant à <br>{{Al|5}}une portion de branche d'hyperbole équilatère<ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère" /> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}d'équation «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}},\;\;\forall\;r\;</math>» soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> et d'ordonnée <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>. === Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol === {{Al|5}}Après définition de l'« altitude du point <math>\;M\;</math> par rapport au niveau du sol terrestre selon <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de }}l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;M\;</math> avec référence au niveau du sol «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}} + z} = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z)\;</math>»<ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> est notée <math>\;U(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = U(r)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = f(r)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U(r) \\ U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = U(r) \\ U = U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;g(z)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = f(r) \\ U = g(z)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> avec référence au niveau du sol selon }}<math>\;\big[</math>on vérifie qu'il s'agit d'une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\big]</math> ; {{Al|5}}dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre <math>\;\bigg(\!</math>par exemple <math>\;z \lesssim \dfrac{R_{\text{♁}}}{100} \simeq 64\;km\!\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}on peut considérer <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un<ref name="infiniment petits"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut }}réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" /> ou, en en prenant un D.L<ref name="D.L."> Développement Limité.</ref>. à l'ordre un <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>»<ref name="abus de notation" />{{,}}<ref> En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où <math>\;\dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}} = \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{-1} \simeq 1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z = m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z\;</math>»<ref name="abus de notation" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}avec «<math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ». {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre <math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre }}l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;g</math>, on observe alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification }}avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c c l} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M) \simeq m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z \!\!&\simeq&\!\! m\;g\;z = U_{\text{pes}}(M) \\ \qquad\text{si } z \ll R_{\text{♁}} \!\!&&\!\! \text{si }\vec{g} \text{ est uniforme}\end{array}\right\rbrace\;</math>». == 3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point » == === Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe === [[File:Ressort idéal et force exercée sur une extrémité.png|thumb|Schéma d'un ressort idéal<ref name="ressort idéal"> C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives <math>\;\big(</math>ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide<math>\big)\;</math> et parfaitement élastique.</ref> dont une extrémité est liée à un point matériel <math>\;M</math>, l'autre extrémité étant notée <math>\;A</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position qu'occuperait <math>\;M\;</math> si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée]] {{Al|5}}Notant <math>\;A\;</math> l'autre extrémité du ressort « idéal »<ref name="ressort idéal" /> lié au point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;l_0\;</math> la longueur à vide du ressort et <math>\;k\;</math> la raideur de ce dernier, <br>{{Al|5}}la « force que le ressort exerce sur <math>\;M\;</math>»<ref name="tension du ressort"> Appelée vecteur tension du ressort <math>\;\big(</math>ou simplement tension du ressort<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\vec{T}\;</math><ref> En absence d'ambiguïté.</ref> est donnée par la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]] <ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> «<math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>»<ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|Cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon avec « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;l = \Vert \overrightarrow{AM} \Vert\;</math> étant la longueur à charge du ressort », {{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}loi de Hooke<ref name="Hooke" /> que l'on peut réécrire selon «<math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math>» avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}«<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ; {{Al|5}}quand <math>\;A\;</math> est fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le meilleur repérage du point <math>\;M\;</math> est le repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" />, dans ces conditions <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> lié à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}« la longueur à charge <math>\;l\;</math> s'identifiant au rayon polaire <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel === {{Al|5}}Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on déplace de façon élémentaire le point <math>\;M\;</math> selon le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, l'extrémité <math>\;A\;</math> étant fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" /> » pour <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur <math>\;l\;</math> à charge du ressort, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> » pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les deux autres étant angulaires notées respectivement <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math><ref> Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>»<ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on en déduit le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}</math>, «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = -k\;(l - l_0)\; \vec{u}_r \cdot \left[ dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi \right] = -k\;(l - l_0)\; dl\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dl\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où }}<math>\;\big(</math>en effet le cœfficient de <math>\;dl\;</math> est une [[w:Fonction_affine|fonction affine]] s'intégrant en [[w:Fonction_quadratique|fonction quadratique]]<math>\big)\;</math> <center>d'où « le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration"> Nous nous limitons à ce cas car <math>\;A\;</math> mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de <math>\;t</math>.</ref> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}<u>Autre démonstration</u><ref> Plus délicate, préférer la précédente.</ref> : partant de <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math> avec «<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge <math>\;M_t\;</math>»<ref name="directions de AMt et AM0 identiques"> <math>\;M_0\;</math> étant une position liée à <math>\;M_t</math>, si la direction de <math>\;AM_t\;</math> change, la direction de <math>\;AM_0\;</math> change simultanément.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}soit un vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> avec l'autre extrémité <math>\;A\;</math> du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> fixe, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> on envisage }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{AM} \right] = d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» d'où le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> s'écrit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{d M} = -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot \left\lbrace d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}</math> }}<math>= -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}explicitons <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}\;</math> qui étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{AM_0}^2 = l_0^{\,2} = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{AM_0} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math> d'où <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}\bigg\}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui }}est aussi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui est aussi <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;\overrightarrow{M_{0,\,t}M_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons }}d'où «<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math>» permettant de réécrire le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]}\;</math>» qui est effectivement }}<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] = d\! \left[ \dfrac{\overrightarrow{M_0M}^2}{2} \right]</math>. <center>« le vecteur tension du ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe<ref name="raison de la restriction de démonstration" /> ».</center> === « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel === {{Al|5}}L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> c'est-à-dire son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal »<ref name="ressort idéal" /> notée <math>\;U_{\text{élast}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» soit «<math>\;-k\;(l - l_0)\; dl = -dU_{\text{élast}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!l,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!l,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou encore «<math>\;-k\;(l - l_0)\; d(l - l_0) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d (l - l_0)} = k\;(l - l_0)\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite"> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;\Delta l = l - l_0</math>.</ref> ou, en introduisant l'« allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d\, \Delta l} = k\;\Delta l\;</math>»<ref name="forme de dérivée droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{élast}}(M) = U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{k\, \left( \Delta l \right)^2}{2} + cste\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert \Delta l \vert\;</math><ref> L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point }}elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.</ref> c'est-à-dire <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de }}la valeur absolue de l'allongement algébrique<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal</u><ref name="ressort idéal" /> c'est-à-dire <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( \Delta l \right)^2 = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l - l_0 \right)^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c'est-à-dire <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0}</math>, on en déduit «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l) =}</math> }}avec référence « ressort à vide » ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> peut se réécrire <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}«<math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\; \overrightarrow{M_0M}^2\;</math> avec référence en <math>\;M_0\;</math> <math>\big(</math>position de <math>\;M\;</math> avec ressort à vide, la <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}direction de l'axe étant inchangée <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}par rapport à sa position à charge<math>\big)\;</math>». === Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal === [[File:Ressort idéal - énergie potentielle élastique.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l\;</math> de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort]] {{Al|5}}Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal<ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> du ressort <math>\;\big(l\;</math> étant la longueur du ressort à charge<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique }}est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre }}avec une unité d’abscisse arbitraire notée <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec }}l'unité d'ordonnée correspondante étant <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point <math>\;M\;</math> a une position d'« équilibre stable »<ref name="équilibre stable"> Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui « n'est pas la position à vide »<ref name="équilibre hors position à vide"> Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur <math>\;M\;</math> comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.</ref>, on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> et l'énergie potentielle élastique s'écrivant <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l \right)^2 + cste</math>, la condition de référence <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}) = 0\;</math> nous conduit à <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} + cste</math> <math>= 0\;</math> soit <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2}\;</math> et par suite <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l \right)^2 - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right]\;</math> avec référence en la position d'équilibre » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on note «<math>\;x\;</math> l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «<math>\;\Delta l = \Delta l_{\text{éq}} + x\;</math>», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}} + x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l_{\text{éq}} + x \right)^{\!2} - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right] = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math>»<ref> <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> étant toujours <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big(</math>puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide<math>\big)</math>, l'énergie potentielle <u>purement élastique</u> du point matériel ne s'écrit jamais <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\;x^2}\;</math> avec <math>\;x = \Delta l - \Delta l_{\text{éq}} = \left( l - l_0 \right) - \left( l_{\text{éq}} - l_0 \right) = l - l_{\text{éq}}\;</math> <math>\big[</math>erreur encore trop fréquente<math>\big]</math>.</ref> ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative <math>\;\ldots</math> <br> == 4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point » == === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}Soit un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> « uniforme »<ref name="champ électrique uniforme"> Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est <math>\;\perp\;</math> aux armatures <math>\;\big(</math>sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches<math>\big)\;</math> et son sens est celui des potentiels électriques <math>\;\searrow</math> ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.</ref>, la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\vec{E}\;</math><ref name="uz sens des potentiels croissants"> Donc <math>\;\vec{u}_z\;</math> est dans le sens des potentiels électriques <math>\;\nearrow</math>.</ref>{{,}}<ref name="choix pour analogie champs électrique et de pesanteur"> Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{g}\;</math> c.-à-d. dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;E = \Vert \vec{E} \Vert\;</math> est la norme du champ électrique terrestre et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où }}la « référence des potentiels électriques »<ref> Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».</ref> choisie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où la « référence }}confondue avec l’origine des cotes ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math>»<ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\big(</math>le cœfficient de <math>\;dz\;</math> étant une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> <math>\;q\;\vec{E}\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math><ref> On ne note pas <math>\;U_{\text{élect}}\;</math> pour des raisons évidentes, <math>\;U\;</math> étant réservée aux tensions électriques.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}se définit par «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» soit «<math>\;-q\;E\;dz = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{dz} = q\;E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z)</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par «<math>\;\color{transparent}{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} = q\;E}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)}</math> }}<math>= q\;E\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle électrostatique en</u> <math>\;z = 0\;</math> <math>\big(</math><u>endroit de la référence des potentiels électriques</u><ref> C.-à-d. la masse du circuit électrique.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z) = q\;E\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \left[ -E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -E\;dz\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>« cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépendant que de <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>»<ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math>}}<math>\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel"> Voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à «<math>\;\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}(V)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit «<math>\;-E\;dz = -dV\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV}{dz} = E\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V(M) = V(z) = E\; z + cste'\;</math>» et, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}avec choix de la référence des potentiels électriques en <math>\;z = 0</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, <br>{{Al|56}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;V(M) = V(z) = E\; z\;</math> <math>\big(</math>référence à l'origine des cotes<math>\big)\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme<ref name="champ électrique uniforme" /> en <math>\;M\;</math> noté <math>\;V(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» à condition que « }}identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'origine des cotes «<math>\;V(M) = E\; z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels électriques. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M)\\ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on retrouve «<math>\;\vec{F}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math>». === En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme === {{Al|5}}On admet qu'un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> est un « champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>»<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|On admet qu'un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(M)}\;</math> quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> par }}ou «<math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\;</math>»<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ; <center>toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple »<ref> Par exemple avec <math>\;\vec{E}(M) = E_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + E_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_y + E_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z</math>, les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » (théorème de Poincaré réécrit en terme de champ vectoriel) du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte <math>\;dV = -\delta \mathcal{C}(\vec{E}) =</math> <math>- \left[ E_x(x,\, y,\, z)\, dx + E_y(x,\, y,\, z)\, dy + E_z(x,\, y,\, z)\, dz \right]\;</math> en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme…]] » du même chap.<math>28</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}« la force électrique exercée sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> placé dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> c'est-à-dire <math>\;q\; \vec{E}(M)\;</math> étant donc <u>conservative</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> }}dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> c'est-à-dire <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}cette dernière étant liée au potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de cette dernière étant liée }}à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques. == 5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M » == === Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton === ==== Loi d'interaction de Coulomb ==== {{Al|5}}Entre deux points matériels <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> de charges respectives <math>\;q\;</math> et <math>\;q'\;</math> s'exerce une « interaction électrostatique » telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide s’écrivant <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> « la force }}«<math>\;r\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math>», «<math>\;\vec{u}_{M'M}\;</math> vecteur unitaire de la droite <math>\;MM'\;</math> dirigé de <math>\;M'\;</math> vers <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M\;</math> exerce sur <math>\;M'\;</math> dans le vide est l'opposé de celle que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\vec{F}_{M'\, \leftarrow\, M} = -\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{MM'}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}ces forces étant appelées « forces de Coulomb »<ref name="Coulomb" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] »<ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité#Permittivité_du_vide_et_permittivité_relative|permittivité diélectrique de l'air sec]] étant <math>\;0,06\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> de valeur telle que «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.\;</math><ref name="U.S.I." /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'interaction électrostatique est « attractive pour <math>\;q\;q'\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'interaction électrostatique est }}« répulsive pour <math>\;q\;q'\;> 0\;</math>». ==== Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M ==== {{Al|5}}D'après la loi d'interaction de Coulomb<ref name="Coulomb" />, le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> la force électrostatique de Coulomb<ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce }}«<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>»<ref name="loi d'interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;r\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique du point <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» avec }}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|22}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» }}le repérage sphérique étant de pôle <math>\;O\;</math><ref name="repérage sphérique" />. {{Al|5}}<u>Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb</u><ref name="Coulomb" /> : le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}un vecteur champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> dont l'action sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> se révèle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}par « la force électrique définie par <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, \vec{E}_O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math> identique à <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O}\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}«<math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>existant même en absence de charge <math>\;q\;</math><ref> La présence d'une charge <math>\;q\;</math> en <math>\;M\;</math> permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge <math>\;q\;</math> est appelée « charge témoin ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centrifuge<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> répulsive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est attractive.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;< 0\;</math> {{Transparent|le champ électrique }}<math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centripète<ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> attractive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est répulsive.</ref>. ==== Cas particulier du champ électrique créé par un proton ==== {{Al|5}}« Un proton placé en <math>\;O\;</math> étant de charge <math>\;q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> centrifuge », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique }}variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique<ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation }}<math>\big(</math>à l'exception du sens bien entendu<math>\big)</math>. === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> qu'un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur un autre point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow O} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>»<ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{-1}{r}\bigg)\;</math> d'où <center>« la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math> sur un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{El\, \leftarrow Pr} = -e\; \vec{E}_{Pr}(M) = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> est une force conservative », <br>{{Transparent|« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;\color{transparent}{Pr}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{+e}\;</math> sur un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{-e}\;</math> à savoir}}<math>\;\big(</math>le proton <math>\;Pr\;</math> étant le pôle du repérage sphérique de l'électron <math>\;El\big)</math>.</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se détermine par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r} + cste\;</math>»<ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{r^2} = -r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>-\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle électrostatique due au point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle électrostatique }}est une fonction de valeur absolue <math>\;\searrow\;</math> avec la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie électrostatique due au point</u><math>\;O\;</math><u>de charge</u><math>\;q_O\;</math><u>à l'infini de ce dernier</u> c'est-à-dire <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math>» ; <center>l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique du point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math> avec référence à l'infini »<ref name="référence à l'infini" />, <br>{{Al|50}}<math>\big[</math>si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive <math>\;\searrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O</math>, <br>{{Al|55}}si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire<ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> soit «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> }}est donc une différentielle exacte<ref name="différentielle totale" /> <math>\;\bigg[</math>« cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dr}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}le cœfficient de <math>\;dr\;</math> étant une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> s'intégrant en <math>\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math><ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable" /> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> en la position <math>\;M\;</math> est un champ à circulation conservative »<ref name="champ à circulation conservative" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V_O(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> dérive<ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV_O\;</math>»<ref> Cette définition étant équivalente à <math>\;\vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right]\!(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr = -dV_O\;</math>»<ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV_O}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;</math>»<ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r} + cste'\;</math>» ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}avec l'<math>\infty\;</math> pour référence des potentiels électriques, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les <math>\;2\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique en <math>\;M</math>, <math>\;V_O(M)</math>, dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}</math>, dont dérive le champ électrique }}créé par <math>\;O\;(q_O)\;</math> en <math>\;M</math> <br>{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» si « la référence }}est identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'<math>\infty\;</math> on a <math>\;V_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient<ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O} \right](M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V_O \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}d'où, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect},\leftarrow\,O} \right](M)\\ \vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>»<ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}}<ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> on retrouve «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math>». === « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton » === {{Al|5}}Cas particulier de l'exposé du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier de l'exposé du paragraphe }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier }}« l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> dans le champ électrique créé par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math>»<ref> L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}, \leftarrow\,Pr}(El) = -e\;V_{Pr}(El) = -e\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r} < 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;r\;</math> étant la distance séparant l'électron du proton »<ref> Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1^er <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton <math>\;\big(</math>dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Lois de la puiss. et de l'énerg. cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] }} 9ip4l2t2by9xgws662nr1il09vxuaf9 988227 988226 2026-11-08T22:23:40Z Phl7605 31541 988227 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « <u>forces ne dépendant pas explicitement du temps</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une force dépendant explicitement du temps <ref name="force conservative dépendant explicitement du temps"> Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer <u>en figeant le temps</u> mais <u>les conséquences énergétiques</u> qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps <u>ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps</u> ; <br>{{Al|3}}aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.</ref> sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après<math>\big)</math>. == 1^ère définition d'une force « conservative » == {{Définition|titre=1^ère définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> est indépendant du chemin suivi <math>\;(\Gamma)\;</math> » <ref name="travail non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> <center>ou ssi «<math>\;W_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» <ref name="travail non nul" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>mais dépendant de <math>\;M_1\;</math> et de <math>\;M_2\big]\;</math> peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> prise entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c.-à-d. «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1) = \Delta S_{\vec{F}}\;</math>». == 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative == === 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » === {{Définition|titre=2^ème définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique » <ref name="travail élémentaire non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> ou <center>ssi «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte » <ref name="travail élémentaire non nul" />{{,}} <ref name="différentielle totale"> Ou différentielle totale.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> d'une fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dS_{\vec{F}} = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}en notant <math>\;M'\;</math> le point infiniment voisin de <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>». === Justification de l'équivalence entre les deux définitions === {{Al|5}}<u>Justification directe</u> « 1^ère définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 2^ème définition » : si « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> tels que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math> ce qui se réécrit « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépend que des points extrêmes <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> et non du chemin utilisé » c.-à-d. que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math>, <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M) = dS_{\vec{F}}\;</math> ». {{Al|5}}<u>Justification réciproque</u> « 2^ème définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math> », « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> est égal à <math>\;S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1)\;</math> sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> ». === Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N. <ref name="C.N."> Conditions(s) Nécessaire(s).</ref> <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}<u>C.N. <ref name="C.N." /> pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative</u> : Une force</u> <math>\;\vec{F}(M)</math>, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point <math>\;M\;</math> notées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow \rho\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow r\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)||Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>est conservative</u> <u>si les dérivées croisées des</u> fonctions <u>cœfficients des éléments de coordonnées</u> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés <math>\;\left( dx\,,\,dy\,,\,dz \right)\;</math><ref name="dx, dy, dz"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow d\rho = (dM)_\rho\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{\rho}\\ dz \rightarrow dz = (dM)_z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow dr = (dM)_r\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{r}\\ dz \rightarrow d \varphi = \dfrac{(dM)_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>de son travail élémentaire</u> <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> <u>sont égales</u> ce qui s'écrit, suivant le type de repérage, * en repérage cartésien : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial (\rho\; F_\theta)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial (\rho\;F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en cylindro-polaire"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho(M)\;d \rho + F_\theta(M)\;\rho\,d \theta + F_z(M)\;dz</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta (M) + \rho\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\;\left[ \dfrac{\partial (F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\; F_\theta \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;F_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en sphérique"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r(M)\;dr + F_\theta(M)\;r\,d \theta + F_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta(M) + r\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;F_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\;F_\varphi(M) + \sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : }}le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N. <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N. <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>C.N. <ref name="C.N." /> pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x"> Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore sphérique <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;\varphi</math>.</ref>, le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dx\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = d \rho\;\vec{u}_\rho</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et axiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dz\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dr\;\vec{u}_r</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et longitudale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\rho}{d \rho} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = \rho\;</math> et axiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_z}{dz} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_r}{dr} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = r\;</math> et longitudale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\varphi}{d \varphi} = r\;\sin(\theta)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable <math>\;x\;</math><ref> En effet dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dx + 0 \times dy\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial x} \right)_{\!\!y}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_x\;</math> indépendant de <math>\;y</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho\;d \rho + 0 \times \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\rho\;</math> indépendant de <math>\;\theta</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times d \rho + F_\theta \; \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;\rho\;</math> indépendant de <math>\;\rho\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{\rho}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r\;dr + 0 \times r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_r\;</math> indépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + F_\theta \; r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;r\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{r}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + 0 \times r\; d \theta + F_\varphi \; r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\varphi\;r\;\sin(\theta)\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\varphi\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\varphi)}{r\;\sin(\theta)}</math>.</ref>. === Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Rappel de préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S. <ref name="C.S."> Conditions(s) Suffisante(s).</ref> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel de préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}Ci-dessous le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S. <ref name="C.S." /> pour qu'une force soit conservative. {{Théorème| titre= Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles) |contenu ={{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire <u>vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées</u> des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un <u>ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u> <ref name="partie étoilée"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^n,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math> ; on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P</math> » <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> de son domaine de définition est une force conservative. <center><math>\Updownarrow</math></center> {{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est <u>fermé <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u> <ref name="partie étoilée" /> de son domaine de définition est une force conservative.}} {{Al|5}}<u>C.S. <ref name="C.S." /> pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x" /> le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx" /> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est conservative pour <math>\;M \in\;</math> à la courbe continue paramétré par <math>\;x\big]\;</math> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx" /> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable {{Nobr|<math>\;x\;</math><ref> Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.</ref>}} en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable <ref> Ceci correspondant à un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math> sur lequel le travail élémentaire est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N. <ref name="C.N." /> pour qu'elles soient conservatives <math>\;\big[</math>à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par <math>\;x\;</math> la fonction cœfficient de <math>\;dx\;</math> ne dépendant que de <math>\;x\;</math> ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire <ref name ="forme différentielle fermée" /><math>\big]\;</math> sont usuellement définies sur une [[w:Partie_étoilée|partie étoilée]] <ref name="partie étoilée" /> et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives <math>\;\big(</math>c.-à-d. que leur travail élémentaire est une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> sans vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]] <ref name="partie étoilée" /> de la partie sur laquelle elles sont définies. == Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative == === 1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition| titre=1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative| contenu ={{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]\;</math> est le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> s'identifie à l'opposé de la différentielle de <math>\;U_{\vec{F}}(M)</math> » soit <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math>» ou «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}}\;</math>» <ref> On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt <math>\;\big(</math>raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> En accord avec la définition des « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point <math>\;M\;</math> se déplace sur une courbe continue.</ref> ;</center>}} {{Al|5}}dans le S.I. <ref name="S.I."> Système International.</ref> des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en <math>\;J</math>. === Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}\;</math> : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive la force conservative » c.-à-d. l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}\;</math> : <u>Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées</u> est <u>la différence de l'énergie potentielle du point matériel</u> dans le champ de force conservative <u>entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie</u> soit «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"/> indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» se réécrit avec <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math> «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = U_{\vec{F}}(M_1) - U_{\vec{F}}(M_2) =</math> <math>-\Delta U_{\vec{F}}\;</math>». === 2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative|contenu ={{Al|5}}On appelle énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]</math>, le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit l'opposé de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> c.-à-d. <center>«<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» <ref name="gradient d'un champ scalaire" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u> <ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.</ref> : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}le gradient du champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> tel que sa circulation élémentaire <ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit la différentielle du champ scalaire <ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c.-à-d. «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» <ref name="gradient d'un champ scalaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «<math>\;\left\lbrace \vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et par suite «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}réciproquement si on multiplie chaque membre de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle <ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c.-à-d. la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative. == 1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique == {{Al|5}}Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, entre un instant initial <math>\;t_1\;</math> et un instant final <math>\;t_2</math>, en distinguant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> dont on utilise le caractère conservatif <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)}\;</math> }}en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée <math>\;U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>des « forces non conservatives » <ref name="forces non conservatives"> Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.</ref> <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}soit «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1) = \Delta K_M\;</math>» où on remplace le travail de chaque force conservative par «<math>\;W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_1) - U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_2) = -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = \sum\limits_j \left[ -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] = - \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «<math>\;- \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta K_M\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}en transposant les termes d'énergies potentielles <math>\;\big(</math>ce qui entraîne un changement de signe<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;\sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta\! \left[ K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» c.-à-d. une relation définissant une <u>'''nouvelle''' grandeur énergétique</u>, <u>'''somme'''</u> de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur <u>'''restant constante en absence de travail des forces non conservatives'''</u> <ref name="forces non conservatives" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}on comprend donc l'importance du signe <math>\;-\;</math> dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «<math>\;-\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math> devenant, lors du changement de membre, <math>\;+\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas » est la « <u>somme</u> » <math>\;\big(</math>et non la différence<math>\big)\;</math> de termes ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;2\;</math> contributions <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;K_M\;</math>» <ref> Grandeur <u>dépendant du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la cinétique du point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <ref> D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;<br>{{Al|3}}enfin on admettra que l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie<math>\big)\;</math> est <u>indépendante du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la position du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» }}dans le champ de forces conservatives. == Exemples de forces « non conservatives » == === La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives » === ==== Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide ==== {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c.-à-d._sans_frottement)_ou_non_idéales_(c.-à-d._avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = 0\;</math>» car <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à la surface du solide en <math>\;M\;</math> est toujours <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.</ref> étant toujours colinéaire et de sens opposé au <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0}\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> étant }}vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet <ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|base<math>\big)\;</math>}} de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>» <ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{s\;</math> abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d.27un_point_sur_une_courbe_continue|Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}la force de frottement solide «<math>\;\vec{R}_\tau = \overline{R_\tau}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{R_\tau} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref> soit, avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide }}la loi empirique de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du frottement solide avec glissement <ref name="loi de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \mu_d\;R_n\;</math>» avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;\mu_d\;</math> le cœfficient de frottement dynamique » et <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;R_n > 0\;</math> la composante normale de la réaction » <ref> On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> dans le solide.</ref>, d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}l'expression du travail de la force de frottement «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \mu_d\;R_n(s) \;ds\;</math>» <ref name="fonction sgn"> Où <math>\;\mathrm{sgn}(x)\;</math> est la fonction « signe de <math>\;x</math> » telle que <math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\-1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}pour un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math>» <ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math> car <math>\;ds\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math><ref> Cas assez fréquent.</ref>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right) < 0\;</math>» <ref name="assez fréquent"> Dans le cas assez fréquent où <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math> avec un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;s_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;s_1</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}ce résultat montrant clairement <math>\;\big(</math>dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante<math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement }}que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi <ref> <math>\;s_2 - s_1\;</math> étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que }}ceci restant vrai même si <math>\;R_n(s)\;</math> n'est pas constante<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,<br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. ==== Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non ==== {{Al|5}}La résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide"> Encore appelée force de frottement fluide.</ref> d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un fluide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative, que le frottement soit linéaire <ref name="frottement fluide linéaire> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, quadratique <ref name="frottement fluide quadratique> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou autres <ref name="frottement fluide à vitesse élevée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}son travail le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie par <math>\;M\;</math> pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> est <math>\;< 0\;</math>» car, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}pour un solide assimilable à un point matériel, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet <ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" />, on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>» <ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet" /> où <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne" /> mesurée à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur celle-ci et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref>, <math>\;\vert \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \vert\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert v_M(t) \vert = \vert \dot{s}_M(t) \vert\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ \dot{s}(t) \right] \Vert \;ds\;</math>» <ref name="fonction sgn" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math>» <ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour une forme quadratique de force de frottement fluide <math>\;\Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert = h'\;v^2(t)\;</math><ref> Très fréquent.</ref> avec <math>\;h'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}constante positive caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut trouver plus de détails dans la note [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#cite_note-30|³⁰]] du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique constante positive caractéristique }}et de la densité de ce dernier <ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt < 0\;</math>» <ref name="cas très fréquent"> Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}ce résultat permettant d'établir <math>\;\big(</math>dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide<math>\big)</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée <ref name="vitesse instantanée" /> ainsi que celle d'abscisse curviligne <ref name="abscisse curviligne" /> du point, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi <ref> En supposant, par exemple, que de la connaissance de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v = v(t)\\ s = s(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et par élimination de <math>\;t\;</math> on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit <math>\;v = v(s)\;</math> ce qui permettrait de réécrire, avec <math>\;v(t)\;dt = ds</math>, et en supposant le mouvement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} v^2(s)\;ds\;</math> et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir que }}ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide" /> sur un point <math>\;M\;</math> développe un travail négatif », <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> en conclusion «}}<math>\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position <u>ne définit pas un champ de forces</u> et qu'il est par conséquent <u>inutile d'envisager son caractère conservatif</u>, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif. ==== Forces de liaison par fil idéal tendu ==== {{Al|5}}La force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par un fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> tendu sur un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#4ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fil,_cas_du_fil_idéal|4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont la norme <math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert\;</math> définit la tension du fil idéal <ref name="fil idéal" /> est non conservative, son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T}) =</math> <math>\vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> n’étant en général pas une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" />{{,}} <ref> Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour <math>\;\vec{T} = \overrightarrow{\text{cste}}\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\uparrow\;</math><u>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u> <ref name="fil idéal" /> : on suspend un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à l'aide d'une corde idéale <ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}sur <math>\;M\;</math> s'exercent <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> qui fait que le point <math>\;\downarrow\;</math> en absence d'autres forces et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{T}\;</math> de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction }}<math>\;\vec{T}\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}l'application de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» ou, en prenant <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;-m\;g\;\vec{u}_z + T\;\vec{u}_z = m\;a_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right]\;</math>» c.-à-d. que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}« la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour hisser <math>\;M\;</math> d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2\;</math> on peut régler le mouvement de montée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}<math>\big[</math>c.-à-d. qu'on peut régler <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> en modifiant la tension de la corde<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> }}ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «<math>\;\vec{T}\;</math> non conservatif » <ref> Pour la montée verticale de <math>\;M\;</math> la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;<br>{{Al|3}}on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où <math>\;\vec{T}\;</math> en une même position <math>\;M\;</math> dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\uparrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;> 0</math>, le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> avec <math>\;dz > 0\;</math>» est tel que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> montant de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz > 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer l'évaluation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}celle-ci vérifiant que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes <ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde"> En effet si on connaît la loi horaire de position <math>\;z = z(t)\;</math> et que cette loi soit inversable on peut en déduire <math>\;t = t(z)\;</math> et réécrire le travail de la force selon <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <math>\displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left\lbrace g + a_{M,\,z}\!\left[ t(z) \right] \right\rbrace dz\;</math> permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une traction douce d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} m\; g\; dz = m\;g\;h\;</math> ou * une traction rapide d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq 2\;m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} 2\;m\; g\; dz = 2\;m\;g\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour monter le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}<math>\Rightarrow\;</math> la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « motrice ». {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\downarrow\;</math><u>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u> <ref name="fil idéal" /> : dans le paragraphe précédent relatif à la <math>\;\uparrow\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, on a établi que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde sur <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force }}<math>\;\vec{T} = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\downarrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dz < 0 \\ T > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> En supposant que le fil reste tendu.</ref> suit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> <math>\downarrow\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}<math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<math>\displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où }}<math>\Rightarrow\;</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes <ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde" />{{,}} <ref> Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une retenue forte d'accélération <math>\;a_{M,\,z} < 0\;</math> telle que <math>\;\vert a_{M,\,z} \vert \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} m\; g\; dz</math> <math>= -m\;g\;h\;</math> ou * une retenue faible d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq -\dfrac{g}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq \dfrac{m\;g}{2}\;</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} \dfrac{m\;g}{2}\; dz = -\dfrac{m\;g}{2}\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour descendre le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « résistive ». {{Al|5}}En conclusion, la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par une corde idéale <ref name="fil idéal" /> sur un point <math>\;M\;</math> est « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|En conclusion, la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par une corde idéale sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}développe « un travail positif ou négatif », <math>\;\vec{T}(M)\;</math> est donc « motrice ou résistive » <ref> Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».</ref>. === Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal === {{Al|5}}Parmi toutes les forces de contact <math>\big[</math>détaillées dans le chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qu'un point <math>\;M\;</math> peut subir c'est l'« <u>unique force de contact conservative</u> » <ref> N'a donc pas sa place dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Exemples_de_forces_«_non_conservatives_»|Exemples de forces non conservatives]] » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».</ref>, elle sera étudiée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#3ème_exemple_de_force_conservative_:_la_«_tension_d'un_ressort_idéal_lié_à_un_point_matériel_»_et_l'«_énergie_potentielle_élastique_du_point_»|3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point]] » plus bas dans ce chapitre. == Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Définition| titre= Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)| contenu ={{Al|5}}L'« énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« énergie mécanique }}est la grandeur scalaire <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;K_M(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <br>{{Al|35}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de }}<math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}cette énergie ne dépendant pas explicitement de <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> cette énergie }}étant indépendante du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.}} {{Al|5}}Dans le S.I. <ref name="S.I." /> des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en <math>\;J</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive le champ de forces conservatives » c.-à-d. l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». == Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Al|5}}Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., <br>{{Al|5}}seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|Point matériel à mouvement conservatif]] » plus bas dans ce chapitre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation }}détaillés au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation introduits}}sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I.. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail <math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" /> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> correspondants <math>\;\Delta E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1)\;</math>» soit <center>«<math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1) = \Delta E_{m,\,M}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> sur cette même durée</u>. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail élémentaire <math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives {{Nobr|<math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" />}} appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement élémentaire dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>selon n'importe quelle {{Nobr|direction<math>\big)\;</math>»}} est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t</math> <math>\;d E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math><ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d E_{m,\,M}\;</math> et la différence <math>\;E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t) = dE_{m,\,M}\;</math>» <ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" />.</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux élémentaires</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u> <ref name="forces non conservatives" />. === Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Al|5}}La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_justification_du_signe_«_-_»_dans_la_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»_par_réécriture_du_théorème_de_l'énergie_cinétique|1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser <math>\;t_1 = t\;</math> et <math>\;t_2 = t + dt\;</math> <math>\big\{</math>en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car <math>\;dt\;</math> y est toujours aussi petit que possible <ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" /><math>\big\}</math>. === Point matériel « à mouvement conservatif » === {{Définition| titre=Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »|contenu={{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}si les éventuelles forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas <ref> Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini <math>\;\big(</math>même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé<math>\big)</math> car le travail d'une force dépend du référentiel</ref>.}} {{Al|5}}<u>Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen</u> : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante : <center>« <u>Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée</u> » <ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ; <br>{{Al|3}}a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul<math>\big)\;</math> et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée <math>\;\big(</math>rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable<math>\big)</math>.</ref>.</center> == 2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative == === Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> qui lui est imposé dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}on exerce sur <math>\;M\;</math> une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> }}permettant le déplacement du point d'une position initiale <math>\;M_{\text{ini}}\;</math> vers une position finale <math>\;M_{\text{fin}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> permettant le déplacement du point }}de façon « quasi-statique » <ref name="déplacement quasi-statique"> C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que <math>\;K_M(t) \simeq 0\;</math> en toute position.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}« le travail développé dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par la force motrice <ref name="force motrice considérée comme non conservative"> Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.</ref> <math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) <ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> à déplacement quasi-statique <ref name="déplacement quasi-statique" /> » <ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique"> Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où <br>{{Al|3}}à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n}\;</math> avec <math>\;n \geqslant 1\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, }}d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessite une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty\;</math> <math>\big(</math>car à vitesse <math>\;v_M \simeq 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie }}est de valeur absolue d'ordre de grandeur <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n} \times \Delta s_M \simeq 0\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M}}\;</math> }}«<math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}}) + W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>». === Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}En l'absence de forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> travaillant lors d'un déplacement quasi-statique <ref name="déplacement quasi-statique" />{{,}} <ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique" /> c.-à-d. l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou <br>{{Al|23}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c.-à-d. l'absence de forces de contact comme « }}une force de frottement solide » <ref> Liste non exhaustive.</ref>{{,}} <ref name="forces non conservatives travaillant à déplacement quasi-statique"> Bien qu'à déplacement quasi-statique <math>\;v_M \simeq 0\;</math> ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessitant une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty</math>, ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force <math>\;\times \Delta s_M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force <math>\;\times \Delta t_M\;</math> de forme indéterminée <math>\;0 \times \infty\;</math>»<math>\big\}</math>, raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, une force motrice }}«<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t\;</math>» <ref> On adapte donc à chaque instant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> pour être opposée à <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.</ref> et {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on applique à <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\; \cancel{+\; \sum\limits_i W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{i,\,\text{non cons. à trav. nul}})}\; = \Delta E_{m,\,M} = E_m(M_{\text{fin}}) - E_m(M_{\text{ini}})\;</math>» <ref name="force motrice considérée comme non conservative" /> avec, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}compte-tenu du déplacement quasi-statique de <math>\;M\;</math><ref name="déplacement quasi-statique" />, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M) \simeq U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}Or la force motrice étant choisie telle que <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t</math>, on en déduit «<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = -W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, «<math>\;-W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» dont on déduit la propriété suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = -\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}\;</math>» <ref name="propriétés de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en considérant un déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> quelconque, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) = -d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» <ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique - bis"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math> et la différence <math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec <math>\;\overrightarrow{M_tM_{t + dt}}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}})}</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} \right]\!(M)\;</math>» <ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}} <ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}ce qui justifie la présence du signe «<math>\;-\;</math>» dans les définitions de l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}} <ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />. == Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique » == === Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{Al|5}}<u>La puissance mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point</u> <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t)\;</math><ref name="puissance mécanique"> Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.</ref> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{E}_{m,\,M}(t)\big]</math>. === Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique » === {{Al|5}}À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale <ref name="forme locale associée à une forme intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » (ou vice-versa) du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par <math>\;dt\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale }}«<math>\;\dfrac{\sum\limits_i \delta W\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]}{dt} = \dfrac{dE_{m,\,M}}{dt}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}en reconnaissant la puissance mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le membre de droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant }}la puissance des forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> appliquée à <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le membre de gauche <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center> === Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{théorème | titre= Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique }}sont <u>les puissances</u><math>\;\big(</math><u>non nulles</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u> <ref name="forces non conservatives" />. === Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif » === {{Al|5}}On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous : {{Al|5}}<u>Définition</u><math>\;\big(</math><u>équivalente</u><math>\big)</math> : Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}si les éventuelles forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> ne développent aucune puissance soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> si les éventuelles forces non conservatives }}«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence dans un référentiel galiléen</u> : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}« <u>l'énergie mécanique du point</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen</u> ». == 1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point » == === Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> « uniforme » <ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme"> Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à <math>\;1\,\%\;</math> près dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, le poids d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\color{transparent}{\vec{g}}\;</math> « uniforme », le poids d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est l'intensité de la pesanteur terrestre ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math>» <ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> d'où <center>« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme <ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est une force conservative ».</center> === « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}L'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme <ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme }}se détermine par «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» soit «<math>\;-m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même, en cylindro-polaire, }} le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{pes}}}{dz} = m\;g\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle de pesanteur en</u><math>\;z = 0\;\big(</math><u>niveau du sol</u><math>\big)\;</math> c.-à-d. <math>\;U_{\text{pes}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>À retenir</u> : Si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\uparrow</math>, «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> avec la référence en <math>\;z = 0\;</math>» <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|À retenir : }}si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\downarrow</math>, on obtient, « avec la même référence, <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math>» <ref> En effet, <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dz} = -m\;g\;</math> soit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math> <math>= -m\;g\;z\;</math> si référence en <math>\;z = 0</math>.</ref> <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la profondeur <math>\;z\big]</math>. === Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}<u>Toute énergie potentielle</u> d'un point matériel <math>\;M\;</math> est une « <u>réserve d'énergie</u> pour <math>\;M\;</math>» <math>\blacktriangleright\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie <math>\;\big(</math>par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément }}en énergie cinétique<math>\big)\;</math>» <ref> Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ; <center>cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> un point matériel <math>\;M\;</math> au repos à une altitude <math>\;z</math>, possède l’énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z > 0\;</math> si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au repos à une altitude <math>\;\color{transparent}{z}</math>, }}possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}abandonné à lui-même, <u>il chute spontanément</u> en acquérant de l’énergie cinétique <math>\;K_M \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> abandonné à lui-même, }}la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air » <ref> Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi * à déformer l'objet assimilé à un point matériel <math>\;\big(</math>on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables<math>\big)\;</math> toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique <math>\;\big(</math>celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides<math>\big)\;</math> doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique<math>\big)\;</math> ou * à l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre alors dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne<math>\big)\;</math> ou encore * à le déformer et l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre encore dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c.-à-d. le replacer à l'altitude initiale <math>\;z\big)</math>, il faut exercer sur lui une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> <math>\uparrow\;</math> de manière « quasi-statique » <ref name="déplacement quasi-statique" />,<br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire <math>\;\big(</math>énergie potentielle pour nous<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation }}en énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\nearrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}le théorème de la variation d’énergie mécanique <ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> appliqué à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(M_z) - E_m(M_0) = U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{E_m(M_z) - E_m(M_0)}</math> }}<math>= W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) > 0\;</math>» <ref> En effet <math>\;K_M(t) \simeq 0\;\;\forall\;t\;</math> d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables <math>\;\big(</math>elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> à exercer pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fasse de façon « quasi-statique » <ref name="déplacement quasi-statique" /> est l'opposé de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -m\;\vec{g}\;</math>» <ref> En effet les seules forces étant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> et <math>\;m\;\vec{g}\;</math> <math>\big(</math>les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle<math>\big)\;</math> d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n. <math>\;\ldots</math></ref> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> la force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> à exercer }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) = W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(-m\;\vec{g}) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» <ref> Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «<math>\;-\;</math>» dans la définition de l'énergie potentielle «<math>\;W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g}) = -\left[ U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) \right]\;</math>».</ref>. == 2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point » == <center>Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique » <ref name="astre à symétrie sphérique"> Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre de l'astre.</ref>, c'est une bonne approximation pour <br>le Soleil « {{grossir|☉|facteur=1.25}} » <ref name="symbole astronomique"> Symbole astronomique.</ref> et les planètes qui gravitent autour de lui <math>\;\big(</math>dont la Terre « {{grossir|♁|facteur=1.25}} » <ref name="symbole astronomique" /><math>\big)\;</math> ainsi que <br>les plus gros satellites naturels de ces planètes <math>\;\big(</math>dont la Lune « {{grossir|☽|facteur=1.25}} » <ref> Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été « {{grossir|☾|facteur=1.25}} » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Sur les 79 satellites naturels de Jupiter <math>\;\big(</math>la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique {{grossir|♃|facteur=1.25}} et de volume mille trois cents fois celui de la Terre<math>\big)\;</math> confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Jupiter, Io <math>\;\big(</math>de taille similaire à celle de la Lune<math>\big)</math>, Europe <math>\;\big(</math>de même taille que Io<math>\big)</math>, Ganymède <math>\;\big(</math>le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune<math>\big)\;</math> et Callisto <math>\;\big(</math>le 3^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune<math>\big)</math>, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en [[w:Résonance_orbitale|résonance orbitale]], ce qui a pour conséquence la [[w:Résonance orbitale#Stabilité des orbites|stabilité des orbites]]<math>\big]</math>, les autres ont une forme irrégulière ;<br>{{Al|3}}il en est de même pour Saturne <math>\;\big(</math>de symbole astronomique {{grossir|♄|facteur=1.5}} et de volume neuf cents fois celui de la Terre<math>\big)</math>, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Saturne, Mimas <math>\;\big(\simeq 400\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Encelade <math>\;\big(\simeq 500\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Téthys <math>\;\big(\simeq 1050\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Dioné <math>\;\big(\simeq 1100\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Rhéa <math>\;\big(\simeq 1550\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>le 2^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, <math>\simeq 5150\;km\;</math> de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote<math>\big)</math> et Japet <math>\;\big(\simeq 1450\;km\;</math> de diamètre<math>\big)\big]</math>, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>.</center> === Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> de masse <math>\;m_{\!\mathcal{A}}\;</math> et de rayon <math>\;R_{\!\mathcal{A}}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les coordonnées sphériques du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> sont <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;\color{transparent}{O_{\!\mathcal{A}}}\;</math> de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\!\mathcal{A}}}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math>,}} la base sphérique liée à <math>\;M</math>, <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}la position de <math>\;M\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> c.-à-d. telle que <math>\;r > R_{\!\mathcal{A}}</math>, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point <math>\;M\;</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c.-à-d. telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui }}«<math>\;\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>», «<math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la [[w:Constante_de_gravitation|constante de gravitation universelle]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c.-à-d. telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui «<math>\;\color{transparent}{\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\; \vec{u}_r}\;</math>», « }}<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\; 10^{-11}\; S.I.\;</math>» <ref name="U.S.I."> [[w:Unités_de_base_du_Système_international|Unité du Système International]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s’écrit donc «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{1}{r}\bigg)\;</math> <center>d'où « la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation créé par l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> notée <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» soit «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{dr} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M) = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r} + cste\;</math>» <ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{r^2} = r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{-1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> à l'<math>\infty\;</math> de ce dernier</u> <ref name="référence à l'infini"> Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.</ref> c.-à-d. <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = 0</math>, on obtient «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r}\;</math>» ; <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math> avec référence à l'infini » <ref name="référence à l'infini" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre <ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /></u> : <br>{{Al|5}}en choisissant la <u>référence au niveau du sol de l'astre</u> c.-à-d. <math>\;r = R_{\!\mathcal{A}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(R_{\!\mathcal{A}}) = 0\;</math> dont on déduit <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}} + cste = 0\;</math> soit <math>\;cste = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\!\mathcal{A}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m\;\dfrac{r - R_{\!\mathcal{A}}}{R_{\!\mathcal{A}}\;r}\;</math> avec référence à la surface de l'astre » <ref name="référence à la surface de l'astre"> Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}\;</math> avec référence à la surface terrestre » <ref name="référence à la surface de l'astre" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre <ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique, car <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(R_{\text{♁}} + z) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{R_{\text{♁}} + z} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> === Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre === [[File:Énergie potentielle gravitationnelle terrestre.png|thumb|500px|Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> en fonction de sa distance <math>\;r\;</math> au centre de la Terre, avec référence à l'infini, <math>\;r\;</math> et <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> étant en grandeurs réduites <ref> C.-à-d. respectivement en unité <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre, }}une portion de branche d'hyperbole équilatère <ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}} \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des <math>\;r\;</math>». {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r} + \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> de la quantité <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math> <math>\big\{</math>à tracer soi-même<math>\big\}</math>, d'où le graphe s'identifiant à <br>{{Al|5}}une portion de branche d'hyperbole équilatère <ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère" /> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}d'équation «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}},\;\;\forall\;r\;</math>» soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> et d'ordonnée <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>. === Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol === {{Al|5}}Après définition de l'« altitude du point <math>\;M\;</math> par rapport au niveau du sol terrestre selon <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de }}l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;M\;</math> avec référence au niveau du sol «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}} + z} = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z)\;</math>» <ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> est notée <math>\;U(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = U(r)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = f(r)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U(r) \\ U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = U(r) \\ U = U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;g(z)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = f(r) \\ U = g(z)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> avec référence au niveau du sol selon }}<math>\;\big[</math>on vérifie qu'il s'agit d'une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\big]</math> ; {{Al|5}}dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre <math>\;\bigg(\!</math>par exemple <math>\;z \lesssim \dfrac{R_{\text{♁}}}{100} \simeq 64\;km\!\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}on peut considérer <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un <ref name="infiniment petits"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut }}réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}\;</math>» <ref name="abus de notation" /> ou, en en prenant un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>» <ref name="abus de notation" />{{,}} <ref> En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où <math>\;\dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}} = \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{-1} \simeq 1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z = m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z\;</math>» <ref name="abus de notation" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}avec «<math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ». {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre <math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre }}l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;g</math>, on observe alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification }}avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c c l} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M) \simeq m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z \!\!&\simeq&\!\! m\;g\;z = U_{\text{pes}}(M) \\ \qquad\text{si } z \ll R_{\text{♁}} \!\!&&\!\! \text{si }\vec{g} \text{ est uniforme}\end{array}\right\rbrace\;</math>». == 3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point » == === Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe === [[File:Ressort idéal et force exercée sur une extrémité.png|thumb|Schéma d'un ressort idéal <ref name="ressort idéal"> C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives <math>\;\big(</math>ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide<math>\big)\;</math> et parfaitement élastique.</ref> dont une extrémité est liée à un point matériel <math>\;M</math>, l'autre extrémité étant notée <math>\;A</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position qu'occuperait <math>\;M\;</math> si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée]] {{Al|5}}Notant <math>\;A\;</math> l'autre extrémité du ressort « idéal » <ref name="ressort idéal" /> lié au point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;l_0\;</math> la longueur à vide du ressort et <math>\;k\;</math> la raideur de ce dernier, <br>{{Al|5}}la « force que le ressort exerce sur <math>\;M\;</math>» <ref name="tension du ressort"> Appelée vecteur tension du ressort <math>\;\big(</math>ou simplement tension du ressort<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\vec{T}\;</math><ref> En absence d'ambiguïté.</ref> est donnée par la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]] <ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> «<math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>» <ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|Cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon avec « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;l = \Vert \overrightarrow{AM} \Vert\;</math> étant la longueur à charge du ressort », {{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}loi de Hooke <ref name="Hooke" /> que l'on peut réécrire selon «<math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math>» avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}«<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ; {{Al|5}}quand <math>\;A\;</math> est fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le meilleur repérage du point <math>\;M\;</math> est le repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" />, dans ces conditions <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> lié à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}« la longueur à charge <math>\;l\;</math> s'identifiant au rayon polaire <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel === {{Al|5}}Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on déplace de façon élémentaire le point <math>\;M\;</math> selon le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, l'extrémité <math>\;A\;</math> étant fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" /> » pour <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur <math>\;l\;</math> à charge du ressort, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> » pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les deux autres étant angulaires notées respectivement <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math><ref> Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>» <ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on en déduit le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}</math>, «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = -k\;(l - l_0)\; \vec{u}_r \cdot \left[ dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi \right] = -k\;(l - l_0)\; dl\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dl\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où }}<math>\;\big(</math>en effet le cœfficient de <math>\;dl\;</math> est une [[w:Fonction_affine|fonction affine]] s'intégrant en [[w:Fonction_quadratique|fonction quadratique]]<math>\big)\;</math> <center>d'où « le vecteur tension du ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe <ref name="raison de la restriction de démonstration"> Nous nous limitons à ce cas car <math>\;A\;</math> mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de <math>\;t</math>.</ref> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}<u>Autre démonstration</u> <ref> Plus délicate, préférer la précédente.</ref> : partant de <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math> avec «<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge <math>\;M_t\;</math>» <ref name="directions de AMt et AM0 identiques"> <math>\;M_0\;</math> étant une position liée à <math>\;M_t</math>, si la direction de <math>\;AM_t\;</math> change, la direction de <math>\;AM_0\;</math> change simultanément.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}soit un vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> avec l'autre extrémité <math>\;A\;</math> du ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> fixe, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> on envisage }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{AM} \right] = d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» d'où le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> s'écrit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{d M} = -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot \left\lbrace d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}</math> }}<math>= -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}explicitons <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}\;</math> qui étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{AM_0}^2 = l_0^{\,2} = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{AM_0} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math> d'où <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}\bigg\}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui }}est aussi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui est aussi <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;\overrightarrow{M_{0,\,t}M_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons }}d'où «<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math>» permettant de réécrire le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> car <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]}\;</math>» qui est effectivement }}<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] = d\! \left[ \dfrac{\overrightarrow{M_0M}^2}{2} \right]</math>. <center>« le vecteur tension du ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe <ref name="raison de la restriction de démonstration" /> ».</center> === « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel === {{Al|5}}L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> c.-à-d. son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal » <ref name="ressort idéal" /> notée <math>\;U_{\text{élast}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» soit «<math>\;-k\;(l - l_0)\; dl = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!l,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!l,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou encore «<math>\;-k\;(l - l_0)\; d(l - l_0) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d (l - l_0)} = k\;(l - l_0)\;</math>» <ref name="forme de dérivée droite"> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;\Delta l = l - l_0</math>.</ref> ou, en introduisant l'« allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d\, \Delta l} = k\;\Delta l\;</math>» <ref name="forme de dérivée droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{élast}}(M) = U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{k\, \left( \Delta l \right)^2}{2} + cste\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert \Delta l \vert\;</math><ref> L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point }}elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de }}la valeur absolue de l'allongement algébrique<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal</u> <ref name="ressort idéal" /> c.-à-d. <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( \Delta l \right)^2 = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l - l_0 \right)^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c.-à-d. <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0}</math>, on en déduit «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l) =}</math> }}avec référence « ressort à vide » ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> peut se réécrire <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}«<math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\; \overrightarrow{M_0M}^2\;</math> avec référence en <math>\;M_0\;</math> <math>\big(</math>position de <math>\;M\;</math> avec ressort à vide, la <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}direction de l'axe étant inchangée <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}par rapport à sa position à charge<math>\big)\;</math>». === Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal === [[File:Ressort idéal - énergie potentielle élastique.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l\;</math> de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort]] {{Al|5}}Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> du ressort <math>\;\big(l\;</math> étant la longueur du ressort à charge<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique }}est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre }}avec une unité d’abscisse arbitraire notée <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec }}l'unité d'ordonnée correspondante étant <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point <math>\;M\;</math> a une position d'« équilibre stable » <ref name="équilibre stable"> Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui « n'est pas la position à vide » <ref name="équilibre hors position à vide"> Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur <math>\;M\;</math> comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.</ref>, on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> et l'énergie potentielle élastique s'écrivant <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l \right)^2 + cste</math>, la condition de référence <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}) = 0\;</math> nous conduit à <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} + cste</math> <math>= 0\;</math> soit <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2}\;</math> et par suite <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l \right)^2 - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right]\;</math> avec référence en la position d'équilibre » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on note «<math>\;x\;</math> l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «<math>\;\Delta l = \Delta l_{\text{éq}} + x\;</math>», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}} + x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l_{\text{éq}} + x \right)^{\!2} - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right] = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math>» <ref> <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> étant toujours <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big(</math>puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide<math>\big)</math>, l'énergie potentielle <u>purement élastique</u> du point matériel ne s'écrit jamais <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\;x^2}\;</math> avec <math>\;x = \Delta l - \Delta l_{\text{éq}} = \left( l - l_0 \right) - \left( l_{\text{éq}} - l_0 \right) = l - l_{\text{éq}}\;</math> <math>\big[</math>erreur encore trop fréquente<math>\big]</math>.</ref> ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative <math>\;\ldots</math> <br> == 4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point » == === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}Soit un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> « uniforme » <ref name="champ électrique uniforme"> Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est <math>\;\perp\;</math> aux armatures <math>\;\big(</math>sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches<math>\big)\;</math> et son sens est celui des potentiels électriques <math>\;\searrow</math> ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.</ref>, la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\vec{E}\;</math><ref name="uz sens des potentiels croissants"> Donc <math>\;\vec{u}_z\;</math> est dans le sens des potentiels électriques <math>\;\nearrow</math>.</ref>{{,}} <ref name="choix pour analogie champs électrique et de pesanteur"> Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{g}\;</math> c.-à-d. dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;E = \Vert \vec{E} \Vert\;</math> est la norme du champ électrique terrestre et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où }}la « référence des potentiels électriques » <ref> Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».</ref> choisie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où la « référence }}confondue avec l’origine des cotes ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math>» <ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\big(</math>le cœfficient de <math>\;dz\;</math> étant une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> <math>\;q\;\vec{E}\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math><ref> On ne note pas <math>\;U_{\text{élect}}\;</math> pour des raisons évidentes, <math>\;U\;</math> étant réservée aux tensions électriques.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}se définit par «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» soit «<math>\;-q\;E\;dz = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{dz} = q\;E\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z)</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par «<math>\;\color{transparent}{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} = q\;E}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)}</math> }}<math>= q\;E\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle électrostatique en</u> <math>\;z = 0\;</math> <math>\big(</math><u>endroit de la référence des potentiels électriques</u> <ref> C.-à-d. la masse du circuit électrique.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z) = q\;E\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire <ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \left[ -E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -E\;dz\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> }}est donc une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>« cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépendant que de <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math>}}<math>\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> est un champ à circulation conservative » <ref name="champ à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> dérive <ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel"> Voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>» <ref> Cette définition étant équivalente à «<math>\;\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}(V)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit «<math>\;-E\;dz = -dV\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV}{dz} = E\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V(M) = V(z) = E\; z + cste'\;</math>» et, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}avec choix de la référence des potentiels électriques en <math>\;z = 0</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, <br>{{Al|56}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;V(M) = V(z) = E\; z\;</math> <math>\big(</math>référence à l'origine des cotes<math>\big)\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> en <math>\;M\;</math> noté <math>\;V(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» à condition que « }}identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'origine des cotes «<math>\;V(M) = E\; z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels électriques. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient <ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M)\\ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}} <ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on retrouve «<math>\;\vec{F}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math>». === En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme === {{Al|5}}On admet qu'un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> est un « champ à circulation conservative » <ref name="champ à circulation conservative" /> qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>» <ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|On admet qu'un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(M)}\;</math> quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> par }}ou «<math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\;</math>» <ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ; <center>toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple » <ref> Par exemple avec <math>\;\vec{E}(M) = E_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + E_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_y + E_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z</math>, les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » (théorème de Poincaré réécrit en terme de champ vectoriel) du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte <math>\;dV = -\delta \mathcal{C}(\vec{E}) =</math> <math>- \left[ E_x(x,\, y,\, z)\, dx + E_y(x,\, y,\, z)\, dy + E_z(x,\, y,\, z)\, dz \right]\;</math> en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme…]] » du même chap.<math>28</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}« la force électrique exercée sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> placé dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> c.-à-d. <math>\;q\; \vec{E}(M)\;</math> étant donc <u>conservative</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> }}dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> c.-à-d. <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}cette dernière étant liée au potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de cette dernière étant liée }}à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques. == 5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M » == === Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton === ==== Loi d'interaction de Coulomb ==== {{Al|5}}Entre deux points matériels <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> de charges respectives <math>\;q\;</math> et <math>\;q'\;</math> s'exerce une « interaction électrostatique » telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide s’écrivant <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> « la force }}«<math>\;r\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math>», «<math>\;\vec{u}_{M'M}\;</math> vecteur unitaire de la droite <math>\;MM'\;</math> dirigé de <math>\;M'\;</math> vers <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M\;</math> exerce sur <math>\;M'\;</math> dans le vide est l'opposé de celle que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\vec{F}_{M'\, \leftarrow\, M} = -\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{MM'}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}ces forces étant appelées « forces de Coulomb » <ref name="Coulomb" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité#Permittivité_du_vide_et_permittivité_relative|permittivité diélectrique de l'air sec]] étant <math>\;0,06\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> de valeur telle que «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.\;</math><ref name="U.S.I." /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'interaction électrostatique est « attractive pour <math>\;q\;q'\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'interaction électrostatique est }}« répulsive pour <math>\;q\;q'\;> 0\;</math>». ==== Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M ==== {{Al|5}}D'après la loi d'interaction de Coulomb <ref name="Coulomb" />, le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> la force électrostatique de Coulomb <ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce }}«<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <ref name="loi d'interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;r\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique du point <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» avec }}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|22}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» }}le repérage sphérique étant de pôle <math>\;O\;</math><ref name="repérage sphérique" />. {{Al|5}}<u>Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb</u> <ref name="Coulomb" /> : le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}un vecteur champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> dont l'action sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> se révèle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}par « la force électrique définie par <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, \vec{E}_O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math> identique à <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O}\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}«<math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>existant même en absence de charge <math>\;q\;</math><ref> La présence d'une charge <math>\;q\;</math> en <math>\;M\;</math> permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge <math>\;q\;</math> est appelée « charge témoin ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centrifuge <ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> répulsive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est attractive.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;< 0\;</math> {{Transparent|le champ électrique }}<math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centripète <ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> attractive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est répulsive.</ref>. ==== Cas particulier du champ électrique créé par un proton ==== {{Al|5}}« Un proton placé en <math>\;O\;</math> étant de charge <math>\;q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> centrifuge », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique }}variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation }}<math>\big(</math>à l'exception du sens bien entendu<math>\big)</math>. === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> qu'un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur un autre point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow O} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{-1}{r}\bigg)\;</math> d'où <center>« la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math> sur un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{El\, \leftarrow Pr} = -e\; \vec{E}_{Pr}(M) = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> est une force conservative », <br>{{Transparent|« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;\color{transparent}{Pr}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{+e}\;</math> sur un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{-e}\;</math> à savoir}}<math>\;\big(</math>le proton <math>\;Pr\;</math> étant le pôle du repérage sphérique de l'électron <math>\;El\big)</math>.</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se détermine par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r} + cste\;</math>» <ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{r^2} = -r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>-\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle électrostatique due au point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle électrostatique }}est une fonction de valeur absolue <math>\;\searrow\;</math> avec la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie électrostatique due au point</u><math>\;O\;</math><u>de charge</u><math>\;q_O\;</math><u>à l'infini de ce dernier</u> c.-à-d. <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math>» ; <center>l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique du point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math> avec référence à l'infini » <ref name="référence à l'infini" />, <br>{{Al|50}}<math>\big[</math>si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive <math>\;\searrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O</math>, <br>{{Al|55}}si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire <ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> soit «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> }}est donc une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> <math>\;\bigg[</math>« cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dr}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}le cœfficient de <math>\;dr\;</math> étant une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> s'intégrant en <math>\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math><ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable" /> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> en la position <math>\;M\;</math> est un champ à circulation conservative » <ref name="champ à circulation conservative" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V_O(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> dérive <ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV_O\;</math>» <ref> Cette définition étant équivalente à <math>\;\vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right]\!(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr = -dV_O\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV_O}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r} + cste'\;</math>» ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}avec l'<math>\infty\;</math> pour référence des potentiels électriques, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les <math>\;2\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique en <math>\;M</math>, <math>\;V_O(M)</math>, dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}</math>, dont dérive le champ électrique }}créé par <math>\;O\;(q_O)\;</math> en <math>\;M</math> <br>{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» si « la référence }}est identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'<math>\infty\;</math> on a <math>\;V_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient <ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O} \right](M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V_O \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}d'où, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect},\leftarrow\,O} \right](M)\\ \vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}} <ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> on retrouve «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math>». === « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton » === {{Al|5}}Cas particulier de l'exposé du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier de l'exposé du paragraphe }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier }}« l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> dans le champ électrique créé par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math>» <ref> L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}, \leftarrow\,Pr}(El) = -e\;V_{Pr}(El) = -e\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r} < 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;r\;</math> étant la distance séparant l'électron du proton » <ref> Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1^er <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton <math>\;\big(</math>dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Lois de la puiss. et de l'énerg. cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] }} kj2fa85sgwfnk3yqocr9ns7cdchc9vj 988228 988227 2026-11-08T22:26:23Z Phl7605 31541 /* 1ère définition d'une force « conservative » */ 988228 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 16 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques/]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif/]] }} <center>Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.</center> {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le caractère « conservatif » d'une force n'est introduit que pour les « <u>forces ne dépendant pas explicitement du temps</u> » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}une force dépendant explicitement du temps <ref name="force conservative dépendant explicitement du temps"> Les définitions données ci-après pourraient s'appliquer <u>en figeant le temps</u> mais <u>les conséquences énergétiques</u> qui découlent de l'introduction du caractère conservatif d'une force ne dépendant pas explicitement du temps <u>ne seraient plus valables dans le cas d'une force dépendant explicitement du temps</u> ; <br>{{Al|3}}aussi non seulement cette introduction pour une telle force perd tout son intérêt mais elle supprime aussi les conséquences énergétiques de l'introduction du caractère conservatif pour les autres forces conservatives ne dépendant pas explicitement du temps.</ref> sera, a priori, considérée comme « non conservative » même si elle est, à temps figé, conservative {{Nobr|<math>\;\big(</math>au}} sens d'une des deux définitions équivalentes données ci-après<math>\big)</math>. == 1^ère définition d'une force « conservative » == {{Définition|titre=1^ère définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de <math>\;(\Gamma)\;</math> est indépendant du chemin suivi <math>\;(\Gamma)\;</math> » <ref name="travail non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment indépendant du chemin suivi, on ne considère pas la force comme conservative si son travail est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> <center>ou ssi «<math>\;W_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Notion_d'intégrale_curviligne_sur_une_portion_de_courbe_continue|Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> est indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» <ref name="travail non nul" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 1^ère définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Notion_de_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Notion de champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>. {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> étant indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>mais dépendant de <math>\;M_1\;</math> et de <math>\;M_2\big]\;</math> peut s'écrire sous la forme d'une différence de fonction énergétique {{Nobr|<math>\;\Big[</math>notée}} temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> prise entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> c.-à-d. «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1) = \Delta S_{\vec{F}}\;</math>». == 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » et condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative == === 2^ème définition (équivalente) d'une force « conservative » === {{Définition|titre=2^ème définition d'une force « conservative »| contenu ={{Al|5}}Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est « conservative » ssi « son travail élémentaire est une différentielle de fonction énergétique » <ref name="travail élémentaire non nul"> <u>En étant non nul</u> <math>\;\big[</math>bien que <math>\;0\;</math> soit évidemment la différentielle d'une fonction constante, on ne considère pas la force comme conservative si son travail élémentaire est nul<math>\big]</math>, en général cela n'est que sous-entendu dans la définition mais il faut que cela soit précisé au moins une fois !</ref> ou <center>ssi «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> est une différentielle exacte » <ref name="travail élémentaire non nul" />{{,}} <ref name="différentielle totale"> Ou différentielle totale.</ref>.</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel de l'espace au plus tridimensionnel, on retrouve dans la 2^ème définition d'une force conservative celle d'un champ vectoriel à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_équivalente_d'un_«_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_»|Définition équivalente d'un champ vectoriel à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ». {{Al|5}}<u>Conséquence</u> : <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> étant une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> d'une fonction énergétique <math>\;\Big[</math>notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)\Big]\;</math> c.-à-d. <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dS_{\vec{F}} = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M)\;</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|Conséquence : <math>\;\color{transparent}{\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}}\;</math> étant une différentielle exacte }}en notant <math>\;M'\;</math> le point infiniment voisin de <math>\;M\;</math> tel que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math>». === Justification de l'équivalence entre les deux définitions === {{Al|5}}<u>Justification directe</u> « 1^ère définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 2^ème définition » : si « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre deux positions fixées est indépendant du chemin utilisé », cela est encore vrai pour deux points infiniment voisins <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> tels que <math>\;\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{dM}\;</math> ce qui se réécrit « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> ne dépend que des points extrêmes <math>\;M'\;</math> et <math>\;M\;</math> et non du chemin utilisé » c.-à-d. que « le travail élémentaire est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math>, <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = S_{\vec{F}}(M') - S_{\vec{F}}(M) = dS_{\vec{F}}\;</math> ». {{Al|5}}<u>Justification réciproque</u> « 2^ème définition <math>\;\Rightarrow\;</math> 1^ère définition » : Si « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> de la fonction énergétique notée temporairement <math>\;S_{\vec{F}}(M)</math> », « le travail de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> entre <math>\;M_1\;</math> et <math>\;M_2\;</math> est égal à <math>\;S_{\vec{F}}(M_2) - S_{\vec{F}}(M_1)\;</math> sans référence au chemin utilisé » montrant que « le travail est effectivement indépendant du chemin utilisé pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> ». === Condition(s) nécessaire(s) [mais a priori non suffisante(s)] pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.N. <ref name="C.N."> Conditions(s) Nécessaire(s).</ref> <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|C.N. (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}<u>C.N. <ref name="C.N." /> pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative</u> : Une force</u> <math>\;\vec{F}(M)</math>, fonction des trois coordonnées cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques du point <math>\;M\;</math> notées <math>\;\left( x\,,\,y\,,\,z \right)\;</math><ref name="x, y, z"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow \rho\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} x \rightarrow r\\ y \rightarrow \theta\\ z \rightarrow \varphi\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)||Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>est conservative</u> <u>si les dérivées croisées des</u> fonctions <u>cœfficients des éléments de coordonnées</u> cartésiennes, cylindro-polaires ou sphériques notés <math>\;\left( dx\,,\,dy\,,\,dz \right)\;</math><ref name="dx, dy, dz"> Avec la substitution suivante <math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow d\rho = (dM)_\rho\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{\rho}\\ dz \rightarrow dz = (dM)_z\end{array}\right\rbrace\;</math> si le repérage est cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et<br>{{Al|3}}{{Transparent|Avec la substitution suivante }}<math>\;\left\lbrace\begin{array}{l} dx \rightarrow dr = (dM)_r\\ dy \rightarrow d \theta = \dfrac{(dM)_\theta}{r}\\ dz \rightarrow d \varphi = \dfrac{(dM)_\varphi}{r\;\sin(\theta)}\end{array}\right\rbrace\;</math> s'il est sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|Expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> <u>de son travail élémentaire</u> <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> <u>sont égales</u> ce qui s'écrit, suivant le type de repérage, * en repérage cartésien : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M)\\ \left( \dfrac{\partial F_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\,y}(M) \!\!&=&\!\! \left( \dfrac{\partial F_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace</math>, * en repérage cylindro-polaire : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial (\rho\; F_\theta)}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \left[ \dfrac{\partial (\rho\;F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en cylindro-polaire"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho(M)\;d \rho + F_\theta(M)\;\rho\,d \theta + F_z(M)\;dz</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta (M) + \rho\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\rho}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \rho} \right]_{\!\theta,\,z}(M)\\ \rho\;\left[ \dfrac{\partial (F_\theta)}{\partial z} \right]_{\!\rho,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left[ \dfrac{\partial F_z}{\partial \theta} \right]_{\!\rho,\,z}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math> et * en repérage sphérique : <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\; F_\theta \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial r} \right\rbrace_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;F_\theta \right]}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \left\lbrace \dfrac{\partial \left[ r\;\sin(\theta)\;F_\varphi \right]}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace\;</math><ref name="travail élémentaire en sphérique"> Car <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r(M)\;dr + F_\theta(M)\;r\,d \theta + F_\varphi(M)\;r\,\sin(\theta)\,d \varphi</math>.</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l c l} \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rbrace_{\!r,\,\varphi}(M) \!\!&=&\!\! F_\theta(M) + r\;\left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M)\\ \left\lbrace \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right\rbrace_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \sin(\theta)\;F_\varphi(M) + r\;\sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) \\ \left[ \dfrac{\partial F_\theta }{\partial \varphi} \right]_{\!r,\,\theta}(M) \!\!&=&\!\! \cos(\theta)\;F_\varphi(M) + \sin(\theta)\;\left[ \dfrac{\partial F_\varphi }{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M)\end{array}\right\rbrace</math> ; {{Al|10}}{{Transparent|C.N. pour qu'une force définie en un point d'un espace tridimensionnel soit conservative : }}le cas où le point se déplace dans un espace à deux dimensions étant un cas particulier de point se déplaçant dans un espace à trois dimensions avec un déplacement identiquement nul sur la 3^ème dimension, la C.N. <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisante<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à deux dimensions soit conservative se déduit des C.N. <ref name="C.N." /> <math>\;\big(</math>mais a priori non suffisantes<math>\big)\;</math> pour que la force définie en un point d'un espace à trois dimensions soit conservative, la seule différence étant le nombre de conditions qui passe de trois à une <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<u>C.N. <ref name="C.N." /> pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x"> Coordonnée non nécessairement cartésienne mais qui peut être cylindro-polaire <math>\;\rho</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;z\;</math> ou encore sphérique <math>\;r</math>, <math>\;\theta\;</math> ou <math>\;\varphi</math>.</ref>, le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dx\;\vec{u}_x</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = d \rho\;\vec{u}_\rho</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = \rho\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et axiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dz\;\vec{u}_z</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = dr\;\vec{u}_r</math>, orthoradiale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;d \theta\;\vec{u}_\theta\;</math> et longitudale <math>\;dM_x\;\vec{u}_x = r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi</math>.</ref> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx"> Dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée cylindro-polaire radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\rho}{d \rho} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = \rho\;</math> et axiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_z}{dz} = 1</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas de la coordonnée sphérique radiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_r}{dr} = 1</math>, orthoradiale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\theta}{d \theta} = r\;</math> et longitudale <math>\;\dfrac{dM_x}{dx} = \dfrac{dM_\varphi}{d \varphi} = r\;\sin(\theta)</math>.</ref> {{Nobr|<math>\;\big(</math>c.-à-d.}} la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable <math>\;x\;</math><ref> En effet dans le cas où <math>\;x\;</math> est une coordonnée cartésienne on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dx + 0 \times dy\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( x\,,\, y \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_x}{\partial y} \right)_{\!\!x}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial x} \right)_{\!\!y}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_x\;</math> indépendant de <math>\;y</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_\rho\;d \rho + 0 \times \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\rho}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\rho\;</math> indépendant de <math>\;\theta</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée cylindro-polaire orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times d \rho + F_\theta \; \rho\; d \theta\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( \rho\,,\, \theta \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; \rho}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;\rho\;</math> indépendant de <math>\;\rho\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{\rho}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique radiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_r\;dr + 0 \times r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_r\;</math> indépendant de <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique orthoradiale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + F_\theta \; r\; d \theta + 0 \times r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = \left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial r} \right)_{\!\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial F_\theta \; r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial\; 0 \times r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\theta\;r\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\varphi\;</math> {{Nobr|c.-à-d.}} <math>\;F_\theta\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\theta)}{r}</math> ;<br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet }}dans le cas où <math>\;x\;</math> est la coordonnée sphérique longitudale on peut réécrire <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = 0 \times dr + 0 \times r\; d \theta + F_\varphi \; r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;</math> <math>\big[</math>en envisageant <math>\;M\;</math> repéré par <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\big]\;</math> et écrire l'égalité des dérivées croisées à savoir <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial r} \right]_{\!\theta,\,\varphi}(M) = 0\;</math> ainsi que <math>\;\left( \dfrac{\partial\; 0 \times r}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = \left[ \dfrac{\partial F_\varphi \; r\;\sin(\theta)}{\partial \theta} \right]_{\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> soit <math>\;F_\varphi\;r\;\sin(\theta)\;</math> indépendant de <math>\;r\;</math> et <math>\;\theta\;</math> c.-à-d. <math>\;F_\varphi\;</math> de la forme <math>\;\dfrac{f(\varphi)}{r\;\sin(\theta)}</math>.</ref>. === Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative === {{Al|5}}<u>Rappel de préliminaire</u> : Une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant un cas particulier de champ vectoriel d'un espace au plus tridimensionnel, pour étudier les C.S. <ref name="C.S."> Conditions(s) Suffisante(s).</ref> pour qu'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace à deux ou trois dimensions soit conservative on peut se référer au paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|C.S. pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; {{Al|5}}{{Transparent|Rappel de préliminaire : }}quant au cas d'une force définie en un point <math>\;M\;</math> d'un espace unidimensionnel correspondant au cas d'un champ vectoriel d'un espace à une dimension qui n'est pas abordé dans le chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] », il est traité en fin de ce paragraphe. {{Al|5}}Ci-dessous le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré"> '''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref> appliqué aux forces d'un espace à deux ou trois dimensions précisant les C.S. <ref name="C.S." /> pour qu'une force soit conservative. {{Théorème| titre= Théorème de Poincaré (appliqué aux forces bi ou tridimensionnelles) |contenu ={{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire <u>vérifie les conditions d'égalité des dérivées croisées</u> des fonctions cœfficients des éléments de coordonnées sur un <u>ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u> <ref name="partie étoilée"> Une partie <math>\;U\;</math> ouverte ou non de <math>\;\mathbb{R}^n,\;\;n \in \mathbb{N}^{*}\;</math> est dite « <u>[[w:Partie_étoilée|étoilée]]</u> » lorsque <math>\;U\;</math> contient au moins un point <math>\;P\;</math> tel que pour tout point <math>\;Q\;</math> de <math>\;U\;</math> le segment <math>\;\left[ PQ \right]\;</math> soit inclus dans <math>\;U</math> ; on dit alors que <math>\;U\;</math> est « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à <math>\;P</math> » <math>\big\{U\;</math> est « <u>[[w:Ensemble_convexe|convexe]]</u> » ssi <math>\;U\;</math> est [[w:Partie_étoilée|étoilée]] par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math>.</ref> de son domaine de définition est une force conservative. <center><math>\Updownarrow</math></center> {{Al|5}}Toute force d'un espace à deux ou trois dimensions pour lequel le travail élémentaire est <u>fermé <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « <u>conditions d'égalités des dérivées croisées</u> » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite <u>fermée</u> sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\;\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'<u>une différentielle exacte est une forme différentielle fermée</u> <math>\;\big[</math>mais, comme nous le voyons ici, la réciproque est fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]]</u> <ref name="partie étoilée" /> de son domaine de définition est une force conservative.}} {{Al|5}}<u>C.S. <ref name="C.S." /> pour qu'une force définie en un point d'un espace unidimensionnel soit conservative</u> : Dans le cas d'une force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> où <math>\;M\;</math> est le point générique d'une courbe continue repéré par sa coordonnée <math>\;x\;</math><ref name="x" /> le travail élémentaire de la force s'écrivant <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = \vec{F}(M) \cdot dM_x\,\vec{u}_x\;</math><ref name="dMx" /> ou <math>\delta W\!\left[ \vec{F} \right]\!(M) = F_x\;dM_x = \left( F_x\;\dfrac{dM_x}{dx} \right) dx\;</math> est une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>c.-à-d. la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> est conservative pour <math>\;M \in\;</math> à la courbe continue paramétré par <math>\;x\big]\;</math> si <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math><ref name="valeur de dMx divisé par dx" /> <math>\;\big(</math>c.-à-d. la fonction cœfficient de l'élément <math>\;dx\;</math> du travail élémentaire<math>\big)\;</math> ne dépend que de la variable {{Nobr|<math>\;x\;</math><ref> Ceci correspondant à la fermeture de la forme différentielle travail élémentaire.</ref>}} en y étant intégrable sur un intervalle ouvert du domaine de variation de cette variable <ref> Ceci correspondant à un ouvert [[w:Partie_étoilée|étoilé]] du domaine de définition de <math>\;F_x\;\dfrac{dM_x}{dx}\;</math> sur lequel le travail élémentaire est fermé.</ref>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Toutefois, en physique, les forces qui y sont introduites et pour lesquelles on vérifie la C.N. <ref name="C.N." /> pour qu'elles soient conservatives <math>\;\big[</math>à savoir l'égalité des dérivées croisées sur le travail élémentaire pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues ou encore pour <math>\;M\;</math> se déplaçant sur une courbe continue paramétrée par <math>\;x\;</math> la fonction cœfficient de <math>\;dx\;</math> ne dépendant que de <math>\;x\;</math> ce qu'on peut résumer par le caractère fermé du travail élémentaire <ref name ="forme différentielle fermée" /><math>\big]\;</math> sont usuellement définies sur une [[w:Partie_étoilée|partie étoilée]] <ref name="partie étoilée" /> et par suite il est d'usage d'affirmer que les forces sont conservatives <math>\;\big(</math>c.-à-d. que leur travail élémentaire est une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /><math>\big)\;</math> sans vérifier le caractère [[w:Partie_étoilée|étoilé]] <ref name="partie étoilée" /> de la partie sur laquelle elles sont définies. == Énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative == === 1^ère définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition| titre=1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative| contenu ={{Al|5}}L'énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]\;</math> est le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que « le travail élémentaire de <math>\;\vec{F}(M)\;</math> s'identifie à l'opposé de la différentielle de <math>\;U_{\vec{F}}(M)</math> » soit <center>«<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math>» ou «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}}\;</math>» <ref> On comprend pourquoi une force dont le travail élémentaire est identique nul n'est pas considérée comme conservative car l'énergie potentielle dont elle dériverait serait constante et son introduction n'aurait aucun intérêt <math>\;\big(</math>raison pour laquelle ceci est sous-entendu dans la définition d'une force conservative<math>\big)</math>.</ref>{{,}} <ref> En accord avec la définition des « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » et cela prolonge cette dernière dans le cas d'une force conservative dont le point <math>\;M\;</math> se déplace sur une courbe continue.</ref> ;</center>}} {{Al|5}}dans le S.I. <ref name="S.I."> Système International.</ref> des unités de mesures, l'énergie potentielle s'exprime en <math>\;J</math>. === Propriétés de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{1}\;</math> : L'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » étant définie à une constante additive près, il faut donc toujours préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive la force conservative » c.-à-d. l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». {{Al|5}}<math>\;\mathfrak{2}\;</math> : <u>Le travail d'une force conservative entre deux positions fixées</u> est <u>la différence de l'énergie potentielle du point matériel</u> dans le champ de force conservative <u>entre positions initiale et finale quelle que soit la courbe suivie</u> soit «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne"/> indépendant de <math>\;(\Gamma)\;</math>» se réécrit avec <math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}(M) \right] = -dU_{\vec{F}}\;</math> «<math>\;W_{M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}(M) \right] = U_{\vec{F}}(M_1) - U_{\vec{F}}(M_2) =</math> <math>-\Delta U_{\vec{F}}\;</math>». === 2^ème définition (équivalente) de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » === {{Définition |titre= 2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative|contenu ={{Al|5}}On appelle énergie potentielle d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> <math>\big[</math>ou énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\big]</math>, le champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> tel que son gradient <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math><ref name="gradient d'un champ scalaire"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|Définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit l'opposé de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> c.-à-d. <center>«<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» <ref name="gradient d'un champ scalaire" />.</center>}} {{Al|5}}<u>Justification de l'équivalence</u> <ref> Voir aussi le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » pour les forces définies en un point se déplaçant sur une surface ou dans une expansion tridimensionnelle continues, le cas où le point se déplace sur une courbe continue résultant du lien entre la différentielle d'une fonction d'une variable et la dérivée de cette fonction relativement à la variable.</ref> : la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}(M)\;</math> étant «<math>\;\vec{F}(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}le gradient du champ scalaire <math>\;U_{\vec{F}}(M)\;</math> étant défini de façon intrinsèque comme le champ vectoriel <math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> tel que sa circulation élémentaire <ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Circulation_élémentaire_d'un_champ_vectoriel_de_l'espace_le_long_d'une_courbe_continue|Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> soit la différentielle du champ scalaire <ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c.-à-d. «<math>\;\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \cdot \overrightarrow{dM} = dU_{\vec{F}},\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» <ref name="gradient d'un champ scalaire" />, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}on en déduit, en faisant la somme de ces deux relations «<math>\;\left\lbrace \vec{F}(M) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M) \right\rbrace \cdot \overrightarrow{dM} = 0,\;\;\forall\;\overrightarrow{dM}\;</math>» et par suite «<math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math>» ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Justification de l'équivalence : }}réciproquement si on multiplie chaque membre de <math>\;\vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}} \right]\!(M)\;</math> scalairement par <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, on obtient dans le membre de gauche le travail élémentaire de la force <math>\;\vec{F}(M)\;</math> et dans le membre de droite l'opposé de la différentielle de l'énergie potentielle <ref name="gradient d'un champ scalaire" /> c.-à-d. la 1^ère définition de l'énergie potentielle du point matériel dont dérive la force conservative. == 1^ère justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » par réécriture du théorème de l'énergie cinétique == {{Al|5}}Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au point matériel <math>\;M\;</math> dans un référentiel galiléen <ref name="théorème de l'énergie cinétique sur une durée finie"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Théorème_de_l'énergie_cinétique_sur_un_intervalle_de_durée_finie|théorème de l'énergie cinétique sur un intervalle de durée finie]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, entre un instant initial <math>\;t_1\;</math> et un instant final <math>\;t_2</math>, en distinguant <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> dont on utilise le caractère conservatif <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>les « forces conservatives » <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)}\;</math> }}en introduisant une énergie potentielle dans le champ de chaque force conservative notée <math>\;U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}<math>\blacktriangleright\;</math>des « forces non conservatives » <ref name="forces non conservatives"> Plus exactement des forces non conservatives ou conservatives mais dont on n’utilise pas le caractère conservatif en définissant une énergie potentielle, raison pour laquelle on les maintient dans l'ensemble des forces non conservatives.</ref> <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}soit «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = K_M(t_2) - K_M(t_1) = \Delta K_M\;</math>» où on remplace le travail de chaque force conservative par «<math>\;W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_1) - U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M_2) = -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\sum\limits_j W_{\!\!M_1\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_2}\!\left[ \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M) \right] = \sum\limits_j \left[ -\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] = - \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» d'où {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la réécriture du théorème de l'énergie cinétique «<math>\;- \Delta\!\left[ \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right] + \sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta K_M\;</math>» soit encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}en transposant les termes d'énergies potentielles <math>\;\big(</math>ce qui entraîne un changement de signe<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la réécriture du théorème de l'énergie cinétique }}«<math>\;\sum\limits_i W_{\!\!M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \Delta\! \left[ K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}} \right]\;</math>» c.-à-d. une relation définissant une <u>'''nouvelle''' grandeur énergétique</u>, <u>'''somme'''</u> de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, grandeur <u>'''restant constante en absence de travail des forces non conservatives'''</u> <ref name="forces non conservatives" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}on comprend donc l'importance du signe <math>\;-\;</math> dans la définition de l’énergie potentielle associée à une force conservative, «<math>\;-\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math> devenant, lors du changement de membre, <math>\;+\Delta U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> « la nouvelle grandeur énergétique conservée si les forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas » est la « <u>somme</u> » <math>\;\big(</math>et non la différence<math>\big)\;</math> de termes ; {{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique }}la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;2\;</math> contributions <math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;K_M\;</math>» <ref> Grandeur <u>dépendant du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la cinétique du point et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions }}<math>\blacktriangleright\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}\;</math>» <ref> D'une part chaque énergie potentielle est définie à une constante additive près, ce qui nécessite le choix, rappelons-le, d'une « référence pour chaque énergie potentielle » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'endroit où elle est considérée nulle<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}d'autre part l'énergie potentielle d'un point matériel dans plusieurs champs de forces conservatives étant définie comme la somme des énergies potentielles dont dérivent les forces conservatives prises individuellement, on peut se contenter de choisir la « référence pour l'énergie potentielle totale » ;<br>{{Al|3}}enfin on admettra que l'énergie potentielle <math>\;\big(</math>tout comme le champ de forces dans lequel elle est définie<math>\big)\;</math> est <u>indépendante du référentiel d'étude</u>.</ref> dépendant de la position du point <br>{{Al|5}}{{Transparent|Appliquons le théorème de l’énergie cinétique la nouvelle grandeur énergétique «<math>\;\color{transparent}{K_M + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» est le résultat de <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> contributions <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}}\;</math>» }}dans le champ de forces conservatives. == Exemples de forces « non conservatives » == === La plupart des « forces de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié sont des forces « non conservatives » === ==== Forces de contact d'un solide, sans ou avec frottement solide ==== {{Al|5}}La réaction <math>\;\vec{R}\;</math> d'un solide sur lequel repose ou se déplace un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#3ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_solide,_liaisons_unilatérale_ou_bilatérale,_idéales_(c.-à-d._sans_frottement)_ou_non_idéales_(c.-à-d._avec_frottement)|3^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = 0\;</math>» car <math>\;\vec{R} \perp\;</math> à la surface du solide en <math>\;M\;</math> est toujours <math>\;\perp\;</math> au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est sans frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant sans frottement ne développe aucun travail » ; {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement de <math>\;M\;</math> sur le solide selon <math>\;(\Gamma)\;</math> <math>\big[</math>une courbe continue quelconque que le point peut suivre sur la surface du solide pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\big]</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\vec{R}_\tau\;</math><ref> Encore appelée force de frottement solide exercée sur le point.</ref> étant toujours colinéaire et de sens opposé au <br>{{Al|10}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement «<math>\;\color{transparent}{W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R}) = W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) < 0}\;</math>», la composante tangentielle de la réaction <math>\;\color{transparent}{\vec{R}_\tau}\;</math> étant }}vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet <ref name="Frenet"> '''[[w:Jean_Frédéric_Frenet|Jean Frédéric Frenet]] (1816 - 1900)''' est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de [[w:Géométrie_différentielle|géométrie différentielle]] associées au trièdre <math>\;\big(</math>ou {{Nobr|base<math>\big)\;</math>}} de Serret-Frenet <math>\;\big[</math>'''[[w:Joseph-Alfred_Serret|Joseph-Alfred Serret]] (1819 - 1885)''' mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules<math>\big]</math>.</ref> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet"> Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_d'abscisse_curviligne_d'un_point_d'une_courbe_continue|notion d'abscisse curviligne d'un point d'une courbe continue]] » et « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Notion_de_premier_vecteur_de_la_base_locale_de_Frenet_liée_au_point_d'une_courbe_continue|notion de 1^er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on peut écrire <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>» <ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Définition_du_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_continue_à_l'aide_de_la_base_locale_de_Frenet|Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>\;\big\{s\;</math> abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Abscisse_curviligne_d.27un_point_sur_une_courbe_continue|Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\big\}\;</math> et <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}la force de frottement solide «<math>\;\vec{R}_\tau = \overline{R_\tau}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{R_\tau} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{R}_\tau \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref> soit, avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide }}la loi empirique de Coulomb <ref name="Coulomb"> '''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> du frottement solide avec glissement <ref name="loi de Coulomb du frottement avec glissement"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Loi_de_frottement_«_solide_»_avec_glissement_de_Coulomb|Loi de frottement solide avec glissement de Coulomb]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> «<math>\;\Vert \vec{R}_\tau \Vert = \mu_d\;R_n\;</math>» avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;\mu_d\;</math> le cœfficient de frottement dynamique » et <br>{{Al|13}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement la force de frottement solide la loi empirique de Coulomb }}«<math>\;R_n > 0\;</math> la composante normale de la réaction » <ref> On suppose la liaison unilatérale et on oriente la normale dans le sens contraire de celui de la pénétration possible du point <math>\;M\;</math> dans le solide.</ref>, d'où <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}l'expression du travail de la force de frottement «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{R}_\tau \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \mu_d\;R_n(s) \;ds\;</math>» <ref name="fonction sgn"> Où <math>\;\mathrm{sgn}(x)\;</math> est la fonction « signe de <math>\;x</math> » telle que <math>\;\mathrm{sgn}(x) = \left\lbrace \begin{array}{l} +1\;\;\text{pour }x > 0\\-1\;\;\text{pour }x < 0\end{array}\right\rbrace</math>.</ref> soit, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}pour un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math>» <ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} R_n(s) \;ds < 0\;</math> car <math>\;ds\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement pour un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math><ref> Cas assez fréquent.</ref>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right) < 0\;</math>» <ref name="assez fréquent"> Dans le cas assez fréquent où <math>\;R_n(s) = cste = R_{n,\,0}\;</math> avec un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \mu_d\;R_{n,\,0} \left( s_2 - s_1 \right)\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;s_2\;</math> est <math>\;<\;</math> à <math>\;s_1</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}ce résultat montrant clairement <math>\;\big(</math>dans le cas où la composante normale de la réaction reste constante<math>\big)\;</math> <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement }}que le travail de la force de frottement dépend effectivement du chemin suivi <ref> <math>\;s_2 - s_1\;</math> étant la longueur algébrique du chemin suivi sur la courbe <math>\;(\Gamma)</math>.</ref>, <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement ce résultat montrant clairement que }}ceci restant vrai même si <math>\;R_n(s)\;</math> n'est pas constante<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement }}en conclusion « la réaction d'un solide sur un point <math>\;M\;</math> y glissant avec frottement solide développe un travail négatif »,<br>{{Al|8}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math>si le contact est avec frottement et s'il y a glissement en conclusion « }}la force de frottement <math>\;\vec{R}_\tau\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. ==== Forces de frottement au contact d'un fluide, frottement fluide (ou visqueux) linéaire ou non ==== {{Al|5}}La résistance à l'avancement <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide"> Encore appelée force de frottement fluide.</ref> d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un fluide <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forces_de_frottement_fluide_exercées_sur_un_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_en_mouvement_de_translation_relativement_au_fluide_immobile,_le_système_ayant_un_axe_de_symétrie_et_son_vecteur_vitesse_étant_porté_par_l'axe|Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> est non conservative, que le frottement soit linéaire <ref name="frottement fluide linéaire> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_faibles_vitesses|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, quadratique <ref name="frottement fluide quadratique> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_moyennes|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ou autres <ref name="frottement fluide à vitesse élevée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Forme_de_la_résistance_du_fluide_s'exerçant_sur_le_système_de_points_matériels_fermé_indéformable_dans_le_domaine_des_vitesses_élevées|Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}son travail le long de la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> suivie par <math>\;M\;</math> pour aller de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> est <math>\;< 0\;</math>» car, <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}pour un solide assimilable à un point matériel, <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est toujours colinéaire et de sens contraire au vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}<math>\Bigg[</math>la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> étant orientée par le vecteur unitaire tangentiel de Frenet <ref name="Frenet" /> <math>\;\vec{\tau}\;</math><ref name="1er vecteur de base de Frenet" />, on peut écrire <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}le vecteur déplacement élémentaire «<math>\;\overrightarrow{dM} = ds\;\vec{\tau}\;</math>» <ref name="vecteur déplacement élémentaire en base de Frenet" /> où <math>\;s\;</math> est l'abscisse curviligne de <math>\;M\;</math> sur <math>\;(\Gamma)\;</math><ref name="abscisse curviligne" /> mesurée à partir de l'origine <math>\;A\;</math> sur celle-ci et <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}la force de frottement fluide «<math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;\vec{\tau}\;</math>» avec <math>\;\overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} = \left\lbrace \begin{array}{r l} - \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds > 0\\ \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \Vert\!\!&\text{si }\;ds < 0\end{array}\right\rbrace\;</math><ref> En effet <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math> étant toujours de sens contraire à <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, leurs composantes sur <math>\;\vec{\tau}\;</math> sont de signe contraire.</ref>, <math>\;\vert \overline{\mathcal{R}}_{\text{flu}} \vert\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\Vert \vec{V}_M(t) \Vert = \vert v_M(t) \vert = \vert \dot{s}_M(t) \vert\;</math><ref name="vitesse instantanée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Composante_locale_de_Frenet_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_sur_sa_trajectoire_dans_le_référentiel_d'étude,_vitesse_instantanée_du_point|Composante locale de Frenet du vecteur vitesse du point repéré sur sa trajectoire dans le référentiel d'étude, vitesse instantanée du point]] » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}d'où l'expression du travail de la force de frottement fluide «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{s_1}^{s_2} -\mathrm{sgn}(ds)\; \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ \dot{s}(t) \right] \Vert \;ds\;</math>» <ref name="fonction sgn" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, «<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math>» <ref> Dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert \;v(t)\;dt < 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, }}pour une forme quadratique de force de frottement fluide <math>\;\Vert \vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\!\left[ v(t) \right] \Vert = h'\;v^2(t)\;</math><ref> Très fréquent.</ref> avec <math>\;h'\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}constante positive caractéristique de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] du fluide <ref name="viscosité dynamique"> La définition de la [[w:Viscosité_dynamique|viscosité dynamique]] d'un fluide <math>\;\eta_{\text{flu}}\;</math> n'est pas au programme de P.C.S.I. mais on peut en donner une 1^ère notion élémentaire en considérant une couche de fluide de faible épaisseur se déplaçant sur un plan immobile, le plan exercera sur la couche une force de frottement qui tendra à ralentir le déplacement de la couche et ceci d'autant plus que le fluide sera visqueux <math>\;\big(</math>c.-à-d. qu'il « collera » au plan<math>\big)</math> ; <br>{{Al|3}}on peut trouver plus de détails dans la note [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#cite_note-30|³⁰]] du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique constante positive caractéristique }}et de la densité de ce dernier <ref> Par exemple un objet rentrant dans l'atmosphère subira une résultante de forces de frottement fluide plus faible dans la haute atmosphère <math>\;big(</math>où la densité est faible, l'atmosphère y étant raréfiée<math>\big)\;</math> que dans l'atmosphère proche du sol.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> soit, dans l'hypothèse d'un glissement dans le sens de <math>\;\color{transparent}{\vec{\tau}}</math>, pour une forme quadratique }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt < 0\;</math>» <ref name="cas très fréquent"> Dans le cas très fréquent de forme quadratique pour la force de frottement fluide et d'un mouvement dans le sens contraire de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = h'\;\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^3(t)\;dt\;</math> toujours <math>\;< 0\;</math> car <math>\;v(t)\;</math> est <math>\;< 0</math>.</ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}ce résultat permettant d'établir <math>\;\big(</math>dans le cas d'une forme quadratique de la force de frottement fluide<math>\big)</math>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}à condition de connaître la loi horaire de vitesse instantanée <ref name="vitesse instantanée" /> ainsi que celle d'abscisse curviligne <ref name="abscisse curviligne" /> du point, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir }}que le travail de la force de frottement fluide dépend effectivement du chemin suivi <ref> En supposant, par exemple, que de la connaissance de <math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} v = v(t)\\ s = s(t)\end{array}\right\rbrace\;</math> et par élimination de <math>\;t\;</math> on peut déduire une loi précisant la variation de la vitesse instantanée en fonction de l'abscisse curviligne soit <math>\;v = v(s)\;</math> ce qui permettrait de réécrire, avec <math>\;v(t)\;dt = ds</math>, et en supposant le mouvement dans le sens de <math>\;\vec{\tau}</math>, <math>\;W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{R_\tau}) = -h'\;\displaystyle\int_{s_1}^{s_2} v^2(s)\;ds\;</math> et d'établir clairement que, suivant la vitesse permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force de frottement fluide sera différent que ce soit sur une même courbe ou sur des courbes différentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|13}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> ce résultat permettant d'établir que }}ceci restant vrai quelle que soit la forme de la force de frottement fluide<math>\Bigg]</math> ; <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> }}en conclusion « la résistance à l'avancement d'un fluide <math>\;\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}\;</math><ref name="force de frottement fluide" /> sur un point <math>\;M\;</math> développe un travail négatif », <br>{{Al|10}}{{Transparent|La résistance à l'avancement <math>\;\color{transparent}{\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}}\;</math> en conclusion «}}<math>\vec{\mathcal{R}}_{\text{flu}}(M)\;</math> est donc toujours « résistive » <math>\;\big(</math>on la qualifie aussi de « dissipative »<math>\big)</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : On pouvait aussi dire qu'une force de frottement fluide dépendant explicitement de la vitesse et non de la position <u>ne définit pas un champ de forces</u> et qu'il est par conséquent <u>inutile d'envisager son caractère conservatif</u>, toutefois la justification ci-dessus a permis de souligner son caractère résistif simultanément à la vérification de son caractère non conservatif. ==== Forces de liaison par fil idéal tendu ==== {{Al|5}}La force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par un fil idéal <ref name="fil idéal"> C.-à-d. inextensible et sans masse.</ref> tendu sur un point matériel <math>\;M\;</math><ref> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#4ème_exemple_de_forces_de_contact,_force_résultant_du_contact_avec_un_fil,_cas_du_fil_idéal|4^ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil iéal]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> dont la norme <math>\;T = \Vert \vec{T} \Vert\;</math> définit la tension du fil idéal <ref name="fil idéal" /> est non conservative, son travail élémentaire <math>\;\delta W(\vec{T}) =</math> <math>\vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math> n’étant en général pas une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" />{{,}} <ref> Pour qu'une force puisse être considérée comme conservative, il faut qu'elle le soit dans toutes les situations envisageables et non simplement dans des cas très particuliers comme ce serait le cas pour <math>\;\vec{T} = \overrightarrow{\text{cste}}\;\ldots</math></ref>. {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\uparrow\;</math><u>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u> <ref name="fil idéal" /> : on suspend un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à l'aide d'une corde idéale <ref name="fil idéal" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : on suspend un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}dans le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> uniforme ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}sur <math>\;M\;</math> s'exercent <math>\blacktriangleright\;</math>son poids <math>\;m\;\vec{g}\;</math> qui fait que le point <math>\;\downarrow\;</math> en absence d'autres forces et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent }}<math>\blacktriangleright\;</math>la réaction <math>\;\vec{T}\;</math> de la corde de même direction et de sens opposé au poids d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> s'exercent <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>la réaction }}<math>\;\vec{T}\;</math> verticale <math>\;\uparrow</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}l'application de la r.f.d.n. <ref name="r.f.d.n."> Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.</ref> au point <math>\;M\;</math> dans le référentiel terrestre supposé galiléen donne <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;m\;\vec{g} + \vec{T} = m\;\vec{a}_M(t)\;</math>» ou, en prenant <math>\;\vec{u}_z\;</math> vecteur unitaire vertical <math>\;\uparrow</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}«<math>\;-m\;g\;\vec{u}_z + T\;\vec{u}_z = m\;a_{M,\,z}(t)\;\vec{u}_z\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;T = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right]\;</math>» c.-à-d. que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}« la tension de la corde est directement liée au mouvement que l'on veut imposer au point <math>\;M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour hisser <math>\;M\;</math> d'une position <math>\;M_1\;</math> à une position <math>\;M_2\;</math> on peut régler le mouvement de montée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}<math>\big[</math>c.-à-d. qu'on peut régler <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> en modifiant la tension de la corde<math>\big]\;</math> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde dépendant alors de la façon dont la montée est effectuée <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : le travail de <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> }}ne dépend pas uniquement des positions extrêmes d'où «<math>\;\vec{T}\;</math> non conservatif » <ref> Pour la montée verticale de <math>\;M\;</math> la trajectoire ne peut évidemment pas être changée, le caractère « non conservatif » de la force ne résulte donc pas du changement de courbe suivie mais du fait qu'entre deux mêmes positions extrêmes le travail de la force exercée par la corde n'est pas le même suivant le mouvement imposé entre ces positions extrêmes, ce qui est incompatible avec le caractère conservatif d'une force ;<br>{{Al|3}}on peut dire aussi que la force exercée par la corde ne définit pas un champ de forces dans la mesure où <math>\;\vec{T}\;</math> en une même position <math>\;M\;</math> dépend du mouvement du point et non uniquement de sa position.</ref> ; {{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\uparrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;> 0</math>, le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde s’écrivant <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> avec <math>\;dz > 0\;</math>» est tel que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz\;</math> est <math>\;> 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> montant de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}«<math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) = \displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz > 0\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer l'évaluation, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}celle-ci vérifiant que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes <ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde"> En effet si on connaît la loi horaire de position <math>\;z = z(t)\;</math> et que cette loi soit inversable on peut en déduire <math>\;t = t(z)\;</math> et réécrire le travail de la force selon <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <math>\displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left\lbrace g + a_{M,\,z}\!\left[ t(z) \right] \right\rbrace dz\;</math> permettant d'établir clairement que, suivant la loi d'accélération permettant de relier deux mêmes positions extrêmes, le travail de la force exercée par la corde sera différent <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Par exemple pour monter un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une traction douce d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} m\; g\; dz = m\;g\;h\;</math> ou * une traction rapide d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq 2\;m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 + h} 2\;m\; g\; dz = 2\;m\;g\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour monter le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont l'ascension est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, }}<math>\Rightarrow\;</math> la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part effectivement « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\uparrow}\;</math>verticale d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\uparrow}</math>, <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « motrice ». {{Al|5}}<u>Exemple de la</u><math>\;\downarrow\;</math><u>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale</u> <ref name="fil idéal" /> : dans le paragraphe précédent relatif à la <math>\;\uparrow\;</math> du point matériel <math>\;M</math>, on a établi que <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde sur <math>\;M\;</math> s'écrit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : dans le paragraphe précédent la force }}<math>\;\vec{T} = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] \vec{u}_z</math>, <math>\;\vec{u}_z\;</math> unitaire vertical <math>\;\uparrow</math> ; <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : }}pour une <math>\;\downarrow</math>, <math>\;a_{M,\,z}(t)\;</math> doit être <math>\;< 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = T\;\vec{u}_z \cdot dz\;\vec{u}_z = T\;dz\;</math> où <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} dz < 0 \\ T > 0 \end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref> En supposant que le fil reste tendu.</ref> suit <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math>», <math>\Rightarrow</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour <math>\;M\;</math> <math>\downarrow\;</math> de <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}<math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> le long de la verticale <math>\;(\zeta)\;</math> s'écrit <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, <math>\;\color{transparent}{M_1}\;</math> à <math>\;\color{transparent}{M_2}\;</math> }}<math>\displaystyle\int_{M_1\,\overset{(\zeta)}{\rightarrow}\,M_2} \vec{T}(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math><ref name="intégrale curviligne" /> <math>= \displaystyle\int_{z_1}^{z_2} m \left[ g + a_{M,\,z}(t) \right] dz < 0\;</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, }}d'où la nécessité de connaître le mouvement le long de <math>\;(\zeta)\;</math> pour terminer, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où }}<math>\Rightarrow\;</math> le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> ne dépend pas que des positions extrêmes <ref name="évaluation du travail de la force exercée par la corde" />{{,}} <ref> Par exemple pour descendre un solide supposé ponctuel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> d'une hauteur <math>\;h\;</math> on peut procéder par * une retenue forte d'accélération <math>\;a_{M,\,z} < 0\;</math> telle que <math>\;\vert a_{M,\,z} \vert \ll g\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_a)} \simeq m\;g</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_a)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} m\; g\; dz</math> <math>= -m\;g\;h\;</math> ou * une retenue faible d'accélération <math>\;a_{M,\,z} \simeq -\dfrac{g}{2}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;T_{(\zeta_b)} \simeq \dfrac{m\;g}{2}\;</math>, d'où le travail <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{T}_{(\zeta_b)} \right] = \displaystyle\int_{z_1}^{z_1 - h} \dfrac{m\;g}{2}\; dz = -\dfrac{m\;g}{2}\;h</math>, {{Al|3}}<math>\;\Rightarrow\;</math> <math>\;W_{M_1\,\overset{(\zeta_a)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T}) \neq W_{M_1\,\overset{(\zeta_b)}{\rightarrow}\,M_2}(\vec{T})\;</math> c.-à-d. que le travail de <math>\;\vec{T}\;</math> pour descendre le solide <math>\;M\;</math> d'une même position <math>\;M_1\;</math> à une même position <math>\;M_2\;</math> dépendant de la façon dont la descente est faite prouve le caractère non conservatif de <math>\;\vec{T}</math>.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> }}la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par la corde est d'une part « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Exemple de la<math>\;\color{transparent}{\downarrow}\;</math>verticale freinée d'un point matériel à l'aide de la force exercée par une corde idéale : pour une <math>\;\color{transparent}{\downarrow}</math>, d'où <math>\color{transparent}{\Rightarrow}\;</math> la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par la corde est }}d'autre part « résistive ». {{Al|5}}En conclusion, la force <math>\;\vec{T}\;</math> exercée par une corde idéale <ref name="fil idéal" /> sur un point <math>\;M\;</math> est « non conservative » et <br>{{Al|11}}{{Transparent|En conclusion, la force <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> exercée par une corde idéale sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}développe « un travail positif ou négatif », <math>\;\vec{T}(M)\;</math> est donc « motrice ou résistive » <ref> Si elle est résistive, on la qualifie aussi de « dissipative ».</ref>. === Seule « force de contact » pouvant s'exercer sur le point étudié « conservative » : force exercée par un ressort idéal === {{Al|5}}Parmi toutes les forces de contact <math>\big[</math>détaillées dans le chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> qu'un point <math>\;M\;</math> peut subir c'est l'« <u>unique force de contact conservative</u> » <ref> N'a donc pas sa place dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Exemples_de_forces_«_non_conservatives_»|Exemples de forces non conservatives]] » mais y est rappelée car la plupart des forces non conservatives sont des forces de contact et c’est la seule force de contact « conservative ».</ref>, elle sera étudiée au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#3ème_exemple_de_force_conservative_:_la_«_tension_d'un_ressort_idéal_lié_à_un_point_matériel_»_et_l'«_énergie_potentielle_élastique_du_point_»|3^ème exemple de force conservative : la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel et l'énergie potentielle élastique du point]] » plus bas dans ce chapitre. == Définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Définition| titre= Énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservatives(s)| contenu ={{Al|5}}L'« énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'« énergie mécanique }}est la grandeur scalaire <math>\;E_{m,\,M}(t)\;</math> définie à l'instant <math>\;t\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> selon <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scalaire }}«<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + \sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math>» avec <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;K_M(t)\;</math> l'énergie cinétique du point à l'instant <math>\;t\;</math>» dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal }}<math>\succ\;</math>«<math>\;\sum\limits_j U_{\vec{F}_{j,\,\text{cons.}}}(M)\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de forces conservatives <br>{{Al|35}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> l'énergie potentielle de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de }}<math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math>», <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> }}cette énergie ne dépendant pas explicitement de <math>\;t\;</math> et <br>{{Al|2}}{{Transparent|L'« énergie mécanique est la grandeur scal <math>\color{transparent}{\succ}\;</math> cette énergie }}étant indépendante du référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>.}} {{Al|5}}Dans le S.I. <ref name="S.I." /> des unités, l'énergie mécanique s'exprime, comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, en <math>\;J</math> ; {{Al|5}}l'énergie mécanique étant, par l'intermédiaire de l'énergie potentielle dans un champ de forces conservatives, définie à une constante additive près, il faut, lors de la définition de l'énergie mécanique, préciser la « <u>référence de l'énergie potentielle</u> dont dérive le champ de forces conservatives » c.-à-d. l'« <u>endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle</u> ». == Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) == {{Al|5}}Les théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) ne sont pas explicitement au programme de physique de P.C.S.I., <br>{{Al|5}}seuls les cas de conservation introduits dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Point_matériel_«_à_mouvement_conservatif_»|Point matériel à mouvement conservatif]] » plus bas dans ce chapitre et <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation }}détaillés au chap.<math>17</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|seuls les cas de conservation introduits}}sont explicitement au programme de physique de P.C.S.I.. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail <math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives <math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" /> appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement sur la courbe <math>\;(\Gamma)\;</math> de <math>\;M_1\;</math> à <math>\;M_2\;</math> relativement à <math>\;\mathcal{R}\;</math>» est égale à « la variation de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> entre les instants <math>\;t_1\;</math> et <math>\;t_2\;</math> correspondants <math>\;\Delta E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1)\;</math>» soit <center>«<math>\;\sum\limits_i W_{M_1\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_2}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t_2) - E_{m,\,M}(t_1) = \Delta E_{m,\,M}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) sur une durée finie</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> sur cette même durée</u>. === Énoncé du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel « sur une durée élémentaire » dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Théorème| titre= Théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservative(s)| contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, « le travail élémentaire <math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]\;</math> des forces non conservatives {{Nobr|<math>\;\vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M)\;</math><ref name="forces non conservatives" />}} appliquées à un point matériel <math>\;M\;</math> lors de son déplacement élémentaire dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> <math>\big(</math>selon n'importe quelle {{Nobr|direction<math>\big)\;</math>»}} est égale à « la différentielle de l'énergie mécanique de <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) <math>\;\sum\limits_j \vec{F}_{j,\,\text{cons.}}(M)\;</math> définie dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> à partir de l'instant <math>\;t</math> <math>\;d E_{m,\,M} = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math><ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d E_{m,\,M}\;</math> et la différence <math>\;E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref> » soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \delta W\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = E_{m,\,M}(t + dt) - E_{m,\,M}(t) = dE_{m,\,M}\;</math>» <ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" />.</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de la variation élémentaire de l’énergie mécanique }}sont <u>les travaux élémentaires</u><math>\;\big(</math><u>non nuls</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u> <ref name="forces non conservatives" />. === Démonstration du « théorème de la variation de l'énergie mécanique » d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) === {{Al|5}}La démonstration du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie a déjà été effectuée dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_justification_du_signe_«_-_»_dans_la_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)_»_par_réécriture_du_théorème_de_l'énergie_cinétique|1^ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique]] » plus haut dans ce chapitre, la nouvelle grandeur énergétique qui y a été introduite étant en fait l'énergie mécanique du point ; {{Al|5}}le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué à une durée élémentaire découle du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué sur un intervalle de temps de durée finie, il suffit de poser <math>\;t_1 = t\;</math> et <math>\;t_2 = t + dt\;</math> <math>\big\{</math>en se rappelant la propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable applicable en physique car <math>\;dt\;</math> y est toujours aussi petit que possible <ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique" /><math>\big\}</math>. === Point matériel « à mouvement conservatif » === {{Définition| titre=Définition d'un point matériel « à mouvement conservatif »|contenu={{Al|5}}Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » }}si les éventuelles forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> ne travaillent pas <ref> Il est nécessaire de préciser le référentiel dans lequel le caractère « à mouvement conservatif » du point est défini <math>\;\big(</math>même si le plus souvent le référentiel n'est pas rappelé<math>\big)</math> car le travail d'une force dépend du référentiel</ref>.}} {{Al|5}}<u>Propriété d'un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen</u> : d'après l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de forces conservatives appliqué à un point matériel « à mouvement conservatif », on déduit la propriété suivante : <center>« <u>Dans un référentiel galiléen, l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif est conservée</u> » <ref> La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif n'est qu'une propriété valable dans un référentiel galiléen et non la définition ; <br>{{Al|3}}a priori on pourrait définir un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel non galiléen <math>\;\big(</math>même si l'intérêt d'une telle introduction serait nul<math>\big)\;</math> et nous en déduirions que l'énergie mécanique n'y est pas nécessairement conservée <math>\;\big(</math>rappelons qu'il faut que le référentiel soit galiléen pour que l'un ou l'autre des théorèmes de la variation de l'énergie mécanique soit applicable<math>\big)</math>.</ref>.</center> == 2^ème justification du signe « - » dans la définition de l'« énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative » par explication de la façon de créer la réserve d'énergie potentielle dans le champ de force conservative == === Exposé de la méthode à utiliser pour constituer la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}Pour constituer la réserve d'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dont dérive la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> qui lui est imposé dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}on exerce sur <math>\;M\;</math> une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> }}permettant le déplacement du point d'une position initiale <math>\;M_{\text{ini}}\;</math> vers une position finale <math>\;M_{\text{fin}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle on exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> une force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> permettant le déplacement du point }}de façon « quasi-statique » <ref name="déplacement quasi-statique"> C.-à-d sans créer d'énergie cinétique en aucun instant soit tel que <math>\;K_M(t) \simeq 0\;</math> en toute position.</ref>, {{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}« le travail développé dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> par la force motrice <ref name="force motrice considérée comme non conservative"> Considérée comme non conservative car, dans la mesure où elle le serait, nous n'utiliserons pas ce caractère.</ref> <math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>» constitue alors, d'après le théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) <ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énoncé_du_«_théorème_de_la_variation_de_l'énergie_mécanique_»_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force(s)_conservative(s)|énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> « l'augmentation d'énergie potentielle du point matériel dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math> en absence de travail des éventuelles autres forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> à déplacement quasi-statique <ref name="déplacement quasi-statique" /> » <ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique"> Les forces de frottement fluide étant pratiquement les seules autres forces non conservatives à être tolérées dans la mesure où <br>{{Al|3}}à déplacement quasi-statique, d'une part elles sont quasi-nulles car leur norme est <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n}\;</math> avec <math>\;n \geqslant 1\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, }}d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessite une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty\;</math> <math>\big(</math>car à vitesse <math>\;v_M \simeq 0\big)</math>, <br>{{Al|3}}{{Transparent|à déplacement quasi-statique, d'autre part leur travail sur un parcours de longueur finie }}est de valeur absolue d'ordre de grandeur <math>\;\propto\;</math> à <math>\;v_M^{\,n} \times \Delta s_M \simeq 0\;\ldots</math></ref> soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M} = \cancel{\Delta K_M\; +}\;\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}}\;</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour constituer la réserve d'énergie potentielle «<math>\;\color{transparent}{W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta E_{m,\,M}}\;</math> }}«<math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}}) + W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\;</math>». === Justification de la constitution de la réserve d'énergie potentielle dont dérive une force conservative === {{Al|5}}En l'absence de forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> travaillant lors d'un déplacement quasi-statique <ref name="déplacement quasi-statique" />{{,}} <ref name="Seules forces non conservatives tolérées à déplacement quasi-statique" /> c.-à-d. l'absence de forces de contact comme « la tension d'une corde ou <br>{{Al|23}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives travaillant lors d'un déplacement quasi-statique c.-à-d. l'absence de forces de contact comme « }}une force de frottement solide » <ref> Liste non exhaustive.</ref>{{,}} <ref name="forces non conservatives travaillant à déplacement quasi-statique"> Bien qu'à déplacement quasi-statique <math>\;v_M \simeq 0\;</math> ces forces non conservatives de norme non nulle développent une puissance quasi-nulle, un parcours de longueur finie <math>\;\Delta s_M \simeq v_M\; \Delta t \neq 0\;</math> nécessitant une durée <math>\;\Delta t \simeq \dfrac{\Delta s_M}{v_M} \simeq \infty</math>, ces forces développent un travail fini non nul car de valeur absolue d'ordre de grandeur « norme de la force <math>\;\times \Delta s_M\;</math>» <math>\;\big\{</math>ou encore d'ordre de grandeur « valeur absolue de la puissance de la force <math>\;\times \Delta t_M\;</math> de forme indéterminée <math>\;0 \times \infty\;</math>»<math>\big\}</math>, raison pour laquelle ces forces sont supposées absentes <math>\;\ldots</math></ref>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> supposé galiléen, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, }}une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> compensant à chaque instant <math>\;t\;</math> la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, soit <br>{{Al|9}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives on exerce sur le point matériel <math>\;\color{transparent}{M}</math>, une force motrice }}«<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t\;</math>» <ref> On adapte donc à chaque instant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> pour être opposée à <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)</math>, ceci étant indépendant d'éventuelles autres forces.</ref> et {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}on applique à <math>\;M\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, le théorème de la variation de l'énergie mécanique dans le champ de force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}})\; \cancel{+\; \sum\limits_i W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{i,\,\text{non cons. à trav. nul}})}\; = \Delta E_{m,\,M} = E_m(M_{\text{fin}}) - E_m(M_{\text{ini}})\;</math>» <ref name="force motrice considérée comme non conservative" /> avec, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}compte-tenu du déplacement quasi-statique de <math>\;M\;</math><ref name="déplacement quasi-statique" />, «<math>\;E_{m,\,M}(t) = K_M(t) + U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M) \simeq U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» soit finalement <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;\;\left( \mathfrak{a} \right)\;</math>». {{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}Or la force motrice étant choisie telle que <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -\vec{F}_{\text{cons.}}(M),\;\;\forall\;t</math>, on en déduit «<math>\;W_{M_{\text{ini}}\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\,M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{mot}}) = -W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}})\;</math>» <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}d'où, par report dans la relation <math>\;\left( \mathfrak{a} \right)</math>, «<math>\;-W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = \Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{fin}}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{\text{ini}})\;</math>» dont on déduit la propriété suivante <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;W_{M_{\text{ini}}\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\;M_{\text{fin}}}(\vec{F}_{\text{cons.}}) = -\Delta U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}\;</math>» <ref name="propriétés de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Propriétés_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|propriétés de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> ou, en considérant un déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{d M}\;</math> quelconque, <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}}) = U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) = -d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math>» <ref name="propriété de la différentielle d'une fonction d'une variable en physique - bis"> L'égalité entre la différentielle <math>\;d U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M)\;</math> et la différence <math>\;U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_{t + dt}) - U_{\vec{F}_{\text{cons.}}}(M_t)\;</math> est valable parce que <math>\;dt</math>, en physique, est toujours aussi petit que possible et par suite le déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}\;</math> étant de norme aussi petite que possible peut être confondu avec <math>\;\overrightarrow{M_tM_{t + dt}}</math> <math>\;\big[</math>revoir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Différentielle_d'une_fonction_d'une_variable#Propriété_de_la_différentielle_d'une_fonction_scalaire_d'une_variable_quand_l'élément_différentiel_de_la_variable_est_un_infiniment_petit|Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>{{,}} <ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#1ère_définition_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|1^ère définition de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{\text{cons.}})}</math> }}<math>\Downarrow</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives par report dans la relation <math>\;\color{transparent}{\left( \mathfrak{a} \right)}</math>, }}«<math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\vec{F}_{\text{cons.}}} \right]\!(M)\;</math>» <ref name="gradient d'un champ scalaire" />{{,}} <ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> <br>{{Al|11}}{{Transparent|En l'absence de forces non conservatives }}ce qui justifie la présence du signe «<math>\;-\;</math>» dans les définitions de l'énergie potentielle de <math>\;M\;</math> dans le champ de la force conservative <math>\;\vec{F}_{\text{cons.}}(M)\;</math><ref name="1ère définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}} <ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />. == Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force conservative » et énoncé de la forme locale « théorème de la puissance mécanique » associée à la forme intégrale « théorème de la variation de l'énergie mécanique » == === Définition de la « puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{Al|5}}<u>La puissance mécanique d'un point matériel</u> <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) définie dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> est <u>la dérivée temporelle de l'énergie mécanique du point</u> <math>\;M\;</math> dans le champ de force(s) conservative(s) définie dans le même référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> et au même instant <math>\;t\;</math> c.-à-d. <math>\;\dfrac{d E_{m,\,M}}{dt}(t)\;</math><ref name="puissance mécanique"> Le nom de « puissance mécanique » définie à partir de l'énergie mécanique est donnée par analogie à celui de « puissance cinétique » définie à partir de l'énergie cinétique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Définition_de_la_puissance_cinétique_d'un_point_matériel_dans_le_référentiel_d'étude|Définition de la puissance cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] »<math>\big]\;</math> mais, contrairement au nom de « puissance cinétique », celui de « puissance mécanique » n'est pas introduit dans le programme de physique de P.C.S.I. et n'est pas utilisé par tous.</ref> <math>\big[</math>comme il n'y a aucune notation particulière pour noter la puissance mécanique nous utiliserons la notation compacte <math>\;\dot{E}_{m,\,M}(t)\big]</math>. === Établissement de la forme locale associée à la forme intégrée « théorème de la variation de l'énergie mécanique » === {{Al|5}}À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservative(s) appliqué dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen sur une durée élémentaire <math>\;dt</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale <ref name="forme locale associée à une forme intégrée"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|Différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » (ou vice-versa) du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> écrite sous forme élémentaire en divisant cette dernière par <math>\;dt\;</math> soit <br>{{Al|11}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique on peut trouver la forme locale associée à cette forme intégrale }}«<math>\;\dfrac{\sum\limits_i \delta W\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right]}{dt} = \dfrac{dE_{m,\,M}}{dt}\;</math>» ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique }}en reconnaissant la puissance mécanique du point <math>\;M\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans le membre de droite et <br>{{Al|5}}{{Transparent|À partir du théorème de la variation d'énergie mécanique en reconnaissant }}la puissance des forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> appliquée à <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> dans le membre de gauche <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\! \left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right] = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center> === Énoncé du « théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » === {{théorème | titre= Théorème de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) | contenu ={{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, la puissance mécanique d'un point matériel <math>\;M\;</math> dans un champ de force(s) conservatives(s) à l'instant <math>\;t\;</math> est égale à la somme des puissances des forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> appliquées au point <math>\;M\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> soit <center>«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = \dot{E}_{m,\,M}(t)\;</math>».</center>}} {{Al|5}}Selon ce théorème on peut affirmer que <u>les causes de variation instantanée de la puissance mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s)</u> dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Selon ce théorème on peut affirmer que les causes de variation instantanée de la puissance mécanique }}sont <u>les puissances</u><math>\;\big(</math><u>non nulles</u><math>\big)\;</math><u>des forces non conservatives</u> <ref name="forces non conservatives" />. === Retour sur le cas d'un point matériel « à mouvement conservatif » === {{Al|5}}On peut énoncer la définition d'un point matériel à mouvement conservatif d'une façon légèrement modifiée comme ci-dessous : {{Al|5}}<u>Définition</u><math>\;\big(</math><u>équivalente</u><math>\big)</math> : Un point matériel <math>\;M\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\mathcal{R}\;</math> si toutes les forces appliquées y sont conservatives ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> }}si les éventuelles forces non conservatives <ref name="forces non conservatives" /> ne développent aucune puissance soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Définition<math>\;\color{transparent}{\big(}</math>équivalente<math>\color{transparent}{\big)}</math> : Un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est dit « à mouvement conservatif » dans un référentiel <math>\;\color{transparent}{\mathcal{R}}\;</math> si les éventuelles forces non conservatives }}«<math>\;\sum\limits_i \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{i,\,\text{non cons.}}(M) \right](t) = 0\;</math>». {{Al|5}}<u>Conséquence dans un référentiel galiléen</u> : L'application du théorème de la « puissance mécanique » à un point matériel <math>\;M\;</math> à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}nous conduisant à une « puissance mécanique nulle » nous permet d'affirmer que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conséquence dans un référentiel galiléen : L'application du théorème de la « puissance mécanique » }}« <u>l'énergie mécanique du point</u><math>\;M\;</math><u>à mouvement conservatif est conservée dans le référentiel galiléen</u> ». == 1^er exemple de force conservative : le « poids d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) et l'« énergie potentielle de pesanteur du point » == === Établissement du caractère « conservatif » du poids d'un point matériel (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\vec{g}\;</math> « uniforme » <ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme"> Revoir les conditions pour que le champ de pesanteur terrestre puisse être considéré comme uniforme à <math>\;1\,\%\;</math> près dans le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Mouvement_dans_le_champ_de_pesanteur_uniforme#Condition_de_réalisation_du_caractère_uniforme_du_champ_de_pesanteur_terrestre|Condition de réalisation du caractère uniforme du champ de pesanteur terrestre]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, le poids d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> vertical ascendant, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Supposant le champ de pesanteur terrestre <math>\;\color{transparent}{\vec{g}}\;</math> « uniforme », le poids d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;m\;\vec{g} = -m\;g\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;g = \Vert \vec{g} \Vert\;</math> est l'intensité de la pesanteur terrestre ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif du poids du point matériel on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math>» <ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -m\;g\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -m\;g\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre.</ref> <math>\;\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> d'où <center>« le poids d'un point matériel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme <ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> <math>\;m\;\vec{g}\;</math> est une force conservative ».</center> === « Énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}L'énergie potentielle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme <ref name="champ de pesanteur terrestre uniforme" /> encore appelée « énergie potentielle de pesanteur » et notée <math>\;U_{\text{pes}}(M)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme }}se détermine par «<math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = -dU_{\text{pes}}\;</math>» soit «<math>\;-m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée horizontale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même, en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même, en cylindro-polaire, }} le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{pes}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend de la coordonnée polaire horizontale angulaire <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|11}}{{Transparent|L'énergie potentielle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> dans le champ de pesanteur terrestre uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{pes}}}{dz} = m\;g\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{pes}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{pes}}(M) = U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle de pesanteur en</u><math>\;z = 0\;\big(</math><u>niveau du sol</u><math>\big)\;</math> c.-à-d. <math>\;U_{\text{pes}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>À retenir</u> : Si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\uparrow</math>, «<math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z\;</math> avec la référence en <math>\;z = 0\;</math>» <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z\big]</math> ; {{Al|5}}{{Transparent|À retenir : }}si l'axe <math>\;Oz\;</math> est vertical <math>\;\downarrow</math>, on obtient, « avec la même référence, <math>\;U_{\text{pes}}(z) = -m\;g\;z\;</math>» <ref> En effet, <math>\;m\;\vec{g} = m\;g\;\vec{u}_z\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\delta W(m\;\vec{g}) = m\;\vec{g} \cdot \overrightarrow{dM} = m\;g\;dz = -dU_{\text{pes}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\dfrac{d U_{\text{pes}}}{dz} = -m\;g\;</math> soit <math>\;U_{\text{pes}}(M) = -m\;g\;z + cste</math> <math>= -m\;g\;z\;</math> si référence en <math>\;z = 0</math>.</ref> <math>\big[</math>l'énergie potentielle de pesanteur est une fonction <math>\;\searrow\;</math> de la profondeur <math>\;z\big]</math>. === Signification physique de l'« énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel » (dans le champ de pesanteur terrestre uniforme) === {{Al|5}}<u>Toute énergie potentielle</u> d'un point matériel <math>\;M\;</math> est une « <u>réserve d'énergie</u> pour <math>\;M\;</math>» <math>\blacktriangleright\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément en une autre forme d'énergie <math>\;\big(</math>par exemple <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>utilisable pour « être transformée spontanément }}en énergie cinétique<math>\big)\;</math>» <ref> Cette possibilité justifie le qualificatif « potentielle » donné à l’énergie.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Toute énergie potentielle d'un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> est une « réserve d'énergie pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>« dont on peut provoquer la reconstitution par apport énergétique » ; <center>cela étant vrai pour toute énergie potentielle est donc applicable dans le cas particulier de l'énergie potentielle de pesanteur :</center> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> un point matériel <math>\;M\;</math> au repos à une altitude <math>\;z</math>, possède l’énergie potentielle de pesanteur <math>\;U_{\text{pes}}(z) = m\;g\;z > 0\;</math> si la référence de cette dernière est choisie au niveau du sol et <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> un point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> au repos à une altitude <math>\;\color{transparent}{z}</math>, }}possède la même énergie mécanique car initialement le point matériel est au repos ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}abandonné à lui-même, <u>il chute spontanément</u> en acquérant de l’énergie cinétique <math>\;K_M \nearrow\;</math> à partir de <math>\;0\;</math> et parallèlement sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\searrow</math>, <br>{{Al|4}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> abandonné à lui-même, }}la chute correspondant à une « conservation de l'énergie mécanique du point matériel en absence de frottements de l'air » <ref> Il finit par s'écraser sur le sol, l'énergie mécanique devenue brutalement nulle a alors servi * à déformer l'objet assimilé à un point matériel <math>\;\big(</math>on entre dans le domaine de la dynamique des systèmes de points matériels déformables<math>\big)\;</math> toutefois dans cette dynamique toute conservation d'énergie mécanique macroscopique <math>\;\big(</math>celle qui est introduite en dynamique des systèmes de points matériels indéformables c.-à-d. des solides<math>\big)\;</math> doit être remplacée par une conservation d'énergie mécanique totale qui est la somme de l'énergie mécanique macroscopique et de l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique macroscopique se transforme en énergie potentielle microscopique<math>\big)\;</math> ou * à l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre alors dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, toutefois en thermodynamique toute conservation d'énergie mécanique doit être remplacée par une conservation d'énergie totale qui est la somme de l'énergie mécanique et de l'énergie interne, cette dernière dépendant, entre autres, de la température de l'objet c.-à-d. de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne<math>\big)\;</math> ou encore * à le déformer et l'échauffer <math>\;\big(</math>on entre encore dans le domaine de la thermodynamique<math>\big)</math>, l'énergie interne englobant aussi l'énergie potentielle microscopique dépendant de la déformation de l'objet en plus de l'énergie cinétique microscopique d'agitation des entités élémentaires de l'objet <math>\;\big(</math>ici encore de l'énergie mécanique se transforme en énergie interne correspondant à une déformation et un échauffement<math>\big)</math>.</ref> <math>\;\ldots</math> {{Al|5}}<math>\;\succ\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle <math>\;\big(</math>c.-à-d. le replacer à l'altitude initiale <math>\;z\big)</math>, il faut exercer sur lui une force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> <math>\uparrow\;</math> de manière « quasi-statique » <ref name="déplacement quasi-statique" />,<br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}cela correspondant à une transformation d'une partie de notre énergie musculaire <math>\;\big(</math>énergie potentielle pour nous<math>\big)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (cela correspondant à une transformation }}en énergie potentielle de pesanteur de <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> sa réserve d’énergie potentielle de pesanteur <math>\;\nearrow</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (}}le théorème de la variation d’énergie mécanique <ref name="théorème de la variation de l'énergie mécanique entre deux états non voisins" /> appliqué à <math>\;M\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;E_m(M_z) - E_m(M_0) = U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0)</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> si on veut reconstituer sa réserve d'énergie potentielle (le théorème de la variation d’énergie mécanique appliqué à <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{E_m(M_z) - E_m(M_0)}</math> }}<math>= W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) > 0\;</math>» <ref> En effet <math>\;K_M(t) \simeq 0\;\;\forall\;t\;</math> d'une part et d'autre part la seule force non conservative est la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> car si on opère suffisamment lentement, les forces de frottement fluide sont négligeables <math>\;\big(</math>elles dépendent de la vitesse et celle-ci est quasi nulle<math>\big)</math>.</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> }}la force motrice <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> à exercer pour que le mouvement de <math>\;M\;</math> se fasse de façon « quasi-statique » <ref name="déplacement quasi-statique" /> est l'opposé de <math>\;m\;\vec{g}\;</math> soit «<math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M) = -m\;\vec{g}\;</math>» <ref> En effet les seules forces étant <math>\;\vec{F}_{\text{mot}}(M)\;</math> et <math>\;m\;\vec{g}\;</math> <math>\big(</math>les forces de frottement fluide étant négligeables à vitesse quasi-nulle<math>\big)\;</math> d'une part et d'autre part un mouvement à vitesse quasi nulle est un cas particulier de mouvement à vecteur vitesse constant c.-à-d. à vecteur accélération nul d'où l'affirmation par application de la r.f.d.n. <math>\;\ldots</math></ref> dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|<math>\;\color{transparent}{\succ}\;</math> la force motrice <math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{\text{mot}}(M)}\;</math> à exercer }}«<math>\;W_{M_0\,\overset{(\Gamma)}{\rightarrow}\, M_z}(\vec{F}_{\text{mot}}) = W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(-m\;\vec{g}) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» d'où «<math>\;U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) = -W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g})\;</math>» <ref> Ce qui permet une nouvelle fois de vérifier la justesse de l'introduction du signe «<math>\;-\;</math>» dans la définition de l'énergie potentielle «<math>\;W_{M_0\;\overset{\cancel{(\Gamma)}}{\rightarrow}\; M_z}(m\;\vec{g}) = -\left[ U_{\text{pes}}(M_z) - U_{\text{pes}}(M_0) \right]\;</math>».</ref>. == 2^ème exemple de force conservative : la « force de gravitation créée par un astre sur un point matériel » et l'« énergie potentielle gravitationnelle du point » == <center>Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout « astre à symétrie sphérique » <ref name="astre à symétrie sphérique"> Abus pour parler d'astre « dont la répartition de masse est à symétrie sphérique » c.-à-d. dont la masse volumique en un point <math>\;P\;</math> quelconque de l'astre ne dépend que de la distance séparant <math>\;P\;</math> du centre de l'astre.</ref>, c'est une bonne approximation pour <br>le Soleil « {{grossir|☉|facteur=1.25}} » <ref name="symbole astronomique"> Symbole astronomique.</ref> et les planètes qui gravitent autour de lui <math>\;\big(</math>dont la Terre « {{grossir|♁|facteur=1.25}} » <ref name="symbole astronomique" /><math>\big)\;</math> ainsi que <br>les plus gros satellites naturels de ces planètes <math>\;\big(</math>dont la Lune « {{grossir|☽|facteur=1.25}} » <ref> Il n'y a pas de symboles astronomiques représentant la Lune mais plusieurs pour préciser la phase de celle-ci, celui qui a été choisi ici représente son premier quartier, le dernier quartier aurait été « {{grossir|☾|facteur=1.25}} » <math>\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref> Sur les 79 satellites naturels de Jupiter <math>\;\big(</math>la plus grosse planète du système solaire, de symbole astronomique {{grossir|♃|facteur=1.25}} et de volume mille trois cents fois celui de la Terre<math>\big)\;</math> confirmés à l'heure actuelle, les 4 plus gros ont une forme sphérique due à leur masse suffisamment importante pour qu'ils aient pris cette forme sous l'effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Jupiter, Io <math>\;\big(</math>de taille similaire à celle de la Lune<math>\big)</math>, Europe <math>\;\big(</math>de même taille que Io<math>\big)</math>, Ganymède <math>\;\big(</math>le plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume trois fois et demi celui de la Lune<math>\big)\;</math> et Callisto <math>\;\big(</math>le 3^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, de volume deux fois et demi celui de la Lune<math>\big)</math>, les orbites des trois satellites les plus proches de Jupiter sont en [[w:Résonance_orbitale|résonance orbitale]], ce qui a pour conséquence la [[w:Résonance orbitale#Stabilité des orbites|stabilité des orbites]]<math>\big]</math>, les autres ont une forme irrégulière ;<br>{{Al|3}}il en est de même pour Saturne <math>\;\big(</math>de symbole astronomique {{grossir|♄|facteur=1.5}} et de volume neuf cents fois celui de la Terre<math>\big)</math>, sur ses 62 satellites naturels répertoriés à l'heure actuelle, seuls 7 d'entre eux, les plus gros, ont une forme sphérique par effet de leur propre attraction gravitationnelle <math>\;\big[</math>suivant leur distance <math>\;\nearrow\;</math> à Saturne, Mimas <math>\;\big(\simeq 400\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Encelade <math>\;\big(\simeq 500\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Téthys <math>\;\big(\simeq 1050\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Dioné <math>\;\big(\simeq 1100\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, Rhéa <math>\;\big(\simeq 1550\;km\;</math> de diamètre<math>\big)</math>, [[w:Titan_(lune)|Titan]] <math>\;\big(</math>le 2^ème plus gros des satellites naturels du système solaire, <math>\simeq 5150\;km\;</math> de diamètre, de volume représentant un peu plus de trois fois celui de la Lune, c'est le seul des satellites du système solaire possédant une atmosphère dense, celle-ci étant essentiellement composée d'azote<math>\big)</math> et Japet <math>\;\big(\simeq 1450\;km\;</math> de diamètre<math>\big)\big]</math>, les autres ont une forme plus ou moins irrégulière <math>\;\ldots</math></ref><math>\big)</math>.</center> === Expression de la force de gravitation créée par un « astre à symétrie sphérique » sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> de masse <math>\;m_{\!\mathcal{A}}\;</math> et de rayon <math>\;R_{\!\mathcal{A}}\;</math><ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, les coordonnées sphériques du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> sont <math>\;\left( r\,,\, \theta\,,\, \varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|On utilise le repérage sphérique de pôle, le centre <math>\;\color{transparent}{O_{\!\mathcal{A}}}\;</math> de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> de masse <math>\;\color{transparent}{m_{\!\mathcal{A}}}\;</math> et de rayon <math>\;\color{transparent}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math>,}} la base sphérique liée à <math>\;M</math>, <math>\;\left( \vec{u}_r\,,\, \vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\varphi \right)\;</math><ref name="repérage sphérique" /> ; {{Al|5}}la position de <math>\;M\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> c.-à-d. telle que <math>\;r > R_{\!\mathcal{A}}</math>, l'astre crée autour de lui un espace champ de gravitation de vecteur champ gravitationnel au point <math>\;M\;</math> égal à <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c.-à-d. telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui }}«<math>\;\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>», «<math>\;\mathcal{G}\;</math> étant la [[w:Constante_de_gravitation|constante de gravitation universelle]] <br>{{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> c.-à-d. telle que <math>\;\color{transparent}{r > R_{\!\mathcal{A}}}</math>, l'astre crée autour de lui «<math>\;\color{transparent}{\vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\; \vec{u}_r}\;</math>», « }}<math>\;\mathcal{G} \simeq 6,67\; 10^{-11}\; S.I.\;</math>» <ref name="U.S.I."> [[w:Unités_de_base_du_Système_international|Unité du Système International]].</ref> et {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}le point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> subit, de la part de l'astre, une force d'attraction gravitationnelle «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». {{Al|5}}{{Transparent|la position de <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> restant à l'extérieur de l'astre <math>\;\color{transparent}{\mathcal{A}}\;</math> }}La force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s’écrit donc «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la force de gravitation qu'un astre à symétrie sphérique exerce sur un point matériel, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = \left[ -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <math>= -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{1}{r}\bigg)\;</math> <center>d'où « la force d'attraction gravitationnelle <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}} = m\; \vec{G}_{\!\mathcal{A}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force de gravitation terrestre exercée sur un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow (\text{♁})} = m\; \vec{G}_{\text{♁}}(M) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle gravitationnelle d'un point matériel dans le champ d'un astre à symétrie sphérique, cas particulier de la Terre === {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation créé par l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> notée <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow \mathcal{A}}) = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» soit «<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;dr = -dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou «<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}}{dr} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r^2}\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(M) = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r} + cste\;</math>» <ref> En effet <math>\;\dfrac{1}{r^2} = r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{-1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> à l'<math>\infty\;</math> de ce dernier</u> <ref name="référence à l'infini"> Choix bien adapté pour les objets pouvant sortir du champ de gravitation de l'astre, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne sont plus dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont encore dans le champ de gravitation leur énergie potentielle gravitationnelle est négative.</ref> c.-à-d. <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = 0</math>, on obtient «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{r}\;</math>» ; <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math> avec référence à l'infini » <ref name="référence à l'infini" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre <ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique.</ref><math>\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Autre choix de référence pour l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /></u> : <br>{{Al|5}}en choisissant la <u>référence au niveau du sol de l'astre</u> c.-à-d. <math>\;r = R_{\!\mathcal{A}}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(R_{\!\mathcal{A}}) = 0\;</math> dont on déduit <math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}} + cste = 0\;</math> soit <math>\;cste = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m}{R_{\!\mathcal{A}}}\;</math> d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle du point matériel <math>\;M\;</math> dans le champ de gravitation de l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,\mathcal{A}}(r) = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\!\mathcal{A}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\!\mathcal{A}}\;m\;\dfrac{r - R_{\!\mathcal{A}}}{R_{\!\mathcal{A}}\;r}\;</math> avec référence à la surface de l'astre » <ref name="référence à la surface de l'astre"> Choix bien adapté pour les objets orbitant autour de l'astre dans le champ de gravitation de ce dernier, <br>{{Al|3}}lorsque ces objets sont sur la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est alors nulle et <br>{{Al|3}}lorsque ces objets ne touchent plus la surface de l'astre leur énergie potentielle gravitationnelle est positive.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|en choisissant la référence au niveau du sol de l'astre }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle gravitationnelle due à l'astre <math>\;\mathcal{A}\;</math> est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> de <math>\;M\;</math> au centre <math>\;O_{\!\mathcal{A}}\;</math> de l'astre<math>\big]</math>. <center><math>\Downarrow</math> <br>l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> s'écrit «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{r} \right] = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r}\;</math> avec référence à la surface terrestre » <ref name="référence à la surface de l'astre" />,<br>{{Al|50}}<math>\big[</math>l'énergie potentielle de gravitation terrestre est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au centre de la Terre <ref> C.-à-d. encore une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math> où <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> est le rayon de la Terre supposée sphérique, car <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(R_{\text{♁}} + z) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m \left[ \dfrac{1}{R_{\text{♁}}} - \dfrac{1}{R_{\text{♁}} + z} \right]\;</math> fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;z</math>.</ref><math>\big]</math>.</center> === Tracé de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel en fonction de sa distance au centre de la Terre === [[File:Énergie potentielle gravitationnelle terrestre.png|thumb|500px|Tracé du graphe de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre d'un point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> en fonction de sa distance <math>\;r\;</math> au centre de la Terre, avec référence à l'infini, <math>\;r\;</math> et <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> étant en grandeurs réduites <ref> C.-à-d. respectivement en unité <math>\;R_{\text{♁}}\;</math> et <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>.</ref>]] {{Al|5}}Voir ci-contre, l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence à l'infini s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> est <br>{{Al|5}}{{Transparent|Voir ci-contre, }}une portion de branche d'hyperbole équilatère <ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Coniques#Hyperbole_de_centre_O,_d'axes_Ox_et_Oy|Hyperbole de centre O, d'axes Ox et Oy]] (cas d'une hyperbole équilatère de centre O, d'asymptotes Ox et Oy) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}} \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Voir ci-contre, une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale « l'axe des <math>\;r\;</math>». {{Al|5}}L'énergie potentielle gravitationnelle terrestre du point matériel <math>\;M\;</math> de masse <math>\;m\;</math> avec choix de la référence au niveau de la surface de la Terre s'écrivant «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = -\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{r} + \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math>», son graphe en fonction de <math>\;r\;</math> se déduit du tracé ci-contre par translation dans le sens positif de <math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M)\;</math> de la quantité <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;</math> <math>\big\{</math>à tracer soi-même<math>\big\}</math>, d'où le graphe s'identifiant à <br>{{Al|5}}une portion de branche d'hyperbole équilatère <ref name="équation cartésienne d'une hyperbole équilatère" /> partant du point <math>\;\left( R_{\text{♁}}\,,\, 0 \right)\;</math> et <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère }}<math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à l'asymptote horizontale <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}d'équation «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}},\;\;\forall\;r\;</math>» soit <br>{{Al|12}}{{Transparent|une portion de branche d'hyperbole équilatère <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> jusqu'à }}la droite <math>\;\parallel\;</math> à l'axe des <math>\;r\;</math> et d'ordonnée <math>\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}</math>. === Comparaison de l'énergie potentielle de gravitation terrestre d'un point matériel et celle de pesanteur du même point matériel avec une même référence au niveau du sol === {{Al|5}}Après définition de l'« altitude du point <math>\;M\;</math> par rapport au niveau du sol terrestre selon <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\;</math>», on peut réécrire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de }}l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;M\;</math> avec référence au niveau du sol «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(r) = \mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m\;\dfrac{r - R_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}\;r} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}} + z} = U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z)\;</math>» <ref name="abus de notation"> En physique on note usuellement une fonction d'une variable et la valeur de cette fonction par une même lettre par exemple la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> est notée <math>\;U(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = U(r)\;</math> <math>\big[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;U = f(r)\big]</math> ; <br>{{Al|3}}en physique, lors d'un changement de variable, la fonction de la variable d'origine et celle de la nouvelle variable diffèrent évidemment même si elles fournissent la même valeur mais, <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, lors d'un changement de variable, }}par abus, elles sont toutes trois notées par une même lettre par exemple <br>{{Al|3}}{{Transparent|en physique, }}la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> sont respectivement notées <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U(r) \\ U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = U(r) \\ U = U(z)\end{array}\right\rbrace\;</math> <math>\Bigg[</math>alors qu'en mathématique la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;r\;</math>» dont la valeur est <math>\;U\;</math> serait notée, par exemple, <math>\;f(r)\;</math> et la fonction « énergie potentielle en fonction de <math>\;z = r - R\;</math>» de même valeur <math>\;U\;</math> seraient notées, par exemple, <math>\;g(z)\;</math> d'où la notation simplifiée <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c} U = f(r) \\ U = g(z)\end{array}\right\rbrace\Bigg]</math>.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Après définition de l’énergie potentielle de gravitation terrestre du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> avec référence au niveau du sol selon }}<math>\;\big[</math>on vérifie qu'il s'agit d'une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de l'altitude <math>\;z = r - R_{\text{♁}}\big]</math> ; {{Al|5}}dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite par rapport au rayon terrestre <math>\;\bigg(\!</math>par exemple <math>\;z \lesssim \dfrac{R_{\text{♁}}}{100} \simeq 64\;km\!\bigg)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}on peut considérer <math>\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \ll 1\;</math> comme un infiniment petit d'ordre un <ref name="infiniment petits"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Infiniment_petits_d'ordres_successifs|infiniment petits d'ordres successifs]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut }}réécrire l'énergie potentielle de gravitation terrestre de l'objet en faisant apparaître cet infiniment petit d'ordre un selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}}\;</math>» <ref name="abus de notation" /> ou, en en prenant un D.L. <ref name="D.L."> Développement Limité.</ref> à l'ordre un <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}«<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}\;m}{R_{\text{♁}}}\;\dfrac{z}{R_{\text{♁}}}\;</math>» <ref name="abus de notation" />{{,}} <ref> En effet pour prendre le D.L. à l'ordre un d'un produit dont l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, il suffit de prendre l'autre facteur à l'ordre zéro d'où <math>\;\dfrac{1}{1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}}} = \left( 1 + \dfrac{z}{R_{\text{♁}}} \right)^{-1} \simeq 1\;</math> voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Théorème_de_Taylor-Young_et_développements_limités_d'une_fonction_d'une_variable#Cas d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit|déterminer le D.L. à l'ordre ''n'' d'un produit de deux fonctions dont l'une est un infiniment petit d'ordre ''p'' < ''n'']] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ou «<math>\;U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(z) \simeq m\;\dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;z = m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z\;</math>» <ref name="abus de notation" /> <br>{{Al|45}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite on peut réécrire }}avec «<math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre ». {{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite }}En 1^ère approximation on peut confondre l'intensité du champ de gravitation terrestre sur la Terre <math>\;G_{(\text{♁}),\,0} = \dfrac{\mathcal{G}\;m_{\text{♁}}}{R_{\text{♁}}^{\,2}}\;</math> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation on peut confondre }}l'intensité de la pesanteur terrestre au niveau du sol <math>\;g</math>, on observe alors <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}l'identification de l'énergie potentielle gravitationnelle terrestre de <math>\;M\;</math> dans l'hypothèse où <math>\;z \ll R_{\text{♁}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation l'identification }}avec son énergie potentielle de pesanteur terrestre à champ de pesanteur uniforme soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|dans le cas où l'objet gravitant autour de la Terre reste à une altitude petite En 1^ère approximation }}«<math>\;\left\lbrace\begin{array}{c c l} U_{\text{gravit}\,\leftarrow\,(\text{♁})}(M) \simeq m\;G_{(\text{♁}),\,0}\;z \!\!&\simeq&\!\! m\;g\;z = U_{\text{pes}}(M) \\ \qquad\text{si } z \ll R_{\text{♁}} \!\!&&\!\! \text{si }\vec{g} \text{ est uniforme}\end{array}\right\rbrace\;</math>». == 3^ème exemple de force conservative : la « tension d'un ressort idéal lié à un point matériel » et l'« énergie potentielle élastique du point » == === Rappel de la « loi de Hooke » donnant l'expression de la tension d'un ressort idéal lié à un point matériel, cas où l'autre extrémité est fixe === [[File:Ressort idéal et force exercée sur une extrémité.png|thumb|Schéma d'un ressort idéal <ref name="ressort idéal"> C.-à-d. de masse négligeable, à spires non jointives <math>\;\big(</math>ce qui permet au ressort de pouvoir aussi se comprimer relativement à sa situation à vide<math>\big)\;</math> et parfaitement élastique.</ref> dont une extrémité est liée à un point matériel <math>\;M</math>, l'autre extrémité étant notée <math>\;A</math>, <math>\;M_0\;</math> étant la position qu'occuperait <math>\;M\;</math> si le ressort était à vide en supposant la direction de l'axe inchangée]] {{Al|5}}Notant <math>\;A\;</math> l'autre extrémité du ressort « idéal » <ref name="ressort idéal" /> lié au point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> le vecteur unitaire orientant l'axe du ressort de <math>\;A\;</math> vers <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Notant }}<math>\;l_0\;</math> la longueur à vide du ressort et <math>\;k\;</math> la raideur de ce dernier, <br>{{Al|5}}la « force que le ressort exerce sur <math>\;M\;</math>» <ref name="tension du ressort"> Appelée vecteur tension du ressort <math>\;\big(</math>ou simplement tension du ressort<math>\big)</math>.</ref> notée <math>\;\vec{T}\;</math><ref> En absence d'ambiguïté.</ref> est donnée par la [[w:Loi_de_Hooke#Loi_de_Hooke_pour_les_ressorts|loi de Hooke]] <ref name="Hooke"> '''[[w:Robert_Hooke|Robert Hooke]] (1635 - 1703)''' est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.</ref> «<math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math>» <ref name="loi de Hooke"> Voir le paragraphe « [[Signaux_physiques_(PCSI)/Oscillateur_harmonique#Cause_de_déséquilibre,_loi_de_Hooke|Cause de déséquilibre, loi de Hooke]] » du chap.<math>1</math> de la leçon avec « [[Signaux_physiques_(PCSI)|Signaux physiques (PCSI)]] ».</ref> dans laquelle <br>{{Al|18}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> est l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide », <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par }}«<math>\;l = \Vert \overrightarrow{AM} \Vert\;</math> étant la longueur à charge du ressort », {{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}loi de Hooke <ref name="Hooke" /> que l'on peut réécrire selon «<math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math>» avec <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}«<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|19}}{{Transparent|la « force que le ressort exerce sur <math>\;\color{transparent}{M}\;</math>» notée <math>\;\color{transparent}{\vec{T}}\;</math> est donnée par la }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge » ; {{Al|5}}quand <math>\;A\;</math> est fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)</math>, le meilleur repérage du point <math>\;M\;</math> est le repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" />, dans ces conditions <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}«<math>\;\vec{u}_{AM}\;</math> s’identifie au 1^er vecteur de base sphérique <math>\;\vec{u}_r\;</math> lié à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|quand <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> est fixe <math>\;\color{transparent}{\big(}</math>voir schéma ci-contre<math>\color{transparent}{\big)}</math>, }}« la longueur à charge <math>\;l\;</math> s'identifiant au rayon polaire <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math>». === Établissement du caractère « conservatif » de la tension du ressort idéal qui s'exerce sur un point matériel === {{Al|5}}Pour prouver le caractère « conservatif » du vecteur tension du ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on déplace de façon élémentaire le point <math>\;M\;</math> selon le vecteur déplacement élémentaire <math>\;\overrightarrow{dM}</math>, l'extrémité <math>\;A\;</math> étant fixe <math>\;\big(</math>voir schéma ci-dessus<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;A\;</math><ref name="repérage sphérique" /> » pour <math>\;M\;</math> <math>\big[</math>la 1^ère coordonnée sphérique étant la longueur <math>\;l\;</math> à charge du ressort, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » en adoptant le « repérage sphérique de pôle <math>\;\color{transparent}{A}\;</math> » pour <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> <math>\color{transparent}{\big[}</math>}}les deux autres étant angulaires notées respectivement <math>\;\theta\;</math> et <math>\;\varphi\;</math><ref> Repérés par rapport à une direction de référence qu'il est inutile de préciser car celle-ci n'intervenant pas par la suite.</ref><math>\big]\;</math> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}le vecteur déplacement élémentaire se réécrit selon «<math>\;\overrightarrow{dM} = dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi\;</math>» <ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on en déduit le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}</math>, «<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{dM} = -k\;(l - l_0)\; \vec{u}_r \cdot \left[ dl\;\vec{u}_r + l\; d \theta\; \vec{u}_\theta + l\; \sin(\theta)\; d \varphi\; \vec{u}_\varphi \right] = -k\;(l - l_0)\; dl\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dl\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <br>{{Al|10}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte dans la mesure où }}<math>\;\big(</math>en effet le cœfficient de <math>\;dl\;</math> est une [[w:Fonction_affine|fonction affine]] s'intégrant en [[w:Fonction_quadratique|fonction quadratique]]<math>\big)\;</math> <center>d'où « le vecteur tension du ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\; \Delta l\; \vec{u}_{AM}\;</math> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe <ref name="raison de la restriction de démonstration"> Nous nous limitons à ce cas car <math>\;A\;</math> mobile entraînerait une dépendance explicite de la tension avec le temps et nous n'envisageons le caractère conservatif que des forces ne dépendant pas explicitement de <math>\;t</math>.</ref> ».</center> {{Al|5}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » }}<u>Autre démonstration</u> <ref> Plus délicate, préférer la précédente.</ref> : partant de <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math> avec «<math>\;M_0\;</math> la position de <math>\;M\;</math> lorsque le ressort est à vide en supposant que <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> avec «<math>\;\color{transparent}{M_0}\;</math> }}la direction de l'axe n'a pas changé par rapport à sa position à charge <math>\;M_t\;</math>» <ref name="directions de AMt et AM0 identiques"> <math>\;M_0\;</math> étant une position liée à <math>\;M_t</math>, si la direction de <math>\;AM_t\;</math> change, la direction de <math>\;AM_0\;</math> change simultanément.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}soit un vecteur déplacement élémentaire de <math>\;M\;</math> avec l'autre extrémité <math>\;A\;</math> du ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> fixe, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> on envisage }}«<math>\;\overrightarrow{dM} = d\! \left[ \overrightarrow{AM} \right] = d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» d'où le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> s'écrit <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = \vec{T} \cdot \overrightarrow{d M} = -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot \left\lbrace d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] + d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] \right\rbrace\;</math><ref name="distributivité de la multiplication scalaire par rapport à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Autres_propriétés|autres propriétés]] (2^ème propriété de la multiplication scalaire) » du chap.<math>7</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T})}</math> }}<math>= -k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» ; {{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}explicitons <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}\;</math> qui étant <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}</math>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}<math>\bigg\{</math>en effet <math>\;\overrightarrow{AM_0}^2 = l_0^{\,2} = cste\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;2\;\overrightarrow{AM_0} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math> d'où <math>\;d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] \perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_0}\bigg\}\;</math> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui }}est aussi <math>\;\perp\;</math> à <math>\;\overrightarrow{AM_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons <math>\;\color{transparent}{d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = \overrightarrow{AM_{0,\,t + dt}} - \overrightarrow{AM_{0,\,t}} = \overrightarrow{M_{0,\,t}M_{0,\,t + dt}}}\;</math> qui est aussi <math>\;\color{transparent}{\perp}\;</math> }}à <math>\;\overrightarrow{M_{0,\,t}M_t}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> explicitons }}d'où «<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{AM_0} \right] = 0\;</math>» permettant de réécrire le travail élémentaire de <math>\;\vec{T}\;</math> selon <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> }}«<math>\;\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> car <br>{{Al|12}}{{Transparent|Pour prouver le caractère « conservatif » Autre démonstration : partant de <math>\;\color{transparent}{\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = - k\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right]}\;</math>» qui est effectivement }}<math>\;\overrightarrow{M_0M} \cdot d\! \left[ \overrightarrow{M_0M} \right] = d\! \left[ \dfrac{\overrightarrow{M_0M}^2}{2} \right]</math>. <center>« le vecteur tension du ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> <math>\;\vec{T} = -k\;\overrightarrow{M_0M}\;</math><ref name="directions de AMt et AM0 identiques" /> qui s'exerce sur le point matériel <math>\;M\;</math> est une force conservative dans l'hypothèse où <math>\;A\;</math> est fixe <ref name="raison de la restriction de démonstration" /> ».</center> === « Énergie potentielle élastique » d'un point matériel === {{Al|5}}L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> c.-à-d. son « énergie potentielle dont dérive la tension du ressort idéal » <ref name="ressort idéal" /> notée <math>\;U_{\text{élast}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se définit par «<math>\;\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» soit «<math>\;-k\;(l - l_0)\; dl = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;l\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!l,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial U_{\text{élast}}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!l,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou encore «<math>\;-k\;(l - l_0)\; d(l - l_0) = -dU_{\text{élast}}\;</math>» <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d (l - l_0)} = k\;(l - l_0)\;</math>» <ref name="forme de dérivée droite"> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;U_{\text{élast}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;\Delta l = l - l_0</math>.</ref> ou, en introduisant l'« allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{dU_{\text{élast}}}{d\, \Delta l} = k\;\Delta l\;</math>» <ref name="forme de dérivée droite" /> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{élast}}(M) = U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{k\, \left( \Delta l \right)^2}{2} + cste\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\nearrow\;</math> de <math>\;\vert \Delta l \vert\;</math><ref> L'énergie potentielle élastique du point matériel a la même valeur que le ressort soit étiré ou comprimé pourvu que la valeur absolue de l'allongement algébrique soit la même et <br>{{Al|10}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point }}elle est minimale lorsque le ressort a sa longueur à vide.</ref> c.-à-d. <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se définit par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{T}) = -dU_{\text{élast}}}\;</math>» soit <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle élastique est une fonction <math>\;\color{transparent}{\nearrow}\;</math> de }}la valeur absolue de l'allongement algébrique<math>\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal</u> <ref name="ressort idéal" /> c.-à-d. <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( \Delta l \right)^2 = \dfrac{1}{2}\;k\,\left( l - l_0 \right)^2\;</math>» <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal c.-à-d. <math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l = 0) = 0}</math>, on en déduit «<math>\;\color{transparent}{U_{\text{élast}}(\Delta l) =}</math> }}avec référence « ressort à vide » ; <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}on montre aisément que l'énergie potentielle élastique du point matériel <math>\;M\;</math> peut se réécrire <br>{{Al|13}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}«<math>\;U_{\text{élast}}(M) = \dfrac{1}{2}\;k\; \overrightarrow{M_0M}^2\;</math> avec référence en <math>\;M_0\;</math> <math>\big(</math>position de <math>\;M\;</math> avec ressort à vide, la <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}direction de l'axe étant inchangée <br>{{Al|105}}{{Transparent|En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en la position à vide du ressort idéal }}par rapport à sa position à charge<math>\big)\;</math>». === Tracé de l'énergie potentielle élastique d'un point matériel en fonction de l'allongement algébrique du ressort idéal === [[File:Ressort idéal - énergie potentielle élastique.png|thumb|400px|Tracé du diagramme d'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> d'un point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l\;</math> de ce dernier, la référence étant choisie en la position à vide du ressort]] {{Al|5}}Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique <math>\;U_{\text{élast}}\;</math> du point matériel <math>\;M\;</math> relié à un ressort idéal <ref name="ressort idéal" /> de raideur <math>\;k\;</math> et de longueur à vide <math>\;l_0\;</math> en fonction de l'allongement algébrique <math>\;\Delta l = l - l_0\;</math> du ressort <math>\;\big(l\;</math> étant la longueur du ressort à charge<math>\big)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique }}est fait ci-contre, le « ressort à vide » étant choisi comme référence, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre }}avec une unité d’abscisse arbitraire notée <math>\;a</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Le tracé du diagramme de l'énergie potentielle élastique est fait ci-contre avec }}l'unité d'ordonnée correspondante étant <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\;a^2</math>. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Le choix de la référence à vide n’est pas le seul choix possible, en particulier lorsque le point <math>\;M\;</math> a une position d'« équilibre stable » <ref name="équilibre stable"> Un équilibre est dit stable si, le point étant légèrement écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, les forces qui s'exercent sur lui tendent à le ramener à cette position, cette notion sera vue au paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Équilibre_et_stabilité#Définition_de_la_stabilité_ou_de_l'instabilité_d'un_équilibre_de_point_matériel|Définition de la stabilité ou de l'instabilité d'un équilibre de point matériel]] » du chap.<math>18</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> qui « n'est pas la position à vide » <ref name="équilibre hors position à vide"> Pour que ceci soit possible il faut qu'il y ait une autre force usuellement conservative s'exerçant sur <math>\;M\;</math> comme dans le cas d'un pendule élastique vertical où cette autre force est le poids du point matériel.</ref>, on prend usuellement cette position d'équilibre stable comme référence de l'énergie potentielle élastique ; {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}la position d'équilibre stable étant repérée par un allongement algébrique <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> et l'énergie potentielle élastique s'écrivant <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l \right)^2 + cste</math>, la condition de référence <math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}}) = 0\;</math> nous conduit à <math>\;\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} + cste</math> <math>= 0\;</math> soit <math>\;cste = -\dfrac{1}{2}\;k\, \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2}\;</math> et par suite <center>«<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l \right)^2 - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right]\;</math> avec référence en la position d'équilibre » ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}si on note «<math>\;x\;</math> l'allongement algébrique supplémentaire relativement à celui à l'équilibre » soit «<math>\;\Delta l = \Delta l_{\text{éq}} + x\;</math>», on peut réécrire l'énergie potentielle élastique «<math>\;U_{\text{élast}}(\Delta l_{\text{éq}} + x) = \dfrac{1}{2}\;k\, \left[ \left( \Delta l_{\text{éq}} + x \right)^{\!2} - \left( \Delta l_{\text{éq}} \right)^{\!2} \right] = \dfrac{1}{2}\;k\;x^2 + k\;\Delta l_{\text{éq}}\;x\;</math>» <ref> <math>\;\Delta l_{\text{éq}}\;</math> étant toujours <math>\;\neq 0</math> <math>\;\big(</math>puisqu'on suppose que la position d'équilibre stable n'est pas la position à vide<math>\big)</math>, l'énergie potentielle <u>purement élastique</u> du point matériel ne s'écrit jamais <math>\;\cancel{\dfrac{1}{2}\;k\;x^2}\;</math> avec <math>\;x = \Delta l - \Delta l_{\text{éq}} = \left( l - l_0 \right) - \left( l_{\text{éq}} - l_0 \right) = l - l_{\text{éq}}\;</math> <math>\big[</math>erreur encore trop fréquente<math>\big]</math>.</ref> ce qui permet usuellement des simplifications avec l'introduction de l'énergie potentielle due à l'autre force conservative <math>\;\ldots</math> <br> == 4^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme » et l'« énergie potentielle électrostatique du point » == === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique exercée sur un point matériel de charge q placé dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}Soit un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> « uniforme » <ref name="champ électrique uniforme"> Par exemple le champ électrique créé à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est <math>\;\perp\;</math> aux armatures <math>\;\big(</math>sauf bien sûr sur les bords où une légère déformation se manifeste et ceci d'autant plus que les bords sont proches<math>\big)\;</math> et son sens est celui des potentiels électriques <math>\;\searrow</math> ; le champ électrique à l'intérieur d'un condensateur plan de grandes dimensions transversales est uniforme aux effets de bords près.</ref>, la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> s'écrit, en cartésienne ou cylindro-polaire avec <math>\;\vec{u}_z</math> <math>\;\parallel\;</math> et de sens contraire à <math>\;\vec{E}\;</math><ref name="uz sens des potentiels croissants"> Donc <math>\;\vec{u}_z\;</math> est dans le sens des potentiels électriques <math>\;\nearrow</math>.</ref>{{,}} <ref name="choix pour analogie champs électrique et de pesanteur"> Ce choix arbitraire est fait pour faire l'analogie avec le champ de pesanteur uniforme pour lequel on a choisi <math>\;\vec{u}_z\;</math> de sens contraire à <math>\;\vec{g}\;</math> c.-à-d. dans le sens des altitudes <math>\;\nearrow</math>.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, }}«<math>\;q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z\;</math>» où <math>\;E = \Vert \vec{E} \Vert\;</math> est la norme du champ électrique terrestre et <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où }}la « référence des potentiels électriques » <ref> Le potentiel électrique étant défini à une constante additive près, il faut définir l'endroit où ce dernier est nul c.-à-d. la référence des potentiels électriques encore appelée « masse du circuit ».</ref> choisie <br>{{Al|12}}{{Transparent|Soit un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> « uniforme », la force électrique s'exerçant sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> s'écrit, «<math>\;\color{transparent}{q\;\vec{E} = -q\;E\;\vec{u}_z}\;</math>» où la « référence }}confondue avec l’origine des cotes ; {{Al|5}}pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> soit, en cartésien, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif de la force électrique s'exerçant sur le point chargé on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math>» <ref> Ou, en cylincro-polaire, <math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = q\;\vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = \left[ -q\;E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ d \rho\;\vec{u}_\rho + \rho d \theta\;\vec{u}_\theta + dz\;\vec{u}_z \right] = -q\;E\;dz\;</math> soit la même expression qu'en cartésien.</ref> qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> dans la mesure où « le cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\big(</math>le cœfficient de <math>\;dz\;</math> étant une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « la force électrique s'exerçant sur un point de charge <math>\;q\;</math> dans un champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> <math>\;q\;\vec{E}\;</math> est une force conservative ».</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel de charge q dans un champ électrique uniforme === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math><ref> On ne note pas <math>\;U_{\text{élect}}\;</math> pour des raisons évidentes, <math>\;U\;</math> étant réservée aux tensions électriques.</ref>, <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}se définit par «<math>\;\delta W(q\;\vec{E}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» soit «<math>\;-q\;E\;dz = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul <math>\Rightarrow</math> <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|12}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}}{dz} = q\;E\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z)</math> <br>{{Al|21}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dans le champ de électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme se détermine par «<math>\;\color{transparent}{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} = q\;E}\;</math>» <math>\color{transparent}{\Rightarrow}</math> «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)}</math> }}<math>= q\;E\;z + cste\;</math>» ; {{Al|5}}en choisissant la <u>référence de l'énergie potentielle électrostatique en</u> <math>\;z = 0\;</math> <math>\big(</math><u>endroit de la référence des potentiels électriques</u> <ref> C.-à-d. la masse du circuit électrique.</ref><math>\big)\;</math> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(0) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(z) = q\;E\;z\;</math>». {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire <ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en cartésienne ou cylindro-polaire avec les mêmes choix de bases et d'origines, <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \left[ -E\;\vec{u}_z \right] \cdot \left[ dx\;\vec{u}_x + dy\;\vec{u}_y + dz\;\vec{u}_z \right] = -E\;dz\;</math>» <br>{{Al|18}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> }}est donc une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> <math>\;\big[</math>« cœfficient de <math>\;dz\;</math> ne dépendant que de <math>\;z\;</math> et <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}\;</math>» <ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_force_soit_conservative|Conditions suffisantes pour qu'une force soit conservative]] » (force définie en un point d'un espace unidimensionnel) plus haut dans ce chapitre dans lequel « force conservative doit être remplacé par champ à circulation conservative ».</ref><math>\big]\;</math> <br>{{Al|23}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E})}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dz}\;</math>}}<math>\big(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dz\;</math> est une constante<math>\big)\;</math> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> est un champ à circulation conservative » <ref name="champ à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Rappel_de_la_2ème_définition_d'un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_(relatif_à_sa_circulation_élémentaire)_et_conséquences|Rappel de la 2^ème définition d'un champ vectoriel à circulation conservative (relatif à sa circulation élémentaire) et conséquences]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> dérive <ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel"> Voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Détermination_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|détermination des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E} \cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>» <ref> Cette définition étant équivalente à «<math>\;\vec{E} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}(V)\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit «<math>\;-E\;dz = -dV\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z\;</math> car, <br>{{Al|3}}en cartésien, le cœfficent de <math>\;dx\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial x} \right)_{\!\!y,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;x\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en cartésien, }}le cœfficent de <math>\;dy\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial y} \right)_{\!\!x,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée transversale <math>\;y</math>. <br>{{Al|3}}De même en cylindro-polaire, le cœfficent de <math>\;d \rho\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \rho} \right)_{\!\!\theta,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale radiale <math>\;\rho\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|De même en cylindro-polaire, }}le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V}{\partial \theta} \right)_{\!\!\rho,\,z}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée polaire transversale orthoradiale <math>\;\theta</math>.</ref> ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV}{dz} = E\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;z</math>.</ref> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;V(M) = V(z) = E\; z + cste'\;</math>» et, <br>{{Al|20}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}avec choix de la référence des potentiels électriques en <math>\;z = 0</math>, <math>\Rightarrow</math> <math>\;cste' = 0</math>, <br>{{Al|56}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}}\;</math> uniforme dérive étant défini par }}«<math>\;V(M) = V(z) = E\; z\;</math> <math>\big(</math>référence à l'origine des cotes<math>\big)\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> soit <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}\;</math> uniforme <ref name="champ électrique uniforme" /> en <math>\;M\;</math> noté <math>\;V(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» à condition que « la référence de l'énergie potentielle électrostatique soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» à condition que « }}identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'origine des cotes «<math>\;V(M) = E\; z\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les deux sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)}\;</math>» }}avec <math>\;\vec{u}_z\;</math> dans le sens <math>\;\nearrow\;</math> des potentiels électriques. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient <ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M) \right\rbrace\;</math>» d'où <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}} \right](M)\\ \vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}} <ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> on retrouve «<math>\;\vec{F}(M) = q\;\vec{E}(M)\;</math>». === En complément, généralisation admise relative à un champ électrique non uniforme === {{Al|5}}On admet qu'un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> est un « champ à circulation conservative » <ref name="champ à circulation conservative" /> qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math><ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}) = \vec{E}(M)\cdot \overrightarrow{dM} = -dV\;</math>» <ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> <br>{{Al|14}}{{Transparent|On admet qu'un champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}(M)}\;</math> quelconque est un « champ à circulation conservative » qui dérive d’un potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V(M)}\;</math> par }}ou «<math>\;\vec{E}(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V \right](M)\;</math>» <ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> ; <center>toutefois « la détermination du potentiel électrique à partir du champ électrique n'est en général pas simple » <ref> Par exemple avec <math>\;\vec{E}(M) = E_x(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_x + E_y(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_y + E_z(x,\, y,\, z)\, \vec{u}_z</math>, les composantes du champ électrique n'étant pas a priori quelconques, le champ devant être à circulation conservative <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_«_à_circulation_conservative_»|Conditions suffisantes pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » (théorème de Poincaré réécrit en terme de champ vectoriel) du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, le potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> s'obtient par recherche de primitive de la différentielle exacte <math>\;dV = -\delta \mathcal{C}(\vec{E}) =</math> <math>- \left[ E_x(x,\, y,\, z)\, dx + E_y(x,\, y,\, z)\, dy + E_z(x,\, y,\, z)\, dz \right]\;</math> en utilisant la méthode développée dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_exemple_:_forme_différentielle_des_trois_variables_indépendantes_«_x,_y,_z_»_fermée_et_recherche_des_primitives_de_cette_forme_sans_vérifier_au_préalable_son_exactitude|2^ème exemple : forme différentielle des trois variables indépendantes x, y, z fermée et recherche des primitives de cette forme…]] » du même chap.<math>28</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref> ;</center> {{Al|5}}« la force électrique exercée sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> placé dans un champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> c.-à-d. <math>\;q\; \vec{E}(M)\;</math> étant donc <u>conservative</u> », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> }}dérive de l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> c.-à-d. <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}cette dernière étant liée au potentiel électrique <math>\;V(M)\;</math> dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}(M)\;</math> <u>quelconque</u> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de cette dernière étant liée }}à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|« la force électrique exercée sur un point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> dérive de }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}}(M) = q\; V(M)\;</math>» avec références d'énergie potentielle électrostatique et de potentiel électrique identiques. == 5^ème exemple de force conservative : la « force électrostatique exercée sur un point matériel M de charge q placé dans le champ électrique créé par un autre point matériel O de charge q_O » et l'« énergie potentielle électrostatique du point M » == === Expression de la force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s’exerçant sur un autre point matériel M de charge q, cas particulier du champ électrique créé par un proton === ==== Loi d'interaction de Coulomb ==== {{Al|5}}Entre deux points matériels <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math> de charges respectives <math>\;q\;</math> et <math>\;q'\;</math> s'exerce une « interaction électrostatique » telle que <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide s’écrivant <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M}\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> « la force }}«<math>\;r\;</math> distance séparant <math>\;M\;</math> et <math>\;M'\;</math>», «<math>\;\vec{u}_{M'M}\;</math> vecteur unitaire de la droite <math>\;MM'\;</math> dirigé de <math>\;M'\;</math> vers <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}« la force que <math>\;M\;</math> exerce sur <math>\;M'\;</math> dans le vide est l'opposé de celle que <math>\;M'\;</math> exerce sur <math>\;M\;</math> dans le vide » soit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\vec{F}_{M'\, \leftarrow\, M} = -\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'M} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{MM'}\;</math>», {{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}ces forces étant appelées « forces de Coulomb » <ref name="Coulomb" /> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Entre deux points matériels <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{M'}\;</math> de charges respectives <math>\;\color{transparent}{q}\;</math> et <math>\;\color{transparent}{q'}\;</math> }}«<math>\;\varepsilon_0\;</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <ref name="permittivité d'un milieu"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\;\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\;</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\;\big(</math>ou celle du milieu isolant<math>\big)\;</math> à l'action d'un champ électrique <math>\;\big[</math>plus la [[w:Permittivité|permittivité diélectrique]] du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la [[w:Permittivité#Permittivité_du_vide_et_permittivité_relative|permittivité diélectrique de l'air sec]] étant <math>\;0,06\;\%\;</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière.</ref> de valeur telle que «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.\;</math><ref name="U.S.I." /> ». {{Al|5}}<u>Remarque</u> : L'interaction électrostatique est « attractive pour <math>\;q\;q'\;< 0\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : L'interaction électrostatique est }}« répulsive pour <math>\;q\;q'\;> 0\;</math>». ==== Force électrostatique créée par un point matériel O de charge q_O s'exerçant sur un autre point matériel M de charge q et expression du champ électrique créé par le point matériel O de charge q_O en M ==== {{Al|5}}D'après la loi d'interaction de Coulomb <ref name="Coulomb" />, le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> la force électrostatique de Coulomb <ref name="Coulomb" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce }}«<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <ref name="loi d'interaction de Coulomb"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> avec «<math>\;r\;</math> la 1^ère coordonnée sphérique du point <math>\;M\;</math>» et <br>{{Al|21}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» avec }}«<math>\;\vec{u}_r\;</math> le 1^er vecteur de base sphérique liée à <math>\;M\;</math>», <br>{{Al|22}}{{Transparent|D'après la loi d'interaction de Coulomb, le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> exerce «<math>\;\color{transparent}{\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O} = 4\;\pi\;\varepsilon_0\;q_O\;q\;\vec{u}_r}\;</math>» }}le repérage sphérique étant de pôle <math>\;O\;</math><ref name="repérage sphérique" />. {{Al|5}}<u>Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb</u> <ref name="Coulomb" /> : le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> crée autour de lui un espace champ électrostatique caractérisé en chaque point <math>\;M\;</math> de l'espace par <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}un vecteur champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> dont l'action sur un point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> se révèle <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}par « la force électrique définie par <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, \vec{E}_O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math> identique à <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, O}\;</math>» d'où <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}«<math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math>» <math>\;\big(</math>existant même en absence de charge <math>\;q\;</math><ref> La présence d'une charge <math>\;q\;</math> en <math>\;M\;</math> permet de signaler l'existence d'un champ électrique en cette position et dans ce cas la charge <math>\;q\;</math> est appelée « charge témoin ».</ref><math>\big)</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;> 0\;</math> le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centrifuge <ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> répulsive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est attractive.</ref> et <br>{{Al|11}}{{Transparent|Autre interprétation de la loi d'interaction de Coulomb : le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> crée autour de lui }}si <math>\;q_O\;</math> est <math>\;< 0\;</math> {{Transparent|le champ électrique }}<math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> est centripète <ref> Si on place une charge <math>\;q > 0\;</math> en <math>\;M\;</math> elle subit de la part de <math>\;O\;</math> une force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> attractive et si <math>\;q\;</math> est <math>\;< 0</math>, la force <math>\;q\;\vec{E}_O(M)\;</math> est répulsive.</ref>. ==== Cas particulier du champ électrique créé par un proton ==== {{Al|5}}« Un proton placé en <math>\;O\;</math> étant de charge <math>\;q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> centrifuge », <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique }}variant comme le champ de gravitation créé par un astre à symétrie sphérique <ref name="astre à symétrie sphérique" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|« Un proton placé en <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> étant de charge <math>\;\color{transparent}{q_O = +e \simeq 1,6\; 10^{-19}\; C}\;</math>» crée autour de lui « un champ électrique variant comme le champ de gravitation }}<math>\big(</math>à l'exception du sens bien entendu<math>\big)</math>. === Établissement du caractère « conservatif » de la force électrostatique qu'un point matériel O de charge q_O exerce sur un autre point matériel M de charge q === {{Al|5}}Pour prouver le caractère conservatif de la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> qu'un point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur un autre point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on forme son travail élémentaire «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \vec{F}_{M\, \leftarrow O} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif }}on vérifie qu'il s'agit d'une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> soit, en sphérique, <br>{{Al|5}}{{Transparent|pour prouver le caractère conservatif on forme son travail élémentaire }}«<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» qui est effectivement une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> car « le cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> et est intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>» <ref name="force conservative dépendant d'une variable" /> <math>\;\bigg(</math>en effet, le cœfficient de <math>\;dr\;</math> est une fonction en <math>\;\dfrac{1}{r^2}\;</math> qui s'intègre en <math>\dfrac{-1}{r}\bigg)\;</math> d'où <center>« la force électrostatique <math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow O} = q\; \vec{E}_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\; \vec{u}_r\;</math> que le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> exerce sur le point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> est une force conservative », <br><math>\Downarrow</math><br>« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math> sur un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> à savoir <math>\;\vec{F}_{El\, \leftarrow Pr} = -e\; \vec{E}_{Pr}(M) = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r^2}\;\vec{u}_r\;</math> est une force conservative », <br>{{Transparent|« la force électrostatique exercée par un proton <math>\;\color{transparent}{Pr}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{+e}\;</math> sur un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{-e}\;</math> à savoir}}<math>\;\big(</math>le proton <math>\;Pr\;</math> étant le pôle du repérage sphérique de l'électron <math>\;El\big)</math>.</center> === Énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O === {{Al|5}}L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> notée <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> }}se détermine par «<math>\;\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» soit «<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\dfrac{d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r^2}\;dr\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par «<math>\;\color{transparent}{\delta W(\vec{F}_{M\, \leftarrow O}) = -d \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}}\;</math>» soit }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r} + cste\;</math>» <ref> En effet <math>\;\dfrac{-1}{r^2} = -r^{-2}\;</math> admet pour primitive <math>\;\big(</math>à une constante additive près<math>\big)\;</math> <math>-\dfrac{r^{-2 + 1}}{-2 + 1} = \dfrac{1}{r}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par }}<math>\big[</math>l'énergie potentielle électrostatique due au point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|L'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;\color{transparent}{M}\;</math> se détermine par <math>\color{transparent}{\big[}</math>l'énergie potentielle électrostatique }}est une fonction de valeur absolue <math>\;\searrow\;</math> avec la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>. {{Al|5}}En choisissant la <u>référence de l'énergie électrostatique due au point</u><math>\;O\;</math><u>de charge</u><math>\;q_O\;</math><u>à l'infini de ce dernier</u> c.-à-d. <math>\;\lim\limits_{r \rightarrow \infty} \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = 0</math>, on en déduit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math>» ; <center>l'énergie potentielle électrostatique du point <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique du point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> s'écrit «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O\;q}{r}\;</math> avec référence à l'infini » <ref name="référence à l'infini" />, <br>{{Al|50}}<math>\big[</math>si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;> 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction positive <math>\;\searrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O</math>, <br>{{Al|55}}si <math>\;q\;q_O\;</math> est <math>\;< 0</math>, l'énergie potentielle électrostatique est une fonction négative <math>\;\nearrow\;</math> de la distance <math>\;r\;</math> du point <math>\;M\;</math> au point <math>\;O\big]</math>.</center> {{Al|5}}<u>Parallèlement</u> la circulation élémentaire <ref name="circulation élémentaire d'un champ vectoriel" /> du champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> soit «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» s'écrivant, en sphérique de pôle <math>\;O</math>, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> }}«<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \left[ \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;\vec{u}_r \right] \cdot \left[ dr\;\vec{u}_r + r\;d \theta\;\vec{u}_\theta + r\;\sin(\theta)\;d \varphi\;\vec{u}_\varphi \right]\;</math><ref name="vecteur déplacement élémentaire en sphérique" /> <math>= \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr\;</math>», <br>{{Al|11}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> }}est donc une différentielle exacte <ref name="différentielle totale" /> <math>\;\bigg[</math>« cœfficient de <math>\;dr\;</math> ne dépendant que de <math>\;r\;</math> et <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>« cœfficient de <math>\;\color{transparent}{dr}\;</math> }}étant intégrable sur tout ouvert de <math>\;\mathbb{R}^*_+\;</math>», <br>{{Al|16}}{{Transparent|Parallèlement la circulation élémentaire du champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> «<math>\;\color{transparent}{\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O)}</math> est donc une différentielle exacte <math>\;\color{transparent}{\big[}</math>}}le cœfficient de <math>\;dr\;</math> étant une fonction en <math>\;\dfrac{-1}{r^2}\;</math> s'intégrant en <math>\dfrac{1}{r}\bigg]\;</math><ref name="champ à circulation conservatif dépendant d'une variable" /> <center>d'où « le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> en la position <math>\;M\;</math> est un champ à circulation conservative » <ref name="champ à circulation conservative" /> ;</center> {{Al|5}}{{Transparent|Parallèlement }}le potentiel électrique <math>\;V_O(M)\;</math> dont le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par le point <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O\;</math> dérive <ref name="potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel" /> étant défini par «<math>\;\delta \mathcal{C}(\vec{E}_O) = \vec{E}_O(M) \cdot \overrightarrow{dM} = -dV_O\;</math>» <ref> Cette définition étant équivalente à <math>\;\vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right]\!(M)</math> <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#2ème_définition_(équivalente)_des_potentiels_scalaires_dont_dérive_un_champ_vectoriel_à_circulation_conservative_d'un_espace_à_deux_ou_trois_dimensions|2^ème définition (équivalente) des potentiels scalaires dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative d'un espace à deux ou trois dimensions]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>.</ref>, soit <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;dr = -dV_O\;</math>» <ref> L'expression de la différentielle exacte prouve que <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r\;</math> car, <br>{{Al|3}}en sphérique, le cœfficent de <math>\;d \theta\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \theta} \right)_{\!\!r,\,\varphi}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\theta\;</math> et <br>{{Al|3}}{{Transparent|en sphérique, }}le cœfficent de <math>\;d \varphi\;</math> étant nul on en déduit <math>\;\left( \dfrac{\partial V_O}{\partial \varphi} \right)_{\!\!r,\,\theta}(M) = 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend pas de la coordonnée angulaire <math>\;\varphi</math>.</ref> ou <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;\dfrac{dV_O}{dr} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r^2}\;</math>» <ref> Cette forme de dérivée droite n'étant possible que pour une fonction d'une variable <math>\Rightarrow</math> <math>\;V_O(M)\;</math> ne dépend que de <math>\;r</math>.</ref> qui s'intègre en <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r} + cste'\;</math>» ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}avec l'<math>\infty\;</math> pour référence des potentiels électriques, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Parallèlement le potentiel électrique <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}\;</math> dont le champ électrique <math>\;\color{transparent}{\vec{E}_O(M)}\;</math> créé par le point <math>\;\color{transparent}{O}\;</math> de charge <math>\;\color{transparent}{q_O}\;</math> dérive étant défini par }}«<math>\;V_O(M) = V_O(r) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}\;</math>». {{Al|5}}<u>Conclusion</u> : d'après les <math>\;2\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique de <math>\;M\;</math> de charge <math>\;q\;</math> dans le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> créé par <math>\;O\;</math> de charge <math>\;q_O</math> <math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M)\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}est liée au potentiel électrique en <math>\;M</math>, <math>\;V_O(M)</math>, dont dérive le champ électrique <math>\;\vec{E}_O(M)\;</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée au potentiel électrique en <math>\;\color{transparent}{M}</math>, <math>\;\color{transparent}{V_O(M)}</math>, dont dérive le champ électrique }}créé par <math>\;O\;(q_O)\;</math> en <math>\;M</math> <br>{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique est liée }}et à la charge <math>\;q\;</math> du point par <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» si « la référence de l'énergie potentielle électrostatique <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» si « la référence }}est identique à celle du potentiel électrique » et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : d'après les <math>\;\color{transparent}{2}\;</math> sous paragraphes ci-dessus, l'énergie potentielle électrostatique «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)}\;</math>» }}si cette référence commune est l'<math>\infty\;</math> on a <math>\;V_O(M) = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q_O}{r}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : }}<u>Remarque</u> : en prenant l'opposé du gradient <ref name="gradient d'un champ scalaire" /> de «<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O}(M) = q\; V_O(M)\;</math>» on obtient «<math>\;-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect}\,\leftarrow\,O} \right](M) =</math> <math>-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ q\; V_O \right](M) = q \left\lbrace -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Conclusion : Remarque : }}d'où, avec «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{l} \vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ \mathcal{E}_{\text{pot, élect},\leftarrow\,O} \right](M)\\ \vec{E}_O(M) = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\! \left[ V_O \right](M)\end{array} \right\rbrace\;</math>» <ref name="2ème définition de l'énergie potentielle dans un champ de force conservative" />{{,}} <ref name="2ème définition du potentiel scalaire dont dérive un champ vectoriel à circulation conservative" /> on retrouve «<math>\;\vec{F}_{M\,\leftarrow\,O} = q\;\vec{E}_O(M)\;</math>». === « Énergie potentielle électrostatique d’un électron dans le champ électrique créé par un proton » === {{Al|5}}Cas particulier de l'exposé du paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M da charge q dans le champ électrique d'un autre poit matériel O de charge q_O]] » <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier de l'exposé du paragraphe }}plus haut dans ce chapitre, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier }}« l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;El\;</math> de charge <math>\;-e\;</math> dans le champ électrique créé par un proton <math>\;Pr\;</math> de charge <math>\;+e\;</math>» <ref> L'ensemble correspondant à un atome d'hydrogène traité dans le cadre de la mécanique classique.</ref> s'écrit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;\mathcal{E}_{\text{pot, élect}, \leftarrow\,Pr}(El) = -e\;V_{Pr}(El) = -e\;\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e}{r} = -\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{e^2}{r} < 0\;</math>» avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}référence commune de l'énergie potentielle électrostatique et du potentiel électrique à l'infini, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas particulier « l'énergie potentielle électrostatique d’un électron <math>\;\color{transparent}{El}\;</math> }}«<math>\;r\;</math> étant la distance séparant l'électron du proton » <ref> Quand l'électron s'éloigne du proton, l'énergie potentielle électrostatique du 1^er <math>\;\nearrow\;</math> jusqu'à <math>\;0\;</math> pour un éloignement infini, l'électron n'étant alors plus lié au proton <math>\;\big(</math>dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, ce dernier est alors ionisé<math>\big)</math>.</ref>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Lois de la puissance et de l'énergie cinétiques|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Lois de la puiss. et de l'énerg. cinétiques]] | suivant = [[../Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif|Appro. énerg. du mouv. d'un point mat. : Mouv. conservatif]] }} 2tzur403bxc8k5gx809nrqariw6danq 0 74760 988218 988215 2026-11-08T18:29:05Z Phl7605 31541 /* « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » */ 988218 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais il est souhaitable de les connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) »<math>\big]\;\ldots</math> === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 5h5phnv16hugfmf7uw098zmj1dfjsc0 988219 988218 2026-11-08T19:39:57Z Phl7605 31541 /* « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » */ 988219 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} otlcn66pi5vjbrczkwb9tjzj0nreafr 988220 988219 2026-11-08T19:41:22Z Phl7605 31541 /* « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » */ 988220 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> peut être <math>\;=\;</math> à <math>\;1\;</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».</ref> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 5v19z4xwlaxajvhbadcki85isq29pun 988229 988220 2026-11-08T22:38:24Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988229 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} dtq8ms7q48vfsda3swrkjw0lz6dwo4l 988230 988229 2026-11-08T22:55:44Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988230 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» {{Al|5}}À partir des expressions de la puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir relation <math>\;\left( \mathfrak{c} \right)\;</math> du paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude) » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » <math>\big]\;</math> et du lien entre travail élémentaire et puissance «<math>\;\delta W = \mathcal{P}(t)\;dt\;</math>», on en déduit les expressions du travail élémentaire développé par les forces extérieures appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math> : <center>«<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> de masse volumique <math>\;\mu(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( S \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> {{Nobr|<math>\;\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> de masse surfacique <math>\;\sigma(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\;d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( S \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\;t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Approche_%C3%A9nerg%C3%A9tique_du_mouvement_d%27un_solide_en_rotation_autour_d%27un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique#cite_note-puissance_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-22|²²]] » du chap.<math>10</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\;M\;</math> de <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\;M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\;\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\;</math> de cette expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de masse linéique <math>\;\lambda(M)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\;d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec <br>«<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\;M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} hb3qhnlze3a1uvu3vas98kgjlepjon6 988231 988230 2026-11-08T23:46:39Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988231 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|32}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 7h7fomnjb6u5pn4hz35om2ohj3y166w 988232 988231 2026-11-08T23:47:34Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988232 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|22}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} i38236oan6vcpubjtzp8gcp3zz9z0qc 988233 988232 2026-11-08T23:48:28Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988233 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>le travail élémentaire étant une « forme différentielle des <math>\;3\;N\;</math> variables scalaires indépendantes positionnant les <math>\;N\;</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\;\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\;3\;</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\;\left( S \right)\;</math> ou curviligne sur <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\;i\;</math> variant de <math>\;1\;</math> à <math>\;N</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} mh1ze48nczb901n6f8yp3gemjl4evkh 988234 988233 2026-11-08T23:59:41Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988234 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref> ; {{Al|5}}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> sera « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures {{Nobr|considéré<math>\big)\;</math>}} est une « <u>différentielle de fonction</u> », et comme le travail élémentaire est la somme de <math>\;N\;</math> formes différentielles dont chacune dépend d'un triplet de variables scalaires différent, ceci est réalisé dans la mesure où « <u>chacune des</u> <math>\;N\;</math> <u>formes différentielles</u> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_des_forces_ext%C3%A9rieures_s'exer%C3%A7ant_sur_un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-52|⁵²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\;</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <center><math>\;\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)\big\}</math>,</center> {{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u> <math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math> à savoir <math>\;\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math> <u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 1hxsuuq94018khzn8npqaj4eds5qb5q 988235 988234 2026-11-09T03:57:10Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988235 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,N\,</math> formes différentielles dont chacune <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;N\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-71|⁷¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_ter-72|⁷²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 45t58ezp5igyqr83fpkfc3cslrcdu6n 988236 988235 2026-11-09T04:05:03Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988236 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,N\,</math> formes différentielles dont chacune <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;N\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|⁷¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|⁷²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} dmpcvm53miu0uz6f0a54v5ikc52995i 988237 988236 2026-11-09T04:44:47Z Phl7605 31541 988237 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,N\,</math> formes différentielles dont chacune <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;N\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|⁷¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|⁷²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} rhkr8txauz7csij017stpf38p0n573k 988238 988237 2026-11-09T04:52:34Z Phl7605 31541 988238 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,N\,</math> formes différentielles dont chacune <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;N\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|⁷¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|⁷²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis" /> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} 4qf9cqbolcsfr2dyd3mtjx8i368eodk 988239 988238 2026-11-09T04:59:41Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988239 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,N\,</math> formes différentielles dont chacune <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;N\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|⁷¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|⁷²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, {{Al|11}}{{Transparent|le système des forces extérieures s'exerçant sur ( S ) (ou un des sous-systèmes de forces extérieures) sera « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\;M_i\;</math> est repéré, dans le référentiel <math>\;\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées cartésiennes <math>\;\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou un repérage sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\;\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\;</math> en cylindro-polaire <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou <math>\;\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\;</math> en sphérique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\;M\;</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\;\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_diff%C3%A9rentielle_soit_une_diff%C3%A9rentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} nmszs4jyz6w8wtgmynlek2nrkfo6d0o 988240 988239 2026-11-09T05:15:41Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988240 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,N\,</math> formes différentielles dont chacune <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;N\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|⁷¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|⁷²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\,M_i\,</math> est repéré, dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}cartésiennes <math>\,\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou un repérage sphérique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\,\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\,\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\,</math> en cylindro-polaire <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou <math>\,\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\,</math> en sphérique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que la forme différentielle «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}<math>\overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\,\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_-_ter-55|⁵⁵]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} d2xh58jqvhnjuihg3pnagzem9c3t0jc 988241 988240 2026-11-09T05:27:48Z Phl7605 31541 /* Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable */ 988241 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = physique | numéro = 13 | niveau = 14 | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]] }} <center>Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.</center> == Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » === {{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière"> Système <math>\,\big(</math>fermé<math>\big)\,</math> discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «<math>\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> doit évidemment être <math>\,\geqslant\,</math> à <math>\,2\big]</math>, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.</ref> « quelconque » <ref name="quelconque"> C.-à-d. déformable ou non.</ref>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » <ref name="puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, à l'instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par les forces intérieures que chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>».</ref> <math>\,\big(</math>selon la définition <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref><math>\big)</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis"> Dans toute cette note, <math>\,\vec{V}_M(t)\,</math> représente le vecteur vitesse de <math>\,M</math> <math>\,\big(</math>point générique de l'expansion<math>\big)</math>, à l'instant <math>\,t</math>, dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math> ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> pseudo-point de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> définie selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)</math>»}} est la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, <math>\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,</math> étant le vecteur <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }</math> }}vitesse du point <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> avec <math>\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,</math> le vecteur vitesse relative, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j,\;j \neq i</math> <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec }}<math>\Big[</math>c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant <math>\,t</math>, de <math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math>, lié à <math>\,M_j</math>, en translation par rapport <br>{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;</math>» avec <math>\color{transparent}{\Big[}</math>}}à <math>\,\mathcal{R}</math>, égal à «<math>\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;</math>» différence définie dans <math>\,\mathcal{R}\Big]</math>, ou, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />, soit aussi, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,;\left( S \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\;</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression de la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;</math>» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;</math>» doit être substitué par «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et en introduisant le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;</math>» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M\,</math> par {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> en regroupant les points deux par deux, ou encore <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>«<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;</math>» <ref name="expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière" />{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref>. <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}<math>\bullet\;</math>Repérant le point «<math>\,M_i\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math>» par ses « coordonnées sphériques de pôle <math>\,M_j\,</math> notées <math>\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}avec «<math>\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,</math> pour base sphérique orthonormée liée à <math>\,M_i\;</math>» <ref name="repérage sphérique"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>la « force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\;</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\Big(</math>se déduit de la 2^ème relation du principe des actions réciproques <ref name="principe des actions réciproques"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.<math>6</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref> à savoir <math>\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)</math>, avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}«<math>\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} > 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ < 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur"> Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <math>\,\big(</math>la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «<math>\;r_{i,\,j}\;</math>», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «<math>\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>»<math>\big)\,</math> s’écrit encore «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>» car «<math>\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» et comme, par définition, «<math>\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;</math>», ceci établit que «<math>\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;</math>» C.Q.F.D. <math>\,\big(</math>Ce Qu’il Fallait Démontrer<math>\big)</math>.</ref> définissant « l'intensité de l’interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_i\,</math>» <ref name="indépendant de la permutation auteur receveur" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}simplement notée «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;</math>» <ref name="vecteur rij"> Pour simplifier on pose «<math>\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;</math>», l'intensité de l'interaction entre <math>\,M_i\,</math> et <math>\,M_j\,</math> dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «<math>\;\vec{r}_{j,\,i}\;</math>» à savoir <math>\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace</math>.</ref> d’où la réécriture «<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>», de même, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» }}<math>\blacktriangleright\;</math>le « vecteur vitesse relative de <math>\,M_i\,</math> par rapport à <math>\,M_j\,</math>» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «<math>\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>Repérant le point «<math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> dans le référentiel <math>\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,</math>» <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;</math>» <ref name="vitesse en sphérique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.<math>2</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,M_j\,</math> exerce sur <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que <math>\,\color{transparent}{M_j}\,</math> exerce sur <math>\,\color{transparent}{M_i}\,</math> }}«<math>\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>» <ref name="vecteur rij" />, soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures <math>\color{transparent}{\bullet}\;</math>}}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2^ème conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\;</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;</math>» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( S \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( S \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|⁸]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> dans laquelle {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;</math>» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié au point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle <math>\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> du référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, la base sphérique étant liée à <math>\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,</math> selon {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =</math>}} <math>\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\Big[</math>pour simplifier on a posé <math>\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]</math>.</ref>. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide"> C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.</ref> est identiquement nulle <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide"> En effet, pour un système discret de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre<math>\big\}\,</math>}} avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}\,</math> avec <math>\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2</math>.</ref> <br>{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;</math> pour un système indéformable <ref name="solide" /> » mais <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux <math>\,\big[</math>sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas<math>\big]\;</math><ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable"> En effet, pour un système discret déformable de <math>\,N\,</math> points matériels «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«<math>\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;</math>»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles <math>\,\big\{</math>voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1^ème puce) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; <br>{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big\{</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre<math>\big\}</math>, «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\,</math> sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> a priori <math>\,\neq 0\;</math> pour un système déformable ». == Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" />, à l'instant <math>\,t\,</math> et dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> est rappelé ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque"> Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».</ref> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;</math>» est égale <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> à la même date <math>\,t\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;</math>» soit, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nulle «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit à «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : La puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle <math>\,\big[</math>sauf cas particulier non considéré<math>\big]\,</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,t</math>, à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> dans un référentiel galiléen » <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant <math>\,\color{transparent}{t}</math>, à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit « }}<math>\big[</math>sauf cas particulier non considéré où <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]</math>. == Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système == {{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». === Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen === {{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math><ref name="système de matière" /> « quelconque » <ref name="quelconque" /> sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> galiléen <ref name="théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <br>{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> « quelconque » }}sont rappelés ci-après : {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> <br>{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> }}dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «<math>\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> entre les dates <math>\,t_{\mathcal{I}}\,</math> et <math>\,t_{\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La variation «<math>\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;</math>» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» <br>{{Al|5}}soit, mathématiquement, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans le référentiel galiléen <math>\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;</math>».}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque <ref name="système de matière quelconque" /> sur une durée élémentaire ou finie <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Cas particulier d’un système déformable === {{Al|5}}<u>Préliminaire</u> : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> étant identiquement nul <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" /> ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide" />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> indéformable <ref name="solide" /> se réduit, sous sa forme élémentaire, à «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,</math> dans un référentiel galiléen » <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.<math>12</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref> ou, <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide" /> avec <br>{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. {{Al|5}}<u>Cas d'un système déformable</u> : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable étant, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré"> Sauf cas particulier non considéré <math>\;\ldots</math></ref> «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>» ou <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,</math> a priori, non nul <ref name="sauf cas particulier non considéré" /> «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrit «<math>\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis"> Sauf cas particulier non considéré pour lequel <math>\,\delta W_{\text{int}} = 0\,</math> pour la forme élémentaire ou <br>{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}<math>\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,</math> pour la forme à durée finie.</ref> ou <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit }}«<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,</math> dans un référentiel galiléen sur <math>\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math>» <ref name="sauf cas particulier non considéré - bis" /> avec <br>{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> déformable s'écrit «}}<math>\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})</math>. == « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives == {{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable ainsi que <br>{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais <br>{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1"> Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, <math>\;N\;</math> doit être évidemment <math>\;\geqslant\;</math> à <math>\;2</math>.</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;</math>» <ref name="vecteur rij" />{{,}} <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4^ème puce) » plus haut dans ce chapitre.</ref>{{,}} <ref> Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre.</ref> et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}</math> }}<math>= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref> En effet <math>\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,</math> selon le lien entre dérivée et différentielle.</ref>{{,}} <ref name="travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable"> Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre avec «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et «<math>\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math> <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;</math>» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|¹⁶]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{r}_{M',\,M} =</math> <math>\overrightarrow{M'M}\;</math>» est le vecteur position relative du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}\,</math> le référentiel lié à l'autre point générique <math>\,M'\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}</math>, et {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que <math>\,M'\,</math> exerce sur <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;</math>» étant la force intérieure que le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,</math> de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> exerce sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette même expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> et «<math>\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;</math>» la composante radiale de la vitesse relative de <math>\,M\,</math> dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{int}}</math>}} <math>= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec «<math>\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;</math>» pour composantes sphériques du vecteur position relative de <math>\,M\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_{M'}</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math> variables <math>\;r_{i,\,j}\;</math> indépendantes » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables"> Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="dépendance du cœfficient de drij"> Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,</math> à savoir <math>\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,</math> mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j > k \neq i\,</math> ni des composantes sphériques dans <math>\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,</math> de <math>\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j > i\;\ldots</math></ref>{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> de la forme différentielle {{Nobr|«<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>»,}} «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle de la variable <math>\,r_{M,\,M'}</math>, le cœfficient de <math>\,dr_{M,\,M'}\,</math> étant une fonction des trois variables <math>\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, les deux intégrations volumiques sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfaciques sur <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou curvilignes sur <math>\,\left( \Gamma \right)^2\,</math> emboîtées remplaçant la double somme discrète sur <math>\,i\,</math> et <math>\,j\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N\,</math> en étant distincts l'un de l'autre.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,</math> formes différentielles dont <br>{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable <math>\,r_{i,\,j}\,</math> différente, on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math><u>est une différentielle de</u> <br>{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « chacune des<math>\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;</math>formes différentielles<math>\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;</math>est }}<u>fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|³²]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|³⁵]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}le système des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{int}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> est uniquement fonction des trois variables indépendantes <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}<math>\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)</math>, la C.N. <ref name="C.N."> Condition(s) Nécessaire(s).</ref> pour que la forme différentielle «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» soit une <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de <math>\,dr_{i,\,j}\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;</math> mais soit <br>{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « }}fonction de la seule variable <math>\,r_{i,\,j}\;</math>» <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,y\;</math>», * <math>\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;f\,</math> ne doit pas dépendre de <math>\,z\;</math>» et * <math>\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,</math> ce qui est évidemment vérifié ; {{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «<math>\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;</math>» soit une différentielle de fonction est que «<math>\;f\,</math> ne dépende que de <math>\,x\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que <math>\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,</math> soit une différentielle de fonction est que «<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,</math> ne dépende pas de <math>\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,</math> mais soit fonction de la seule variable <math>\,r_{M,\,M'}\;</math>», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|³⁹]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <math>\,\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée"> Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; <br>{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée <math>\,\big[</math>mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée<math>\big]\;\ldots</math></ref> sur un « ouvert <br>{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est conservatif si « fonction de la seule variable <math>\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;</math>» <math>\,\color{transparent}{\big\{}</math>}}étoilé » <ref name="ouvert étoilé"> Une partie <math>\,U\,</math> ouverte ou non de <math>\,\mathbb{R}^3\,</math> est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque <math>\,U\,</math> contient au moins un point <math>\,P\,</math> tel que, pour tout point <math>\,Q\,</math> de <math>\,U</math>, le segment <math>\,\left[ PQ \right]\,</math> est inclus dans <math>\,U</math>, on dit alors que <math>\,U\,</math> est « étoilée par rapport à <math>\,P\;</math>» <math>\big\{U\,</math> est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi <math>\,U\,</math> est étoilée par rapport à chacun de ses points<math>\big\}</math> ; <br>{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire <math>\,\big(</math>ou une différentielle exacte<math>\big)</math>, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.</ref> de son domaine de définition <ref> D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de <math>\,\mathbb{R}^3</math> <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math> ; <br>{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|⁴²]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|⁴³]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. <br>{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] <math>\;\ldots</math></ref><math>\big\}</math>. {{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> soit « <u>conservatif</u> » <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire <ref> Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.</ref> s'écrive selon «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» <ref name="C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>.</ref>. === Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) === {{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1" /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces intérieures" /> déformable <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\;\delta W_{\text{int}}\;</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;</math>» est une différentielle de fonction <ref name="travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\,\big\{</math>par double intégration volumique {{Nobr|<math>\,\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]</math>, surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\,</math> définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées <math>\,\delta W_{\text{int}}\,</math> s'écrivant «<math>\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}</math>» est une différentielle de fonction.</ref>, fonction à partir de laquelle se définit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;</math>» et déduite de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math><ref name="énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)\,</math>» notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;</math>» déduite de <center>«<math>\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;</math>».</center></ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle"> Ou encore <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,</math> voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point <math>\,M_i\,</math> repéré dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}_j</math> <math>\,\big[</math>référentiel lié à <math>\,M_j\,</math> en translation par rapport au référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\big]\,</math> avec <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}</math> <math>\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,</math> étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à <math>\,M_i\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}_j\big]</math> <math>\,\{</math>voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.<math>19</math> de la même leçon<math>\big\}</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. choisir la valeur de <math>\,r_{i,\,j}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> et comme « l'intensité de l'interaction entre particules <math>\,\big[</math>quel que soit le type d'interaction<math>\big]\,</math> <math>\,\searrow\,</math> très rapidement quand la distance les séparant <math>\,\nearrow\;</math>» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,</math> «<math>\;r_{i,\,j} = \infty\;</math>» ; <br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|<math>\,;\big(</math>pour}} le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple de points génériques <math>\,\left( M,\, M' \right)</math> <math>\,\big[</math>c.-à-d. la valeur de <math>\,r_{M,\,M'}\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> est nulle<math>\big]\,</math> pour <math>\,M\,</math> et <math>\,M'\,</math> infiniment éloignés soit pour référence de <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,</math> «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» <math>\,\big\{</math>on notera que la valeur «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)</math>}} <math>= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle<math>\big]</math>.</ref> ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle <ref name="référence d'énergie potentielle"> C.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)"> S'écrivant encore <math>\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}</math>.</ref>{{,}} <ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')"> S'écrivant encore <math>\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}</math>.</ref> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <math>\,r_{i,\,j} = \infty\;</math>» <ref name="référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence <math>\,\big[</math>c.-à-d. l'endroit <math>\,\big(</math>ou la valeur de la variable<math>\big)\,</math> où la grandeur considérée est choisie nulle<math>\big]\,</math> de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «<math>\;r_{M,\,M'} = \infty\;</math>».</ref> ; {{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;</math>» avec «<math>\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;</math>» on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;</math>» ou, en permutant double somme discrète et différenciation <ref name="différenciation opération linéaire"> la différenciation étant une opération linéaire.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«<math>\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;</math>» dont on déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;</math>» selon <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,>\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;</math>» <br>{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «<math>\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;</math><ref name="autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)" /> l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces <br>{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M_i,\, M_j \right)\;</math>» <ref name="énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures <math>\,\big(</math>ou d'un sous-système de forces intérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|⁴⁶]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|⁴⁸]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du système de matière <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> déformable : * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou * «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;</math>» pour une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}dans lesquelles «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;</math> est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique <math>\,\big(</math>pour le type de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> du couple <math>\,\left( M,\, M' \right)\;</math>».</ref>. === « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable === {{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à <math>\,2\,</math> ou <math>\,3\,</math> points matériels. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,2\,</math> points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;</math>» et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> de <math>\,3\,</math> points matériels il y a <math>\,3\,</math> couple de points <math>\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,</math> nous utilisons «<math>\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;</math>». ==== Système « Terre – Lune » ==== {{Al|5}}Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : <math>\bullet\;</math>«<math>\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;</math>» pour la Terre dans lequel <math>\,T\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I."> Centre D'Inertie.</ref> et <math>\,m_\text{♁} \,</math> sa masse, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;</math>» pour la Lune dans lequel <math>\,L\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <math>\,m_\text{☽} \,</math> sa masse ; {{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;</math>» dans laquelle <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> est la distance séparant leur C.D.I. <ref name="C.D.I." /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «<math>\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» ou encore, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;</math>» dont on tire <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon «}}<math>\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,</math> d’où, après intégration, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon }}«<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle <math>\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre <ref name="situation hypothétique"> Situation évidemment hypothétique.</ref> <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0</math>, l'expression de <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1^er exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «<math>\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,</math> avec référence <ref name="référence d'énergie potentielle" />, <math>\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;</math><ref name="situation hypothétique" /> ». ==== Atome d’hélium ==== [[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]] {{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «<math>\;+2e\;</math>» et de deux électrons de charge individuelle «<math>\;-e\;</math>», <math>\,\big(</math>voir schéma ci-contre<math>\big)\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par <math>\,3\,</math> points <math>\bullet\;</math>«<math>\;E_1\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 1 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_1\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." />, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;E_2\,, \left( -e \right)\;</math>» pour l'électron <math>\,\left( 2 \right)\,</math> dans lequel <math>\,E_2\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par <math>\,\color{transparent}{3}\,</math> points }}<math>\bullet\;</math>«<math>\;N\,, \left( +2 e \right)\;</math>» pour le noyau <math>\,\left( 3 \right)\,</math> dans lequel <math>\,N\,</math> représente la position de son C.D.I. <ref name="C.D.I." /> ; <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)</math>, <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> et <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;</math><ref name="nombre de couples"> Pour <math>\,N = 3\,</math> particules, il y a en effet «<math>\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;</math>» couples différents de particules.</ref> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple <math>\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb"> Selon la force de Coulomb que <math>\,M'\,\left( q' \right)\,</math> exerce sur <math>\,M\,\left( q \right)\,</math> dans le vide «<math>\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;</math>» avec «<math>\;\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » <math>\,\big[\varepsilon_0\,</math> définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|⁶²]] » plus bas dans ce chapitre<math>\big]</math>, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; <br>{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,r_{1,\,2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des deux électrons et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide"> La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <math>\,\big(</math>plus généralement d'un milieu isolant<math>\big)\,</math> est une constante caractérisant la réponse du vide <math>\,\big(</math>ou de celle du milieu isolant<math>\big)\,</math> à l'action d'un champ électrique <math>\,\big[</math>plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est<math>\big]</math> ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant <math>\,0,05\;\%\,</math> supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière<math>\big\}\,</math> de valeur telle que <math>\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.</math> <math>\,\big(</math>[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]<math>\big)</math>.</ref> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}<math>\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,</math> ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}électrons <math>\,(1)\,</math> et <math>\,(2)\,</math> infiniment éloignés l'un de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q_O]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive"> La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,> 0</math>.</ref>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{1}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(1)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_1 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive"> La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est <math>\,< 0</math>.</ref> et <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}<math>\blacktriangleright\;</math>l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple <math>\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,</math> étant «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;</math>» <ref name="loi d'interaction électrique de Coulomb" /> avec <math>\,r_{2}\,</math> la distance séparant les C.D.I. <ref name="C.D.I." /> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de cet électron et du noyau et <math>\,\varepsilon_0\,</math> la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] <ref name="permittivité diélectrique du vide" /> on en déduit <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau <math>\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,</math> «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» par «<math>\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}ou <math>\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,</math> d'où, après intégration, «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;</math>» et choix de la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> électron <math>\,(2)\,</math> et noyau <math>\,(3)\,</math> infiniment éloignés l'un <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple <math>\color{transparent}{\blacktriangleright}\;</math>}}de l'autre <math>\Rightarrow</math> <math>\,cste_2 = 0\,</math> d'où «<math>\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>» <ref name="énergie potentielle électrostatique" />{{,}} <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" /> ; {{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;</math>» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «<math>\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;</math>» soit finalement <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«<math>\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;</math>», <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence <ref name="référence d'énergie potentielle" /> étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », <br>{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1^er terme correspondant à une répulsion <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive" /> et les deux derniers à une attraction <ref name="signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive" />. == « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » == {{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » <ref name="forme intégrée associée à une forme locale"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».</ref>, appliquées à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives <br>{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais <br>{{Al|5}}ces formes intégrée et locale <ref name="forme intégrée associée à une forme locale" /> sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique <ref> Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.<math>15</math> de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».</ref>. === Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable === {{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,</math> avec <math>\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis"> Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, <math>\,N\,</math> peut être <math>\,=\,</math> à <math>\,1\,</math> mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2^ème définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».</ref> mais<br>{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> ayant été déterminée selon «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;</math><ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels"> Voir la relation <math>\,\left( \mathfrak{c} \right)\,</math> dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».</ref>{{,}} <ref name="puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale volumique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,</math>» est la puissance volumique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ;<br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale surfacique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de l'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance surfacique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =</math> <math>\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> est la somme continue <math>\,\big\{</math>correspondant à une intégrale curviligne <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\,</math> des puissances développées, au même instant <math>\,t</math>, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, à savoir <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}\,</math> à savoir {{Nobr|«<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;</math>» soit «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en <math>\,M\,</math> selon «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;</math>», «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;</math>» dans laquelle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;</math>» est la puissance linéique développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> au point <math>\,M\,</math> soit «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;</math>».</ref> avec <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,</math> vecteur vitesse du point matériel <math>\,M_i\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}\;</math>» ainsi que <math>\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,</math> ayant été déterminée selon «}}<math>\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,</math> la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, et <br>{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\,</math> sur l'intervalle <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,</math> étant défini par «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math>», <br>{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\delta W_{\text{ext}}\,</math> selon «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,</math> ou, en distribuant <math>\,dt\,</math> par rapport à l'addition <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}</math> }}<math>= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» <ref name="travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière"> Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;</math> ainsi que «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;</math>» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> de masse volumique <math>\,\mu(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\,d \mathcal{V}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique <math>\,\left( S \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( S \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =</math> <math>\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;</math>» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> {{Nobr|<math>\,\big\{</math>un}} pseudo-point d'une expansion surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> de masse surfacique <math>\,\sigma(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( S \right)</math>, d'aire <math>\,d S_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( S \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}}</math>}} <math>= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, la puissance développée, à l'instant <math>\,t</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\;</math> établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|²⁶]] » du chap.<math>11</math> de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> où «<math>\;\vec{V}_M(t)\;</math>» est le vecteur vitesse du point générique <math>\,M\,</math> de <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> à l'instant <math>\,t\,</math> dans <math>\,\mathcal{R}</math>, {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)</math>}} <math>= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;</math>» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en <math>\,M</math>, «<math>\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;</math>» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point <math>\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,</math> de cette expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> au même instant <math>\,t</math> <math>\,\big\{</math>un pseudo-point d'une expansion linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de masse linéique <math>\,\lambda(M)\,</math> est un élément de matière, centré en <math>\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)</math>, de longueur <math>\,d \mathit{l}_M\big\}</math>, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur <math>\,\left[ t\,,\, t + dt \right]</math>, par le système de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> dans le référentiel d'étude <math>\,\mathcal{R}\,</math> {{Nobr|«<math>\;\delta W_{\text{ext}} =</math>}} <math>\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>».</ref> avec «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;</math>» la résultante des forces <br>{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;</math>» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel <math>\,M_i</math>, <br>{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon }}«<math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> étant une « forme différentielle des <math>\,3\;N\,</math> variables scalaires indépendantes <br>{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de <math>\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,</math> nous en déduisons celle de <math>\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> selon «<math>\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,</math> étant une « forme différentielle des }}positionnant les <math>\,N\,</math> points matériels » <ref name="généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables" />{{,}} <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)</math>, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>»}} ou «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» <math>\,\big[</math>c.-à-d. une forme différentielle des <math>\,3\,</math> variables scalaires repérant le point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique<math>\big]</math>, l'intégration volumique sur <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique sur <math>\,\left( S \right)\,</math> ou curviligne sur <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> remplaçant la somme discrète sur <math>\,i\,</math> variant de <math>\,1\,</math> à <math>\,N</math>.</ref>. {{Al|5}}<u>Caractère conservatif ou non</u> : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces intérieures<math>\big)\,</math> <br>{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> }}est « <u>conservatif</u> » si son travail élémentaire <math>\,\big(</math>ou celui du sous-système de forces intérieures considéré<math>\big)\,</math> <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « <u>différentielle de fonction</u> » et comme <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de <math>\,N\,</math> formes différentielles dont chacune <br>{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}</math> est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de <math>\,\color{transparent}{N}\,</math> }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent <math>\Rightarrow</math> <br>{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="ou un des sous-systèmes de forces extérieures"> Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\left( \mathcal{S} \right)</math>.</ref> est conservatif si « <u>chacune des</u><math>\;N\;</math><u>formes différentielles</u><math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> » <ref name="pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra"> D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|⁷¹]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|⁷²]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)\,</math> s'écrivant respectivement * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;</math>» ajout « continu » de la forme différentielle «<math>\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>», {{Al|3}}<math>\,\big\{</math>l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle <math>\,\left( \mathcal{V} \right)^2</math>, surfacique <math>\,\left( S \right)^2\,</math> ou linéique <math>\,\left( \Gamma \right)^2\big\}</math>,<br>{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures <math>\,\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\,</math> s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « <u>conservatif</u> » « <u>si la forme différentielle générique du travail élémentaire</u><math>\;\delta W_{\text{ext}}\,</math> à savoir <math>\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;</math><u>est une différentielle de fonction</u> ».</ref> et, <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel <math>\,M_i\,</math> est repéré, dans le référentiel <math>\,\mathcal{R}</math>, par ses coordonnées <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}cartésiennes <math>\,\left( x_i, y_i, z_i \right)\;</math><ref name="autre repérage possible"> On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou un repérage sphérique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.<math>16</math>}} de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien <math>\,\big\{</math>avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter * l'expression du travail élémentaire en utilisant <math>\,\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\,</math> en cylindro-polaire <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ou <math>\,\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\,</math> en sphérique <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.<math>16</math> de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\,</math> ainsi que * l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » <math>\,\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »<math>\big]\big\}\;\ldots</math></ref>, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que la forme différentielle «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} =</math> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}<math>\overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;</math>» <ref name="autre repérage possible" /> <br>{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;</math> est « conservatif »}}soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" />{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.<math>28</math> de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «<math>\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>», * «<math>\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>» et * «<math>\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;</math>».</ref>{{,}} <ref name="C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique <math>\,M\,</math> de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}</math>}} <math>= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;</math>» <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|⁷⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\,</math> soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée <math>\,\big\{</math>c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées <math>\,\big[</math>voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_-_ter-76|⁷⁶]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\big\}</math>.</ref> <math>\;\big\{</math>cette C.N. <ref name="C.N." /> est une C.S. <ref name="C.S."> Condition(s) Suffisante(s).</ref> dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » <ref name ="forme différentielle fermée" /> sur un « ouvert {{Nobr|étoilé » <ref name="ouvert étoilé" />}} de son domaine de définition <math>\;\big[</math>d'après le théorème de Poincaré <ref name="Poincaré" /> relatif aux formes différentielles fermées <ref name="forme différentielle fermée" /> sur un ouvert étoilé de <math>\;\mathbb{R}^3\;</math><ref name="théorème de Poincaré" /><math>\big]\big\}</math>. {{Al|5}}En conclusion, la C.N. <ref name="C.N." /> pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « <u>conservatif</u> » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)\;</math><ref name="autre repérage possible" /> satisfasse les conditions <center>«<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;</math>» <ref name="autre repérage possible" />{{,}} <ref name="C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif"> Dans le cas d'un système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math> <math>\;\big(</math>ou un des sous-systèmes de forces extérieures<math>\big)\;</math> soit « conservatif » est que son travail élémentaire <math>\;\big(</math>ou celui du sous-système de forces extérieures considéré<math>\big)\;</math> s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon : * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou * «<math>\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;</math>» <math>\;\big(</math>en repérage cartésien<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> {{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes : * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;</math>» pour une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>, * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;</math>» pour une expansion surfacique <math>\;\left( S \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &= &\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;</math>» pour une expansion linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math> <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-autre_rep%C3%A9rage_possible-55|⁵⁵]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie potentielle d’interaction de type « _k » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k ») === {{Al|5}}Comme précédemment cette notion est présentée en considérant un système discret fermé de points matériels «<math>\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\;</math> avec <math>\;N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;</math>» <ref name="N différent de 1 - bis" /> mais elle reste applicable à un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique. {{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» s'exerçant sur un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math>» notée «<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» selon «<math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math><ref name="travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière"> Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue <math>\;\big\{</math>par intégration volumique {{Nobr|<math>\;\big[</math>voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]</math>, surfacique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.<math>17</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> ou curviligne <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.<math>14</math> de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big]\;</math> sur l'expansion du système<math>\big\}\;</math> définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «<math>\;_k\;</math>» considérées <math>\;\delta W_{\text{ext}_k}\;</math> à savoir «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;</math>» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée » notée «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>» selon «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;</math>».</ref> <math>\Leftrightarrow</math> <math>\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;</math><ref name="définition équivalente d'une énergie potentielle - bis"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2^ème définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.<math>16</math> de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ainsi que la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.<math>19</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée donnée dans la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-travail_%C3%A9l%C3%A9mentaire_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k_conservatives_d'un_syst%C3%A8me_continu_de_mati%C3%A8re-59|⁵⁹]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «<math>\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;</math>» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels <math>\;\ldots</math></ref> » soit finalement <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;</math>» <ref> Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point matériel <math>\;M_i\;</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. choisir la position de <math>\;M_i\;</math> où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> du point <math>\;M_i\;</math> est nulle<math>\big]\;</math> ;<br>{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math> <math>\;\big\{</math>on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion<math>\big\}</math>.</ref>{{,}} <ref name="énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} au point <math>\;M\;</math> de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «<math>\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;</math>», expression nécessitant de choisir sa référence <math>\;\big[</math>c.-à-d. la position de <math>\;M\;</math> en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> est nulle<math>\big]</math>.</ref> ;</center> {{Al|5}}on en déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels du système discret, l'énergie potentielle du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures conservatives de type « _k » selon <center>«<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;</math>» <ref name="énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière"> Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)</math>, surfacique <math>\;\left( S \right)\;</math> ou linéique <math>\;\left( \Gamma \right)</math>, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} s'écrit sous la forme * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle volumique en <math>\;M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>, * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle surfacique en <math>\;M\,\in\,\left( S \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]\;</math> ou * «<math>\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;</math>» avec <math>\;u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;</math> l'énergie potentielle linéique en <math>\;M\,\in\,\left( \Gamma \right)\;</math> dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«<math>\;_k\;</math>»}} <math>\;\big[</math>voir la note « [[M%C3%A9canique_2_(PCSI)/Lois_de_l%27%C3%A9nergie_cin%C3%A9tique_pour_un_syst%C3%A8me_d%C3%A9formable_de_points_mat%C3%A9riels#cite_note-%C3%A9nergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_lin%C3%A9ique_dans_le_champ_des_forces_ext%C3%A9rieures_de_type_k-62|⁶²]] » plus haut dans le chapitre<math>\big]</math>.</ref>.</center> === Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives === {{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives est notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;</math>» <math>\;\big[</math>ou <math>\;E_m(t)\;</math> en absence d'ambiguïté<math>\big]\;</math> et définie selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» dans laquelle <br> le 1^er, 2^ème et 3^ème terme du membre de droite sont respectivement, à l'instant <math>\;t</math>, les énergies <br> cinétique, potentielle dans le champ de forces extérieures de type <math>\;_k\;</math> et intérieures de type <math>\;_\mathit{l}\;</math> du système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)</math>.</center> === Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable s'écrivant, dans un référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>», on distingue, * dans les forces extérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives"> Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».</ref>, d’où «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ainsi que, * dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas <ref name="non conservatives" />, d’où «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» puis, {{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique * «<math>\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et * «<math>\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ensuite, {{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «<math>\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;</math>» du système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;</math>» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen, à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;</math>» dans lequel <math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})</math> ; {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants <math>\;t_{\mathcal{I}}\;</math> et <math>\;t_{\mathcal{F}}\;</math> {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =</math>}} <math>E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;</math>» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;</math> «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire : {{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;</math>» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» et de celui des forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> sur le même intervalle <math>\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;</math> «<math>\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. === Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable === {{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par <math>\;dt\;</math> chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «<math>\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>» dans lequel on reconnaît * dans le 1^er membre, la puissance mécanique instantanée de <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>», * dans le 1^er terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;</math>» et * dans le 2^ème terme du 2^ème membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées à <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, notée, à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =</math>}} <math>\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;</math>» d'où {{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives {{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}</math>, la puissance mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, d’un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;</math>» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> appliquées au même système <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> au même instant <math>\;t\;</math> «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» soit, mathématiquement, <center>«<math>\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math> dans le référentiel galiléen <math>\;\mathcal{R}\;</math>».</center>}} {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste. == « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas == {{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière <ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique <math>\;\big[</math>voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » <math>\;\big(</math>dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives<math>\big)\big]\;\ldots</math> {{Al|5}}« <u>L'énergie mécanique d'un système de matière</u> <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> <u>déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives</u>, définie dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <u>est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives</u> <ref name="non conservatives" /> s’exerçant sur <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math> <u>ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}</math>}} <math>= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;</math>» on en tire «<math>\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;</math>» ou encore «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;</math>» ; {{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière <math>\;\left( \mathcal{S} \right)\;</math><ref name="système de matière" /> déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives <ref name="non conservatives" /> impliquant «<math>\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math> ainsi que <math>\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen s'écrivant {{Nobr|«<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)</math>}} <math>= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;</math>» on en tire «<math>\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» ou, après intégration, «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;</math>». == Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie == === Présentation du tabouret d’inertie === [[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]] {{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » : {{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant <math>\;\big(</math>avec un minimum de frottement solide et fluide<math>\big)\;</math> autour d'un axe « vertical » <math>\;\big(</math>dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal<math>\big)\;</math> et sur le siège duquel est positionné un système de matière <ref name="système de matière" /> <math>\;\big(</math>pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle<math>\big)\;</math> déformable <math>\;\big(</math>par exemple un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)</math> ; {{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière <ref name="système de matière" /> déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal <math>\;\big(</math>c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen<math>\big)\;\ldots</math> === Description de l’expérience === {{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe<math>\big)\;</math> et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; {{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\searrow\;</math> puis {{Al|5}}le même « moteur interne » <math>\;\big(</math>c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau<math>\big)\;</math> redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » <math>\;\big(</math>c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math> et on observe que la vitesse angulaire de rotation <math>\;\nearrow\;</math> en reprenant sa valeur initiale. {{Al|5}}<u>Remarque</u> : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes. === Explication de l’observation === {{Al|5}}L'ensemble « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «<math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>», n'étant soumis qu'aux actions extérieures * « le poids de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big\{</math>force verticale descendante<math>\big\}\;</math>» et * « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.<math>8</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> qui se réduisent en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <br><math>\;\succ\;</math> à une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et <br><math>\;\succ\;</math> à un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, {{Al|5}}on en déduit que « <u>le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> agissant sur <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>est nul</u> » soit «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;</math>» <ref name="moment scalaire dynamique"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.<math>4</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)\;</math> et {{Al|5}}l'application, à l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d’étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> nous conduit à «<math>\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;</math>» soit, dans le cas présent, «<math>\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;</math>» d'où, après intégration, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;</math>» c.-à-d. « <u>la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>par rapport à l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » <ref name="conservation du moment cinétique scalaire"> Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.<math>5</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, ceci restant <u>indépendant de la déformation du système</u> <math>\;\big(</math>dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures<math>\big)</math> ; {{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> s’écrit, à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» avec «<math>\;\overline{\Omega}(t)</math>, la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de <math>\;\Delta\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math>» et «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)</math>, le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math><ref name="moment d'inertie"> Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>2</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} m_i\;r_i^2\;</math> avec <math>\;r_i\;</math> la distance orthogonale séparant le point matériel <math>\;M_i\;\left( m_i \right)\;</math> de {{Nobr|<math>\;\Delta\;</math>» ;}}<br>{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «<math>\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M</math>» avec <math>\;r\;</math> la distance orthogonale entre l'axe <math>\;\Delta\;</math> et le pseudo-point <math>\;M\;\left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math>» <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm =</math> <math>\mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math> <math>\;\big\{</math>voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.<math>17</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »<math>\big\}</math>.</ref> au même instant <math>\;t\;</math>» <ref name="moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.<math>3</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref> ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>tant que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ne se déforme pas</u>, son moment d'inertie «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» reste constant <ref name="moment d'inertie" /> et par suite, <u>ceci établit</u> l’équivalence entre * « <u>la conservation</u> du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen » et * «{{Transparent|la conserv}} celle <u>de la vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> » soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> avant la 1^ère déformation » ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) >\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante mais de valeur plus faible dans cette phase</u> que dans la phase initiale » soit «<math>\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;</math> après la 1^ère déformation avec <math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après que l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>ait repris son extension la plus proche de l'axe</u> <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) <\;</math> à <math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" /> et de * « la conservation du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe de rotation <math>\;\Delta\;</math> fixe dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}\;</math> galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) < {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»,}} * « <u>une vitesse angulaire de rotation</u> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>autour de l'axe de rotation</u> <math>\;\Delta\;</math> <u>fixe dans le référentiel d'étude</u> <math>\;\mathcal{R}\;</math> <u>galiléen</u> restant <u>constante de valeur plus grande dans cette phase</u> que dans la phase précédente <math>\;\big(</math>plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire<math>\big)\;</math>» soit «<math>\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;</math> après la 2^ème déformation avec <math>\;\overline\Omega_0 > \overline{\Omega'}_1\;</math>». {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation"> Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> décrit, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, éventuellement un mouvement radial et axial <math>\;\big(</math>c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères<math>\big)</math> <math>\;\big[</math>un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> étant un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M\big]</math>.</ref><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle"> Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math> est un élément de matière, centré en <math>\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)</math>, de volume <math>\;d \mathcal{V}_M</math>, de masse <math>\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M</math>, <math>\;\mu(M)\;</math> étant la masse volumique de l'expansion en <math>\;M</math>.</ref> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O"> L'origine <math>\;O\;</math> du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe <math>\;\Delta</math>.</ref> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;</math> ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle"> Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.<math>7</math> de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».</ref>, <math>\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;</math> d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;O</math> <math>\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> relativement à <math>\;\Delta</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;</math> en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle <ref name="distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle" /> ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire <math>\Rightarrow</math> <math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =</math> <math>\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;</math> soit finalement la validité de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» lors des deux phases de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», la vitesse angulaire de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe «<math>\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;</math>». === Bilan énergétique du tabouret d’inertie === {{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant <math>\;t</math>, de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> composé du « système déformable <math>\;\big(</math>c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol<math>\big)\;</math> associé au siège du tabouret tournant », selon «<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» dans laquelle «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;</math>» est l’énergie cinétique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, {{Nobr|«<math>\;U_{\text{pes}}(t)\;</math>»}} l’énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> au même instant <math>\;t</math> <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte <math>\;\big(</math>dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main<math>\big)\;</math> de l’éloignement <math>\;\big(</math>ou du rapprochement<math>\big)\;</math> des haltères de l'axe de rotation, cet écartement <math>\;\big(</math>ou cette approche<math>\big)\;</math> se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères <math>\;\big(</math>on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale<math>\big)</math>, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; <br>{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.</ref><math>\big]\;</math> et «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;</math>» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système <math>\;\big[</math>celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » <ref> Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; <br>{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée <math>\;\big(</math>c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps<math>\big)</math>, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation <math>\Rightarrow</math> «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;</math>» ; <br>{{Al|3}}<u>lors de l’éloignement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail résistant <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>augmentation de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;</math> lors de l'éloignement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}<u>lors du rapprochement de l’haltère</u> de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » <math>\;\big\{</math>c.-à-d. dirigée vers l’axe<math>\big\}</math>, cette dernière développe un travail moteur <math>\;\Big\{</math>seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec <math>\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} < 0\;</math> ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère <math>\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} < 0\;</math> <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} > 0\;</math>»<math>\Big\}\;</math> lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une <u>diminution de l’énergie potentielle d’interaction</u> soit «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;</math> lors du rapprochement de l'haltère » ; <br>{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante : * « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» et * « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>».</ref><math>\big]</math> ; {{Al|5}}<u>les actions extérieures non conservatives</u> étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » <ref name="liaison pivot" /> lesquelles, se réduisant en un point <math>\;O</math>, choisi fixe sur <math>\;\Delta</math>, axe vertical de rotation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, en une résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> et un couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à l'axe vertical de rotation <math>\;\Delta</math> <math>\;\big(</math>idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] <ref name="liaison pivot" /> par absence de frottement<math>\big)</math>, <u>ne travaillent pas</u> <ref> En effet la résultante verticale ascendante <math>\;\vec{R}\;</math> ayant pour point d'application le point <math>\;O\;</math> fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment <math>\;\vec{\Gamma}\;\perp\;</math> à <math>\;\Delta\;</math> développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle <math>\;d \theta\;</math> autour de <math>\;\Delta</math>, le travail <math>\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0</math> <math>\;\big(\vec{u}_\Delta\;</math> étant le vecteur unitaire de <math>\;\Delta\;</math> orientant les angles de rotation<math>\big)</math>.</ref> ; {{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant supposées toutes conservatives, <u>les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas</u> ; {{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, <u>la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable</u> soit <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » <ref name="conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.</ref> <br>soit encore «<math>K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)</math>».</center> {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>avant la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation"> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.<math>9</math> de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».</ref>, «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à l’axe <math>\;\Delta\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, «<math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math>» et «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> dans la mesure où <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =</math> <math>\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;</math>» <ref name="énergie cinétique d'un solide en rotation" />, «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> étant le moment d’inertie du système <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l’axe <math>\;\Delta\;</math> dans son extension la plus éloignée de ce dernier » <ref name="moment d'inertie" /> <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> est <math>\;>\;</math> à <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>»<math>\big]</math>, {{Nobr|«<math>\;\overline{\Omega'}(t)\;</math>}} la vitesse angulaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour <math>\;\Delta\;</math> avec cette extension » <math>\;\big[</math>laquelle garde la valeur «<math>\;\overline{\Omega'}_1 < \overline{\Omega}_0\;</math>» <ref> Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.</ref><math>\big]\;</math> ainsi que «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;</math> le moment cinétique scalaire de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> relativement à <math>\;\Delta\;</math> avec la même extension » <math>\;\big[</math>on rappelle que «<math>\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) > J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» avec «<math>\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <math>\Rightarrow</math> «<math>\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < \overline{\Omega}_0\;</math>»<math>\big]</math> et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&= \!\!\!&\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&< \!\!\!&\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;</math> associées à la 3^ème expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» <math>\;\big[</math>ou «<math>\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) < K_{(\mathcal{E})}(0)\;</math>»<math>\big]</math> ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math><u>si la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>correspond au C.D.I. <ref name="C.D.I." /> des parties déformables de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> <u>à la même altitude</u>, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> prend la même valeur après la 1^ère déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «<math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>» ; {{Al|5}}<math>\;\diamond\;</math>de la conservation de l'énergie mécanique <u>de part et d'autre de la 1^ère déformation</u>, on en tire, après simplification, <center>«<math>K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>» soit encore</center> {{Al|12}}<u>après la 1^ère déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <u>on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;</math> et <u>une augmentation d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} < 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math> ; {{Al|12}}<u>après la 2^ème déformation de l'ensemble</u> <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe <math>\;\big(</math>c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale<math>\big)</math>, <math>\;\big\{</math>ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de <math>\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;</math> ainsi que les états de <math>\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;</math> soient ceux de <math>\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}</math>, <u>on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique</u> <math>\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;</math> et <u>une diminution d'énergie potentielle d'interaction</u> entre les différentes parties du système <math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>, <u>ces deux variations</u> «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) > 0\;</math>» d'une part et «<math>\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =</math> <math>U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < 0\;</math>» d'autre part, <u>se compensant</u> selon «<math>\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} > 0\;</math>» <math>\;\big[</math>ainsi, pour que l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation<math>\big]</math>. {{Al|5}}<math>\;\blacktriangleright\;</math><u>Remarque</u> : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math> <math>\;\big[</math>c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »<math>\big]</math>, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math> <math>\;\big\{</math>car certaines parties de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)</math>, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas <ref name="hors rotation" /><math>\big\}</math>, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>» et {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe <math>\;\Delta\;</math> fixe dans <math>\;\mathcal{R}\;</math><ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système"> En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;</math>» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.</ref>, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;</math>» <ref> De même «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;</math>» et «<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;</math>».</ref> comme prouvé ci-après ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque <math>\;M\, \left( dm \right)\;</math> de l'expansion tridimensionnelle <math>\;\left( \mathcal{V} \right)\;</math><ref name="pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle" /> constituant <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> ayant, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, une même vitesse angulaire instantanée <math>\;\overline{\Omega}(t)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> lors de la 1^ère ou de la 2^nde déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, s'écrit, avec <math>\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;</math> pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> de <math>\;M\;</math><ref name="choix de l'origine O" /> <math>\;\big[</math>la base cylindro-polaire d'axe <math>\;\Delta\;</math> liée à <math>\;M\;</math> étant notée <math>\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]</math>, «<math>\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;</math>» et par suite, {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> étant défini, dans le référentiel d'étude <math>\;\mathcal{R}</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> dans lequel <math>\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =</math> <math>\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;</math> que l'on peut réécrire, en factorisant le 2^ème terme par <math>\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)</math>, selon <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit, en reconnaissant dans «<math>\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;</math> le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> par rapport à <math>\;\Delta</math>, noté <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;</math>» <ref name="moment d'inertie" />, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable <math>\;\left( \mathcal{D} \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t</math>, «<math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> à l'instant <math>\;t\;</math> dans <math>\;\mathcal{R}\;</math> lors de la 1^ère ou 2^ème déformation en ajoutant à <math>\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;</math> l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable <math>\;\left( \mathcal{D}' \right)\;</math> de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> soit <math>\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> d'où <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;</math> soit encore <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math> ou, la grandeur moment d'inertie <ref name="moment d'inertie" /> étant « additive » <ref name="grandeur additive"> Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.</ref> <math>\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&= \!\!\!&\emptyset \end{array} \right\rbrace\;</math> <math>\Rightarrow</math> <math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;</math> et par suite <center>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ou, <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ou encore <br>«<math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» <ref name="applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système" /> ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2^ème expression de <math>\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)</math>, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math>» lors de la 1^ère ou 2^ème déformation selon <center>«<math>\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;</math>» <br>dans laquelle «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;</math>» ;</center> {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) > U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math> ; {{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} <math>\;\succ\;</math>lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «<math>\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;</math>» mais comme le moment d'inertie de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> par rapport à l'axe «<math>\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;</math>», l'énergie cinétique de rotation de <math>\;\left( \mathcal{E} \right)\;</math> autour de l'axe {{Nobr|«<math>\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;</math>»}} et par suite la quantité énergétique «<math>\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;</math>» <math>\;\big\{</math>sachant qu'avant et après la déformation, on a <math>\;K_{\text{déform.}} = 0\;</math> ainsi que <math>\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =</math> <math>U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})</math>, on vérifie «<math>\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) < U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;</math>»<math>\big\}</math>. == Notes et références == <references /> {{Bas de page | idfaculté = physique | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]] | suivant = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]] }} n5y7jjqkfsn707we6m6kwtpygrgvhj4 0 83598 988248 982203 2026-11-09T10:59:40Z Jean-Jacques Pinto 73029 /* A */ 988248 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = SÉRIE "A" CUMULÉE | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | leçon = <!-- [[Titre de la leçon correspondante]] --> | numéro = | précédent = | suivant = }} <!-- insérez le contenu de votre annexe ici -->'''***IMPORTANT*** : IL EST CONSEILLÉ DE NE CONSULTER CETTE ANNEXE QUE COMME AIDE-MÉMOIRE POUR RÉVISER, DONC SEULEMENT APRÈS AVOIR PRIS CONNAISSANCE D'AU MOINS LES DIX PREMIERS CHAPITRES''' Dans cette annexe figurent des “atomes” de la Série '''A''' (adjectifs simples) et des molécules rattachables à cette série (adjectifs complexes, verbes, adverbes), autrement dit le “lexique pertinent” de l’A.L.S.: les mots porteurs d'un contenu sémantique pouvant différer selon les Points-de-vue et les Parlers (“dialectes subjectifs”). On se souvient que la méthode ne retient pas les mots-outils (“poussière grammaticale”) puisque ceux-ci (sauf rares exceptions que nous signalerons) sont utilisés par les locuteurs de tous les parlers que nous décrivons sans donner lieu à des oppositions sémantiques. Voir le chapitre 3 intitulé "LES MOLÉCULES". Si les adjectifs simples (Atomes) de la Série A sont par définition les contraires, les antonymes de ceux de la série B, au niveau des mots complexes (Molécules), il faut nuancer : certes beaucoup de ces mots sont des contraires ou antonymes des mots complexes de la série B, mais pas tous. La raison en est que les verbes de "'''Conservation'''" ne répondent pas terme à terme aux verbes d'"'''Élimination'''", donc il en est de même pour leurs dérivés (noms, adjectifs complexes et adverbes). On s'en rendra compte en consultant l'annexe "[[Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/SÉRIE "B" CUMULÉE|SÉRIE B CUMULÉE]]". Les verbes que nous avons rattaché à cette série '''A''' sont ceux de la liste “'''Élimination'''” définie dans le chapitre 11 intitulé “LES VERBES”. Ce vocabulaire apparaît ici ''<u>par ordre alphabétique</u>'', autrement dit sans aucune sorte de structuration arborescente telle que celles que nous évoquons dans les différents chapitres. Nous parlons de “Série A cumulée” car cette annexe est le lieu d'un processus cumulatif consistant à ajouter périodiquement à cette liste d'autres mots que notre expérience des textes nous fait découvrir et qui nous paraissent devoir figurer ici pour faciliter leur reconnaissance lorsque l'on abordera de texte encore non analysés. Comme dans le tableau des atomes concrets et abstraits, on pourra rencontrer dans cette liste des molécules, des mots complexes antonymes sous l'angle cognitif cognitif (connaissance commune, voire scientifique) alors que sous l'angle de la logique subjective (en rapport avec la genèse précoce des “choix” lexicaux chez les locuteurs) l'apparente contradiction s'explique et disparaît. ... == LA LISTE CUMULÉE : == '''''(Attention'''''&nbsp;''''': la routine de tri alphabétique classe les voyelles accentiuées à la fin de chaque lettre... )''''' === A === abandon, abandonner, abandonné, abimer, abject, abjection, abondamment, abondance, abonder, abreuver, absence, absent, (s')absenter, absentéisme, absentéisme, absolument, abstraction, abstraire, abuser, abyssal, abysses, abîme, abîmer, abîmé, accent, accentuer, accepter/refuser, accompagner, accompagné, accouchement, accoucher, accouché, accroissement, accroître, accru, accueil, accueillant, accueillir, accéder, accélérer, acerbe,acide, acidifier, acquis, acquitter, acquérir, acteur, actif, action, activer, activité, acéré, adapter, adapté, adj, adolescent, adoucir, adoucissement, adultère, affabulation, affabuler, affaiblir, affaiblissement, affamer, affameur, affiler, affiner, affluence, affluer, afflux, affoler, affranchir, affranchir, affreux, affront, agacer, aggraver, agile, agilité, agitateur, agitation, agite, agiter, agité, agrandir, agresser, aigle, aigre, aigrir, aigu, aiguille, aiguiser, aiguë, aile, ailler, ailleurs, ailé, aimable, aimer, air, aise, aisé, aj, ajourner, ajout, ajouter, albatros, alchimie, alchimique, alchimiste, alcôve, aliénation, aliéner, aliéné, allant, aller, allongement1, allonger1, allongé1, allons, allumer, alléchant, alléger, allégorie, altère, altération, altérer, altéré, amaigrir, amant, amante, amazone, ambigu, ambigu, ambre, ambroisie, amer, ami, amincir, amocher, amorcer, amour0,, amour, amoureusement, amoureux, ampleur, amusant, amuser, amériser, anarchie, anarchiste, angoisse, angoisser, animal, animer, annihilation, annihiler, annihilé, anomalie, anormal, anormalité, anti-héros, antérieur, anéanti, anéantir, anéantissant, anéantissement, apparaître, appareiller, apparition, appas, appauvrir, appel, appeler, appliquer, appétir, appétissant, appétit, aqueux, arbre0,, arbre, arbrisseau, arc, archer, archet, ardemment, ardent, ardeur, argotiques, argots, arme, armer, arpenter, arracher, arroser, arsenic, art, articuler, artiste, artistement, arts, arôme, asignifiantes, aspect, aspic, aspirer, assaillir, assaisonner, assassin, assassinat, assassiner, assaut, assouplir, astre, atmosphère, atomiser, atroce, attaque, attaquer, attaqué, atteindre, atteint, atteinte, attendri, attendrir, attendrissement, atterrer, atterré, attirant, attirer, attiser, attraction1, attrayant, attribuer, au, au-dehors, au-delà, au-dessus, aube, aucun, audace, audacieux, auditeur, audition, auditoire, auditorium, augmenter, aujourd'hui, aurore, aussi, autan, autour, autre, autres, aux-gémonies, avance, avancer, avec, aveu, avide, aviron, avoir, avoir, azur, azuré, aérer,, aérer, âcre, âme, === B === Babel, bacchus, baigner, bailler, bain, baise, baiser, baiseur, bal, balancer, balancer, balayer, balayer|balayer, bande2, bander2, bannir, basculer, bassin, bataille, bataillon, battre, bavard, bavardage, bavarder, bazarder, bec, benjoin, berceau, bestial, bille,, bisquer, bizarre, bizarrement, blackbouler, blasphèmatoire, blasphème, blasphémer, blesser, blessure, blessé, blond, bocager, boire, bois, boiter, bon, bond, bondir, bondissant, bondissement, bord, bordure, bornes, bouche, bouger, bouler, bouleversement, bourreau, bousculer, bousiller, bouteille, branle-bas, branler, brasier, braver, brillant, briller, brise, briser, briser, brisé, brouillard, brouiller, bruit, brumeux, brun, brune, brunir, brusque, brusquement, brusquer, brut, brutal, brutalement, brute, bruyant, brûlant, brûle-gueule, brûle-pourpoint, brûler, buceur, bulbe?, béance, béant, béant, béer, bête(b), bûcher, === C === cabrer, calenture, calomnier, cambrioler, campagne, cancaner, cancériser, caprice, caresse, caressent, caresser, caricature, carillon, carnage, cartographier, cascade, casse-cou, casse, casser, casseur, cassé, cataracte, catin, cause, cercle cesse, cesserait, chagriner, chair, chaleur, chaleureux, champ, chancelant, chanceler, change, changeant, changement, changer changer, chanson, chant, chantant, chanter, chanteur, chaos, charitable, charité, charmant, charmante, charme, charmer, charmille, chasser chasser2, chasser, chasseresse, chasseur, chassé, chat, chatoyant, chaud, chaudement, chauds, chauffer, chemin/passage, cheval, chevelure, cheveu, chier, choir, chute, chuter, châtrer, ciel, cieux, cigale, circuler, cire, clair, clairon, clairvoyance, clairvoyant, clamer, claquer claquer, clarifier, clarté, clef, cloche, clé, cogner, collectifs, colline, colorer, colorier, coloré, colère, combat, combattre, combien, comestible, comique, commencement, commencer, commun, communication, communiquer, commérer, complice, concave, concevoir, concret, concrètement, concrétiser, confondre, confus, confusion, confusément, congédier, connecter, connecté, connectés, connexion, consumer, contamination, contaminer, contaminé, contestation, contester, contesté, contorsionner contradiction, contraster, contrasté, contrebalancer contredire, contredit, contremesure, contrer, contré, convulser, coq, corbeau, cordon, corps corps, corps. corroder, corrodé, corrompre, corrosif, corrosion, couler couler, couleur, coup, couper, coupé, cour, courage, courageux, courbe, courber, courir, coursier, courtisane, crachat, cracher, cramer, cramé, crapule, craquement, creuser, creuset, creux, crevasser, crever, cri, criant, criard, crier, crime, crimes, criminel, crinière, crouler, croître croître, cru, cruel, cruellement, cruer, crève, créativité, créer, cuire, cuisse, culte, cythère, câlin, céder, cœur, === D === dague, damner, dangereusement, dangereux, dans, dans, danse, danser, danseur, dantesque, dard, darder, dauphin, David, de, de, debout, dechiffrage, dechiffrement, decorer, deferler, dehors, demain, demander, demantibuler, demantibulé, dent, dernier2, derrouillage, desceller, dessaisir, dessaısır, dessein, desserrer, dessin, dessouder, destructeur, destruction, devergondé, devoir, diable, dialectes, dialectiquement, diane, diarrhée, diarrhéique, diffus, diffuser, différemment, différence, différencier, différent, différents, différer, digeste, digérer, dilacérer, dilapider, dilater, diluer, dilution, dilué, dimension, discontinu, discordant, discordant;, discorde, discorder, discréditation, discréditer, discrédité, discuter, disjoindre, disjoints, disjonction, disloquer, disparaître, disparition, disparité, disparu, disperser, dispersion, dispersé, disproportion, disproportionné, disputer, disqualification, disqualifier, dissipation, dissiper, dissipé, dissolution, dissonant, dissonner, dissoudre, dissous, distancer, distordre, distordu, distorsion, distraire, divaguer, divers, diversement, diversifier, diversifié, diversité, division, divisé, divorcer, doigt, dommage, don, donation, donner, donné, dormir, douce, doucement, douceur, doucher, douleur, doux, dresser1, dresser, dressé, drôles, du, du, dynamiter, dynamiter, déballer, débarbouiller, débarras, débarrasser, débarrassé, débauche, débaucher, débauché, débiter, déblaiement, débobiner, débordement, déborder, débotter, débotté, déboucher, débouché, débouler, déboussoler, déboutonner, déboîter, débrailler, débrancher, débrider, débris, débrouiller, débroussailler, débuter, débâcler, décacheter, décadence, décalaminer, décalotter, décamper, décapitation, décapiter, décapsuler, décentraliser, décentrant, décentrer, décevoir, décharger, déchaînement, déchaîner, déchaîné, déchiffrage, déchiffrement, déchiffrer, déchiquetage, déchiqueter, déchiqueté, déchirant, déchirent, déchirer, déchirer, déchirure, déchiré, décimation, décimer, décimé, déclarer, déclin, déclinaison, décliner, déclore, déclouer, décoincer, décoller, décoller, décombres, décomposer, décomposer, décomposition, décomposé, décomposé, décompresser, décompression, décompressé, décomprimer, décompter, déconcerter, décongestion, décongestionner, décongestionné, déconnecter, déconnecté, déconnexion, déconstruction, déconstruire, déconstruit, décontracter, décor, décoration, décorum, découdre, décousu, découvert, découvrir, décrasser, décrisper, décrocher, décrotter, décryptage, décrypter, décrypté, décrépir, dédaigner, dédaigné, dédain, dédire, défaillant, défaillir, défaire, défaire, défait, défaite, déferlante, déferlement, défi, défier, défigurer, défiler, défoncer, déformation, déformer, déformé, dégager, déglinguer, dégommer, dégoût, dégradation, dégrader, dégradé, dégraisser, dégueuler, dégénérer, dégénérescence, dégénéré, déhancher, délabrer, délabré, délaissement, délaisser, délaissé, délayage, délayer, délayé, délester, déliaison, délicat, délice, délicieux, délier, délimiter, délire, délirer, déliter, délivrer, délié, délocaliser, déluge, démanteler, démantelé, démantèlement, démarrer, démembrer, démembré, démence, démener, démenti, démentir, démerder, démesuré, démoli, démolir, démon, démons, démontage, démonter, démonté, démurer, déménagement, déménager, déménagé, démêlage, démêler, démêlé,dénaturer, déniaisé, dénier, dénié, dénouer, dénuder, dénégation, dépaqueter, dépareiller, dépareillé, départ, départir, départir, départs, dépassement, dépasser, dépasser, dépassé, dépensier, déplacement, déplacer, déplacé, déplanter, déplier, déplié, déployer, dépolluer, dépollution, dépollué, déporter, déposer, déposé, dépouiller2, dépouiller, dépourvoir, dépourvu, dépoussiérer, déprendre, déprendre, déprotéiniser, dépôt, dérailler, dérangement, déranger, dérangé, dérision, dérisoire, dériver, dérober, dérouillage, dérouiller, déroulement, dérouler, dérèglementer, dérégler, déréguler, désaccorder, désagréable, désagrégation, désagréger, désagrégé, désajuster, désamarrer, désamorcer, désamorcé, désamorçage, désapprobation, désapprouver, désapprouvé, désarmement, désarmer, désarmé, désarticuler, désassembler, désaveu, désavouer, désavoué, désemboiter, désenchaîner, désencombrer, désencombré, désengorger, désengorgé, désespérer, déshabiller, déshonneur, déshonorant, déshonorer, déshonoré, déshériter, désincarcérer, désintriquer, désintégration, désintégrer, désintégré, désintégré, désinvolte, désinvolture, désir, désirer, désolation, désolidarisation, désolidariser, désolidarisé, désordonné, désordre, désorienter, désormais, désosser, déstabiliser, déstratification, déstructurer, désucrer, désunir, détachement, détacher, détacher, détaché, détendre, déterrer, déterritorialisation, déterré, déterré, détestable, détestation, détester, détester, détoner, détonner, détour, détourner, détricoter, détrousser, détruire, détruit, détérioration, détériorer, détérioré, détérioré, dévaliser, dévastateur, dévaster, dévasté, développer, dévergonder, dévergonder, dévergondé, déverrouillage, déverrouiller, dévier, dévisser, dévoyer, dévêtir, === E === eau, effondrer, effraie, effrayant, effrayer, effrayer|effrayer, effrayé, effritement, effriter, effrité, effroi, effroyable, eldorado, emballages, emballement, emballer1, embaumer1, embaumer, embrasement, embraser, empester, empoigner, empoisonner, empoisonné, emporter, en, encanailler, encanaillé, encens, encensoir, endommager, endommagé, enfance, enfant, enfer, enfiévrer, enflammer, enflammé, enfler, enfoncer, enfreindre, enfuir, engager, engendrer, enhardir, enivrant, enivrer, enjoliver, enlaidir, enlever1, enlever2, enlever, ennemi, enrager, enseveliment, ensevelir, ensoleiller, entailler, entamer, entendre, entourer, entraîner, entre-bâillant, entrebâiller, entrelacer, entremêler, entrouvrir, envenimer, envie, envier, envoler, envoyer, envoyer, errant, erreur, escalader, Eschyle, escroc, espace, espoir, esprit, espérance, esquinter, essai, essaim, essaimer, essayer, estropier, et, excepter, exciter, exclu, exclure, exclusion, excursion, excéder, exhaler, exhausser, exhiber, exhibition, exhibitionniste, exhibé, exiler, exilé, exonérer, expansion, expatrier, expiation, expiation, expirer, explicite, expliciter, expliquer, exploser, exploser, explosion, exporter, exposer, exposé, expressif, expression, exprimer, expulser, expulsion, expulsé, expédier, extase, extensif, extension, extermination, exterminer, exterminé, externaliser, externe, extirper, extraction, extraire, extrait, extraordinaire, extravagant, extraverti, extrémiser, extrême, exécuter, exécuteur, ébaucher, éblouir, éblouissant, ébranler, ébrèchement, ébrécher, ébréché, écarquiller, écart, écarteler, écartelé, écartement, écarter1, écarter2, écartèlement, écarté, échange, échanger, échangé, échapper, échauffement, échauffer, échauffé, éclair, éclairant, éclaircir, éclairer, éclater, éclater, éclore, éconduire, écornifler, écoulement, écouler, écrire, écroulement, écrouler, écroulé, écumant, écume, écumer, écumer_de_haine/rage/colère, écumer_les_mers, écumeux, écumé, édifice, égarement, égarer, égaré, égorger, éjaculer, éjecter, élargir, élastique, électrique, élever, élevé, élimination, éliminer1, éliminer2, éliminer, éliminé, éloignement, éloigner, éloigné, émanciper, émanciper, émaner, émetteur, émettre, émigrer, émission, émotion, émouvoir, émulsion, émulsionner, émulsionné, énigmatique, énigme, énorme, énormité, épanchement, épancher, épanouir, éparpiller, éphémère, éphémère, épicer, épouvantable, épouvante, épouvantement, épouvanter, épouvanté, éprouver, épée, éradication, éradiquer, éradiqué, érafler, érection, érection, éroder, érodé, érosion, établir, étaler, étang, étendre, étendre, étendu, éther, étincelant, étinceler, étincelle, étirer, étoiler, étoilé, étonnement, étonner, étrange, étranger, étriper, évacuation, évacuer, évacuer, évaporation, évaporer, évaporé, évaser, évasif, évasion, éveiller, éveillé, éventer, éventrer, éviction, évincer, évincé, éviter, évoluer, évolutif, évolution, évolué, === F === fable, fabulation, fabuler, face, facile, faciliter, facultatif, faille, faillibilité, faillible, faillir, faire, faire, faire_peur, faisceau, falloir, fameux, fanal, fantaisie, fantasia, fantastique, farce, fastueux, fatigue, faucher, fauve, faux, feindre, femme, fendre, fertile, fervent, ferveur, feu, fiable, fiel, fier, filer1, filer2, filtrer, fin, fin, firmament, fissure, fissurer, fissuré, fixement, fixé, fièvre, flamber, flamboyer, flamme, flamme,, fleur, fleurer, fleurir, fleuve, flot, flottant, flou, flouter, fluide, fluidifier, fluidité, flux, foison, foisonnement, foisonner, foncer, foncer1, fonceur, fond, fondre, fondu, force, forcer, forme, forniquer, fort, forêt, fou, foudre, foudroyant, foudroyer, fouiller, fourbir, fourmilier, fourmilière, fourmillement, fourmiller, fourrure, foutre, fractionner, fracture, fracturer, fracturer, fragile, fragiliser, fragmenter, fragmenté, frais, franchir, franchise, franchissement, frappe, frapper, fraternité, frauder, frayer, frayer, frayer|frayer, frileux, frisson, frissonner, frivole, froid, frotter, fruit, frémir, frêle, fugitif, fuir, fuite, fulgurance, fulgurant, fulgurer, fulminer, fumant, fumer, fumer, fumeur, fumée, furie, furieux, fusion, fécond, fée, féerie, féerique, féroce, férocité, fête, === G === gai, gaiement, gaieté, gaillardement, galop, galoper, ganges, garde, gaspiller, gausser, gazer, gazeux, gazouiller, gazéifier, geindre, germer, geste, gibet, gicler, gigantesque, girouette, glapir, glissade, glisse, glisser, gloire, Goliath, gorger, gosier, gouffre, gourer, grand, grand, grande, grandeur, grandir, grandir, gras, gravats, graveleux, grelottant, griffe, griffer, grillé, grimace, grimper, grondant, gronde, grouiller, grêle, guerrier, gueule, gueule, gueule_d'enterrement, guérir, géant, géhenne, gémir, génie, généreux, gésine, === H === habileté, habiter, haine, haine,, haleter, harceler, hardi, harmonie, harpie, hasard, hasardeux, hausser, haut, hautain, hautbois, hauteur, haïr, haïssable, helminthe, herbe, herbe, heure, hideux, histoire, hoquet, horizon, horreur, horrible, horrifier, hors, hors-concours, hors-jeu, hors-normes, hospice, houle, houleux, humain, humide, humidifier, humour, hurlant, hurlement, hurler, huée, hydraté, hyperactif, hâte, hâter, hétérogénéité, === I === ici, if, ignorance, ignorer, ignoré, illimité, illuminer, illustre, image, imagination, imaginé, immense, immensité, immodéré, immolation, immoler, immonde, immoral, immoraliste, impair, impatient, impensable, impensé, imperfection, impertinence, impie, impoli, impolitesse, importer, importuner, impression1, impressionnable, impressionnant, imprimer2, impropre, impropriété, imprécis, impréparation, imprévu, impudeur, impudique, impuni, impunité, impur, impureté, inadaptation, inadapté, inapproprié, inarrêtable, inattribuable, inaugurer, incarnation, incarné, incendiaire, incendie, incendier, incertain, incinération, incinératioon, incinérer, incinéré, inciser, inclinaison, inclination, incliner, incliner, incomestible, incommensurable, incompris, incompréhensible,, incompréhension,, inconfort, inconnu, inconsistant, inconséquent, inconvenant, incorrect, inculquer, incursion, indicible, indiscret, indomptable, indécent, indéfendable, indéfini,, indépendance, indépendant, infamie, infecter, infernal, infernale, infiltration, infiltrer, infiltré, infini, infléchir, infondé, infraction, infâme, ingrat, ingratitude, inhabituel, inhaler, inhiber, inhibition, inhumation, inimaginable, inintimidable, injurier, injuste, innombrable, innovation, inouï, inouïes, inquiétant, inquiéter, inquiétude, insatiablement, insensé, insolence, insouciant, insoumis, insoumission, inspirer, insubmersible, insubordination, insulte, insulter, intelligent, intensités, interdire, interférer, interjeter, interpeler, interroger, interrompre, intoxiquer, inutile, invalidation, invalide, invalider, invalidité, invalidé, invectiver, inventé, invisible, inviter, involontaire, inédit, inéducable, inégal, iriser, irrationnel, irrégulariser, irrégulier, irrépressible, isolement, isoler, isolé, issue, ivre, ivresse, île(0), === J === jadis, jaillir, jaloux, jardin, jeter, jeter, jeu, jeune, jeûner, joie, joindre, joli, jouer, jour, joyeux, === K === klaxon, klaxonner === L === labourer, lacher, lacher, lacérer, laid, laisser, laisser, laisser-aller, lame, lampe, lancer, lancinant, langoureux, langues, langueur, lanterne, largage, large, largement, larguer, largué, las, latéral, latérale, laver, le, le, lentement, les, les, lest, leste, lever, lever, libertin, liberté, libre, librement, libérer, lice, licencier, lieu, limer, limiites, limiter, limité, limpide, liqueur, liquide, liquider, liquéfaction, liquéfier, liquéfier, liquéfié, livide, livrer, logorrhée, loin, lointain, loisir, long, long, longue, louer, lubricité, lubrique, lucide, lueur, lui, luire, lumière, lune, lustre, lutter, luttes, lutteur, lyrique, là, là-bas, là-haut, lâcher, lâcher, lèvre, lèvres, léger, légion(s), légèrement, légèreté, === M === Macbeth, magique, magner, magnificence, magnifique, magnifiquement, maigre, maigrir, main, mais, maison, mal, mal, malade, maladie, maladif, malaise, malfaisant, maligne, malin, maline, malmener, malpoli, malsain, maltraiter, manifestation, manifeste, manque, manquer, marche, marcher, marin, marinier, marrer, martyriser, massacre, massacrer, matin, maudire, maudit, maîtresse, me, membre, membrure, mensonge, mensonger, mentir, mer, merci, merveille, merveilleux, mesurable, mettre, meurtre, meurtrier, meurtrir, meute, miaulement, miauler, miennes, milieu, mille, million, millions, mimer1, minaudant, mince, mincir, miracle, mirage, mitrailler, mixer, mobile, mobiliser, modifier, monstre, monstrueux, monstruosité, montagne, monter, monter, montrait, montrer, moquer, moqueur, morbide, morceler, mordre, morsure0, morsure, mort, mortel,moteur, motivant, motivation, mots, mouiller, mouillé, mousse, mouvant, mouvement, mouvements, mouvoir, multiforme, multiple, multiplicité, multiplicités, multiplier, multitude, musc, muscle, museau, musique, mutiler, mutin, mutiner, myrrhe, myrte, mystique, mythe, mâchoire, mâle, mât, méandre, méchanceté, méchanceté,, méchant, méconduire, méconnaître, mécontenter, médire, mélangé, ménagerie, méprendre, métamorphose, métamorphosé, métamorphoser, métastaser, métisser, mêler, === N === n'importe, n'importe_comment, n'importe_où, n'importe_quand, n'importe_qui, n'importe_quoi nageant, nager, nageur, nappe, nard, narguer, nature, naturel, naturelle, navire, naître, naïade, ne, nectar, nettoyer, neuf, ni, nier, nié, nom, nombre, nombreuse, nombreux, nommable, non, non, nourrir, nourrissant, nouveau, nouveau-né, nouveauté, novice, nu, nuage, nubilité, nudité, nue, nuer, nuire, nuit0, nuée, nymphe, néantiser, nécessaire, nécessairement, négatif, négation, négliger, === O === oasis, oblique, obliquer, obscène, occire, océan, odeur, odieux, odorant, odorer, odoriser, offensant, offense, offensif, offrande, offrir, oiseau, omettre, on, onde, ondoyant, ondulation, onduleux, ongle, orchestre, organes, orgiaque, orgie, oser, ostraciser, osé, oubli, oublier, oublieux, ouragan, outil, outrepasser, ouvert, ouverture, ouvrer|ouvrir, ouvrir, Ovide, oxydant, oxydation, oxyder, oxydé, === P === Paillasse, palais, palper, palpiter, paniquer, panthère, papoter, par-delà, paradoxal, paradoxalement, parallèle, paraître, parcelle, parcourir, parcours, pardon, pardonner, parer2, parfum, parfumer, parfumé, paris, parjurer, parlant, parler, parmi, parsemer, part, partager, partial, partialement, partiellement, partiet, partir, partir, partout, pas, passage, passager, passant, passent, passer, passion, passionnel, passionné, passé, patois, patrie, paupière, pauvre, pauvresse, pavaner, paysage, peau, peindre, peine, peintre, penchant, pencher, pendre, perceptif, percer, perdre, perdre, perdu, perforer, perforer, perle, permettre, permuter, perméabiliser, perméable, perte, perturber, pester, peuple, peupler, peur, philtre, pied, pimenter, piquant, piquer, pisser, pitié, pivotant, pivotantes, pièce, pièces, place, plain-pied, plainte, plaintif, plaire, plaisant, plaisir, plaisir,, plan, planait, planer, planeur, plastiquer, pleur, pleure, pleurer, pleur|pleurs, pleuvoir, pleuvras, plonge, plonger1, plonger, pluie, plumage, plume, plus, plus, pluvieux, poignard, poignarder, poil, point, pointe, poison, poitrine, polir, polluer, pollution, pollué, polychrome, polychromer, populaire, pore, poreux, port, porte, portée, possible, postillonner, postérieur, poudre, poudreux, poumon, pour, poussaient, pousser, pousser, poussée, pouvoir, poème, poète, poésie,, prairie, pratiquer, prendre, printemps, prise, prodige, prodigue, profane, projeter, proliférer, promener, promouvoir, propagande, propagandiste, propagateur, propagation, propager, propagé, propre, proscrire, prostitution, protester, protéique, prunelle, précipice, précipitation, précipiter, précipiter, prêter, public, publier, publique, puis, puiser, puissance, puissant, pullulation, pulluler, pulvériser, pulvérisé, pulvérulent, purgatoire, purge, purger, purgé, putain, pâmer, pâmer, péché, périhérique, périphérique, pétant [20h_pétantes], pétarader, pétard, péter, pétuner, pété, === Q === quadrupède?, quarantaine, quel, quereller, questionner, quitter, quitter, quoi ?, === R === radieux, rafraîchir, rage, rager, ramier, ramification, ramifier, rapide, rapport, raser, Ravachol, ravager, ravageur, ravagé, ravir, rayer, rayon, rebeller, rebiffer, recaler, recombiner, recommencer, redressement1, redresser1, redresser, refouler, refus, refuser, refusé, regard, regarder, rehausser, rejaillir, rejet, rejeter, rejeté, relacher, relacher, relatif, relativement, relativité, relaxer, relayer, relever, relevé, relief, reluire, relâcher, remonter, remonter, remous, remplacer, remue-ménage, remuer, renaissance, renaître, rencontre, renier, renoncer, renouveau, renverser, renvoi, renvoyer, renvoyer1, renvoyer, renvoyé, repoussant, repoussement, repousser1, repousser2, repousser, repoussé, repudier, respirer, resplendir, restituer, retirer, retors, retrancher, retrousser, reverser, revivre, rhizome, riboter, riche, richesse, rien, rigoler, rire, risquer, rivage, robe, rompre, rompre_la_glace, ronchonner, rongé, rose, roter, roucoulement, rouge, rougir, rouler, rouspéter, rouvrir, rude, rue, rugissement, rugosifier, rugueux, ruine, ruiner, ruiné, ruisseau, ruisseler, rumeur, rupture, râle, râler, réaliser, récent, réchauffer, réclamer, récrier, récriminer, récusation, récuser, récusé, réfutation, réfuter, réfuté, réjouir, répandre, répudiation, répudier, répudié, répugnant, réseau, résistant, résonne, résurrection, réveiller, révocation, révoltant, révolte, révolter, révolté, révolution, révolutionnaire, révolutionner, révoquer, révoqué, révéler, rêve, rêver, rôder, === S === ss'absenter, s'acoquiner, s'acquitter, s'adonner, s'affranchir, s'amouracher, s'effondrer, s'emballer, s'en, s'encanailler, s'enfuir, s'enquérir, s'entre-déchirer, s'entre-égorger, s'entrechoquer, s'envoler, s'esclaffer, s'exclamer, s'insurger, s'interpénétrer, s'originer, s'ébattre, s'ébrouer, s'échapper, s'éclipser, s'écouler, s'écrier, s'écrouler, s'égosiller, s'élancer, s'éprendre, s'évader, s'évanouir, sable, saborder, saboter, saccager, sacrifier, saignant, saigner, salaud, saler, saliver, salope, saloperie0, salé, sang, sanglant, sangler, sanglot, sangloter, sans, saper, sapide, satan, satin, satisfaire, sauter, sauvage, savoir, savoureux, scorpion, sculpter, se, se, sec, secouer, section, sectionné, segmenter, seigneur, sein, seine, semblant, sembler, semer, semer, sens, sensibiliser, sensibilité, sensible, senti, sentir, sen|sens, serpent, serpenter, serré, siffler, silencieusement, sillonner, simple, simulateur, simulation0, simuler0, simuler, singularité, singulier, singulière, soi-même, soie, soir, soleil, solidaire, solidariser, solidarité, solubilisation, solubiliser, solubilisé, soluble, sombre, somme, sommet, son, sonder, sonner, sonore, sonoriser, sorcière, sort, sortir, soudainement, souffler, souffrance, souffrir, soufller, soulager, soulever, soulèvement, soupir, souple, souplesse, sous, souvent, soûler, spectacle, splendeur, splendide, spontané, spéciales, spéculieux, stimulant, stimuler, stimuler, strychnine, stupide, suaire, sublime, sublimer, substituer, subtil, subversif, subversion, sucré, suer, sueur, suicider, suivre, summum, superbe, superficiel, superficielle, supérieur, sur, surface, surfacer, surhumain, surprenant, surprendre, symbolique, séduisant, séparation, séparé, série, série, sérieux, s’écrouler, === T === tableau, taillader, tamarinier, tambour, tamiser, tangibiliser, tangible, teindre, tellement, temporaire, tempête, tempêter, tempêtueux, tendre, tentation, tentative, tenter1, tenter2, tenter, terreur, terrible, terrifiant, terrifier, terrorisant, terrorise, terroriser, théâtre, timbre, tirer1, tirer2, tison, titans, tituber, tiède, toboggan, toison, tombant, tomber, tonifier, tonique, toquer, tord, tordre, tordu, tornade, torpiller, tors, tortueux, torture, torturer, toucher, tourbillon, tourbillonnant, tourbillonner, tourmenter, tourmenté, tourner, tourner, tournoyer, tous, tout, toute, toxicité, toxine, toxique, trafiquer, trahir, transformation, transformer, transférer, transgression, transiter, translucider, transmettre, transparent, transpercer, transpirer, transport, travail, travers, traverser, traîner, tremble, trembler, tringler, triomphant, tripot, Trismégiste, triturer, troc, trombe, trompe, tromper, trompette, troncher, trop, troquer, troqué, trou1, trou, trouble, troubler, troublé, trouer, troupeau, trousser, trouver, troué, trucider, trémousser, trépas, trépasser, trépider, trépigner, trêve, tubercule, tubercules, tuer, tuer, tumulte, turbulence, turbulent, tête, === U === ulcérer, unir, univers, user, usure, usurper, usé, utopie, utopique, === V === vague(n), vague(aj), vaguement, valeur, vaporeux, vaporiser, variable, variant, varier, varié, variété, vaste, vaurien, velours, velouté, vendre, vendu, venir, vent, vente, ventiler, ventre0,, verdir, vermeil, verre, vers, versant, verser, versé, vert, vertige, verve, vibrant, vibrer, vice, vicieux, vidanger, vide, vider, vider, vie, vif, vigoureux, vil, vin, viol, violence, violent, violenter, violer, violeur, vipère, virer, vitalité, vite, vitesse, vitesses, vitupérer, vivace, vivant, viveurs, vivras, vivre, vocal, vocaliser, vogue, voguer, voile, voir, voix, volant, volatiliser, volcan, voler, voleur, volontiers, volonté, voltiger, voluptueusement, voluptueux, volupté, vomir, vomissement, vouer, vouloir, voyage, voyager, voyageur, végétal, Vélociraptor, Vénus, vénérien, === Z === zigouiller, zébrer, zébrure '''''[À SUIVRE]''''' '''''De petites modifications de détail (orthographe, doublons) seront faites dans les jours qui viennent...''''' == COMPOSITION DE CETTE SÉRIE A CUMULÉE (mots simples et mots complexes) == * Les adjectifs simples ou atomes constituant la série A au sens strict * Les verbes de la liste "Éiimination" définie au <u>'''Chapitre''' [[Analyse des Logiques Subjectives/Retour aux "Molécules" - Les verbes#Deux listes de verbes|'''11''']]</u>. Ce sont des mots complexes * Les autres mots complexes : adjectifs complexes, noms (substantifs) et adverbes == RAPPEL DES ADJECTIFS SIMPLES ("ATOMES") DE LA SÉRIE A CONTENUS DANS CE CUMUL : == === ATOMES CONCRETS : === grand, large, haut, lointain, antérieur, périphérique, latéral, debout, non limité, discontinu, flou, diffus, dispersé, déplié, mobile, multiple, ouvert, mince, fin, long, en relief, transparent, exposé, découvert, externe, superficiel, vide, concave, accompagné, coloré, rouge, vert, clair, brillant, irrégulier, contrasté, éclairant, aigu, haut, sonore, parlant, vocal, dissonant, stimulant l'audition, tangible, inconsistant, fluide, souple, léger, chaud, mouillé, tendre, doux, tonique, fragile, aigu, courbe, rugueux, stimulant le toucher, non comestible, sapide, non nourrissant, non sucré, non gras, non protéique, salé, acide, amer, piquant, cru, non mûr, vert, digeste, odorant, parfumé, debout, gazeux, liquide, pulvérulent, laid, joli, === ATOMES ABSTRAITS : === acquis, actif, agité, ami, accueillant, amusant, anormal, autre, différent, concret, courageux, cruel, désordonné, éphémère, étranger, éveillé, facile, simple, facultatif, fécond, fertile, fort, fou, insensé, gai, généreux, dépensier, guerrier, humain, imprécis, imprévu, surprenant, impudique, impur, inconnu, indépendant, indiscret, inégal, infini, injuste, inquiétant, inutile, jeune, libre, libre, non fixé, malade, méchant, mélangé, mensonger, faux, mortel, naturel, non nommable, non adapté, laid, joli, indéfini, non fiable, non mesurable, démesuré, incommensurable, déniaisé, devergondém, non nécessaire, osé, indécent, partial, perméable, poreux, postérieur, profane, propre, rapide, récent, relatif, riche, sans valeur, sauvage, sensible, singulier, extraordinaire, spontané, surhumain, bestial, turbulent, vil, violent, vivant == LISTE DES VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION" À L'INFINITIF : voir l'annexe suivante == [[Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION"|'''''-> Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION"''''']] * '''Mots qui seront bientôt ajoutés après tri alphabétique :''' == Verbes avec leurs dérivés nominaux, adjectivaux et adverbiaux : == '''Ouvrir''' : ouverture, ouvert, ouvertement '''Débâcler''' : débâclage, dégagé '''Débâillonner''' : débâillonnement, libre '''Débander''' : débandade, délié '''Débarricader''' : déblaiement, dégagé '''Débarrer''' : ouverture, ouvert '''Débloquer''' : déblocage, libre '''Déborner''' : illimité, sans bornes '''Déboucher''' : débouchage, ouvert '''Déboucler''' : débouclage, ouvert '''Déboutonner''' : déboutonnage, ouvert '''Décadenasser''' : ouverture, ouvert '''Décapsuler''' : décapsulage, ouvert '''Décacheter''' : décachetage, ouvert '''Décercler''' : décerclage, libre '''Décerner''' : discernement, clair '''Déchômer''' : travail, actif '''Décicatriser''' : plaie, ouvert '''Déclaquer''' : silence, calme '''Déclouer''' : déclouage, libre '''Découdre''' : découdage, ouvert '''Disjoncter''' : connexion, activé '''Écluser''' : ouverture, ouvert '''Autoriser''' : autorisation, autorisé '''Reprendre''' : reprise, actif '''Déclore''' : ouverture, ouvert '''Déconsigner''' : liberté, libre '''Rattacher''' : attache, attaché '''Décoller''' : décollage, libre '''Accepter''' : acceptation, accepté '''Décondamner''' : ouverture, ouvert '''Libérer''' : libération, libre '''Entrouvrir''' : ouverture, ouvert '''Définir''' : définition, défini '''Déconnecter''' : déconnexion, déconnecté '''Définir''' : définition, défini '''Débloquer''' : déblocage, libre '''Désinvestir''' : désinvestissement, libre '''Alléger''' : légèreté, léger '''Démaçonner''' : démolition, démoli '''Démolir''' : démolition, démoli '''Défaire''' : dénouement, défait '''Désobstruer''' : désobstruction, libre '''Révéler''' : révélation, révélé '''Dévoiler''' : dévoilement, dévoilé '''Détacher''' : détachement, détaché '''Déboucher''' : débouchage, ouvert '''Parquer''' : liberté, libre '''Déplier''' : dépliage, déplié '''Ouvrir boutique''' : ouverture, ouvert '''Retenir''' : retenue, retenu '''Déverrouiller''' : ouverture, ouvert '''Sceller''' : ouverture, ouvert '''Se détacher''' : détachement, détaché '''Réactiver''' : activation, activé '''Débuter''' : début, débutant '''Pousser''' : poussée, poussé{{Bas de page | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | leçon = <!-- [[Titre de la leçon correspondante]] --> | précédent = | suivant = }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> ej2dil0yl742xm43fj4cddaos74cg6y 988249 988248 2026-11-09T11:11:01Z Jean-Jacques Pinto 73029 /* A */ 988249 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = SÉRIE "A" CUMULÉE | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | leçon = <!-- [[Titre de la leçon correspondante]] --> | numéro = | précédent = | suivant = }} <!-- insérez le contenu de votre annexe ici -->'''***IMPORTANT*** : IL EST CONSEILLÉ DE NE CONSULTER CETTE ANNEXE QUE COMME AIDE-MÉMOIRE POUR RÉVISER, DONC SEULEMENT APRÈS AVOIR PRIS CONNAISSANCE D'AU MOINS LES DIX PREMIERS CHAPITRES''' Dans cette annexe figurent des “atomes” de la Série '''A''' (adjectifs simples) et des molécules rattachables à cette série (adjectifs complexes, verbes, adverbes), autrement dit le “lexique pertinent” de l’A.L.S.: les mots porteurs d'un contenu sémantique pouvant différer selon les Points-de-vue et les Parlers (“dialectes subjectifs”). On se souvient que la méthode ne retient pas les mots-outils (“poussière grammaticale”) puisque ceux-ci (sauf rares exceptions que nous signalerons) sont utilisés par les locuteurs de tous les parlers que nous décrivons sans donner lieu à des oppositions sémantiques. Voir le chapitre 3 intitulé "LES MOLÉCULES". Si les adjectifs simples (Atomes) de la Série A sont par définition les contraires, les antonymes de ceux de la série B, au niveau des mots complexes (Molécules), il faut nuancer : certes beaucoup de ces mots sont des contraires ou antonymes des mots complexes de la série B, mais pas tous. La raison en est que les verbes de "'''Conservation'''" ne répondent pas terme à terme aux verbes d'"'''Élimination'''", donc il en est de même pour leurs dérivés (noms, adjectifs complexes et adverbes). On s'en rendra compte en consultant l'annexe "[[Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/SÉRIE "B" CUMULÉE|SÉRIE B CUMULÉE]]". Les verbes que nous avons rattaché à cette série '''A''' sont ceux de la liste “'''Élimination'''” définie dans le chapitre 11 intitulé “LES VERBES”. Ce vocabulaire apparaît ici ''<u>par ordre alphabétique</u>'', autrement dit sans aucune sorte de structuration arborescente telle que celles que nous évoquons dans les différents chapitres. Nous parlons de “Série A cumulée” car cette annexe est le lieu d'un processus cumulatif consistant à ajouter périodiquement à cette liste d'autres mots que notre expérience des textes nous fait découvrir et qui nous paraissent devoir figurer ici pour faciliter leur reconnaissance lorsque l'on abordera de texte encore non analysés. Comme dans le tableau des atomes concrets et abstraits, on pourra rencontrer dans cette liste des molécules, des mots complexes antonymes sous l'angle cognitif cognitif (connaissance commune, voire scientifique) alors que sous l'angle de la logique subjective (en rapport avec la genèse précoce des “choix” lexicaux chez les locuteurs) l'apparente contradiction s'explique et disparaît. ... == LA LISTE CUMULÉE : == '''''(Attention'''''&nbsp;''''': la routine de tri alphabétique classe les voyelles accentiuées à la fin de chaque lettre... )''''' === A === abandon, abandonner, abandonné, abimer, abject, abjection, abondamment, abondance, abonder, abreuver, absence, absent, (s')absenter, absentéisme, absolument, abstraction, abstraire, abus, abuser, abusif, abyssal, abysses, abîme, abîmer, abîmé, accent, accentuer, accepter, accompagnement, accompagner, accompagné, accouchement, accoucher, accouché, accroissement, accroître, accru, accueil, accueillant, accueillir, accéder, accélérer, acerbe,acide, acidifier, acquis, acquitter, acquérir, acteur, actif, action, activer, activité, acéré, adapter, adapté, adaptation, adadolescent, adoucir, adoucissement, adultère, aération, aérer, aéré, aérien affabulation, affabuler, affaiblir, affaiblissement, affamer, affameur, affiler, affiner, affluence, affluer, afflux, affoler, affranchir, affranchir, affreux, affront, agacer, aggraver, agile, agilité, agitateur, agitation, agite, agiter, agité, agrandir, agresser, aigle, aigre, aigrir, aigu, aiguille, aiguiser, aiguë, aile, ailler, ailleurs, ailé, aimable, aimer, air, aise, aisé, ajourner, ajout, ajouter, albatros, alchimie, alchimique, alchimiste, alcôve, aliénation, aliéner, aliéné, allant, aller, allongement1, allonger1, allongé1, allant, allumer, allumé, allumeuse, alléchant, alléchant, allégement, alléger, allégorie, allégorique, altère, altération, altérer, altéré, amaigrir, amant, amante, amazone, ambigu, ambiguïté, ambre, ambré, ambroisie, amer, ami, amincir, amincissement, aminci ,amocher, amorcer, amoureusement, amoureux, ampleur, amusant, amuser, amériser, anarchie, anarchiste, angoisse, angoisser, animal, animer, annihilation, annihiler, annihilé, anomalie, anormal, anormalité, anti-héros, antérieur, anéanti, anéantir, anéantissant, anéantissement, apparaître, appareiller, apparition, appas, appauvrir, appel, appeler, appliquer, appétir, appétissant, appétit, aqueux, arbre0,, arbre, arbrisseau, arc, archer, archet, ardemment, ardent, ardeur, argotiques, argots, arme, armer, arpenter, arracher, arroser, arsenic, art, articuler, artiste, artistement, arts, arôme, asignifiantes, aspect, aspic, aspirer, assaillir, assaisonner, assassin, assassinat, assassiner, assaut, assouplir, astre, atmosphère, atomiser, atroce, attaque, attaquer, attaqué, atteindre, atteint, atteinte, attendri, attendrir, attendrissement, atterrer, atterré, attirant, attirer, attiser, attraction1, attrayant, attribuer, au, au-dehors, au-delà, au-dessus, aube, aucun, audace, audacieux, auditeur, audition, auditoire, auditorium, augmenter, aujourd'hui, aurore, aussi, autan, autour, autre, autres, aux-gémonies, avance, avancer, avec, aveu, avide, aviron, avoir, avoir, azur, azuré, aérer,, aérer, âcre, âme, === B === Babel, bacchus, baigner, bailler, bain, baise, baiser, baiseur, bal, balancer, balancer, balayer, balayer|balayer, bande2, bander2, bannir, basculer, bassin, bataille, bataillon, battre, bavard, bavardage, bavarder, bazarder, bec, benjoin, berceau, bestial, bille,, bisquer, bizarre, bizarrement, blackbouler, blasphèmatoire, blasphème, blasphémer, blesser, blessure, blessé, blond, bocager, boire, bois, boiter, bon, bond, bondir, bondissant, bondissement, bord, bordure, bornes, bouche, bouger, bouler, bouleversement, bourreau, bousculer, bousiller, bouteille, branle-bas, branler, brasier, braver, brillant, briller, brise, briser, briser, brisé, brouillard, brouiller, bruit, brumeux, brun, brune, brunir, brusque, brusquement, brusquer, brut, brutal, brutalement, brute, bruyant, brûlant, brûle-gueule, brûle-pourpoint, brûler, buceur, bulbe?, béance, béant, béant, béer, bête(b), bûcher, === C === cabrer, calenture, calomnier, cambrioler, campagne, cancaner, cancériser, caprice, caresse, caressent, caresser, caricature, carillon, carnage, cartographier, cascade, casse-cou, casse, casser, casseur, cassé, cataracte, catin, cause, cercle cesse, cesserait, chagriner, chair, chaleur, chaleureux, champ, chancelant, chanceler, change, changeant, changement, changer changer, chanson, chant, chantant, chanter, chanteur, chaos, charitable, charité, charmant, charmante, charme, charmer, charmille, chasser chasser2, chasser, chasseresse, chasseur, chassé, chat, chatoyant, chaud, chaudement, chauds, chauffer, chemin/passage, cheval, chevelure, cheveu, chier, choir, chute, chuter, châtrer, ciel, cieux, cigale, circuler, cire, clair, clairon, clairvoyance, clairvoyant, clamer, claquer claquer, clarifier, clarté, clef, cloche, clé, cogner, collectifs, colline, colorer, colorier, coloré, colère, combat, combattre, combien, comestible, comique, commencement, commencer, commun, communication, communiquer, commérer, complice, concave, concevoir, concret, concrètement, concrétiser, confondre, confus, confusion, confusément, congédier, connecter, connecté, connectés, connexion, consumer, contamination, contaminer, contaminé, contestation, contester, contesté, contorsionner contradiction, contraster, contrasté, contrebalancer contredire, contredit, contremesure, contrer, contré, convulser, coq, corbeau, cordon, corps corps, corps. corroder, corrodé, corrompre, corrosif, corrosion, couler couler, couleur, coup, couper, coupé, cour, courage, courageux, courbe, courber, courir, coursier, courtisane, crachat, cracher, cramer, cramé, crapule, craquement, creuser, creuset, creux, crevasser, crever, cri, criant, criard, crier, crime, crimes, criminel, crinière, crouler, croître croître, cru, cruel, cruellement, cruer, crève, créativité, créer, cuire, cuisse, culte, cythère, câlin, céder, cœur, === D === dague, damner, dangereusement, dangereux, dans, dans, danse, danser, danseur, dantesque, dard, darder, dauphin, David, de, de, debout, dechiffrage, dechiffrement, decorer, deferler, dehors, demain, demander, demantibuler, demantibulé, dent, dernier2, derrouillage, desceller, dessaisir, dessaısır, dessein, desserrer, dessin, dessouder, destructeur, destruction, devergondé, devoir, diable, dialectes, dialectiquement, diane, diarrhée, diarrhéique, diffus, diffuser, différemment, différence, différencier, différent, différents, différer, digeste, digérer, dilacérer, dilapider, dilater, diluer, dilution, dilué, dimension, discontinu, discordant, discordant;, discorde, discorder, discréditation, discréditer, discrédité, discuter, disjoindre, disjoints, disjonction, disloquer, disparaître, disparition, disparité, disparu, disperser, dispersion, dispersé, disproportion, disproportionné, disputer, disqualification, disqualifier, dissipation, dissiper, dissipé, dissolution, dissonant, dissonner, dissoudre, dissous, distancer, distordre, distordu, distorsion, distraire, divaguer, divers, diversement, diversifier, diversifié, diversité, division, divisé, divorcer, doigt, dommage, don, donation, donner, donné, dormir, douce, doucement, douceur, doucher, douleur, doux, dresser1, dresser, dressé, drôles, du, du, dynamiter, dynamiter, déballer, débarbouiller, débarras, débarrasser, débarrassé, débauche, débaucher, débauché, débiter, déblaiement, débobiner, débordement, déborder, débotter, débotté, déboucher, débouché, débouler, déboussoler, déboutonner, déboîter, débrailler, débrancher, débrider, débris, débrouiller, débroussailler, débuter, débâcler, décacheter, décadence, décalaminer, décalotter, décamper, décapitation, décapiter, décapsuler, décentraliser, décentrant, décentrer, décevoir, décharger, déchaînement, déchaîner, déchaîné, déchiffrage, déchiffrement, déchiffrer, déchiquetage, déchiqueter, déchiqueté, déchirant, déchirent, déchirer, déchirer, déchirure, déchiré, décimation, décimer, décimé, déclarer, déclin, déclinaison, décliner, déclore, déclouer, décoincer, décoller, décoller, décombres, décomposer, décomposer, décomposition, décomposé, décomposé, décompresser, décompression, décompressé, décomprimer, décompter, déconcerter, décongestion, décongestionner, décongestionné, déconnecter, déconnecté, déconnexion, déconstruction, déconstruire, déconstruit, décontracter, décor, décoration, décorum, découdre, décousu, découvert, découvrir, décrasser, décrisper, décrocher, décrotter, décryptage, décrypter, décrypté, décrépir, dédaigner, dédaigné, dédain, dédire, défaillant, défaillir, défaire, défaire, défait, défaite, déferlante, déferlement, défi, défier, défigurer, défiler, défoncer, déformation, déformer, déformé, dégager, déglinguer, dégommer, dégoût, dégradation, dégrader, dégradé, dégraisser, dégueuler, dégénérer, dégénérescence, dégénéré, déhancher, délabrer, délabré, délaissement, délaisser, délaissé, délayage, délayer, délayé, délester, déliaison, délicat, délice, délicieux, délier, délimiter, délire, délirer, déliter, délivrer, délié, délocaliser, déluge, démanteler, démantelé, démantèlement, démarrer, démembrer, démembré, démence, démener, démenti, démentir, démerder, démesuré, démoli, démolir, démon, démons, démontage, démonter, démonté, démurer, déménagement, déménager, déménagé, démêlage, démêler, démêlé,dénaturer, déniaisé, dénier, dénié, dénouer, dénuder, dénégation, dépaqueter, dépareiller, dépareillé, départ, départir, départir, départs, dépassement, dépasser, dépasser, dépassé, dépensier, déplacement, déplacer, déplacé, déplanter, déplier, déplié, déployer, dépolluer, dépollution, dépollué, déporter, déposer, déposé, dépouiller2, dépouiller, dépourvoir, dépourvu, dépoussiérer, déprendre, déprendre, déprotéiniser, dépôt, dérailler, dérangement, déranger, dérangé, dérision, dérisoire, dériver, dérober, dérouillage, dérouiller, déroulement, dérouler, dérèglementer, dérégler, déréguler, désaccorder, désagréable, désagrégation, désagréger, désagrégé, désajuster, désamarrer, désamorcer, désamorcé, désamorçage, désapprobation, désapprouver, désapprouvé, désarmement, désarmer, désarmé, désarticuler, désassembler, désaveu, désavouer, désavoué, désemboiter, désenchaîner, désencombrer, désencombré, désengorger, désengorgé, désespérer, déshabiller, déshonneur, déshonorant, déshonorer, déshonoré, déshériter, désincarcérer, désintriquer, désintégration, désintégrer, désintégré, désintégré, désinvolte, désinvolture, désir, désirer, désolation, désolidarisation, désolidariser, désolidarisé, désordonné, désordre, désorienter, désormais, désosser, déstabiliser, déstratification, déstructurer, désucrer, désunir, détachement, détacher, détacher, détaché, détendre, déterrer, déterritorialisation, déterré, déterré, détestable, détestation, détester, détester, détoner, détonner, détour, détourner, détricoter, détrousser, détruire, détruit, détérioration, détériorer, détérioré, détérioré, dévaliser, dévastateur, dévaster, dévasté, développer, dévergonder, dévergonder, dévergondé, déverrouillage, déverrouiller, dévier, dévisser, dévoyer, dévêtir, === E === eau, effondrer, effraie, effrayant, effrayer, effrayer|effrayer, effrayé, effritement, effriter, effrité, effroi, effroyable, eldorado, emballages, emballement, emballer1, embaumer1, embaumer, embrasement, embraser, empester, empoigner, empoisonner, empoisonné, emporter, en, encanailler, encanaillé, encens, encensoir, endommager, endommagé, enfance, enfant, enfer, enfiévrer, enflammer, enflammé, enfler, enfoncer, enfreindre, enfuir, engager, engendrer, enhardir, enivrant, enivrer, enjoliver, enlaidir, enlever1, enlever2, enlever, ennemi, enrager, enseveliment, ensevelir, ensoleiller, entailler, entamer, entendre, entourer, entraîner, entre-bâillant, entrebâiller, entrelacer, entremêler, entrouvrir, envenimer, envie, envier, envoler, envoyer, envoyer, errant, erreur, escalader, Eschyle, escroc, espace, espoir, esprit, espérance, esquinter, essai, essaim, essaimer, essayer, estropier, et, excepter, exciter, exclu, exclure, exclusion, excursion, excéder, exhaler, exhausser, exhiber, exhibition, exhibitionniste, exhibé, exiler, exilé, exonérer, expansion, expatrier, expiation, expiation, expirer, explicite, expliciter, expliquer, exploser, exploser, explosion, exporter, exposer, exposé, expressif, expression, exprimer, expulser, expulsion, expulsé, expédier, extase, extensif, extension, extermination, exterminer, exterminé, externaliser, externe, extirper, extraction, extraire, extrait, extraordinaire, extravagant, extraverti, extrémiser, extrême, exécuter, exécuteur, ébaucher, éblouir, éblouissant, ébranler, ébrèchement, ébrécher, ébréché, écarquiller, écart, écarteler, écartelé, écartement, écarter1, écarter2, écartèlement, écarté, échange, échanger, échangé, échapper, échauffement, échauffer, échauffé, éclair, éclairant, éclaircir, éclairer, éclater, éclater, éclore, éconduire, écornifler, écoulement, écouler, écrire, écroulement, écrouler, écroulé, écumant, écume, écumer, écumer_de_haine/rage/colère, écumer_les_mers, écumeux, écumé, édifice, égarement, égarer, égaré, égorger, éjaculer, éjecter, élargir, élastique, électrique, élever, élevé, élimination, éliminer1, éliminer2, éliminer, éliminé, éloignement, éloigner, éloigné, émanciper, émanciper, émaner, émetteur, émettre, émigrer, émission, émotion, émouvoir, émulsion, émulsionner, émulsionné, énigmatique, énigme, énorme, énormité, épanchement, épancher, épanouir, éparpiller, éphémère, éphémère, épicer, épouvantable, épouvante, épouvantement, épouvanter, épouvanté, éprouver, épée, éradication, éradiquer, éradiqué, érafler, érection, érection, éroder, érodé, érosion, établir, étaler, étang, étendre, étendre, étendu, éther, étincelant, étinceler, étincelle, étirer, étoiler, étoilé, étonnement, étonner, étrange, étranger, étriper, évacuation, évacuer, évacuer, évaporation, évaporer, évaporé, évaser, évasif, évasion, éveiller, éveillé, éventer, éventrer, éviction, évincer, évincé, éviter, évoluer, évolutif, évolution, évolué, === F === fable, fabulation, fabuler, face, facile, faciliter, facultatif, faille, faillibilité, faillible, faillir, faire, faire, faire_peur, faisceau, falloir, fameux, fanal, fantaisie, fantasia, fantastique, farce, fastueux, fatigue, faucher, fauve, faux, feindre, femme, fendre, fertile, fervent, ferveur, feu, fiable, fiel, fier, filer1, filer2, filtrer, fin, fin, firmament, fissure, fissurer, fissuré, fixement, fixé, fièvre, flamber, flamboyer, flamme, flamme,, fleur, fleurer, fleurir, fleuve, flot, flottant, flou, flouter, fluide, fluidifier, fluidité, flux, foison, foisonnement, foisonner, foncer, foncer1, fonceur, fond, fondre, fondu, force, forcer, forme, forniquer, fort, forêt, fou, foudre, foudroyant, foudroyer, fouiller, fourbir, fourmilier, fourmilière, fourmillement, fourmiller, fourrure, foutre, fractionner, fracture, fracturer, fracturer, fragile, fragiliser, fragmenter, fragmenté, frais, franchir, franchise, franchissement, frappe, frapper, fraternité, frauder, frayer, frayer, frayer|frayer, frileux, frisson, frissonner, frivole, froid, frotter, fruit, frémir, frêle, fugitif, fuir, fuite, fulgurance, fulgurant, fulgurer, fulminer, fumant, fumer, fumer, fumeur, fumée, furie, furieux, fusion, fécond, fée, féerie, féerique, féroce, férocité, fête, === G === gai, gaiement, gaieté, gaillardement, galop, galoper, ganges, garde, gaspiller, gausser, gazer, gazeux, gazouiller, gazéifier, geindre, germer, geste, gibet, gicler, gigantesque, girouette, glapir, glissade, glisse, glisser, gloire, Goliath, gorger, gosier, gouffre, gourer, grand, grand, grande, grandeur, grandir, grandir, gras, gravats, graveleux, grelottant, griffe, griffer, grillé, grimace, grimper, grondant, gronde, grouiller, grêle, guerrier, gueule, gueule, gueule_d'enterrement, guérir, géant, géhenne, gémir, génie, généreux, gésine, === H === habileté, habiter, haine, haine,, haleter, harceler, hardi, harmonie, harpie, hasard, hasardeux, hausser, haut, hautain, hautbois, hauteur, haïr, haïssable, helminthe, herbe, herbe, heure, hideux, histoire, hoquet, horizon, horreur, horrible, horrifier, hors, hors-concours, hors-jeu, hors-normes, hospice, houle, houleux, humain, humide, humidifier, humour, hurlant, hurlement, hurler, huée, hydraté, hyperactif, hâte, hâter, hétérogénéité, === I === ici, if, ignorance, ignorer, ignoré, illimité, illuminer, illustre, image, imagination, imaginé, immense, immensité, immodéré, immolation, immoler, immonde, immoral, immoraliste, impair, impatient, impensable, impensé, imperfection, impertinence, impie, impoli, impolitesse, importer, importuner, impression1, impressionnable, impressionnant, imprimer2, impropre, impropriété, imprécis, impréparation, imprévu, impudeur, impudique, impuni, impunité, impur, impureté, inadaptation, inadapté, inapproprié, inarrêtable, inattribuable, inaugurer, incarnation, incarné, incendiaire, incendie, incendier, incertain, incinération, incinératioon, incinérer, incinéré, inciser, inclinaison, inclination, incliner, incliner, incomestible, incommensurable, incompris, incompréhensible,, incompréhension,, inconfort, inconnu, inconsistant, inconséquent, inconvenant, incorrect, inculquer, incursion, indicible, indiscret, indomptable, indécent, indéfendable, indéfini,, indépendance, indépendant, infamie, infecter, infernal, infernale, infiltration, infiltrer, infiltré, infini, infléchir, infondé, infraction, infâme, ingrat, ingratitude, inhabituel, inhaler, inhiber, inhibition, inhumation, inimaginable, inintimidable, injurier, injuste, innombrable, innovation, inouï, inouïes, inquiétant, inquiéter, inquiétude, insatiablement, insensé, insolence, insouciant, insoumis, insoumission, inspirer, insubmersible, insubordination, insulte, insulter, intelligent, intensités, interdire, interférer, interjeter, interpeler, interroger, interrompre, intoxiquer, inutile, invalidation, invalide, invalider, invalidité, invalidé, invectiver, inventé, invisible, inviter, involontaire, inédit, inéducable, inégal, iriser, irrationnel, irrégulariser, irrégulier, irrépressible, isolement, isoler, isolé, issue, ivre, ivresse, île(0), === J === jadis, jaillir, jaloux, jardin, jeter, jeter, jeu, jeune, jeûner, joie, joindre, joli, jouer, jour, joyeux, === K === klaxon, klaxonner === L === labourer, lacher, lacher, lacérer, laid, laisser, laisser, laisser-aller, lame, lampe, lancer, lancinant, langoureux, langues, langueur, lanterne, largage, large, largement, larguer, largué, las, latéral, latérale, laver, le, le, lentement, les, les, lest, leste, lever, lever, libertin, liberté, libre, librement, libérer, lice, licencier, lieu, limer, limiites, limiter, limité, limpide, liqueur, liquide, liquider, liquéfaction, liquéfier, liquéfier, liquéfié, livide, livrer, logorrhée, loin, lointain, loisir, long, long, longue, louer, lubricité, lubrique, lucide, lueur, lui, luire, lumière, lune, lustre, lutter, luttes, lutteur, lyrique, là, là-bas, là-haut, lâcher, lâcher, lèvre, lèvres, léger, légion(s), légèrement, légèreté, === M === Macbeth, magique, magner, magnificence, magnifique, magnifiquement, maigre, maigrir, main, mais, maison, mal, mal, malade, maladie, maladif, malaise, malfaisant, maligne, malin, maline, malmener, malpoli, malsain, maltraiter, manifestation, manifeste, manque, manquer, marche, marcher, marin, marinier, marrer, martyriser, massacre, massacrer, matin, maudire, maudit, maîtresse, me, membre, membrure, mensonge, mensonger, mentir, mer, merci, merveille, merveilleux, mesurable, mettre, meurtre, meurtrier, meurtrir, meute, miaulement, miauler, miennes, milieu, mille, million, millions, mimer1, minaudant, mince, mincir, miracle, mirage, mitrailler, mixer, mobile, mobiliser, modifier, monstre, monstrueux, monstruosité, montagne, monter, monter, montrait, montrer, moquer, moqueur, morbide, morceler, mordre, morsure0, morsure, mort, mortel,moteur, motivant, motivation, mots, mouiller, mouillé, mousse, mouvant, mouvement, mouvements, mouvoir, multiforme, multiple, multiplicité, multiplicités, multiplier, multitude, musc, muscle, museau, musique, mutiler, mutin, mutiner, myrrhe, myrte, mystique, mythe, mâchoire, mâle, mât, méandre, méchanceté, méchanceté,, méchant, méconduire, méconnaître, mécontenter, médire, mélangé, ménagerie, méprendre, métamorphose, métamorphosé, métamorphoser, métastaser, métisser, mêler, === N === n'importe, n'importe_comment, n'importe_où, n'importe_quand, n'importe_qui, n'importe_quoi nageant, nager, nageur, nappe, nard, narguer, nature, naturel, naturelle, navire, naître, naïade, ne, nectar, nettoyer, neuf, ni, nier, nié, nom, nombre, nombreuse, nombreux, nommable, non, non, nourrir, nourrissant, nouveau, nouveau-né, nouveauté, novice, nu, nuage, nubilité, nudité, nue, nuer, nuire, nuit0, nuée, nymphe, néantiser, nécessaire, nécessairement, négatif, négation, négliger, === O === oasis, oblique, obliquer, obscène, occire, océan, odeur, odieux, odorant, odorer, odoriser, offensant, offense, offensif, offrande, offrir, oiseau, omettre, on, onde, ondoyant, ondulation, onduleux, ongle, orchestre, organes, orgiaque, orgie, oser, ostraciser, osé, oubli, oublier, oublieux, ouragan, outil, outrepasser, ouvert, ouverture, ouvrer|ouvrir, ouvrir, Ovide, oxydant, oxydation, oxyder, oxydé, === P === Paillasse, palais, palper, palpiter, paniquer, panthère, papoter, par-delà, paradoxal, paradoxalement, parallèle, paraître, parcelle, parcourir, parcours, pardon, pardonner, parer2, parfum, parfumer, parfumé, paris, parjurer, parlant, parler, parmi, parsemer, part, partager, partial, partialement, partiellement, partiet, partir, partir, partout, pas, passage, passager, passant, passent, passer, passion, passionnel, passionné, passé, patois, patrie, paupière, pauvre, pauvresse, pavaner, paysage, peau, peindre, peine, peintre, penchant, pencher, pendre, perceptif, percer, perdre, perdre, perdu, perforer, perforer, perle, permettre, permuter, perméabiliser, perméable, perte, perturber, pester, peuple, peupler, peur, philtre, pied, pimenter, piquant, piquer, pisser, pitié, pivotant, pivotantes, pièce, pièces, place, plain-pied, plainte, plaintif, plaire, plaisant, plaisir, plaisir,, plan, planait, planer, planeur, plastiquer, pleur, pleure, pleurer, pleur|pleurs, pleuvoir, pleuvras, plonge, plonger1, plonger, pluie, plumage, plume, plus, plus, pluvieux, poignard, poignarder, poil, point, pointe, poison, poitrine, polir, polluer, pollution, pollué, polychrome, polychromer, populaire, pore, poreux, port, porte, portée, possible, postillonner, postérieur, poudre, poudreux, poumon, pour, poussaient, pousser, pousser, poussée, pouvoir, poème, poète, poésie,, prairie, pratiquer, prendre, printemps, prise, prodige, prodigue, profane, projeter, proliférer, promener, promouvoir, propagande, propagandiste, propagateur, propagation, propager, propagé, propre, proscrire, prostitution, protester, protéique, prunelle, précipice, précipitation, précipiter, précipiter, prêter, public, publier, publique, puis, puiser, puissance, puissant, pullulation, pulluler, pulvériser, pulvérisé, pulvérulent, purgatoire, purge, purger, purgé, putain, pâmer, pâmer, péché, périhérique, périphérique, pétant [20h_pétantes], pétarader, pétard, péter, pétuner, pété, === Q === quadrupède?, quarantaine, quel, quereller, questionner, quitter, quitter, quoi ?, === R === radieux, rafraîchir, rage, rager, ramier, ramification, ramifier, rapide, rapport, raser, Ravachol, ravager, ravageur, ravagé, ravir, rayer, rayon, rebeller, rebiffer, recaler, recombiner, recommencer, redressement1, redresser1, redresser, refouler, refus, refuser, refusé, regard, regarder, rehausser, rejaillir, rejet, rejeter, rejeté, relacher, relacher, relatif, relativement, relativité, relaxer, relayer, relever, relevé, relief, reluire, relâcher, remonter, remonter, remous, remplacer, remue-ménage, remuer, renaissance, renaître, rencontre, renier, renoncer, renouveau, renverser, renvoi, renvoyer, renvoyer1, renvoyer, renvoyé, repoussant, repoussement, repousser1, repousser2, repousser, repoussé, repudier, respirer, resplendir, restituer, retirer, retors, retrancher, retrousser, reverser, revivre, rhizome, riboter, riche, richesse, rien, rigoler, rire, risquer, rivage, robe, rompre, rompre_la_glace, ronchonner, rongé, rose, roter, roucoulement, rouge, rougir, rouler, rouspéter, rouvrir, rude, rue, rugissement, rugosifier, rugueux, ruine, ruiner, ruiné, ruisseau, ruisseler, rumeur, rupture, râle, râler, réaliser, récent, réchauffer, réclamer, récrier, récriminer, récusation, récuser, récusé, réfutation, réfuter, réfuté, réjouir, répandre, répudiation, répudier, répudié, répugnant, réseau, résistant, résonne, résurrection, réveiller, révocation, révoltant, révolte, révolter, révolté, révolution, révolutionnaire, révolutionner, révoquer, révoqué, révéler, rêve, rêver, rôder, === S === ss'absenter, s'acoquiner, s'acquitter, s'adonner, s'affranchir, s'amouracher, s'effondrer, s'emballer, s'en, s'encanailler, s'enfuir, s'enquérir, s'entre-déchirer, s'entre-égorger, s'entrechoquer, s'envoler, s'esclaffer, s'exclamer, s'insurger, s'interpénétrer, s'originer, s'ébattre, s'ébrouer, s'échapper, s'éclipser, s'écouler, s'écrier, s'écrouler, s'égosiller, s'élancer, s'éprendre, s'évader, s'évanouir, sable, saborder, saboter, saccager, sacrifier, saignant, saigner, salaud, saler, saliver, salope, saloperie0, salé, sang, sanglant, sangler, sanglot, sangloter, sans, saper, sapide, satan, satin, satisfaire, sauter, sauvage, savoir, savoureux, scorpion, sculpter, se, se, sec, secouer, section, sectionné, segmenter, seigneur, sein, seine, semblant, sembler, semer, semer, sens, sensibiliser, sensibilité, sensible, senti, sentir, sen|sens, serpent, serpenter, serré, siffler, silencieusement, sillonner, simple, simulateur, simulation0, simuler0, simuler, singularité, singulier, singulière, soi-même, soie, soir, soleil, solidaire, solidariser, solidarité, solubilisation, solubiliser, solubilisé, soluble, sombre, somme, sommet, son, sonder, sonner, sonore, sonoriser, sorcière, sort, sortir, soudainement, souffler, souffrance, souffrir, soufller, soulager, soulever, soulèvement, soupir, souple, souplesse, sous, souvent, soûler, spectacle, splendeur, splendide, spontané, spéciales, spéculieux, stimulant, stimuler, stimuler, strychnine, stupide, suaire, sublime, sublimer, substituer, subtil, subversif, subversion, sucré, suer, sueur, suicider, suivre, summum, superbe, superficiel, superficielle, supérieur, sur, surface, surfacer, surhumain, surprenant, surprendre, symbolique, séduisant, séparation, séparé, série, série, sérieux, s’écrouler, === T === tableau, taillader, tamarinier, tambour, tamiser, tangibiliser, tangible, teindre, tellement, temporaire, tempête, tempêter, tempêtueux, tendre, tentation, tentative, tenter1, tenter2, tenter, terreur, terrible, terrifiant, terrifier, terrorisant, terrorise, terroriser, théâtre, timbre, tirer1, tirer2, tison, titans, tituber, tiède, toboggan, toison, tombant, tomber, tonifier, tonique, toquer, tord, tordre, tordu, tornade, torpiller, tors, tortueux, torture, torturer, toucher, tourbillon, tourbillonnant, tourbillonner, tourmenter, tourmenté, tourner, tourner, tournoyer, tous, tout, toute, toxicité, toxine, toxique, trafiquer, trahir, transformation, transformer, transférer, transgression, transiter, translucider, transmettre, transparent, transpercer, transpirer, transport, travail, travers, traverser, traîner, tremble, trembler, tringler, triomphant, tripot, Trismégiste, triturer, troc, trombe, trompe, tromper, trompette, troncher, trop, troquer, troqué, trou1, trou, trouble, troubler, troublé, trouer, troupeau, trousser, trouver, troué, trucider, trémousser, trépas, trépasser, trépider, trépigner, trêve, tubercule, tubercules, tuer, tuer, tumulte, turbulence, turbulent, tête, === U === ulcérer, unir, univers, user, usure, usurper, usé, utopie, utopique, === V === vague(n), vague(aj), vaguement, valeur, vaporeux, vaporiser, variable, variant, varier, varié, variété, vaste, vaurien, velours, velouté, vendre, vendu, venir, vent, vente, ventiler, ventre0,, verdir, vermeil, verre, vers, versant, verser, versé, vert, vertige, verve, vibrant, vibrer, vice, vicieux, vidanger, vide, vider, vider, vie, vif, vigoureux, vil, vin, viol, violence, violent, violenter, violer, violeur, vipère, virer, vitalité, vite, vitesse, vitesses, vitupérer, vivace, vivant, viveurs, vivras, vivre, vocal, vocaliser, vogue, voguer, voile, voir, voix, volant, volatiliser, volcan, voler, voleur, volontiers, volonté, voltiger, voluptueusement, voluptueux, volupté, vomir, vomissement, vouer, vouloir, voyage, voyager, voyageur, végétal, Vélociraptor, Vénus, vénérien, === Z === zigouiller, zébrer, zébrure '''''[À SUIVRE]''''' '''''De petites modifications de détail (orthographe, doublons) seront faites dans les jours qui viennent...''''' == COMPOSITION DE CETTE SÉRIE A CUMULÉE (mots simples et mots complexes) == * Les adjectifs simples ou atomes constituant la série A au sens strict * Les verbes de la liste "Éiimination" définie au <u>'''Chapitre''' [[Analyse des Logiques Subjectives/Retour aux "Molécules" - Les verbes#Deux listes de verbes|'''11''']]</u>. Ce sont des mots complexes * Les autres mots complexes : adjectifs complexes, noms (substantifs) et adverbes == RAPPEL DES ADJECTIFS SIMPLES ("ATOMES") DE LA SÉRIE A CONTENUS DANS CE CUMUL : == === ATOMES CONCRETS : === grand, large, haut, lointain, antérieur, périphérique, latéral, debout, non limité, discontinu, flou, diffus, dispersé, déplié, mobile, multiple, ouvert, mince, fin, long, en relief, transparent, exposé, découvert, externe, superficiel, vide, concave, accompagné, coloré, rouge, vert, clair, brillant, irrégulier, contrasté, éclairant, aigu, haut, sonore, parlant, vocal, dissonant, stimulant l'audition, tangible, inconsistant, fluide, souple, léger, chaud, mouillé, tendre, doux, tonique, fragile, aigu, courbe, rugueux, stimulant le toucher, non comestible, sapide, non nourrissant, non sucré, non gras, non protéique, salé, acide, amer, piquant, cru, non mûr, vert, digeste, odorant, parfumé, debout, gazeux, liquide, pulvérulent, laid, joli, === ATOMES ABSTRAITS : === acquis, actif, agité, ami, accueillant, amusant, anormal, autre, différent, concret, courageux, cruel, désordonné, éphémère, étranger, éveillé, facile, simple, facultatif, fécond, fertile, fort, fou, insensé, gai, généreux, dépensier, guerrier, humain, imprécis, imprévu, surprenant, impudique, impur, inconnu, indépendant, indiscret, inégal, infini, injuste, inquiétant, inutile, jeune, libre, libre, non fixé, malade, méchant, mélangé, mensonger, faux, mortel, naturel, non nommable, non adapté, laid, joli, indéfini, non fiable, non mesurable, démesuré, incommensurable, déniaisé, devergondém, non nécessaire, osé, indécent, partial, perméable, poreux, postérieur, profane, propre, rapide, récent, relatif, riche, sans valeur, sauvage, sensible, singulier, extraordinaire, spontané, surhumain, bestial, turbulent, vil, violent, vivant == LISTE DES VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION" À L'INFINITIF : voir l'annexe suivante == [[Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION"|'''''-> Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION"''''']] * '''Mots qui seront bientôt ajoutés après tri alphabétique :''' == Verbes avec leurs dérivés nominaux, adjectivaux et adverbiaux : == '''Ouvrir''' : ouverture, ouvert, ouvertement '''Débâcler''' : débâclage, dégagé '''Débâillonner''' : débâillonnement, libre '''Débander''' : débandade, délié '''Débarricader''' : déblaiement, dégagé '''Débarrer''' : ouverture, ouvert '''Débloquer''' : déblocage, libre '''Déborner''' : illimité, sans bornes '''Déboucher''' : débouchage, ouvert '''Déboucler''' : débouclage, ouvert '''Déboutonner''' : déboutonnage, ouvert '''Décadenasser''' : ouverture, ouvert '''Décapsuler''' : décapsulage, ouvert '''Décacheter''' : décachetage, ouvert '''Décercler''' : décerclage, libre '''Décerner''' : discernement, clair '''Déchômer''' : travail, actif '''Décicatriser''' : plaie, ouvert '''Déclaquer''' : silence, calme '''Déclouer''' : déclouage, libre '''Découdre''' : découdage, ouvert '''Disjoncter''' : connexion, activé '''Écluser''' : ouverture, ouvert '''Autoriser''' : autorisation, autorisé '''Reprendre''' : reprise, actif '''Déclore''' : ouverture, ouvert '''Déconsigner''' : liberté, libre '''Rattacher''' : attache, attaché '''Décoller''' : décollage, libre '''Accepter''' : acceptation, accepté '''Décondamner''' : ouverture, ouvert '''Libérer''' : libération, libre '''Entrouvrir''' : ouverture, ouvert '''Définir''' : définition, défini '''Déconnecter''' : déconnexion, déconnecté '''Définir''' : définition, défini '''Débloquer''' : déblocage, libre '''Désinvestir''' : désinvestissement, libre '''Alléger''' : légèreté, léger '''Démaçonner''' : démolition, démoli '''Démolir''' : démolition, démoli '''Défaire''' : dénouement, défait '''Désobstruer''' : désobstruction, libre '''Révéler''' : révélation, révélé '''Dévoiler''' : dévoilement, dévoilé '''Détacher''' : détachement, détaché '''Déboucher''' : débouchage, ouvert '''Parquer''' : liberté, libre '''Déplier''' : dépliage, déplié '''Ouvrir boutique''' : ouverture, ouvert '''Retenir''' : retenue, retenu '''Déverrouiller''' : ouverture, ouvert '''Sceller''' : ouverture, ouvert '''Se détacher''' : détachement, détaché '''Réactiver''' : activation, activé '''Débuter''' : début, débutant '''Pousser''' : poussée, poussé{{Bas de page | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | leçon = <!-- [[Titre de la leçon correspondante]] --> | précédent = | suivant = }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> d7i2bp0vp4fv9in2b0th2uhxxxo1cim 988250 988249 2026-11-09T11:21:02Z Jean-Jacques Pinto 73029 /* Q */ 988250 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = SÉRIE "A" CUMULÉE | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | leçon = <!-- [[Titre de la leçon correspondante]] --> | numéro = | précédent = | suivant = }} <!-- insérez le contenu de votre annexe ici -->'''***IMPORTANT*** : IL EST CONSEILLÉ DE NE CONSULTER CETTE ANNEXE QUE COMME AIDE-MÉMOIRE POUR RÉVISER, DONC SEULEMENT APRÈS AVOIR PRIS CONNAISSANCE D'AU MOINS LES DIX PREMIERS CHAPITRES''' Dans cette annexe figurent des “atomes” de la Série '''A''' (adjectifs simples) et des molécules rattachables à cette série (adjectifs complexes, verbes, adverbes), autrement dit le “lexique pertinent” de l’A.L.S.: les mots porteurs d'un contenu sémantique pouvant différer selon les Points-de-vue et les Parlers (“dialectes subjectifs”). On se souvient que la méthode ne retient pas les mots-outils (“poussière grammaticale”) puisque ceux-ci (sauf rares exceptions que nous signalerons) sont utilisés par les locuteurs de tous les parlers que nous décrivons sans donner lieu à des oppositions sémantiques. Voir le chapitre 3 intitulé "LES MOLÉCULES". Si les adjectifs simples (Atomes) de la Série A sont par définition les contraires, les antonymes de ceux de la série B, au niveau des mots complexes (Molécules), il faut nuancer : certes beaucoup de ces mots sont des contraires ou antonymes des mots complexes de la série B, mais pas tous. La raison en est que les verbes de "'''Conservation'''" ne répondent pas terme à terme aux verbes d'"'''Élimination'''", donc il en est de même pour leurs dérivés (noms, adjectifs complexes et adverbes). On s'en rendra compte en consultant l'annexe "[[Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/SÉRIE "B" CUMULÉE|SÉRIE B CUMULÉE]]". Les verbes que nous avons rattaché à cette série '''A''' sont ceux de la liste “'''Élimination'''” définie dans le chapitre 11 intitulé “LES VERBES”. Ce vocabulaire apparaît ici ''<u>par ordre alphabétique</u>'', autrement dit sans aucune sorte de structuration arborescente telle que celles que nous évoquons dans les différents chapitres. Nous parlons de “Série A cumulée” car cette annexe est le lieu d'un processus cumulatif consistant à ajouter périodiquement à cette liste d'autres mots que notre expérience des textes nous fait découvrir et qui nous paraissent devoir figurer ici pour faciliter leur reconnaissance lorsque l'on abordera de texte encore non analysés. Comme dans le tableau des atomes concrets et abstraits, on pourra rencontrer dans cette liste des molécules, des mots complexes antonymes sous l'angle cognitif cognitif (connaissance commune, voire scientifique) alors que sous l'angle de la logique subjective (en rapport avec la genèse précoce des “choix” lexicaux chez les locuteurs) l'apparente contradiction s'explique et disparaît. ... == LA LISTE CUMULÉE : == '''''(Attention'''''&nbsp;''''': la routine de tri alphabétique classe les voyelles accentiuées à la fin de chaque lettre... )''''' === A === abandon, abandonner, abandonné, abimer, abject, abjection, abondamment, abondance, abonder, abreuver, absence, absent, (s')absenter, absentéisme, absolument, abstraction, abstraire, abus, abuser, abusif, abyssal, abysses, abîme, abîmer, abîmé, accent, accentuer, accepter, accompagnement, accompagner, accompagné, accouchement, accoucher, accouché, accroissement, accroître, accru, accueil, accueillant, accueillir, accéder, accélérer, acerbe,acide, acidifier, acquis, acquitter, acquérir, acteur, actif, action, activer, activité, acéré, adapter, adapté, adaptation, adadolescent, adoucir, adoucissement, adultère, aération, aérer, aéré, aérien affabulation, affabuler, affaiblir, affaiblissement, affamer, affameur, affiler, affiner, affluence, affluer, afflux, affoler, affranchir, affranchir, affreux, affront, agacer, aggraver, agile, agilité, agitateur, agitation, agite, agiter, agité, agrandir, agresser, aigle, aigre, aigrir, aigu, aiguille, aiguiser, aiguë, aile, ailler, ailleurs, ailé, aimable, aimer, air, aise, aisé, ajourner, ajout, ajouter, albatros, alchimie, alchimique, alchimiste, alcôve, aliénation, aliéner, aliéné, allant, aller, allongement1, allonger1, allongé1, allant, allumer, allumé, allumeuse, alléchant, alléchant, allégement, alléger, allégorie, allégorique, altère, altération, altérer, altéré, amaigrir, amant, amante, amazone, ambigu, ambiguïté, ambre, ambré, ambroisie, amer, ami, amincir, amincissement, aminci ,amocher, amorcer, amoureusement, amoureux, ampleur, amusant, amuser, amériser, anarchie, anarchiste, angoisse, angoisser, animal, animer, annihilation, annihiler, annihilé, anomalie, anormal, anormalité, anti-héros, antérieur, anéanti, anéantir, anéantissant, anéantissement, apparaître, appareiller, apparition, appas, appauvrir, appel, appeler, appliquer, appétir, appétissant, appétit, aqueux, arbre0,, arbre, arbrisseau, arc, archer, archet, ardemment, ardent, ardeur, argotiques, argots, arme, armer, arpenter, arracher, arroser, arsenic, art, articuler, artiste, artistement, arts, arôme, asignifiantes, aspect, aspic, aspirer, assaillir, assaisonner, assassin, assassinat, assassiner, assaut, assouplir, astre, atmosphère, atomiser, atroce, attaque, attaquer, attaqué, atteindre, atteint, atteinte, attendri, attendrir, attendrissement, atterrer, atterré, attirant, attirer, attiser, attraction1, attrayant, attribuer, au, au-dehors, au-delà, au-dessus, aube, aucun, audace, audacieux, auditeur, audition, auditoire, auditorium, augmenter, aujourd'hui, aurore, aussi, autan, autour, autre, autres, aux-gémonies, avance, avancer, avec, aveu, avide, aviron, avoir, avoir, azur, azuré, aérer,, aérer, âcre, âme, === B === Babel, bacchus, baigner, bailler, bain, baise, baiser, baiseur, bal, balancer, balancer, balayer, balayer|balayer, bande2, bander2, bannir, basculer, bassin, bataille, bataillon, battre, bavard, bavardage, bavarder, bazarder, bec, benjoin, berceau, bestial, bille,, bisquer, bizarre, bizarrement, blackbouler, blasphèmatoire, blasphème, blasphémer, blesser, blessure, blessé, blond, bocager, boire, bois, boiter, bon, bond, bondir, bondissant, bondissement, bord, bordure, bornes, bouche, bouger, bouler, bouleversement, bourreau, bousculer, bousiller, bouteille, branle-bas, branler, brasier, braver, brillant, briller, brise, briser, briser, brisé, brouillard, brouiller, bruit, brumeux, brun, brune, brunir, brusque, brusquement, brusquer, brut, brutal, brutalement, brute, bruyant, brûlant, brûle-gueule, brûle-pourpoint, brûler, buceur, bulbe?, béance, béant, béant, béer, bête(b), bûcher, === C === cabrer, calenture, calomnier, cambrioler, campagne, cancaner, cancériser, caprice, caresse, caressent, caresser, caricature, carillon, carnage, cartographier, cascade, casse-cou, casse, casser, casseur, cassé, cataracte, catin, cause, cercle cesse, cesserait, chagriner, chair, chaleur, chaleureux, champ, chancelant, chanceler, change, changeant, changement, changer changer, chanson, chant, chantant, chanter, chanteur, chaos, charitable, charité, charmant, charmante, charme, charmer, charmille, chasser chasser2, chasser, chasseresse, chasseur, chassé, chat, chatoyant, chaud, chaudement, chauds, chauffer, chemin/passage, cheval, chevelure, cheveu, chier, choir, chute, chuter, châtrer, ciel, cieux, cigale, circuler, cire, clair, clairon, clairvoyance, clairvoyant, clamer, claquer claquer, clarifier, clarté, clef, cloche, clé, cogner, collectifs, colline, colorer, colorier, coloré, colère, combat, combattre, combien, comestible, comique, commencement, commencer, commun, communication, communiquer, commérer, complice, concave, concevoir, concret, concrètement, concrétiser, confondre, confus, confusion, confusément, congédier, connecter, connecté, connectés, connexion, consumer, contamination, contaminer, contaminé, contestation, contester, contesté, contorsionner contradiction, contraster, contrasté, contrebalancer contredire, contredit, contremesure, contrer, contré, convulser, coq, corbeau, cordon, corps corps, corps. corroder, corrodé, corrompre, corrosif, corrosion, couler couler, couleur, coup, couper, coupé, cour, courage, courageux, courbe, courber, courir, coursier, courtisane, crachat, cracher, cramer, cramé, crapule, craquement, creuser, creuset, creux, crevasser, crever, cri, criant, criard, crier, crime, crimes, criminel, crinière, crouler, croître croître, cru, cruel, cruellement, cruer, crève, créativité, créer, cuire, cuisse, culte, cythère, câlin, céder, cœur, === D === dague, damner, dangereusement, dangereux, dans, dans, danse, danser, danseur, dantesque, dard, darder, dauphin, David, de, de, debout, dechiffrage, dechiffrement, decorer, deferler, dehors, demain, demander, demantibuler, demantibulé, dent, dernier2, derrouillage, desceller, dessaisir, dessaısır, dessein, desserrer, dessin, dessouder, destructeur, destruction, devergondé, devoir, diable, dialectes, dialectiquement, diane, diarrhée, diarrhéique, diffus, diffuser, différemment, différence, différencier, différent, différents, différer, digeste, digérer, dilacérer, dilapider, dilater, diluer, dilution, dilué, dimension, discontinu, discordant, discordant;, discorde, discorder, discréditation, discréditer, discrédité, discuter, disjoindre, disjoints, disjonction, disloquer, disparaître, disparition, disparité, disparu, disperser, dispersion, dispersé, disproportion, disproportionné, disputer, disqualification, disqualifier, dissipation, dissiper, dissipé, dissolution, dissonant, dissonner, dissoudre, dissous, distancer, distordre, distordu, distorsion, distraire, divaguer, divers, diversement, diversifier, diversifié, diversité, division, divisé, divorcer, doigt, dommage, don, donation, donner, donné, dormir, douce, doucement, douceur, doucher, douleur, doux, dresser1, dresser, dressé, drôles, du, du, dynamiter, dynamiter, déballer, débarbouiller, débarras, débarrasser, débarrassé, débauche, débaucher, débauché, débiter, déblaiement, débobiner, débordement, déborder, débotter, débotté, déboucher, débouché, débouler, déboussoler, déboutonner, déboîter, débrailler, débrancher, débrider, débris, débrouiller, débroussailler, débuter, débâcler, décacheter, décadence, décalaminer, décalotter, décamper, décapitation, décapiter, décapsuler, décentraliser, décentrant, décentrer, décevoir, décharger, déchaînement, déchaîner, déchaîné, déchiffrage, déchiffrement, déchiffrer, déchiquetage, déchiqueter, déchiqueté, déchirant, déchirent, déchirer, déchirer, déchirure, déchiré, décimation, décimer, décimé, déclarer, déclin, déclinaison, décliner, déclore, déclouer, décoincer, décoller, décoller, décombres, décomposer, décomposer, décomposition, décomposé, décomposé, décompresser, décompression, décompressé, décomprimer, décompter, déconcerter, décongestion, décongestionner, décongestionné, déconnecter, déconnecté, déconnexion, déconstruction, déconstruire, déconstruit, décontracter, décor, décoration, décorum, découdre, décousu, découvert, découvrir, décrasser, décrisper, décrocher, décrotter, décryptage, décrypter, décrypté, décrépir, dédaigner, dédaigné, dédain, dédire, défaillant, défaillir, défaire, défaire, défait, défaite, déferlante, déferlement, défi, défier, défigurer, défiler, défoncer, déformation, déformer, déformé, dégager, déglinguer, dégommer, dégoût, dégradation, dégrader, dégradé, dégraisser, dégueuler, dégénérer, dégénérescence, dégénéré, déhancher, délabrer, délabré, délaissement, délaisser, délaissé, délayage, délayer, délayé, délester, déliaison, délicat, délice, délicieux, délier, délimiter, délire, délirer, déliter, délivrer, délié, délocaliser, déluge, démanteler, démantelé, démantèlement, démarrer, démembrer, démembré, démence, démener, démenti, démentir, démerder, démesuré, démoli, démolir, démon, démons, démontage, démonter, démonté, démurer, déménagement, déménager, déménagé, démêlage, démêler, démêlé,dénaturer, déniaisé, dénier, dénié, dénouer, dénuder, dénégation, dépaqueter, dépareiller, dépareillé, départ, départir, départir, départs, dépassement, dépasser, dépasser, dépassé, dépensier, déplacement, déplacer, déplacé, déplanter, déplier, déplié, déployer, dépolluer, dépollution, dépollué, déporter, déposer, déposé, dépouiller2, dépouiller, dépourvoir, dépourvu, dépoussiérer, déprendre, déprendre, déprotéiniser, dépôt, dérailler, dérangement, déranger, dérangé, dérision, dérisoire, dériver, dérober, dérouillage, dérouiller, déroulement, dérouler, dérèglementer, dérégler, déréguler, désaccorder, désagréable, désagrégation, désagréger, désagrégé, désajuster, désamarrer, désamorcer, désamorcé, désamorçage, désapprobation, désapprouver, désapprouvé, désarmement, désarmer, désarmé, désarticuler, désassembler, désaveu, désavouer, désavoué, désemboiter, désenchaîner, désencombrer, désencombré, désengorger, désengorgé, désespérer, déshabiller, déshonneur, déshonorant, déshonorer, déshonoré, déshériter, désincarcérer, désintriquer, désintégration, désintégrer, désintégré, désintégré, désinvolte, désinvolture, désir, désirer, désolation, désolidarisation, désolidariser, désolidarisé, désordonné, désordre, désorienter, désormais, désosser, déstabiliser, déstratification, déstructurer, désucrer, désunir, détachement, détacher, détacher, détaché, détendre, déterrer, déterritorialisation, déterré, déterré, détestable, détestation, détester, détester, détoner, détonner, détour, détourner, détricoter, détrousser, détruire, détruit, détérioration, détériorer, détérioré, détérioré, dévaliser, dévastateur, dévaster, dévasté, développer, dévergonder, dévergonder, dévergondé, déverrouillage, déverrouiller, dévier, dévisser, dévoyer, dévêtir, === E === eau, effondrer, effraie, effrayant, effrayer, effrayer|effrayer, effrayé, effritement, effriter, effrité, effroi, effroyable, eldorado, emballages, emballement, emballer1, embaumer1, embaumer, embrasement, embraser, empester, empoigner, empoisonner, empoisonné, emporter, en, encanailler, encanaillé, encens, encensoir, endommager, endommagé, enfance, enfant, enfer, enfiévrer, enflammer, enflammé, enfler, enfoncer, enfreindre, enfuir, engager, engendrer, enhardir, enivrant, enivrer, enjoliver, enlaidir, enlever1, enlever2, enlever, ennemi, enrager, enseveliment, ensevelir, ensoleiller, entailler, entamer, entendre, entourer, entraîner, entre-bâillant, entrebâiller, entrelacer, entremêler, entrouvrir, envenimer, envie, envier, envoler, envoyer, envoyer, errant, erreur, escalader, Eschyle, escroc, espace, espoir, esprit, espérance, esquinter, essai, essaim, essaimer, essayer, estropier, et, excepter, exciter, exclu, exclure, exclusion, excursion, excéder, exhaler, exhausser, exhiber, exhibition, exhibitionniste, exhibé, exiler, exilé, exonérer, expansion, expatrier, expiation, expiation, expirer, explicite, expliciter, expliquer, exploser, exploser, explosion, exporter, exposer, exposé, expressif, expression, exprimer, expulser, expulsion, expulsé, expédier, extase, extensif, extension, extermination, exterminer, exterminé, externaliser, externe, extirper, extraction, extraire, extrait, extraordinaire, extravagant, extraverti, extrémiser, extrême, exécuter, exécuteur, ébaucher, éblouir, éblouissant, ébranler, ébrèchement, ébrécher, ébréché, écarquiller, écart, écarteler, écartelé, écartement, écarter1, écarter2, écartèlement, écarté, échange, échanger, échangé, échapper, échauffement, échauffer, échauffé, éclair, éclairant, éclaircir, éclairer, éclater, éclater, éclore, éconduire, écornifler, écoulement, écouler, écrire, écroulement, écrouler, écroulé, écumant, écume, écumer, écumer_de_haine/rage/colère, écumer_les_mers, écumeux, écumé, édifice, égarement, égarer, égaré, égorger, éjaculer, éjecter, élargir, élastique, électrique, élever, élevé, élimination, éliminer1, éliminer2, éliminer, éliminé, éloignement, éloigner, éloigné, émanciper, émanciper, émaner, émetteur, émettre, émigrer, émission, émotion, émouvoir, émulsion, émulsionner, émulsionné, énigmatique, énigme, énorme, énormité, épanchement, épancher, épanouir, éparpiller, éphémère, éphémère, épicer, épouvantable, épouvante, épouvantement, épouvanter, épouvanté, éprouver, épée, éradication, éradiquer, éradiqué, érafler, érection, érection, éroder, érodé, érosion, établir, étaler, étang, étendre, étendre, étendu, éther, étincelant, étinceler, étincelle, étirer, étoiler, étoilé, étonnement, étonner, étrange, étranger, étriper, évacuation, évacuer, évacuer, évaporation, évaporer, évaporé, évaser, évasif, évasion, éveiller, éveillé, éventer, éventrer, éviction, évincer, évincé, éviter, évoluer, évolutif, évolution, évolué, === F === fable, fabulation, fabuler, face, facile, faciliter, facultatif, faille, faillibilité, faillible, faillir, faire, faire, faire_peur, faisceau, falloir, fameux, fanal, fantaisie, fantasia, fantastique, farce, fastueux, fatigue, faucher, fauve, faux, feindre, femme, fendre, fertile, fervent, ferveur, feu, fiable, fiel, fier, filer1, filer2, filtrer, fin, fin, firmament, fissure, fissurer, fissuré, fixement, fixé, fièvre, flamber, flamboyer, flamme, flamme,, fleur, fleurer, fleurir, fleuve, flot, flottant, flou, flouter, fluide, fluidifier, fluidité, flux, foison, foisonnement, foisonner, foncer, foncer1, fonceur, fond, fondre, fondu, force, forcer, forme, forniquer, fort, forêt, fou, foudre, foudroyant, foudroyer, fouiller, fourbir, fourmilier, fourmilière, fourmillement, fourmiller, fourrure, foutre, fractionner, fracture, fracturer, fracturer, fragile, fragiliser, fragmenter, fragmenté, frais, franchir, franchise, franchissement, frappe, frapper, fraternité, frauder, frayer, frayer, frayer|frayer, frileux, frisson, frissonner, frivole, froid, frotter, fruit, frémir, frêle, fugitif, fuir, fuite, fulgurance, fulgurant, fulgurer, fulminer, fumant, fumer, fumer, fumeur, fumée, furie, furieux, fusion, fécond, fée, féerie, féerique, féroce, férocité, fête, === G === gai, gaiement, gaieté, gaillardement, galop, galoper, ganges, garde, gaspiller, gausser, gazer, gazeux, gazouiller, gazéifier, geindre, germer, geste, gibet, gicler, gigantesque, girouette, glapir, glissade, glisse, glisser, gloire, Goliath, gorger, gosier, gouffre, gourer, grand, grand, grande, grandeur, grandir, grandir, gras, gravats, graveleux, grelottant, griffe, griffer, grillé, grimace, grimper, grondant, gronde, grouiller, grêle, guerrier, gueule, gueule, gueule_d'enterrement, guérir, géant, géhenne, gémir, génie, généreux, gésine, === H === habileté, habiter, haine, haine,, haleter, harceler, hardi, harmonie, harpie, hasard, hasardeux, hausser, haut, hautain, hautbois, hauteur, haïr, haïssable, helminthe, herbe, herbe, heure, hideux, histoire, hoquet, horizon, horreur, horrible, horrifier, hors, hors-concours, hors-jeu, hors-normes, hospice, houle, houleux, humain, humide, humidifier, humour, hurlant, hurlement, hurler, huée, hydraté, hyperactif, hâte, hâter, hétérogénéité, === I === ici, if, ignorance, ignorer, ignoré, illimité, illuminer, illustre, image, imagination, imaginé, immense, immensité, immodéré, immolation, immoler, immonde, immoral, immoraliste, impair, impatient, impensable, impensé, imperfection, impertinence, impie, impoli, impolitesse, importer, importuner, impression1, impressionnable, impressionnant, imprimer2, impropre, impropriété, imprécis, impréparation, imprévu, impudeur, impudique, impuni, impunité, impur, impureté, inadaptation, inadapté, inapproprié, inarrêtable, inattribuable, inaugurer, incarnation, incarné, incendiaire, incendie, incendier, incertain, incinération, incinératioon, incinérer, incinéré, inciser, inclinaison, inclination, incliner, incliner, incomestible, incommensurable, incompris, incompréhensible,, incompréhension,, inconfort, inconnu, inconsistant, inconséquent, inconvenant, incorrect, inculquer, incursion, indicible, indiscret, indomptable, indécent, indéfendable, indéfini,, indépendance, indépendant, infamie, infecter, infernal, infernale, infiltration, infiltrer, infiltré, infini, infléchir, infondé, infraction, infâme, ingrat, ingratitude, inhabituel, inhaler, inhiber, inhibition, inhumation, inimaginable, inintimidable, injurier, injuste, innombrable, innovation, inouï, inouïes, inquiétant, inquiéter, inquiétude, insatiablement, insensé, insolence, insouciant, insoumis, insoumission, inspirer, insubmersible, insubordination, insulte, insulter, intelligent, intensités, interdire, interférer, interjeter, interpeler, interroger, interrompre, intoxiquer, inutile, invalidation, invalide, invalider, invalidité, invalidé, invectiver, inventé, invisible, inviter, involontaire, inédit, inéducable, inégal, iriser, irrationnel, irrégulariser, irrégulier, irrépressible, isolement, isoler, isolé, issue, ivre, ivresse, île(0), === J === jadis, jaillir, jaloux, jardin, jeter, jeter, jeu, jeune, jeûner, joie, joindre, joli, jouer, jour, joyeux, === K === klaxon, klaxonner === L === labourer, lacher, lacher, lacérer, laid, laisser, laisser, laisser-aller, lame, lampe, lancer, lancinant, langoureux, langues, langueur, lanterne, largage, large, largement, larguer, largué, las, latéral, latérale, laver, le, le, lentement, les, les, lest, leste, lever, lever, libertin, liberté, libre, librement, libérer, lice, licencier, lieu, limer, limiites, limiter, limité, limpide, liqueur, liquide, liquider, liquéfaction, liquéfier, liquéfier, liquéfié, livide, livrer, logorrhée, loin, lointain, loisir, long, long, longue, louer, lubricité, lubrique, lucide, lueur, lui, luire, lumière, lune, lustre, lutter, luttes, lutteur, lyrique, là, là-bas, là-haut, lâcher, lâcher, lèvre, lèvres, léger, légion(s), légèrement, légèreté, === M === Macbeth, magique, magner, magnificence, magnifique, magnifiquement, maigre, maigrir, main, mais, maison, mal, mal, malade, maladie, maladif, malaise, malfaisant, maligne, malin, maline, malmener, malpoli, malsain, maltraiter, manifestation, manifeste, manque, manquer, marche, marcher, marin, marinier, marrer, martyriser, massacre, massacrer, matin, maudire, maudit, maîtresse, me, membre, membrure, mensonge, mensonger, mentir, mer, merci, merveille, merveilleux, mesurable, mettre, meurtre, meurtrier, meurtrir, meute, miaulement, miauler, miennes, milieu, mille, million, millions, mimer1, minaudant, mince, mincir, miracle, mirage, mitrailler, mixer, mobile, mobiliser, modifier, monstre, monstrueux, monstruosité, montagne, monter, monter, montrait, montrer, moquer, moqueur, morbide, morceler, mordre, morsure0, morsure, mort, mortel,moteur, motivant, motivation, mots, mouiller, mouillé, mousse, mouvant, mouvement, mouvements, mouvoir, multiforme, multiple, multiplicité, multiplicités, multiplier, multitude, musc, muscle, museau, musique, mutiler, mutin, mutiner, myrrhe, myrte, mystique, mythe, mâchoire, mâle, mât, méandre, méchanceté, méchanceté,, méchant, méconduire, méconnaître, mécontenter, médire, mélangé, ménagerie, méprendre, métamorphose, métamorphosé, métamorphoser, métastaser, métisser, mêler, === N === n'importe, n'importe_comment, n'importe_où, n'importe_quand, n'importe_qui, n'importe_quoi nageant, nager, nageur, nappe, nard, narguer, nature, naturel, naturelle, navire, naître, naïade, ne, nectar, nettoyer, neuf, ni, nier, nié, nom, nombre, nombreuse, nombreux, nommable, non, non, nourrir, nourrissant, nouveau, nouveau-né, nouveauté, novice, nu, nuage, nubilité, nudité, nue, nuer, nuire, nuit0, nuée, nymphe, néantiser, nécessaire, nécessairement, négatif, négation, négliger, === O === oasis, oblique, obliquer, obscène, occire, océan, odeur, odieux, odorant, odorer, odoriser, offensant, offense, offensif, offrande, offrir, oiseau, omettre, on, onde, ondoyant, ondulation, onduleux, ongle, orchestre, organes, orgiaque, orgie, oser, ostraciser, osé, oubli, oublier, oublieux, ouragan, outil, outrepasser, ouvert, ouverture, ouvrer|ouvrir, ouvrir, Ovide, oxydant, oxydation, oxyder, oxydé, === P === Paillasse, palais, palper, palpiter, paniquer, panthère, papoter, par-delà, paradoxal, paradoxalement, parallèle, paraître, parcelle, parcourir, parcours, pardon, pardonner, parer2, parfum, parfumer, parfumé, paris, parjurer, parlant, parler, parmi, parsemer, part, partager, partial, partialement, partiellement, partiet, partir, partir, partout, pas, passage, passager, passant, passent, passer, passion, passionnel, passionné, passé, patois, patrie, paupière, pauvre, pauvresse, pavaner, paysage, peau, peindre, peine, peintre, penchant, pencher, pendre, perceptif, percer, perdre, perdre, perdu, perforer, perforer, perle, permettre, permuter, perméabiliser, perméable, perte, perturber, pester, peuple, peupler, peur, philtre, pied, pimenter, piquant, piquer, pisser, pitié, pivotant, pivotantes, pièce, pièces, place, plain-pied, plainte, plaintif, plaire, plaisant, plaisir, plaisir,, plan, planait, planer, planeur, plastiquer, pleur, pleure, pleurer, pleur|pleurs, pleuvoir, pleuvras, plonge, plonger1, plonger, pluie, plumage, plume, plus, plus, pluvieux, poignard, poignarder, poil, point, pointe, poison, poitrine, polir, polluer, pollution, pollué, polychrome, polychromer, populaire, pore, poreux, port, porte, portée, possible, postillonner, postérieur, poudre, poudreux, poumon, pour, poussaient, pousser, pousser, poussée, pouvoir, poème, poète, poésie,, prairie, pratiquer, prendre, printemps, prise, prodige, prodigue, profane, projeter, proliférer, promener, promouvoir, propagande, propagandiste, propagateur, propagation, propager, propagé, propre, proscrire, prostitution, protester, protéique, prunelle, précipice, précipitation, précipiter, précipiter, prêter, public, publier, publique, puis, puiser, puissance, puissant, pullulation, pulluler, pulvériser, pulvérisé, pulvérulent, purgatoire, purge, purger, purgé, putain, pâmer, pâmer, péché, périhérique, périphérique, pétant [20h_pétantes], pétarader, pétard, péter, pétuner, pété, === Q === quadrupède?, quarantaine, querelle, quereller, questionner, quitter,, === R === radieux, rafraîchir, rage, rager, ramier, ramification, ramifier, rapide, rapport, raser, Ravachol, ravager, ravageur, ravagé, ravir, rayer, rayon, rebeller, rebiffer, recaler, recombiner, recommencer, redressement1, redresser1, redresser, refouler, refus, refuser, refusé, regard, regarder, rehausser, rejaillir, rejet, rejeter, rejeté, relacher, relacher, relatif, relativement, relativité, relaxer, relayer, relever, relevé, relief, reluire, relâcher, remonter, remonter, remous, remplacer, remue-ménage, remuer, renaissance, renaître, rencontre, renier, renoncer, renouveau, renverser, renvoi, renvoyer, renvoyer1, renvoyer, renvoyé, repoussant, repoussement, repousser1, repousser2, repousser, repoussé, repudier, respirer, resplendir, restituer, retirer, retors, retrancher, retrousser, reverser, revivre, rhizome, riboter, riche, richesse, rien, rigoler, rire, risquer, rivage, robe, rompre, rompre_la_glace, ronchonner, rongé, rose, roter, roucoulement, rouge, rougir, rouler, rouspéter, rouvrir, rude, rue, rugissement, rugosifier, rugueux, ruine, ruiner, ruiné, ruisseau, ruisseler, rumeur, rupture, râle, râler, réaliser, récent, réchauffer, réclamer, récrier, récriminer, récusation, récuser, récusé, réfutation, réfuter, réfuté, réjouir, répandre, répudiation, répudier, répudié, répugnant, réseau, résistant, résonne, résurrection, réveiller, révocation, révoltant, révolte, révolter, révolté, révolution, révolutionnaire, révolutionner, révoquer, révoqué, révéler, rêve, rêver, rôder, === S === ss'absenter, s'acoquiner, s'acquitter, s'adonner, s'affranchir, s'amouracher, s'effondrer, s'emballer, s'en, s'encanailler, s'enfuir, s'enquérir, s'entre-déchirer, s'entre-égorger, s'entrechoquer, s'envoler, s'esclaffer, s'exclamer, s'insurger, s'interpénétrer, s'originer, s'ébattre, s'ébrouer, s'échapper, s'éclipser, s'écouler, s'écrier, s'écrouler, s'égosiller, s'élancer, s'éprendre, s'évader, s'évanouir, sable, saborder, saboter, saccager, sacrifier, saignant, saigner, salaud, saler, saliver, salope, saloperie0, salé, sang, sanglant, sangler, sanglot, sangloter, sans, saper, sapide, satan, satin, satisfaire, sauter, sauvage, savoir, savoureux, scorpion, sculpter, se, se, sec, secouer, section, sectionné, segmenter, seigneur, sein, seine, semblant, sembler, semer, semer, sens, sensibiliser, sensibilité, sensible, senti, sentir, sen|sens, serpent, serpenter, serré, siffler, silencieusement, sillonner, simple, simulateur, simulation0, simuler0, simuler, singularité, singulier, singulière, soi-même, soie, soir, soleil, solidaire, solidariser, solidarité, solubilisation, solubiliser, solubilisé, soluble, sombre, somme, sommet, son, sonder, sonner, sonore, sonoriser, sorcière, sort, sortir, soudainement, souffler, souffrance, souffrir, soufller, soulager, soulever, soulèvement, soupir, souple, souplesse, sous, souvent, soûler, spectacle, splendeur, splendide, spontané, spéciales, spéculieux, stimulant, stimuler, stimuler, strychnine, stupide, suaire, sublime, sublimer, substituer, subtil, subversif, subversion, sucré, suer, sueur, suicider, suivre, summum, superbe, superficiel, superficielle, supérieur, sur, surface, surfacer, surhumain, surprenant, surprendre, symbolique, séduisant, séparation, séparé, série, série, sérieux, s’écrouler, === T === tableau, taillader, tamarinier, tambour, tamiser, tangibiliser, tangible, teindre, tellement, temporaire, tempête, tempêter, tempêtueux, tendre, tentation, tentative, tenter1, tenter2, tenter, terreur, terrible, terrifiant, terrifier, terrorisant, terrorise, terroriser, théâtre, timbre, tirer1, tirer2, tison, titans, tituber, tiède, toboggan, toison, tombant, tomber, tonifier, tonique, toquer, tord, tordre, tordu, tornade, torpiller, tors, tortueux, torture, torturer, toucher, tourbillon, tourbillonnant, tourbillonner, tourmenter, tourmenté, tourner, tourner, tournoyer, tous, tout, toute, toxicité, toxine, toxique, trafiquer, trahir, transformation, transformer, transférer, transgression, transiter, translucider, transmettre, transparent, transpercer, transpirer, transport, travail, travers, traverser, traîner, tremble, trembler, tringler, triomphant, tripot, Trismégiste, triturer, troc, trombe, trompe, tromper, trompette, troncher, trop, troquer, troqué, trou1, trou, trouble, troubler, troublé, trouer, troupeau, trousser, trouver, troué, trucider, trémousser, trépas, trépasser, trépider, trépigner, trêve, tubercule, tubercules, tuer, tuer, tumulte, turbulence, turbulent, tête, === U === ulcérer, unir, univers, user, usure, usurper, usé, utopie, utopique, === V === vague(n), vague(aj), vaguement, valeur, vaporeux, vaporiser, variable, variant, varier, varié, variété, vaste, vaurien, velours, velouté, vendre, vendu, venir, vent, vente, ventiler, ventre0,, verdir, vermeil, verre, vers, versant, verser, versé, vert, vertige, verve, vibrant, vibrer, vice, vicieux, vidanger, vide, vider, vider, vie, vif, vigoureux, vil, vin, viol, violence, violent, violenter, violer, violeur, vipère, virer, vitalité, vite, vitesse, vitesses, vitupérer, vivace, vivant, viveurs, vivras, vivre, vocal, vocaliser, vogue, voguer, voile, voir, voix, volant, volatiliser, volcan, voler, voleur, volontiers, volonté, voltiger, voluptueusement, voluptueux, volupté, vomir, vomissement, vouer, vouloir, voyage, voyager, voyageur, végétal, Vélociraptor, Vénus, vénérien, === Z === zigouiller, zébrer, zébrure '''''[À SUIVRE]''''' '''''De petites modifications de détail (orthographe, doublons) seront faites dans les jours qui viennent...''''' == COMPOSITION DE CETTE SÉRIE A CUMULÉE (mots simples et mots complexes) == * Les adjectifs simples ou atomes constituant la série A au sens strict * Les verbes de la liste "Éiimination" définie au <u>'''Chapitre''' [[Analyse des Logiques Subjectives/Retour aux "Molécules" - Les verbes#Deux listes de verbes|'''11''']]</u>. Ce sont des mots complexes * Les autres mots complexes : adjectifs complexes, noms (substantifs) et adverbes == RAPPEL DES ADJECTIFS SIMPLES ("ATOMES") DE LA SÉRIE A CONTENUS DANS CE CUMUL : == === ATOMES CONCRETS : === grand, large, haut, lointain, antérieur, périphérique, latéral, debout, non limité, discontinu, flou, diffus, dispersé, déplié, mobile, multiple, ouvert, mince, fin, long, en relief, transparent, exposé, découvert, externe, superficiel, vide, concave, accompagné, coloré, rouge, vert, clair, brillant, irrégulier, contrasté, éclairant, aigu, haut, sonore, parlant, vocal, dissonant, stimulant l'audition, tangible, inconsistant, fluide, souple, léger, chaud, mouillé, tendre, doux, tonique, fragile, aigu, courbe, rugueux, stimulant le toucher, non comestible, sapide, non nourrissant, non sucré, non gras, non protéique, salé, acide, amer, piquant, cru, non mûr, vert, digeste, odorant, parfumé, debout, gazeux, liquide, pulvérulent, laid, joli, === ATOMES ABSTRAITS : === acquis, actif, agité, ami, accueillant, amusant, anormal, autre, différent, concret, courageux, cruel, désordonné, éphémère, étranger, éveillé, facile, simple, facultatif, fécond, fertile, fort, fou, insensé, gai, généreux, dépensier, guerrier, humain, imprécis, imprévu, surprenant, impudique, impur, inconnu, indépendant, indiscret, inégal, infini, injuste, inquiétant, inutile, jeune, libre, libre, non fixé, malade, méchant, mélangé, mensonger, faux, mortel, naturel, non nommable, non adapté, laid, joli, indéfini, non fiable, non mesurable, démesuré, incommensurable, déniaisé, devergondém, non nécessaire, osé, indécent, partial, perméable, poreux, postérieur, profane, propre, rapide, récent, relatif, riche, sans valeur, sauvage, sensible, singulier, extraordinaire, spontané, surhumain, bestial, turbulent, vil, violent, vivant == LISTE DES VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION" À L'INFINITIF : voir l'annexe suivante == [[Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION"|'''''-> Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION"''''']] * '''Mots qui seront bientôt ajoutés après tri alphabétique :''' == Verbes avec leurs dérivés nominaux, adjectivaux et adverbiaux : == '''Ouvrir''' : ouverture, ouvert, ouvertement '''Débâcler''' : débâclage, dégagé '''Débâillonner''' : débâillonnement, libre '''Débander''' : débandade, délié '''Débarricader''' : déblaiement, dégagé '''Débarrer''' : ouverture, ouvert '''Débloquer''' : déblocage, libre '''Déborner''' : illimité, sans bornes '''Déboucher''' : débouchage, ouvert '''Déboucler''' : débouclage, ouvert '''Déboutonner''' : déboutonnage, ouvert '''Décadenasser''' : ouverture, ouvert '''Décapsuler''' : décapsulage, ouvert '''Décacheter''' : décachetage, ouvert '''Décercler''' : décerclage, libre '''Décerner''' : discernement, clair '''Déchômer''' : travail, actif '''Décicatriser''' : plaie, ouvert '''Déclaquer''' : silence, calme '''Déclouer''' : déclouage, libre '''Découdre''' : découdage, ouvert '''Disjoncter''' : connexion, activé '''Écluser''' : ouverture, ouvert '''Autoriser''' : autorisation, autorisé '''Reprendre''' : reprise, actif '''Déclore''' : ouverture, ouvert '''Déconsigner''' : liberté, libre '''Rattacher''' : attache, attaché '''Décoller''' : décollage, libre '''Accepter''' : acceptation, accepté '''Décondamner''' : ouverture, ouvert '''Libérer''' : libération, libre '''Entrouvrir''' : ouverture, ouvert '''Définir''' : définition, défini '''Déconnecter''' : déconnexion, déconnecté '''Définir''' : définition, défini '''Débloquer''' : déblocage, libre '''Désinvestir''' : désinvestissement, libre '''Alléger''' : légèreté, léger '''Démaçonner''' : démolition, démoli '''Démolir''' : démolition, démoli '''Défaire''' : dénouement, défait '''Désobstruer''' : désobstruction, libre '''Révéler''' : révélation, révélé '''Dévoiler''' : dévoilement, dévoilé '''Détacher''' : détachement, détaché '''Déboucher''' : débouchage, ouvert '''Parquer''' : liberté, libre '''Déplier''' : dépliage, déplié '''Ouvrir boutique''' : ouverture, ouvert '''Retenir''' : retenue, retenu '''Déverrouiller''' : ouverture, ouvert '''Sceller''' : ouverture, ouvert '''Se détacher''' : détachement, détaché '''Réactiver''' : activation, activé '''Débuter''' : début, débutant '''Pousser''' : poussée, poussé{{Bas de page | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | leçon = <!-- [[Titre de la leçon correspondante]] --> | précédent = | suivant = }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 8ocdlz0nc1ohfpjpak5cteit063glj7 988251 988250 2026-11-09T11:23:28Z Jean-Jacques Pinto 73029 /* S */ 988251 wikitext text/x-wiki <!-- NE RIEN ÉCRIRE AU-DESSUS DE CETTE LIGNE --> {{Annexe | titre = SÉRIE "A" CUMULÉE | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | leçon = <!-- [[Titre de la leçon correspondante]] --> | numéro = | précédent = | suivant = }} <!-- insérez le contenu de votre annexe ici -->'''***IMPORTANT*** : IL EST CONSEILLÉ DE NE CONSULTER CETTE ANNEXE QUE COMME AIDE-MÉMOIRE POUR RÉVISER, DONC SEULEMENT APRÈS AVOIR PRIS CONNAISSANCE D'AU MOINS LES DIX PREMIERS CHAPITRES''' Dans cette annexe figurent des “atomes” de la Série '''A''' (adjectifs simples) et des molécules rattachables à cette série (adjectifs complexes, verbes, adverbes), autrement dit le “lexique pertinent” de l’A.L.S.: les mots porteurs d'un contenu sémantique pouvant différer selon les Points-de-vue et les Parlers (“dialectes subjectifs”). On se souvient que la méthode ne retient pas les mots-outils (“poussière grammaticale”) puisque ceux-ci (sauf rares exceptions que nous signalerons) sont utilisés par les locuteurs de tous les parlers que nous décrivons sans donner lieu à des oppositions sémantiques. Voir le chapitre 3 intitulé "LES MOLÉCULES". Si les adjectifs simples (Atomes) de la Série A sont par définition les contraires, les antonymes de ceux de la série B, au niveau des mots complexes (Molécules), il faut nuancer : certes beaucoup de ces mots sont des contraires ou antonymes des mots complexes de la série B, mais pas tous. La raison en est que les verbes de "'''Conservation'''" ne répondent pas terme à terme aux verbes d'"'''Élimination'''", donc il en est de même pour leurs dérivés (noms, adjectifs complexes et adverbes). On s'en rendra compte en consultant l'annexe "[[Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/SÉRIE "B" CUMULÉE|SÉRIE B CUMULÉE]]". Les verbes que nous avons rattaché à cette série '''A''' sont ceux de la liste “'''Élimination'''” définie dans le chapitre 11 intitulé “LES VERBES”. Ce vocabulaire apparaît ici ''<u>par ordre alphabétique</u>'', autrement dit sans aucune sorte de structuration arborescente telle que celles que nous évoquons dans les différents chapitres. Nous parlons de “Série A cumulée” car cette annexe est le lieu d'un processus cumulatif consistant à ajouter périodiquement à cette liste d'autres mots que notre expérience des textes nous fait découvrir et qui nous paraissent devoir figurer ici pour faciliter leur reconnaissance lorsque l'on abordera de texte encore non analysés. Comme dans le tableau des atomes concrets et abstraits, on pourra rencontrer dans cette liste des molécules, des mots complexes antonymes sous l'angle cognitif cognitif (connaissance commune, voire scientifique) alors que sous l'angle de la logique subjective (en rapport avec la genèse précoce des “choix” lexicaux chez les locuteurs) l'apparente contradiction s'explique et disparaît. ... == LA LISTE CUMULÉE : == '''''(Attention'''''&nbsp;''''': la routine de tri alphabétique classe les voyelles accentiuées à la fin de chaque lettre... )''''' === A === abandon, abandonner, abandonné, abimer, abject, abjection, abondamment, abondance, abonder, abreuver, absence, absent, (s')absenter, absentéisme, absolument, abstraction, abstraire, abus, abuser, abusif, abyssal, abysses, abîme, abîmer, abîmé, accent, accentuer, accepter, accompagnement, accompagner, accompagné, accouchement, accoucher, accouché, accroissement, accroître, accru, accueil, accueillant, accueillir, accéder, accélérer, acerbe,acide, acidifier, acquis, acquitter, acquérir, acteur, actif, action, activer, activité, acéré, adapter, adapté, adaptation, adadolescent, adoucir, adoucissement, adultère, aération, aérer, aéré, aérien affabulation, affabuler, affaiblir, affaiblissement, affamer, affameur, affiler, affiner, affluence, affluer, afflux, affoler, affranchir, affranchir, affreux, affront, agacer, aggraver, agile, agilité, agitateur, agitation, agite, agiter, agité, agrandir, agresser, aigle, aigre, aigrir, aigu, aiguille, aiguiser, aiguë, aile, ailler, ailleurs, ailé, aimable, aimer, air, aise, aisé, ajourner, ajout, ajouter, albatros, alchimie, alchimique, alchimiste, alcôve, aliénation, aliéner, aliéné, allant, aller, allongement1, allonger1, allongé1, allant, allumer, allumé, allumeuse, alléchant, alléchant, allégement, alléger, allégorie, allégorique, altère, altération, altérer, altéré, amaigrir, amant, amante, amazone, ambigu, ambiguïté, ambre, ambré, ambroisie, amer, ami, amincir, amincissement, aminci ,amocher, amorcer, amoureusement, amoureux, ampleur, amusant, amuser, amériser, anarchie, anarchiste, angoisse, angoisser, animal, animer, annihilation, annihiler, annihilé, anomalie, anormal, anormalité, anti-héros, antérieur, anéanti, anéantir, anéantissant, anéantissement, apparaître, appareiller, apparition, appas, appauvrir, appel, appeler, appliquer, appétir, appétissant, appétit, aqueux, arbre0,, arbre, arbrisseau, arc, archer, archet, ardemment, ardent, ardeur, argotiques, argots, arme, armer, arpenter, arracher, arroser, arsenic, art, articuler, artiste, artistement, arts, arôme, asignifiantes, aspect, aspic, aspirer, assaillir, assaisonner, assassin, assassinat, assassiner, assaut, assouplir, astre, atmosphère, atomiser, atroce, attaque, attaquer, attaqué, atteindre, atteint, atteinte, attendri, attendrir, attendrissement, atterrer, atterré, attirant, attirer, attiser, attraction1, attrayant, attribuer, au, au-dehors, au-delà, au-dessus, aube, aucun, audace, audacieux, auditeur, audition, auditoire, auditorium, augmenter, aujourd'hui, aurore, aussi, autan, autour, autre, autres, aux-gémonies, avance, avancer, avec, aveu, avide, aviron, avoir, avoir, azur, azuré, aérer,, aérer, âcre, âme, === B === Babel, bacchus, baigner, bailler, bain, baise, baiser, baiseur, bal, balancer, balancer, balayer, balayer|balayer, bande2, bander2, bannir, basculer, bassin, bataille, bataillon, battre, bavard, bavardage, bavarder, bazarder, bec, benjoin, berceau, bestial, bille,, bisquer, bizarre, bizarrement, blackbouler, blasphèmatoire, blasphème, blasphémer, blesser, blessure, blessé, blond, bocager, boire, bois, boiter, bon, bond, bondir, bondissant, bondissement, bord, bordure, bornes, bouche, bouger, bouler, bouleversement, bourreau, bousculer, bousiller, bouteille, branle-bas, branler, brasier, braver, brillant, briller, brise, briser, briser, brisé, brouillard, brouiller, bruit, brumeux, brun, brune, brunir, brusque, brusquement, brusquer, brut, brutal, brutalement, brute, bruyant, brûlant, brûle-gueule, brûle-pourpoint, brûler, buceur, bulbe?, béance, béant, béant, béer, bête(b), bûcher, === C === cabrer, calenture, calomnier, cambrioler, campagne, cancaner, cancériser, caprice, caresse, caressent, caresser, caricature, carillon, carnage, cartographier, cascade, casse-cou, casse, casser, casseur, cassé, cataracte, catin, cause, cercle cesse, cesserait, chagriner, chair, chaleur, chaleureux, champ, chancelant, chanceler, change, changeant, changement, changer changer, chanson, chant, chantant, chanter, chanteur, chaos, charitable, charité, charmant, charmante, charme, charmer, charmille, chasser chasser2, chasser, chasseresse, chasseur, chassé, chat, chatoyant, chaud, chaudement, chauds, chauffer, chemin/passage, cheval, chevelure, cheveu, chier, choir, chute, chuter, châtrer, ciel, cieux, cigale, circuler, cire, clair, clairon, clairvoyance, clairvoyant, clamer, claquer claquer, clarifier, clarté, clef, cloche, clé, cogner, collectifs, colline, colorer, colorier, coloré, colère, combat, combattre, combien, comestible, comique, commencement, commencer, commun, communication, communiquer, commérer, complice, concave, concevoir, concret, concrètement, concrétiser, confondre, confus, confusion, confusément, congédier, connecter, connecté, connectés, connexion, consumer, contamination, contaminer, contaminé, contestation, contester, contesté, contorsionner contradiction, contraster, contrasté, contrebalancer contredire, contredit, contremesure, contrer, contré, convulser, coq, corbeau, cordon, corps corps, corps. corroder, corrodé, corrompre, corrosif, corrosion, couler couler, couleur, coup, couper, coupé, cour, courage, courageux, courbe, courber, courir, coursier, courtisane, crachat, cracher, cramer, cramé, crapule, craquement, creuser, creuset, creux, crevasser, crever, cri, criant, criard, crier, crime, crimes, criminel, crinière, crouler, croître croître, cru, cruel, cruellement, cruer, crève, créativité, créer, cuire, cuisse, culte, cythère, câlin, céder, cœur, === D === dague, damner, dangereusement, dangereux, dans, dans, danse, danser, danseur, dantesque, dard, darder, dauphin, David, de, de, debout, dechiffrage, dechiffrement, decorer, deferler, dehors, demain, demander, demantibuler, demantibulé, dent, dernier2, derrouillage, desceller, dessaisir, dessaısır, dessein, desserrer, dessin, dessouder, destructeur, destruction, devergondé, devoir, diable, dialectes, dialectiquement, diane, diarrhée, diarrhéique, diffus, diffuser, différemment, différence, différencier, différent, différents, différer, digeste, digérer, dilacérer, dilapider, dilater, diluer, dilution, dilué, dimension, discontinu, discordant, discordant;, discorde, discorder, discréditation, discréditer, discrédité, discuter, disjoindre, disjoints, disjonction, disloquer, disparaître, disparition, disparité, disparu, disperser, dispersion, dispersé, disproportion, disproportionné, disputer, disqualification, disqualifier, dissipation, dissiper, dissipé, dissolution, dissonant, dissonner, dissoudre, dissous, distancer, distordre, distordu, distorsion, distraire, divaguer, divers, diversement, diversifier, diversifié, diversité, division, divisé, divorcer, doigt, dommage, don, donation, donner, donné, dormir, douce, doucement, douceur, doucher, douleur, doux, dresser1, dresser, dressé, drôles, du, du, dynamiter, dynamiter, déballer, débarbouiller, débarras, débarrasser, débarrassé, débauche, débaucher, débauché, débiter, déblaiement, débobiner, débordement, déborder, débotter, débotté, déboucher, débouché, débouler, déboussoler, déboutonner, déboîter, débrailler, débrancher, débrider, débris, débrouiller, débroussailler, débuter, débâcler, décacheter, décadence, décalaminer, décalotter, décamper, décapitation, décapiter, décapsuler, décentraliser, décentrant, décentrer, décevoir, décharger, déchaînement, déchaîner, déchaîné, déchiffrage, déchiffrement, déchiffrer, déchiquetage, déchiqueter, déchiqueté, déchirant, déchirent, déchirer, déchirer, déchirure, déchiré, décimation, décimer, décimé, déclarer, déclin, déclinaison, décliner, déclore, déclouer, décoincer, décoller, décoller, décombres, décomposer, décomposer, décomposition, décomposé, décomposé, décompresser, décompression, décompressé, décomprimer, décompter, déconcerter, décongestion, décongestionner, décongestionné, déconnecter, déconnecté, déconnexion, déconstruction, déconstruire, déconstruit, décontracter, décor, décoration, décorum, découdre, décousu, découvert, découvrir, décrasser, décrisper, décrocher, décrotter, décryptage, décrypter, décrypté, décrépir, dédaigner, dédaigné, dédain, dédire, défaillant, défaillir, défaire, défaire, défait, défaite, déferlante, déferlement, défi, défier, défigurer, défiler, défoncer, déformation, déformer, déformé, dégager, déglinguer, dégommer, dégoût, dégradation, dégrader, dégradé, dégraisser, dégueuler, dégénérer, dégénérescence, dégénéré, déhancher, délabrer, délabré, délaissement, délaisser, délaissé, délayage, délayer, délayé, délester, déliaison, délicat, délice, délicieux, délier, délimiter, délire, délirer, déliter, délivrer, délié, délocaliser, déluge, démanteler, démantelé, démantèlement, démarrer, démembrer, démembré, démence, démener, démenti, démentir, démerder, démesuré, démoli, démolir, démon, démons, démontage, démonter, démonté, démurer, déménagement, déménager, déménagé, démêlage, démêler, démêlé,dénaturer, déniaisé, dénier, dénié, dénouer, dénuder, dénégation, dépaqueter, dépareiller, dépareillé, départ, départir, départir, départs, dépassement, dépasser, dépasser, dépassé, dépensier, déplacement, déplacer, déplacé, déplanter, déplier, déplié, déployer, dépolluer, dépollution, dépollué, déporter, déposer, déposé, dépouiller2, dépouiller, dépourvoir, dépourvu, dépoussiérer, déprendre, déprendre, déprotéiniser, dépôt, dérailler, dérangement, déranger, dérangé, dérision, dérisoire, dériver, dérober, dérouillage, dérouiller, déroulement, dérouler, dérèglementer, dérégler, déréguler, désaccorder, désagréable, désagrégation, désagréger, désagrégé, désajuster, désamarrer, désamorcer, désamorcé, désamorçage, désapprobation, désapprouver, désapprouvé, désarmement, désarmer, désarmé, désarticuler, désassembler, désaveu, désavouer, désavoué, désemboiter, désenchaîner, désencombrer, désencombré, désengorger, désengorgé, désespérer, déshabiller, déshonneur, déshonorant, déshonorer, déshonoré, déshériter, désincarcérer, désintriquer, désintégration, désintégrer, désintégré, désintégré, désinvolte, désinvolture, désir, désirer, désolation, désolidarisation, désolidariser, désolidarisé, désordonné, désordre, désorienter, désormais, désosser, déstabiliser, déstratification, déstructurer, désucrer, désunir, détachement, détacher, détacher, détaché, détendre, déterrer, déterritorialisation, déterré, déterré, détestable, détestation, détester, détester, détoner, détonner, détour, détourner, détricoter, détrousser, détruire, détruit, détérioration, détériorer, détérioré, détérioré, dévaliser, dévastateur, dévaster, dévasté, développer, dévergonder, dévergonder, dévergondé, déverrouillage, déverrouiller, dévier, dévisser, dévoyer, dévêtir, === E === eau, effondrer, effraie, effrayant, effrayer, effrayer|effrayer, effrayé, effritement, effriter, effrité, effroi, effroyable, eldorado, emballages, emballement, emballer1, embaumer1, embaumer, embrasement, embraser, empester, empoigner, empoisonner, empoisonné, emporter, en, encanailler, encanaillé, encens, encensoir, endommager, endommagé, enfance, enfant, enfer, enfiévrer, enflammer, enflammé, enfler, enfoncer, enfreindre, enfuir, engager, engendrer, enhardir, enivrant, enivrer, enjoliver, enlaidir, enlever1, enlever2, enlever, ennemi, enrager, enseveliment, ensevelir, ensoleiller, entailler, entamer, entendre, entourer, entraîner, entre-bâillant, entrebâiller, entrelacer, entremêler, entrouvrir, envenimer, envie, envier, envoler, envoyer, envoyer, errant, erreur, escalader, Eschyle, escroc, espace, espoir, esprit, espérance, esquinter, essai, essaim, essaimer, essayer, estropier, et, excepter, exciter, exclu, exclure, exclusion, excursion, excéder, exhaler, exhausser, exhiber, exhibition, exhibitionniste, exhibé, exiler, exilé, exonérer, expansion, expatrier, expiation, expiation, expirer, explicite, expliciter, expliquer, exploser, exploser, explosion, exporter, exposer, exposé, expressif, expression, exprimer, expulser, expulsion, expulsé, expédier, extase, extensif, extension, extermination, exterminer, exterminé, externaliser, externe, extirper, extraction, extraire, extrait, extraordinaire, extravagant, extraverti, extrémiser, extrême, exécuter, exécuteur, ébaucher, éblouir, éblouissant, ébranler, ébrèchement, ébrécher, ébréché, écarquiller, écart, écarteler, écartelé, écartement, écarter1, écarter2, écartèlement, écarté, échange, échanger, échangé, échapper, échauffement, échauffer, échauffé, éclair, éclairant, éclaircir, éclairer, éclater, éclater, éclore, éconduire, écornifler, écoulement, écouler, écrire, écroulement, écrouler, écroulé, écumant, écume, écumer, écumer_de_haine/rage/colère, écumer_les_mers, écumeux, écumé, édifice, égarement, égarer, égaré, égorger, éjaculer, éjecter, élargir, élastique, électrique, élever, élevé, élimination, éliminer1, éliminer2, éliminer, éliminé, éloignement, éloigner, éloigné, émanciper, émanciper, émaner, émetteur, émettre, émigrer, émission, émotion, émouvoir, émulsion, émulsionner, émulsionné, énigmatique, énigme, énorme, énormité, épanchement, épancher, épanouir, éparpiller, éphémère, éphémère, épicer, épouvantable, épouvante, épouvantement, épouvanter, épouvanté, éprouver, épée, éradication, éradiquer, éradiqué, érafler, érection, érection, éroder, érodé, érosion, établir, étaler, étang, étendre, étendre, étendu, éther, étincelant, étinceler, étincelle, étirer, étoiler, étoilé, étonnement, étonner, étrange, étranger, étriper, évacuation, évacuer, évacuer, évaporation, évaporer, évaporé, évaser, évasif, évasion, éveiller, éveillé, éventer, éventrer, éviction, évincer, évincé, éviter, évoluer, évolutif, évolution, évolué, === F === fable, fabulation, fabuler, face, facile, faciliter, facultatif, faille, faillibilité, faillible, faillir, faire, faire, faire_peur, faisceau, falloir, fameux, fanal, fantaisie, fantasia, fantastique, farce, fastueux, fatigue, faucher, fauve, faux, feindre, femme, fendre, fertile, fervent, ferveur, feu, fiable, fiel, fier, filer1, filer2, filtrer, fin, fin, firmament, fissure, fissurer, fissuré, fixement, fixé, fièvre, flamber, flamboyer, flamme, flamme,, fleur, fleurer, fleurir, fleuve, flot, flottant, flou, flouter, fluide, fluidifier, fluidité, flux, foison, foisonnement, foisonner, foncer, foncer1, fonceur, fond, fondre, fondu, force, forcer, forme, forniquer, fort, forêt, fou, foudre, foudroyant, foudroyer, fouiller, fourbir, fourmilier, fourmilière, fourmillement, fourmiller, fourrure, foutre, fractionner, fracture, fracturer, fracturer, fragile, fragiliser, fragmenter, fragmenté, frais, franchir, franchise, franchissement, frappe, frapper, fraternité, frauder, frayer, frayer, frayer|frayer, frileux, frisson, frissonner, frivole, froid, frotter, fruit, frémir, frêle, fugitif, fuir, fuite, fulgurance, fulgurant, fulgurer, fulminer, fumant, fumer, fumer, fumeur, fumée, furie, furieux, fusion, fécond, fée, féerie, féerique, féroce, férocité, fête, === G === gai, gaiement, gaieté, gaillardement, galop, galoper, ganges, garde, gaspiller, gausser, gazer, gazeux, gazouiller, gazéifier, geindre, germer, geste, gibet, gicler, gigantesque, girouette, glapir, glissade, glisse, glisser, gloire, Goliath, gorger, gosier, gouffre, gourer, grand, grand, grande, grandeur, grandir, grandir, gras, gravats, graveleux, grelottant, griffe, griffer, grillé, grimace, grimper, grondant, gronde, grouiller, grêle, guerrier, gueule, gueule, gueule_d'enterrement, guérir, géant, géhenne, gémir, génie, généreux, gésine, === H === habileté, habiter, haine, haine,, haleter, harceler, hardi, harmonie, harpie, hasard, hasardeux, hausser, haut, hautain, hautbois, hauteur, haïr, haïssable, helminthe, herbe, herbe, heure, hideux, histoire, hoquet, horizon, horreur, horrible, horrifier, hors, hors-concours, hors-jeu, hors-normes, hospice, houle, houleux, humain, humide, humidifier, humour, hurlant, hurlement, hurler, huée, hydraté, hyperactif, hâte, hâter, hétérogénéité, === I === ici, if, ignorance, ignorer, ignoré, illimité, illuminer, illustre, image, imagination, imaginé, immense, immensité, immodéré, immolation, immoler, immonde, immoral, immoraliste, impair, impatient, impensable, impensé, imperfection, impertinence, impie, impoli, impolitesse, importer, importuner, impression1, impressionnable, impressionnant, imprimer2, impropre, impropriété, imprécis, impréparation, imprévu, impudeur, impudique, impuni, impunité, impur, impureté, inadaptation, inadapté, inapproprié, inarrêtable, inattribuable, inaugurer, incarnation, incarné, incendiaire, incendie, incendier, incertain, incinération, incinératioon, incinérer, incinéré, inciser, inclinaison, inclination, incliner, incliner, incomestible, incommensurable, incompris, incompréhensible,, incompréhension,, inconfort, inconnu, inconsistant, inconséquent, inconvenant, incorrect, inculquer, incursion, indicible, indiscret, indomptable, indécent, indéfendable, indéfini,, indépendance, indépendant, infamie, infecter, infernal, infernale, infiltration, infiltrer, infiltré, infini, infléchir, infondé, infraction, infâme, ingrat, ingratitude, inhabituel, inhaler, inhiber, inhibition, inhumation, inimaginable, inintimidable, injurier, injuste, innombrable, innovation, inouï, inouïes, inquiétant, inquiéter, inquiétude, insatiablement, insensé, insolence, insouciant, insoumis, insoumission, inspirer, insubmersible, insubordination, insulte, insulter, intelligent, intensités, interdire, interférer, interjeter, interpeler, interroger, interrompre, intoxiquer, inutile, invalidation, invalide, invalider, invalidité, invalidé, invectiver, inventé, invisible, inviter, involontaire, inédit, inéducable, inégal, iriser, irrationnel, irrégulariser, irrégulier, irrépressible, isolement, isoler, isolé, issue, ivre, ivresse, île(0), === J === jadis, jaillir, jaloux, jardin, jeter, jeter, jeu, jeune, jeûner, joie, joindre, joli, jouer, jour, joyeux, === K === klaxon, klaxonner === L === labourer, lacher, lacher, lacérer, laid, laisser, laisser, laisser-aller, lame, lampe, lancer, lancinant, langoureux, langues, langueur, lanterne, largage, large, largement, larguer, largué, las, latéral, latérale, laver, le, le, lentement, les, les, lest, leste, lever, lever, libertin, liberté, libre, librement, libérer, lice, licencier, lieu, limer, limiites, limiter, limité, limpide, liqueur, liquide, liquider, liquéfaction, liquéfier, liquéfier, liquéfié, livide, livrer, logorrhée, loin, lointain, loisir, long, long, longue, louer, lubricité, lubrique, lucide, lueur, lui, luire, lumière, lune, lustre, lutter, luttes, lutteur, lyrique, là, là-bas, là-haut, lâcher, lâcher, lèvre, lèvres, léger, légion(s), légèrement, légèreté, === M === Macbeth, magique, magner, magnificence, magnifique, magnifiquement, maigre, maigrir, main, mais, maison, mal, mal, malade, maladie, maladif, malaise, malfaisant, maligne, malin, maline, malmener, malpoli, malsain, maltraiter, manifestation, manifeste, manque, manquer, marche, marcher, marin, marinier, marrer, martyriser, massacre, massacrer, matin, maudire, maudit, maîtresse, me, membre, membrure, mensonge, mensonger, mentir, mer, merci, merveille, merveilleux, mesurable, mettre, meurtre, meurtrier, meurtrir, meute, miaulement, miauler, miennes, milieu, mille, million, millions, mimer1, minaudant, mince, mincir, miracle, mirage, mitrailler, mixer, mobile, mobiliser, modifier, monstre, monstrueux, monstruosité, montagne, monter, monter, montrait, montrer, moquer, moqueur, morbide, morceler, mordre, morsure0, morsure, mort, mortel,moteur, motivant, motivation, mots, mouiller, mouillé, mousse, mouvant, mouvement, mouvements, mouvoir, multiforme, multiple, multiplicité, multiplicités, multiplier, multitude, musc, muscle, museau, musique, mutiler, mutin, mutiner, myrrhe, myrte, mystique, mythe, mâchoire, mâle, mât, méandre, méchanceté, méchanceté,, méchant, méconduire, méconnaître, mécontenter, médire, mélangé, ménagerie, méprendre, métamorphose, métamorphosé, métamorphoser, métastaser, métisser, mêler, === N === n'importe, n'importe_comment, n'importe_où, n'importe_quand, n'importe_qui, n'importe_quoi nageant, nager, nageur, nappe, nard, narguer, nature, naturel, naturelle, navire, naître, naïade, ne, nectar, nettoyer, neuf, ni, nier, nié, nom, nombre, nombreuse, nombreux, nommable, non, non, nourrir, nourrissant, nouveau, nouveau-né, nouveauté, novice, nu, nuage, nubilité, nudité, nue, nuer, nuire, nuit0, nuée, nymphe, néantiser, nécessaire, nécessairement, négatif, négation, négliger, === O === oasis, oblique, obliquer, obscène, occire, océan, odeur, odieux, odorant, odorer, odoriser, offensant, offense, offensif, offrande, offrir, oiseau, omettre, on, onde, ondoyant, ondulation, onduleux, ongle, orchestre, organes, orgiaque, orgie, oser, ostraciser, osé, oubli, oublier, oublieux, ouragan, outil, outrepasser, ouvert, ouverture, ouvrer|ouvrir, ouvrir, Ovide, oxydant, oxydation, oxyder, oxydé, === P === Paillasse, palais, palper, palpiter, paniquer, panthère, papoter, par-delà, paradoxal, paradoxalement, parallèle, paraître, parcelle, parcourir, parcours, pardon, pardonner, parer2, parfum, parfumer, parfumé, paris, parjurer, parlant, parler, parmi, parsemer, part, partager, partial, partialement, partiellement, partiet, partir, partir, partout, pas, passage, passager, passant, passent, passer, passion, passionnel, passionné, passé, patois, patrie, paupière, pauvre, pauvresse, pavaner, paysage, peau, peindre, peine, peintre, penchant, pencher, pendre, perceptif, percer, perdre, perdre, perdu, perforer, perforer, perle, permettre, permuter, perméabiliser, perméable, perte, perturber, pester, peuple, peupler, peur, philtre, pied, pimenter, piquant, piquer, pisser, pitié, pivotant, pivotantes, pièce, pièces, place, plain-pied, plainte, plaintif, plaire, plaisant, plaisir, plaisir,, plan, planait, planer, planeur, plastiquer, pleur, pleure, pleurer, pleur|pleurs, pleuvoir, pleuvras, plonge, plonger1, plonger, pluie, plumage, plume, plus, plus, pluvieux, poignard, poignarder, poil, point, pointe, poison, poitrine, polir, polluer, pollution, pollué, polychrome, polychromer, populaire, pore, poreux, port, porte, portée, possible, postillonner, postérieur, poudre, poudreux, poumon, pour, poussaient, pousser, pousser, poussée, pouvoir, poème, poète, poésie,, prairie, pratiquer, prendre, printemps, prise, prodige, prodigue, profane, projeter, proliférer, promener, promouvoir, propagande, propagandiste, propagateur, propagation, propager, propagé, propre, proscrire, prostitution, protester, protéique, prunelle, précipice, précipitation, précipiter, précipiter, prêter, public, publier, publique, puis, puiser, puissance, puissant, pullulation, pulluler, pulvériser, pulvérisé, pulvérulent, purgatoire, purge, purger, purgé, putain, pâmer, pâmer, péché, périhérique, périphérique, pétant [20h_pétantes], pétarader, pétard, péter, pétuner, pété, === Q === quadrupède?, quarantaine, querelle, quereller, questionner, quitter,, === R === radieux, rafraîchir, rage, rager, ramier, ramification, ramifier, rapide, rapport, raser, Ravachol, ravager, ravageur, ravagé, ravir, rayer, rayon, rebeller, rebiffer, recaler, recombiner, recommencer, redressement1, redresser1, redresser, refouler, refus, refuser, refusé, regard, regarder, rehausser, rejaillir, rejet, rejeter, rejeté, relacher, relacher, relatif, relativement, relativité, relaxer, relayer, relever, relevé, relief, reluire, relâcher, remonter, remonter, remous, remplacer, remue-ménage, remuer, renaissance, renaître, rencontre, renier, renoncer, renouveau, renverser, renvoi, renvoyer, renvoyer1, renvoyer, renvoyé, repoussant, repoussement, repousser1, repousser2, repousser, repoussé, repudier, respirer, resplendir, restituer, retirer, retors, retrancher, retrousser, reverser, revivre, rhizome, riboter, riche, richesse, rien, rigoler, rire, risquer, rivage, robe, rompre, rompre_la_glace, ronchonner, rongé, rose, roter, roucoulement, rouge, rougir, rouler, rouspéter, rouvrir, rude, rue, rugissement, rugosifier, rugueux, ruine, ruiner, ruiné, ruisseau, ruisseler, rumeur, rupture, râle, râler, réaliser, récent, réchauffer, réclamer, récrier, récriminer, récusation, récuser, récusé, réfutation, réfuter, réfuté, réjouir, répandre, répudiation, répudier, répudié, répugnant, réseau, résistant, résonne, résurrection, réveiller, révocation, révoltant, révolte, révolter, révolté, révolution, révolutionnaire, révolutionner, révoquer, révoqué, révéler, rêve, rêver, rôder, === S === s'absenter, s'acoquiner, s'acquitter, s'adonner, s'affranchir, s'amouracher, s'effondrer, s'emballer, s'en, s'encanailler, s'enfuir, s'enquérir, s'entre-déchirer, s'entre-égorger, s'entrechoquer, s'envoler, s'esclaffer, s'exclamer, s'insurger, s'interpénétrer, s'originer, s'ébattre, s'ébrouer, s'échapper, s'éclipser, s'écouler, s'écrier, s'écrouler, s'égosiller, s'élancer, s'éprendre, s'évader, s'évanouir, sable, saborder, saboter, saccager, sacrifier, saignant, saigner, salaud, saler, saliver, salope, saloperie0, salé, sang, sanglant, sangler, sanglot, sangloter, sans, saper, sapide, satan, satin, satisfaire, sauter, sauvage, savoir, savoureux, scorpion, sculpter, secoué, secouer, section, sectionné, segmenter, seigneur, sein, seine, semblant, sembler, semer, semer, sens, sensibiliser, sensibilité, sensible, senti, sentir, sen|sens, serpent, serpenter, serré, siffler, silencieusement, sillonner, simple, simulateur, simulation0, simuler0, simuler, singularité, singulier, singulière, soi-même, soie, soir, soleil, solidaire, solidariser, solidarité, solubilisation, solubiliser, solubilisé, soluble, sombre, somme, sommet, son, sonder, sonner, sonore, sonoriser, sorcier, sorcière, sort, sortilège, sortie, sortir, soudainement, souffler, souffrance, souffrir, soufller, soulager, soulever, soulèvement, soupir, souple, souplesse, sous, souvent, soûler, spectacle, splendeur, splendide, spontané, spéciales, spéculieux, stimulant, stimuler, stimuler, strychnine, stupide, suaire, sublime, sublimer, substituer, subtil, subversif, subversion, sucré, suer, sueur, suicider, suivre, summum, superbe, superficiel, superficielle, supérieur, sur, surface, surfacer, surhumain, surprenant, surprendre, symbolique, séduisant, séparation, séparé, série, série, sérieux, s’écrouler, === T === tableau, taillader, tamarinier, tambour, tamiser, tangibiliser, tangible, teindre, tellement, temporaire, tempête, tempêter, tempêtueux, tendre, tentation, tentative, tenter1, tenter2, tenter, terreur, terrible, terrifiant, terrifier, terrorisant, terrorise, terroriser, théâtre, timbre, tirer1, tirer2, tison, titans, tituber, tiède, toboggan, toison, tombant, tomber, tonifier, tonique, toquer, tord, tordre, tordu, tornade, torpiller, tors, tortueux, torture, torturer, toucher, tourbillon, tourbillonnant, tourbillonner, tourmenter, tourmenté, tourner, tourner, tournoyer, tous, tout, toute, toxicité, toxine, toxique, trafiquer, trahir, transformation, transformer, transférer, transgression, transiter, translucider, transmettre, transparent, transpercer, transpirer, transport, travail, travers, traverser, traîner, tremble, trembler, tringler, triomphant, tripot, Trismégiste, triturer, troc, trombe, trompe, tromper, trompette, troncher, trop, troquer, troqué, trou1, trou, trouble, troubler, troublé, trouer, troupeau, trousser, trouver, troué, trucider, trémousser, trépas, trépasser, trépider, trépigner, trêve, tubercule, tubercules, tuer, tuer, tumulte, turbulence, turbulent, tête, === U === ulcérer, unir, univers, user, usure, usurper, usé, utopie, utopique, === V === vague(n), vague(aj), vaguement, valeur, vaporeux, vaporiser, variable, variant, varier, varié, variété, vaste, vaurien, velours, velouté, vendre, vendu, venir, vent, vente, ventiler, ventre0,, verdir, vermeil, verre, vers, versant, verser, versé, vert, vertige, verve, vibrant, vibrer, vice, vicieux, vidanger, vide, vider, vider, vie, vif, vigoureux, vil, vin, viol, violence, violent, violenter, violer, violeur, vipère, virer, vitalité, vite, vitesse, vitesses, vitupérer, vivace, vivant, viveurs, vivras, vivre, vocal, vocaliser, vogue, voguer, voile, voir, voix, volant, volatiliser, volcan, voler, voleur, volontiers, volonté, voltiger, voluptueusement, voluptueux, volupté, vomir, vomissement, vouer, vouloir, voyage, voyager, voyageur, végétal, Vélociraptor, Vénus, vénérien, === Z === zigouiller, zébrer, zébrure '''''[À SUIVRE]''''' '''''De petites modifications de détail (orthographe, doublons) seront faites dans les jours qui viennent...''''' == COMPOSITION DE CETTE SÉRIE A CUMULÉE (mots simples et mots complexes) == * Les adjectifs simples ou atomes constituant la série A au sens strict * Les verbes de la liste "Éiimination" définie au <u>'''Chapitre''' [[Analyse des Logiques Subjectives/Retour aux "Molécules" - Les verbes#Deux listes de verbes|'''11''']]</u>. Ce sont des mots complexes * Les autres mots complexes : adjectifs complexes, noms (substantifs) et adverbes == RAPPEL DES ADJECTIFS SIMPLES ("ATOMES") DE LA SÉRIE A CONTENUS DANS CE CUMUL : == === ATOMES CONCRETS : === grand, large, haut, lointain, antérieur, périphérique, latéral, debout, non limité, discontinu, flou, diffus, dispersé, déplié, mobile, multiple, ouvert, mince, fin, long, en relief, transparent, exposé, découvert, externe, superficiel, vide, concave, accompagné, coloré, rouge, vert, clair, brillant, irrégulier, contrasté, éclairant, aigu, haut, sonore, parlant, vocal, dissonant, stimulant l'audition, tangible, inconsistant, fluide, souple, léger, chaud, mouillé, tendre, doux, tonique, fragile, aigu, courbe, rugueux, stimulant le toucher, non comestible, sapide, non nourrissant, non sucré, non gras, non protéique, salé, acide, amer, piquant, cru, non mûr, vert, digeste, odorant, parfumé, debout, gazeux, liquide, pulvérulent, laid, joli, === ATOMES ABSTRAITS : === acquis, actif, agité, ami, accueillant, amusant, anormal, autre, différent, concret, courageux, cruel, désordonné, éphémère, étranger, éveillé, facile, simple, facultatif, fécond, fertile, fort, fou, insensé, gai, généreux, dépensier, guerrier, humain, imprécis, imprévu, surprenant, impudique, impur, inconnu, indépendant, indiscret, inégal, infini, injuste, inquiétant, inutile, jeune, libre, libre, non fixé, malade, méchant, mélangé, mensonger, faux, mortel, naturel, non nommable, non adapté, laid, joli, indéfini, non fiable, non mesurable, démesuré, incommensurable, déniaisé, devergondém, non nécessaire, osé, indécent, partial, perméable, poreux, postérieur, profane, propre, rapide, récent, relatif, riche, sans valeur, sauvage, sensible, singulier, extraordinaire, spontané, surhumain, bestial, turbulent, vil, violent, vivant == LISTE DES VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION" À L'INFINITIF : voir l'annexe suivante == [[Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION"|'''''-> Analyse des Logiques Subjectives/Annexe/VERBES DE LA LISTE "ÉLIMINATION"''''']] * '''Mots qui seront bientôt ajoutés après tri alphabétique :''' == Verbes avec leurs dérivés nominaux, adjectivaux et adverbiaux : == '''Ouvrir''' : ouverture, ouvert, ouvertement '''Débâcler''' : débâclage, dégagé '''Débâillonner''' : débâillonnement, libre '''Débander''' : débandade, délié '''Débarricader''' : déblaiement, dégagé '''Débarrer''' : ouverture, ouvert '''Débloquer''' : déblocage, libre '''Déborner''' : illimité, sans bornes '''Déboucher''' : débouchage, ouvert '''Déboucler''' : débouclage, ouvert '''Déboutonner''' : déboutonnage, ouvert '''Décadenasser''' : ouverture, ouvert '''Décapsuler''' : décapsulage, ouvert '''Décacheter''' : décachetage, ouvert '''Décercler''' : décerclage, libre '''Décerner''' : discernement, clair '''Déchômer''' : travail, actif '''Décicatriser''' : plaie, ouvert '''Déclaquer''' : silence, calme '''Déclouer''' : déclouage, libre '''Découdre''' : découdage, ouvert '''Disjoncter''' : connexion, activé '''Écluser''' : ouverture, ouvert '''Autoriser''' : autorisation, autorisé '''Reprendre''' : reprise, actif '''Déclore''' : ouverture, ouvert '''Déconsigner''' : liberté, libre '''Rattacher''' : attache, attaché '''Décoller''' : décollage, libre '''Accepter''' : acceptation, accepté '''Décondamner''' : ouverture, ouvert '''Libérer''' : libération, libre '''Entrouvrir''' : ouverture, ouvert '''Définir''' : définition, défini '''Déconnecter''' : déconnexion, déconnecté '''Définir''' : définition, défini '''Débloquer''' : déblocage, libre '''Désinvestir''' : désinvestissement, libre '''Alléger''' : légèreté, léger '''Démaçonner''' : démolition, démoli '''Démolir''' : démolition, démoli '''Défaire''' : dénouement, défait '''Désobstruer''' : désobstruction, libre '''Révéler''' : révélation, révélé '''Dévoiler''' : dévoilement, dévoilé '''Détacher''' : détachement, détaché '''Déboucher''' : débouchage, ouvert '''Parquer''' : liberté, libre '''Déplier''' : dépliage, déplié '''Ouvrir boutique''' : ouverture, ouvert '''Retenir''' : retenue, retenu '''Déverrouiller''' : ouverture, ouvert '''Sceller''' : ouverture, ouvert '''Se détacher''' : détachement, détaché '''Réactiver''' : activation, activé '''Débuter''' : début, débutant '''Pousser''' : poussée, poussé{{Bas de page | idfaculté = <!-- le même que la leçon --> | leçon = <!-- [[Titre de la leçon correspondante]] --> | précédent = | suivant = }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> 18psspjy21zh31tqjxowawebx9i2nss 4 87372 988216 988142 2026-11-08T15:22:26Z Ambre Troizat 8860 /* A la recherche des Vidéos de formation à Wikiversité... et aux autres projets */ réponse à Lionel Scheepmans ([[mw:c:Special:MyLanguage/User:JWBTH/CD|DP]]) 988216 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|10}}{{Clr}}</noinclude> == Wikidata Sitelink changes in Recent Changes and Watchlist == ''(Apologies for cross-posting in English, translating it will help spread the message)'' Editors on group 1 wikis, including Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage, and Wikisource, will no longer see notifications on [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. This change will begin on '''October 5 at 07:00 UTC''' as a two-week trial to reduce high-volume, low-value notifications and make higher-value changes easier to identify. Editors who rely on these notifications should be aware of the change and can share feedback or concerns on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project]] or [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]].<br/>Please reach out if you have any questions, thank you! -- [[User:Danny_Benjafield_(WMDE)|Danny Benjafield (WMDE)]] ([[User_talk:Danny_Benjafield_(WMDE)|talk]]) sent via [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 1 octobre 2026 à 12:42 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Danny Benjafield (WMDE)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Danny_Benjafield_(WMDE)/MassMessage_test_list&oldid=31106967 --> == Harcèlement par hCaptcha == J'ai un compte sur Wikiversité au nom de Marvoir. Quand je remplis le formulaire pour me connecter, je reçois le message "Une vérification supplémentaire est nécessaire. Veuillez recommencer" (ou quelque chose comme ça). Je remplis donc le même formulaire et maintenant je dois exécuter un hCaptcha. Or ce hCaptcha est impossible à exécuter, parce que l'indication de la tâche à effectuer est mal positionnée et apparaît incomplètement. Je trouve quand même étonnant qualors que j'indique mon pseudo et mon mot de passe, je sois encore obligé d'exécuter des captchas impossibles à exécuter. Marvoir. [[Spécial:Contributions/~2026-52884-74|~2026-52884-74]] ([[Discussion utilisateur:~2026-52884-74|discussion]]) 1 octobre 2026 à 17:37 (UTC) :Bonsoir Marvoir via @[[Utilisateur:~2026-52884-74|~2026-52884-74]] :Ce comportement du site n'est effectivement pas normal. Je n'ai jamais rien eu de la sorte en plus de 15 ans de connexion. Mais je vois que tu as contribué depuis avec ton compte. J'imagine que le problème fut passagé. Reviens vers moi en me notifiant si ça revient et se prolonge, je peux alors laisser un message dans Fabricator pour signaler le bug. :En visitant ton profil utilisateur, j'ai remarqué que tu échanges des messages concernant Wikipédia avec divers contributeurs. C'est inabituel, mais j'imagine que c'est sans doute parce que tu as été bloqué là-bas. J'ai vu juste ? :Bien à toi, [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 12 octobre 2026 à 21:31 (UTC) == Des RAW tout frais, à lire sans délai ! == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro d'octobre 2026 ({{numéro|297}}) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-10-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div> </div> '''Contribuer, chacun à sa manière''' Dans une grande partie de la francophonie, l'automne pointe le bout de son nez, et avec lui un nouveau numéro des RAW ! Ce numéro fait la part belle à la contribution sous plusieurs formes : des campagnes de contribution et des ateliers pour améliorer des milliers d'articles sur divers sujets, des discussions communautaires, des élections, des événements, des nouveautés techniques, et même une nouvelle publication francophone ! La contribution peut aussi prendre des formes plus inattendues : pourquoi pas à travers des jeux ? Et pour découvrir plus concrètement ce que signifie contribuer à Wikipédia, nous nous intéresserons au parcours d'un utilisateur fraîchement élu administrateur : Nanoyo88. Par ailleurs, la réflexion sur le changement de titre des RAW avance : les deux propositions favorites sont ''La Wikigazette'' et ''La Gazette de Wikimédia''. N'hésitez pas à [[w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Deuxième tour|donner votre avis]]. Bonne lecture, et surtout, bonnes contributions ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia, des nouveaux outils et des articles de recherche '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">L'Interview</span>''' — Nanoyo88 : de débutant à administrateur, pour une Wikipédia plus accessible '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW, c'est aussi vous : n'hésitez pas à suggérer des sujets ou participer à la rédaction du [[w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]] ! [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 octobre 2026 à 22:06 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-41 == <section begin="technews-2026-W41"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Le processus relatif à la liste de souhaits communautaires de cette année [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027#Updated Community Wishlist Process 2027/2028|a été publié]], en tenant compte des commentaires de la communauté. La période de soumission des souhaits [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is the deadline for submitting wishes?|prendra fin le 8 novembre]]. Cette année, [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/Community Wishlist 2027/Working group|un groupe de travail (appel à volontariat ouvert)]] composé de membres de la communauté connaissant bien les aspects techniques de nos wikis et de membres du personnel de la Fondation Wikimedia se chargera du [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist/FAQ#What is triage?|processus de triage]]. Le triage devrait être terminé d'ici la fin novembre. Le vote sur les souhaits débutera en janvier. '''Actualités pour la contribution''' * Les utilisateurs adeptes de l'[[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor|éditeur visuel]] verront maintenant un avertissement lorsqu'ils collent du texte qui a probablement été copié d'une de 5 IA génératives dans Wikipédia. Cette fonctionalité est connue sous le nom de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check|Vérification du collage de LLM]]. C'est un type de [[mw:Special:MyLanguage/Edit check|Vérification des modifications]] qui est configurable par communauté. La vérification cherche des marques dans l'HTML copié et n'utilise pas de la détection de tatouage numérique (watermark). Les modifications seront aussi [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Edit tags|marquées]] pour que les patrouilleurs puissent les revoir en détail. Cette fonctionalité aide les nouveaux ajouter du contenu qui respecte les règles de Wikipédia et rend l'identification de contributions problèmatiques plus facile pour les utilisateurs expérimentés. Les communautés avec des règles locales sur l'usage de LLM peuvent [[mw:Special:MyLanguage/Edit check/LLM Paste Check#Configuration|ajuster la formulation et les règles liées]]. L'équipe s'[[listarchive:list/translators-l@lists.wikimedia.org/message/EVHKWJ4IERZELMPIWNH3XUVUSQV5KOO4/|excuse]] que cette fonctionalité a été poussée sans un délai pour les traductions. * Les utilisateurs peuvent désormais [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Apps/Team/Future of Editing on the Mobile Apps|accéder facilement à l'éditeur visuel web directement depuis les applications iOS et Android]]. À l'ouverture de l'éditeur, les utilisateurs ont le choix entre l'édition visuelle et l'édition source. S'ils optent pour l'édition visuelle, ils sont redirigés vers une page web mobile dans leur navigateur internet. Une fois la modification terminée, une bannière leur permet de revenir à l'application. Cela permet aux lecteurs d'apporter rapidement des contributions tout en consultant le contenu, et facilite la transition vers la version web mobile. * Les utilisateurs des applications Android et iOS de Wikipédia verront désormais une proposition unique de création d'un compte après avoir utilisé l'application pendant deux semaines consécutives. Cette bannière explique les avantages d'avoir un compte. Il est destiné à aider les lecteurs occasionnels à devenir des utilisateurs connectés qui reviennent régulièrement aux applications. [https://phabricator.wikimedia.org/T434847] * Les contributeurs à des [[wmnoc:conf/dblists/group1.dblist|wikis de groupe 1]] (dont Wikiquote, Wikibooks, Wikiversity, Wikivoyage et Wikisource) ne verront plus de notifications dans les [[mw:Special:MyLanguage/Help:Recent changes|modifications récentes]] et la [[mw:Special:MyLanguage/Help: Watching pages|liste de suivi]] lorsqu'un lien vers une version d'un autre langage d'une page est ajouté, enlevé ou modifié sur Wikidata. Ce changement débutera le 5 octobre à 7h UTC en tant que test de 2 semaines pour réduire les notification à fort volume et de valeur basse ainsi que de rendre les modification importantes plus faciles à voir. Les utilisateurs qui se basent sur ces modifications peuvent en lire plus sur la [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|page du projet]] et partager du retour ou des préoccupations sur la [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|page Discussion]] [https://phabricator.wikimedia.org/T439415] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:36|la tâche soumise|les {{formatnum:36}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:36||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où les mentors qui se sont retirés du programme de mentorat pouvaient encore avoir des novices qui leur étaient affectés et recevaient des questions a été résolu. Les novices seront désormais réaffectés quand un mentor quittera le programme. [https://phabricator.wikimedia.org/T418194] '''Actualités pour la contribution technique''' * Wikimédia Brésil a publié son [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Brasil/Arcabouço de Boas Práticas de Desenvolvimento|Framework des Bonnes Pratiques de Développement]]. C'est un guide pour les staff, contracteurs et volontaires qui créent des outils et des projets techniques. Il couvre le cycle de vie du projet, la sécurité, l'accessibilité, la sécurité des données personnelles et l'utilisation responsable de l'IA, et explique comment des règles d'un projet ont été adaptées à un contexte local. D'autres affiliés sont encouragés à le réutiliser et à l'adapter. En lire plus dans le [[wmfblog:2026/09/26/wikimedia-brasils-development-best-practices-framework-technical-sustainability-as-an-organizational-responsibility|post Diff]]. * Une nouvelle base canonique d'URL pour les API Wikimedia sera bientôt introduite. Cette nouvelle route canonique suit le modèle <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{projectName}/api/</nowiki></code></bdi> et servira de voie alternative aux API REST actuelles (par exemple : <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>{projectName}/w/rest.php/</nowiki></code></bdi>). Les deux versions seront appelées pour toutes les API existantes, mais la nouvelle structure sera le chemin préféré pour les modules API nouvellement créés. Ce changement ne devrait pas casser la plupart des flux de travail. Les URLs existantes resteront disponibles pour toutes les demandes de points finaux existants. Cependant, certains appels peuvent retourner des URL suivant le nouveau modèle dans le corps de la réponse. Les modifications seront d'abord disponibles sur Test Wiki, avec le déploiement prévu pour tous les wikis d'ici la fin octobre. [https://phabricator.wikimedia.org/T433535] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.23|MediaWiki]]. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/41|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W41"/> 5 octobre 2026 à 18:52 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31098825 --> == <span lang="en" dir="ltr">Tech News: 2026-42</span> == <div lang="en" dir="ltr"> <section begin="technews-2026-W42"/><div class="plainlinks"> Latest '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|tech news]]''' from the Wikimedia technical community. Please tell other users about these changes. Not all changes will affect you. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/42|Translations]] are available. '''Weekly highlight''' * Starting October 13, wikis can change the default pattern for [[:en:Wikipedia:VisualEditor/Named references|auto-generated reference names in VisualEditor]] (currently <syntaxhighlight lang="wikitext" inline><ref name=":1" /></syntaxhighlight>). They will be able to use human-readable, content-based reference names that are more helpful to contributors using the source editor (e.g. <syntaxhighlight lang="wikitext" inline><ref name="Miller2026-1" /></syntaxhighlight>). VisualEditor reference name patterns can be defined using MediaWiki system messages, JSON, templates and modules ([[:mw:Special:MyLanguage/Help:Cite/VisualEditor reference names|more information]]). Admins can enable these changes via [[Special:CommunityConfiguration/Cite-VisualEditor-Autonames|community configuration]]. This is a [[:m:Special:MyLanguage/Community_Wishlist/W17|community wish]] implemented by [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T436255] * [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing|Sub-referencing]] is a new MediaWiki feature that allows editors to reuse references with different details. It will be deployed to English Wikipedia on October 14 and to remaining Wikimedia Foundation wikis by end of October (likely October 21). The [[m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes/Sub-referencing#deployment|FAQ]] lists possible actions to take on your wiki to support the deployment. This is a [[:m:WMDE Technical Wishes/Sub-referencing/History|long-standing community wish]] implemented by [[:m:Special:MyLanguage/WMDE Technical Wishes|WMDE Technical Wishes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T440243][https://phabricator.wikimedia.org/T440304] '''Updates for editors''' * [[mw:Special:MyLanguage/Moderator Tools|Moderator Tools]] will be removing the list view of the Watchlist and defaulting everyone to the changelog view. Previously, there were two versions of how the Watchlist is shown to mobile web users: the list view, where editors could see watched articles in a list format, and the changelog view, where editors could see changes to watched articles in a log format, controlled by a user's Advanced Mobile Control settings. This has created issues for code-base maintenance: two different displays means two sets of code to manage. By defaulting to the changelog view, we are simplifying the codebase and avoiding the likelihood of missing bugs. * The Wikipedia Android app is testing a way to listen to article introductions in the “For you” feed. A text-to-speech model reads the existing article text aloud without rewriting it or adding any content. The 30-day experiment will begin in the Wikipedia Beta app during the third week of September, then move to the regular Wikipedia Android app in October for a limited group of eligible users. A small portion of app users (those with English feeds and at least one topic interest) will have access to the feature. This experiment is part of broader efforts to give app readers options in how they consume content in order to deepen engagement and user retention. [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Listening to Wikipedia/Phase 1|Learn more]] and [[mw:Talk:Readers/Listening to Wikipedia|share feedback]]. * [[mw:Special:MyLanguage/Help:Extension:CodeMirror|CodeMirror syntax highlighting]] was [[phab:T288161|enabled]] by default for all logged out and newly registered users on the English Wikipedia on September 14. With no signs of adverse effects, the same change is being proposed to be made globally across all wikis in a few weeks. If you have concerns or feedback, or if your wiki would like to opt out, [[mw:Special:MyLanguage/Help talk:Extension:CodeMirror#Enabling CodeMirror by default on all WMF wikis for newbies|please see the help page]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T440077] * [[d:Wikidata:Usability_and_usefulness/Item_editing_experience/Mobile_editing_of_statements|Wikidata mobile statement editing]] of all datatypes will be officially launched on October 13, when it will be removed from Wikidata [[d:Special:Preferences#mw-prefsection-betafeatures|beta features]] and become available to all editors. Users can [[d:Wikidata_talk:Usability_and_usefulness/Item_editing_experience/Mobile_editing_of_statements|report bugs and share feedback]]. * Last week, language link changes were removed from [[Special:RecentChanges|Recent Changes]] and [[Special:Watchlist|Watchlist]] feeds on Wikivoyage, Wikisource, Wikiversity, Wikiquote and Wiktionary. As no adverse effects have been observed, the [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects|Wikidata For Wikimedia Projects]] plans to roll out this change globally to all Wikipedias. This is scheduled for October 13 at 07:00 UTC, after which editors will no longer see when a link to ''another'' language version of a page is added, removed, or changed in its Wikidata item. Editors who rely on these notifications can read more on the [[m:Wikidata For Wikimedia Projects/Clearer Wikidata Edit Summaries/Hide Language Link edits|project page]] and share feedback or ask to opt out their wiki on the [[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|talk page]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T440698] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] View all {{formatnum:28}} community-submitted {{PLURAL:28|task|tasks}} that were [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|resolved last week]]. For example, an issue where accidentally touching the graph while scrolling on the Pageviews tool on mobile could unintentionally zoom in has now been fixed. Click-and-drag zoom is now disabled on touch devices. [https://phabricator.wikimedia.org/T440075] '''Updates for technical contributors''' * There are three major changes coming to dumps: the legacy content dumps [https://lists.wikimedia.org/hyperkitty/list/xmldatadumps-l@lists.wikimedia.org/thread/E6D5EU4PMSTSOI2J7A46HJ3YW2W554CS/ deprecated in January 2026] will now be sunset, the replacement [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/MediaWiki_Content_File_Exports MediaWiki Content File Exports] will be delayed to implement a “safety buffer”, and they are now also available as 7zip-compressed files. Users will need to switch the URL they download their dump from. For more information, timeline and migration instructions, see [https://wikitech.wikimedia.org/wiki/Legacy_content_dumps_sunset Legacy content dumps sunset]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Recurrent item]] Detailed code updates later this week: [[mw:MediaWiki 1.47/wmf.24|MediaWiki]] '''In depth''' * The Wikimedia Foundation discovered unauthorized activity by OpenAI agents on Wikimedia projects, including edits to wikis, attempts to exploit a public note-taking tool, and heavy automated traffic. [[diffblog:2026/10/05/openai-rogue-agent-activities-found-on-wikimedia-projects/|Read the blog post on Diff]] for more details about the activity and the Foundation’s response. '''Meetings and events''' * Save the date for the next Wikimedia Hackathon! We’ll be meeting in lovely Tirana, Albania for the [https://www.mediawiki.org/wiki/Wikimedia%20Hackathon%202027 2027 Wikimedia Hackathon] from April 9–11, 2027. Scholarship and staff sponsorship applications are currently being [https://pretix.eu/wikimedia/Hackathon-2027/ accepted through Pretix] and will close on October 30, 2026. General registration will open in January 2027. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Tech news]]''' prepared by [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|Tech News writers]] and posted by [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|bot]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribute]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/42|Translate]]&nbsp;• [[m:Tech|Get help]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Give feedback]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|Subscribe or unsubscribe]].'' </div><section end="technews-2026-W42"/> </div> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 13 octobre 2026 à 07:40 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31142468 --> == Actualités techniques n° 2026-43 == <section begin="technews-2026-W43"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/43|D’autres traductions]] sont disponibles. '''Actualités pour la contribution''' * Pour mesurer l'impact de l'intégration de certaines [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Image_Browsing#November 2025: Ideas and feedback|fonctionnalités demandées par la communauté]] sur la rétention des lecteurs non connectés, un test pour [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Growth/Image_Browsing|carrousel d'images]] sera proposé aux lecteurs non connectés. Avec la fonctionnalité du carrousel d'images, les lecteurs parcourent des images téléchargées par la communauté, sélectionnées par les éditeurs comme pertinentes pour des articles spécifiques. Le test commence le 20 novembre. * Un avis expérimental sera affiché à 0,5 % des lecteurs mobiles déconnectés qui viennent sur Wikipédia en anglais depuis Google, leur demandant d’ajouter Wikipédia en tant que [https://blog.google/products-and-platforms/products/search/preferred-sources/ Source Préférée de Google]. Le test vise à voir si cet avis augmente la fidélisation des lecteurs et encourage les personnes utilisant Google Search à visiter Wikipédia plus souvent. Il se déroulera du 15 au 29 octobre et son impact sur la fidélisation et les recommandations sera évalué. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:26|la tâche soumise|les {{formatnum:26}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:26||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, un problème où [[quarry:|Quarry]] renvoyait une erreur « Accès refusé » lorsque les utilisateurs essayaient d’exécuter des requêtes SQL, empêchant le fonctionnement normal des requêtes, a maintenant été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T440966] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Cog-icon-grey.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet technique]] En raison d’un bug de longue date, les applications qui utilisent le flux de credentials client [[mw:Special:MyLanguage/OAuth/For_Developers|OAuth 2]] pour agir au nom de leurs propriétaires sont traitées comme si elles étaient déconnectées. Cela sera corrigé pour les nouvelles applications enregistrées à partir du lundi 19 octobre. Certaines applications concernées devront se réenregistrer. [https://phabricator.wikimedia.org/T420297] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.48/wmf.1|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Une proposition visant à organiser le Hackathon Wikimedia tous les trois ans, avec des hackathons régionaux entre-temps, [[mw:Wikimedia Hackathon/Community Proposal 2026|a été partagée]]. Elle explore comment rendre l'événement plus accessible aux communautés techniques dans différentes régions. Partagez vos avis sur la [[mw:Talk:Wikimedia Hackathon/Community Proposal 2026|page de discussion]] de la proposition avant le 6 novembre. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/43|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W43"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 19 octobre 2026 à 14:38 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31178499 --> == A la recherche des Vidéos de formation à Wikiversité... et aux autres projets == Bonjour, Je voudrais accéder aux vidéos de formation aux différents projets Wikimedia.<br> Pouvez-vous m'indiquer les liens vers les dernières versions ? Merci de votre attention,<br> Bel Bonjour. --[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 25 octobre 2026 à 12:48 (UTC) :Salut @[[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]], des vidéos de présentation des projets je pense que tu peux en trouver facilement, mais des vidéos de formation, à part le MOOC pour Wikipédia, je ne vois pas trop. Cela étant dit, beaucoup d'apprentissages sont commun à tous les projet, puisqu'ils fonctionnent tous avec la même plateforme MediaWiki. Ce qui a été fait pour Wikipédia peut donc en grande partie servir pour les autres projets. Reste ensuite à aborder les spécificités, tel que les nombreux modèle dans le Wiktionnaire, les Quiz dans Wikiversité, etc. [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 5 novembre 2026 à 22:29 (UTC) :: Merci Lionel pour ta réponse.<br> J'ai retrouvé une partie des informations que je cherchais.<br> Elles avaient été soigneusement sauvegardées par l'animateur du groupe local de Bourges.<br> Les liens seront joints au CR de notre WikimediaRencontreVierzon d'hier samedi 07 novembre 2026. :: Pour Wikipédia<br> Aide:Débuter [[w:Aide:Débuter]]<br> Aide:Wikipédia pas à pas <br> Familiarisez-vous progressivement avec les principes, les buts et l'interface de Wikipédia grâce à ces vidéos et tutoriels interactifs conçus par des bénévoles. Ils sont issus du [[w:Projet:WikiMOOC|WikiMOOC]] mené en 2017 sur Wikipédia en français ([[w:Fichier:Crédits_WikiMOOC_2.pdf|crédits]]).</br><br> Pour WikimediaCommons<br> Commons:Premiers pas [[commons:Commons:First steps/fr]].<br> Le tutoriel Wikimedia Commons : Premiers Pas / Contribuer : [[commons:Commons:First steps/Contributing/fr]] :: Avons-nous quelque chose d'équivalent sur Wikiversité ?<br> Que ce soit pour écrire une leçon, un compte-rendu de lecture, une thèse, la Wikiversité est très dépendante des autres projets Wikimedia : Wikipédia, Wikimedia Commons, Wikisource, Wikidata, Wikitionnaire. C'est mon expérience. :: Pourriez-vous nous adresser une lettre pour nous informer de l'avancement du projet 20ème Anniversaire ?<br> Au plaisir de vous lire. [[Utilisateur:Ambre Troizat|Ambre Troizat]] ([[Discussion utilisateur:Ambre Troizat|discuter]]) 8 novembre 2026 à 15:22 (UTC) == Bascule de serveur : votre wiki sera bientôt en lecture seule durant un court instant == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|Lire ce message dans une autre langue]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] La [[foundation:|Fondation Wikimédia]] va basculer le trafic entre ses centres de données. Cela permettra de s’assurer que Wikipédia et les autres wikis de Wikimédia peuvent rester en ligne même après une catastrophe. Le trafic sera basculé le '''{{#time:j xg|2026-10-28|fr}}'''. La bascule débutera à '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-10-28T15:00|en}} {{#time:H:i e|2026-10-28T15:00}}]'''. Malheureusement, en raison de certaines limites de [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]], toutes les modifications de pages devront être arrêtées durant le passage d’un centre de données à l’autre. Nous nous excusons pour ce dérangement, que nous nous efforçons de réduire pour le futur. Une bannière sera affichée sur tous les wikis 30 minutes avant le début de l’opération. Cette bannière restera visible jusqu’à la fin de l’opération. Vous pouvez contribuer à la [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate traduction ou relecture] du texte de cette bannière. '''Pendant une courte période, vous pourrez lire les wikis mais pas les modifier.''' * Vous ne pourrez pas effectuer de modification pendant une durée pouvant aller jusqu’à une heure, le {{#time:l j xg Y|2026-10-28|fr}}. * Si vous essayez de faire une modification ou de sauvegarder pendant cette période, vous verrez un message d’erreur. Nous espérons qu’aucune modification ne sera perdue durant ce temps, mais nous ne pouvons le garantir. Si vous voyez un message d’erreur, merci de patienter jusqu’au retour à la normale. Vous pourrez alors enregistrer votre modification. Nous vous conseillons cependant de faire une copie de votre modification avant, au cas où. ''Autres conséquences :'' * Les tâches de fond seront ralenties et certaines pourraient être stoppées. Les liens rouges ne seront pas mis à jour aussi vite que d’habitude. Si vous créez un article qui est déjà lié depuis une autre page, le lien rouge pourrait rester rouge plus longtemps que d’habitude. Certains scripts ayant un long temps d’exécution devront être stoppés. * Le déploiement de code devrait se dérouler comme chaque semaine. Cependant, certains codes particuliers pourraient être gelés si l’opération le nécessitait. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] sera indisponible durant environ 90 minutes. Ce projet pourra être reporté si nécessaire. Vous pouvez [[wikitech:Switch_Datacenter|consulter le calendrier sur wikitech.wikimedia.org]]. Tout changement sera annoncé dans le calendrier. '''Merci de partager ces informations avec votre communauté.'''</div><section end="server-switch"/> [[user:Trizek_(WMF)|Trizek_(WMF)]] 26 octobre 2026 à 14:01 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=30513874 --> == Actualités techniques n° 2026-44 == <section begin="technews-2026-W44"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/44|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * Une expérience lancée le 29 septembre teste actuellement les [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader_Experience/Reading_recommendations|recommandations d'articles]] destinées aux nouveaux titulaires de compte qui se définissent également comme des lecteurs. En suggérant des articles à lire, à l'instar des recommandations proposées dans l'application Wikipédia aux lecteurs connectés, cette expérience vise à encourager les nouveaux titulaires de compte à lire et à revenir régulièrement sur le site, dans le but d'augmenter de 1 % le nombre de visites provenant de liens internes. Consultez la proposition correspondante dans la [[m:Community Wishlist/W505|liste de souhaits de la communauté]]. * Plusieurs services Wikimédia ont été mis hors ligne la semaine dernière en raison d’une [faille de sécurité de niveau 1 avec PHP]. En effet, ils doivent être mis à jour avant de pouvoir être remis en ligne en toute sécurité. Ce problème ne concerne pas uniquement le mouvement Wikimédia, mais touche de nombreux sites web. Vous pouvez suivre l'évolution de la situation sur [[wikitech:Incidents/2026-10-21 PHP security update/Community|Wikitech]]. La remise en ligne de Cloud VPS et de Toolforge prendra plus de temps. Cette précaution vise à garantir que les applications fonctionnant sur Cloud VPS ou Toolforge ne soient pas affectées. Les développeurs d'outils peuvent consulter les mises à jour et obtenir plus d'informations sur la [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/cloud-announce.lists.wikimedia.org/ liste de diffusion Cloud-announce]. [https://diff.wikimedia.org/2026/10/21/impact-of-php-vulnerabilities-on-wikimedia-tools-and-services/][https://diff.wikimedia.org/2026/10/21/impact-of-php-vulnerabilities-on-wikimedia-cloud-services/] * [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/43|La semaine dernière, nous vous avons annoncé]] que, afin de mesurer l'impact de l'intégration de certaines fonctionnalités demandées par la communauté sur la fidélisation des lecteurs non connectés, un test portant sur la fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Growth/Image Browsing|Image Carousel]] serait déployé auprès de ces derniers. En raison d'un problème, nous allons relancer le test, mais celui-ci sera mis en ligne le 26 octobre, et non le 20 novembre comme annoncé initialement. '''Actualités pour la contribution''' * Un nouveau [[wikitech:KAPOW|système de détection des bots]] visant à mieux identifier le trafic automatisé qui se fait passer pour des visiteurs humains va être mis en place sur les wikis Wikimédia. Cela pourrait entraîner des variations soudaines des statistiques de fréquentation à partir du 26 octobre, avec un effet rétroactif jusqu'au 20 juin 2026. * L'[[mw:Special:MyLanguage/Extension:Score|extension Score]], qui permet d'afficher des partitions musicales au sein des pages wiki, a été temporairement désactivée sur tous les wikis en raison d'un problème de sécurité. Les pages concernées afficheront un message d'avertissement à la place des partitions, mais le code sous-jacent reste intact. Aucune action n'est requise de la part des contributeurs, et un correctif est en cours d'élaboration. Une annonce distincte sera publiée lorsque l'extension sera réactivée. Pour en savoir plus, consultez [[phab:T441579|Phabricator]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:18|la tâche soumise|les {{formatnum:18}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:18||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, le problème lié à l'activation par erreur du surlignage de syntaxe CodeMirror dans les éditeurs existants a été résolu. [https://phabricator.wikimedia.org/T441308] '''Actualités pour la contribution technique''' * [[m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|Tous les wikis seront en lecture seule]] pendant quelques minutes le mercredi 28 octobre 2026 à [https://zonestamp.toolforge.org/1793199600 15 h 00 UTC]. Cette opération est nécessaire pour les tests de basculement de secours des serveurs du centre de données, [[wikitech:Deployments/Yearly calendar|qui ont lieu deux fois par an]]. Pendant cette bascule, tout le trafic des sites web de Wikimédia est redirigé d’un centre de données principal vers le centre de données de secours afin de tester la disponibilité et d’éviter toute interruption de service, même en cas d’urgence. [https://phabricator.wikimedia.org/T439703] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.48/wmf.2|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Les candidatures aux bourses et aux parrainages pour le [https://www.mediawiki.org/wiki/Wikimedia%20Hackathon%202027 Hackathon Wikimedia 2027] prendront fin le vendredi 30 octobre. Envoyez votre candidature [https://pretix.eu/wikimedia/Hackathon-2027/ via Pretix] avant la date limite ! '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/44|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W44"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 26 octobre 2026 à 18:56 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31199592 --> 8qtu49qoc458bue4vdrrlyosdf85gk0 4 87384 988246 988143 2026-11-09T10:34:29Z MediaWiki message delivery 20848 /* Actualités techniques n° 2026-46 */ nouvelle section 988246 wikitext text/x-wiki __EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ <noinclude>{{SC|2026|11}}{{Clr}}</noinclude> == Impacts environnementaux de l'exploitation aurifère dans la rivière Sangya , secteur Tanganyika , Territoire de Fizi , Sud-Kivu , République Démocratique du Congo == veuillez me proposez un plan de travail de mémoire de master en environnement et développement durable , option gestion des ressources naturelles [[Spécial:Contributions/~2026-58311-69|~2026-58311-69]] ([[Discussion utilisateur:~2026-58311-69|discussion]]) 2 novembre 2026 à 08:33 (UTC) :Bonjour. Wikiversité ne fonctionne pas comme une intelligeance artificielle générative. Ici c'est avec des humains que tu communiques, avec la courtoisie qui va de mise =) [[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] ^{<big>✉</big> [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]} 5 novembre 2026 à 22:31 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-45 == <section begin="technews-2026-W45"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/45|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * De nombreux outils Wikimédia ont été mis hors ligne la semaine dernière en raison d'une [[:w:fr:PHP2Shell|faille de sécurité dans PHP]]. Cela a affecté de nombreux sites web à travers le monde. [[m:Special:MyLanguage/Toolforge|Toolforge]] et [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Cloud Services|Cloud VPS]] sont de nouveau opérationnels depuis le 22 octobre. De nombreux outils importants ont été progressivement rétablis. Certains outils doivent être redémarrés par leurs responsables bénévoles respectifs. D'autres doivent encore être mis à jour vers une version corrigée de PHP. Certains outils utilisaient d'anciennes versions de PHP qui ne sont pas prises en charge par les derniers correctifs de sécurité. Leurs responsables devront donc les mettre à jour vers une version plus récente. Cela pourrait nécessiter un effort supplémentaire. Vous pouvez suivre l'avancement des travaux [[:wikitech:Talk:Incidents/2026-10-21 PHP security update/Community#Exceptions|sur Wikitech]]. '''Actualités pour la contribution''' * Une nouvelle expérience de recherche optionnelle est en cours dans les applications Wikipédia pour Android et iOS, pour les versions en arabe, en français et en japonais de Wikipédia. Les lecteurs qui y participent peuvent effectuer des recherches au sein des articles et ouvrir les passages cités directement dans leurs articles sources ; aucune réponse ni aucun résumé n'est généré. Il s'agit de la première des quatre expériences de la [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Information%20Retrieval/Phase%202|phase 2 de la recherche sémantique]]. Elle a débuté le 22 octobre 2026 et durera 20 jours. Vos commentaires sont les bienvenus sur la [[mw:Special:MyLanguage/Talk:Readers/Information%20Retrieval/Phase%202|page de discussion]] du projet. * L'équipe [[m:Special:MyLanguage/Future_Audiences|Future Audiences]] prévoit d'intégrer les [[m:Special:MyLanguage/Future_Audiences/Share_card|Share Cards]] à Wikipédia sur mobile. Cette fonctionnalité permet aux utilisateurs de partager avec leurs amis une fiche visuellement attrayante, basée sur l'article qu'ils sont en train de lire. La fiche contient le titre de l'article, une image, le début du texte et les mentions de source associées, ainsi qu'un lien vers l'article complet. Les contributeurs sont invités à tester cette fonctionnalité en ajoutant <code dir="ltr">?useformat=mobile&sharecard=1</code> à l'URL de n'importe quel article entre le 29 octobre et le 8 novembre. N'hésitez pas à partager vos impressions sur la [[m:Talk:Future_Audiences/Share_card|page de discussion du projet]] et à signaler tout bug sur [[phab:T439161|Phabricator]]. * Le moteur de rendu par défaut des formules mathématiques changera le 2 novembre. À partir de cette date, le serveur enverra les formules au format MathML, et votre navigateur utilisera MathJax pour les afficher. Il s'agit de la dernière étape du processus de dépréciation de Mathoid/RESTBase, pour des raisons de pérennité et de sécurité. Vous pouvez [[w:en:Wikipedia:WikiProject Mathematics/MathFormattingBugs|poser des questions ou signaler des problèmes]]. [https://phabricator.wikimedia.org/T375238] * Vous avez une idée de nouvelle fonctionnalité, ou un bogue qui devrait être résolu ? [[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist|Soumettez votre souhait pour les Souhaits communautaires pour le 8 novembre !]] * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:41|la tâche soumise|les {{formatnum:41}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:41||s}} la semaine dernière]]. '''Actualités pour la contribution technique''' * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.48/wmf.3|MediaWiki]] '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/45|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W45"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 3 novembre 2026 à 14:23 (UTC) <!-- Message envoyé par User:Trizek (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31236748 --> == Un vent de novembre souffle sur les RAW ! == <div style="background-color:#177860; border-radius:.2em; color:#FFF;padding: 1em;"> <div style="font-family: Century Gothic; font-size:3em; line-height:120%;text-align:center;color: #fff;">RAW</div> <div style="margin-bottom:1.5em; margin-top:1em; text-align:center; color: #fff;">Le numéro de novembre 2026 (n°298) est sorti.</div> <div class="center">[[:w:Wikipédia:RAW/2026-11-05|<span class="cdx-button cdx-button--fake-button cdx-button--fake-button--enabled" style="white-space:break-spaces; text-align:center; gap:0;"role="button" aria-disabled="false">Lire l'infolettre</span>]]</div> </div> '''Quinze ans''' Un nouveau numéro des RAW... qui changeront de nom en début d'année prochaine. Le second tour du vote pour départager les deux propositions privilégiées lors du premier tour, ''Wikigazette'' et ''La Gazette de Wikimédia'', est [[:w:Discussion Wikipédia:RAW/Rédaction#Deuxième tour|toujours ouvert]] pour qui voudrait donner son avis. Outre les (nombreuses) brèves et le wik’hit-parade habituels, ce numéro vous propose la suite du travail de PAC2, dont une première partie avait paru en avril dernier, sur la probabilité d'avoir une biographie Wikipédia selon le pays de naissance. Avec cette fois une comparaison entre 18 versions linguistiques de l'encyclopédie. PAC2 qui a par ailleurs signalé que nous avions omis de célébrer en juillet dernier le quinzième anniversaire de la présente infolettre, dont [[:w:Wikipédia:RAW/2011-07-03|le premier numéro]], confectionné par {{u-|Cantons-de-l'Est}}, est officiellement daté de juillet 2011, bien qu'il ait paru dès le mois précédent sur le Bistro et que sa page n'ait été formellement créée que le mois suivant. Que de chemin parcouru depuis… Bonne lecture ! ---- Au menu de ce numéro : '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">En bref</span>''' — Des actualités francophones et du mouvement Wikimédia et des nouveaux outils '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">L'Atelier</span>''' — Probabilité d'avoir une biographie Wikipédia selon le pays de naissance '''<span style="margin:0;background:var(--color-success, #177860);padding:3px;color:white">Le wik'hit parade</span>''' — Une analyse des articles les plus vus le mois dernier [[Fichier:Toicon-icon-sharp-corners-draw.svg|20px|classe=skin-invert-image]] Les RAW vous concernent aussi : n'hésitez pas à suggérer des sujets ou participer à la rédaction du [[:w:Wikipédia:RAW/Rédaction|prochain numéro]] ! [[Utilisateur:Antimuonium|Antimuonium]] ([[Discussion utilisateur:Antimuonium|discuter]]) 4 novembre 2026 à 23:12 (UTC) == Actualités techniques n° 2026-46 == <section begin="technews-2026-W46"/><div class="plainlinks"> Dernières '''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|actualités techniques]]''' de la communauté technique de Wikimedia. N’hésitez pas à informer les autres utilisateurs de ces changements. Certains changements ne vous concernent pas. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/46|D’autres traductions]] sont disponibles. '''En lumière cette semaine''' * L’équipe des Applis Wikipédia prépare le lancement de la Rétrospective annuelle début décembre. La Retrospective annuelle donne aux utilisateurs de l’appli un récapitulatif personnalisé de leurs lectures et activités sur Wikipédia durant l’année. L’équipe recherche des volontaires pour aider à la rendre disponible dans un maximum de langues. Les traducteurs et traductrices peuvent contribuer [https://translatewiki.net/ sur Translatewiki.net]. Pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special:Translate&action=translate&group=out-wikimedia-mobile-wikipedia-android-strings&filter=%21translated Android], recherchez « <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>yir</nowiki></code></bdi> » dans l’onglet « Non traduits » ; pour [https://translatewiki.net/w/i.php?title=Special:Translate&action=translate&group=out-wikimedia-mobile-wikipedia-ios&filter=%21translated&optional=1 iOS], recherchez « <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>year-in-review</nowiki></code></bdi> » dans l’onglet « Non traduit ». * La fonctionnalité [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance|Guidage pour les articles]] qui aide les rédacteurs et rédactrices à créer des articles respectant les règles de Wikipédia est désormais disponible sur toutes les Wikipédia. Les admins et admins d’interface peuvent la configurer et la rendre utilisable via [[Special:CommunityConfiguration/ArticleGuidance]]. Un [[mw:Special:MyLanguage/Article guidance/Community Configuration|guide de configuration]] est disponible. Posez vos questions sur [[mw:Talk:Article guidance|la page de discussion du projet]]. '''Actualités pour la contribution''' * Pour faire suite à la sortie des [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists|Listes de lecture]] sur toutes les Wikipédia en septembre, les utilisateurs connectés pourront bientôt [[mw:Special:MyLanguage/Readers/Reader Experience/Reading lists#October/November 2026: Custom collections and call to action|organiser les articles enregistrés dans leurs listes dans des catégories personnalisables]]. Cela permettra au lectorat de créer des collections et de retrouver des articles enregistrés pour leur intérêt, encourageant potentiellement à revenir fréquemment sur Wikipédia. Cette mise à jour sera déployée sur toutes les Wikipédia entre le 9 et le 16 novembre. * L’équipe des Applis Wikipédia se préparer à lancer la première de deux expérimentations de notifications pour le lectorat de Wikipédia en anglais sur Android qui ont activé les notifications. L’expérimentation enverra pendant trois semaines des notifications suggérant des listes de lectures Découverte personnalisées constituées d’articles Wikipédia recommandées à partir des lectures précédentes de la personne. L’objectif est de comprendre si ces recommandations aident le lectorat à découvrir du contenu pertinent et à les encourager à retourner sur l’appli. Il n’y a rien à faire ; les utilisateurs peuvent gérer leurs préférences de notification dans les paramètres de l’appli. [[mw:Wikimedia Apps/Team/Notifications|En savoir plus et faire un retour]]. * Un beugue dans la [[m:Special:GlobalWatchlist|Liste de lecture globale]] empêchait la page de charger pour les utilisateurs qui avaient des changements non vus sur Wikimedia Commons. Ce beugue est désormais résolu. Si vous aviez temporairement retiré <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>commons.wikimedia.org</nowiki></code></bdi> des [[m:Special:GlobalWatchlistSettings|paramètres de votre Liste de suivi globale]] à cause de ce beugue, vous pouvez le réintégrer. [https://phabricator.wikimedia.org/T439203] * Une nouvelle fonctionnalité bêta intitulée « Accueil » sera [[mw:Special:MyLanguage/Home/Deployment|déployée sur 10 Wikipédia]] pour un test. Cette nouvelle fonctionnalité vise à remplacer <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>Special:Homepage</nowiki></code></bdi> pour les nouveaux, avec des modules complémentaires prévus à l’avenir pour améliorer l’expérience actuelle. Si vous voulez participer au test, [[mw:Talk:Home|inscrivez-vous]]. « Accueil » sortira pour tout le monde plus tard dans le mois. * Sur les Wikipédia en anglais et en russe, la [[m:User:Alaexis/Source Verifier|Vérification des sources]] est désormais disponible comme suggestion expérimentale pour les contributeurs et contributrices expérimentées dans le [[mw:Special:MyLanguage/VisualEditor/Suggestion_Mode|Mode de suggestions]]. Elle utilise un LLM hébergée sur [[wikitech:Machine_Learning/LiftWing|LiftWing]] pour essayer de vérifier si une source citée contient l’information qu’elle est censée prouver. Pour la tester, consultez [[phab:T426359|ces instructions]]. Si vous utilisez Wikipédia dans une autre langue et que votre communauté est intéressée pour l’activer, n’hésitez pas [[m:User talk:Alaexis/Source Verifier|à nous en faire part]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Voir {{PLURAL:35|la tâche soumise|les {{formatnum:35}} tâches soumises}} par la communauté [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Recently resolved community tasks|résolue{{PLURAL:35||s}} la semaine dernière]]. Par exemple, des dates passées en paramètres vides à des fonctions en wikicode étaient interprétées au format « mois-jour-année » au lieu du format « jour-mois-année ». Ce problème a été corrigé. [https://phabricator.wikimedia.org/T403884] '''Actualités pour la contribution technique''' * À partir du 1^er décembre 2026, hCaptcha sera nécessaire pour les modifications réalisées depuis l’API par des utilisateurs non-autoconfirmés. Si votre outil, gadget ou script utilisateur réalise des modifications au nom nouveaux utilisateurs, [[mw:Special:MyLanguage/Product Safety and Integrity/hCaptcha#November 2026: Completing hCaptcha rollout|voyez comment le mettre à jour]]. * Les [[wikitech:Help talk:Toolforge/Toolforge standards committee#November 2026 committee nominations|mises en candidatures sont ouvertes sur Wikitech]] pour désigner de nouveaux membres au [[wikitech:Help:Toolforge/Toolforge standards committee|comité des normes de Toolforge]]. Le comité supervise notamment le [[wikitech:Help:Toolforge/Right to fork policy|règlement du droit à la création de fork]] et le [[wikitech:Help:Toolforge/Abandoned tool policy|règlement des outils abandonnés]] de Toolforge. Les mises en candidatures sont possibles jusqu’au 22 novembre 2026. * Toolforge a introduit deux nouvelles fonctionnalités bêta. Les « Alertes Toolforge » envoient des notifications par courriel lorsqu’un outil devient indisponible, renvoie une erreur ou redémarre fréquemment. La « Journalisation étendue » rendre plus facile l’investigation des problèmes en fournissant des journaux pour des évènements tels que les échecs lors de la création de tâche, la suppression ou le déploiement, grâce à la commande <bdi lang="zxx" dir="ltr"><code><nowiki>toolforge logs</nowiki></code></bdi>. Ces deux fonctionnalités sont actives et aident les mainteneurs et mainteneuses d’outils à être informés et à résoudre les problèmes avec leurs outils plus rapidement. Les équipes de maintenance peuvent [[wikitech:Help:Toolforge/Alerts|activer les alertes]] et apprendre comment [[wikitech:Help:Toolforge/Running_jobs#Toolforge_logs|accéder aux journaux étendus]]. Ils sont aussi encouragés à essayer les fonctionnalités et à [[wikitech:Help:Cloud_Services_communication|faire part de leur expérience]]. * [[File:Reload icon with two arrows.svg|12px|link=|class=skin-invert|Sujet récurrent]] Détail des mises-à-jour à venir cette semaine : [[mw:MediaWiki 1.48/wmf.4|MediaWiki]] '''Rencontres et évènements''' * Un changement dans l’organisation du Hackathon Wikimedia [[mw:Special:MyLanguage/Wikimedia Hackathon/Community Proposal 2026|a été proposé]]. Cette proposition vise à rendre l’évènement plus accessible aux communautés techniques des différentes régions. Donnez votre avis sur [[mw:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Hackathon/Community Proposal 2026|la page de discussion]] de la proposition ; la date limite a été repoussée au 13 novembre. '''''[[m:Special:MyLanguage/Tech/News|Actualités techniques]]''' préparées par les [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/Writers|rédacteurs des actualités techniques]] et postées par [[m:Special:MyLanguage/User:MediaWiki message delivery|robot]]. [[m:Special:MyLanguage/Tech/News#contribute|Contribuer]]&nbsp;• [[m:Special:MyLanguage/Tech/News/2026/46|Traduire]]&nbsp;• [[m:Tech|Obtenir de l’aide]]&nbsp;• [[m:Talk:Tech/News|Donner son avis]]&nbsp;• [[m:Global message delivery/Targets/Tech ambassadors|S’abonner ou se désabonner]].'' </div><section end="technews-2026-W46"/> <bdi lang="en" dir="ltr">[[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]]</bdi> 9 novembre 2026 à 10:34 (UTC) <!-- Message envoyé par User:STei (WMF)@metawiki en utilisant la liste sur https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Tech_ambassadors&oldid=31249348 --> b87cq8xec9rzyxga44oojmvl4ccr8lz 0 87441 988247 988189 2026-11-09T10:55:31Z Surcouf01 81280 988247 wikitext text/x-wiki {{Chapitre | idfaculté = philosophie | numéro = 2 | précédent = [[../Intérêt/]] | suivant = [[../Un avis : Kant/]] | niveau = 13 }} La définition de la philosophie (cf. [[Présentation de la philosophie]]) va être appliquée à travers quatre thèmes : * La thèse de la connaissance : le rationalisme critique * La thèse politique : la société comme convention raisonnée * La thèse éthique : la vie bonne comme tâche de la pensée * La thèse métaphysique : l'être et le sens de l'existence En particulier en utilisant la partie de la définition : "recherche d'une certaine vérité à travers une définition paradigmatique" on va essayer de caractériser les éléments de l'aspect 'paradigmatique' (systémique) et de l'aspect 'vérité' (essentialisme) qui s'attachent à chacun des thèmes. == Le rationalisme critique == Le concept de "rationalisme" peut être approché par une définition que lui donne Descartes, à savoir « La puissance de bien juger, et distinguer le vrai d'avec le faux, qui est proprement ce qu'on nomme le bon sens ou la raison, est naturellement égale en tous les hommes. » (Discours de la méthode, 1637). On voit dans cette définition qu'être rationnel c'est savoir attribuer une valeur vrai ou de faux à une déclaration, en utilisant sa raison, raison qui est supposée égale à tous les hommes. Je m'arrête ici sur le mot "raison". L'académie française définit la raison comme "Faculté par laquelle l’homme connaît, juge et agit", la raison est donc un des propres de l'homme, elle lui permet de "connaître" et de "juger", entre autres. Son lieu est connexes à des glandes qui agissent sur la raison, qui sont le siège des sentiments, la raison de l'homme est donc influencée par des affects. Mais c'est aussi cette raison qui lui permet d'attribuer ces valeurs de vrai ou de faux à ce qui est sa connaissance. Notez bien ici que j'ai écrit "sa" connaissance et non pas "la" connaissance. J'y reviendrai dans l'étude de l'inflexion (rationalisme) "critique". L'homme perçoit le monde à travers ses sens, la vue, l'ouïe, le goût, l'odorat et le toucher, il synthétise ces perceptions à travers sa raison pour connaître et comprendre le monde (l'univers). Connaître : son état, comprendre : sa dynamique. Ne serait-ce que pour avoir découvert le feu, inventé la roue, l'homme a vu, connu puis compris comment les choses intéragissent et comment les mettre en perspectives. Tout cela participe de la raison. On peut introduire l'aspect "critique" de la raison dans la philosophie par une définition de Kant: « Notre siècle est, à proprement parler, le siècle de la critique, à laquelle tout doit se soumettre ». En d'autres termes, on peut utiliser la raison pour critiquer/juger la raison, sa thèse fondatrice est « [qu']aucune autorité n'est au-dessus du jugement [de l'homme] ». Kant rejetait le dogmatisme thélogique mais aussi l'athéisme dogmatique, en d'autres termes c'était un sceptique, une certaine mise en oeuvre du rationalisme critique. Cependant là où je suis en désaccord, c'est que l'essentiel, c'est-à-dire les noumènes, est inatteignable. Pourtant selon sa définition une table est un noumène, et elle se conçoit parfaitement comme un objet abstrait. Pour moi, Dieu aussi est un noumène, l'être suprême par essence, est approchable par ses sens. Dieu s'est révélé à travers l'histoire, il se laisse voir dans la vie de tous les jours, il essaye de donner une direction à l'histoire mais laisse l'homme libre. Peut-être que la foi est une sorte de sentiment, un de ceux dont je disais qu'il influe sur la raison, cela participe à découvrir des vérités supérieures. On peut faire ici un parallèle avec la Gödelisation, Gödelisation qui consiste à mathématiser un raisonnement. Gödel a permis d'intuiter à travers sa démonstration, que pour certaines vérités il est impossible de les démontrer sans introduire des hypothèses supplémentaires dans son ensemble d'hypothèses de base. Par exemple certaines vérités géométriques sont indémontrables sans augmenter les axiomes du système de Peano. Pour découvrir Dieu c'est un peu pareil, il faut se laisser tenter de croire qu'un être supérieur existe et a créé l'Univers. Mais Dieu s'est révélé à travers l'histoire, j'en veux pour preuve les écrits du Tanakh et du Nouveau Testament. L'axiome supplémentaire est de dire que ces écrits sont inspirés, la vue nous fait lire les versets et la raison nous fait découvrir Dieu à travers Sa parole. Dieu existe, on peut donc qualifier son concept de Noumène, il est même le noumène par excellence. L'aspect critique du rationalisme peut aussi être approché à travers le concept de Solipsisme. Je définis le solipsisme comme acte de la pensée qui réfléchit sur, ou explique, la pensée. Une sorte de méta-réflexion. Sous cette définition, la critique du rationalisme est donc une forme de solipsisme. Si la raison est un jugement, puisqu'elle attribue des valeurs vrai ou fausse à des déclarations, la critique du rationalisme, puisqu'elle est solipsisme, est donc au dessus de ce jugement, c'est en contradiction avec la thèse fondatrice de Kant. J'ajouterai aussi que, puisque j’admets que Dieu existe, c'est pour moi une autorité au dessus du jugement de l'homme. Je fonde cet avis sur le fait que le jugement de l'homme, l'expression de son rationalisme, s'inscrit systématiquement dans un siècle, une époque. Donc ses outils sont ceux de cette époque, ses affects sociétaux aussi, donc tout rationalisme est un reflet de son époque. Certaines vérités de Kant n'ont pas exactement cessées d'être vrai car la connaissance s'est améliorée, elles sont tout simplement inabouties, complétées par les penseurs qui le suivent. On peut se poser la question suivante: "saura-t-on jamais une vérité essentielle" (au sens de Noumène), et je postule qu'il est un être, Dieu, qui les connaît forcément. Il a "la" connaissance, Il est cette autorité "ultime", au dessus de tout jugement, à travers les hommes et à travers les âges. La critique du rationalisme doit être revisité comme un outil du solipsisme qui permet de revisiter les schémas passés pour les dépasser, les compléter et les aboutir. {{Bas de page | idfaculté = philosophie | précédent = [[../Intérêt/]] | suivant = [[../Un avis : Kant/]] }} <!-- NE RIEN ÉCRIRE SOUS CETTE LIGNE --> ry59lm8b2itw5g9dw159e0bdjlrojru