Conjugaison française du verbe avoir/Le conditionnel

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    <title>Conjugaison française du verbe avoir/Le conditionnel</title>
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      <parentid>986260</parentid>
      <timestamp>2026-11-11T09:56:49Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>corrections en provenance de « Check Wikipedia »</comment>
      <origin>988282</origin>
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      <text bytes="1542" sha1="eqv54we9xh7dbtmqs149ckiwebh0pfs" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = français
  | numéro    = 4
  | précédent = [[../L'impératif/]]
  | suivant   = [[../Le subjonctif/]]
  | niveau    = 6
}}

== Le conditionnel  ==
Rappelons que le conditionnel se forme de la racine du verbe au futur et de la terminaison à l'imparfait :

{{Exemple
  | contenu =
manger(je) ⇒ futur : je '''manger'''ai+ imparfait : je mang'''e'''''ais'' = conditionnel : je '''manger''' ''ais''
}}

== Avoir au conditionnel présent ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Verbe « avoir » conjugué
|-
|j'||aurais
|-
|tu||aurais
|-
|il/elle/on||aurait
|-
|nous||aurions
|-
|vous||auriez
|-
|ils/elles||auraient
|}

== Avoir au conditionnel passé {{1re}} forme  ==

{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé
|-
|j'||aurais||eu
|-
|tu||aurais||eu
|-
|il/elle/on||aurait||eu
|-
|nous||aurions||eu
|-
|vous||auriez||eu
|-
|ils/elles||auraient||eu
|}

== Avoir au conditionnel passé 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; forme  ==
{| class=&quot;wikitable&quot;
!Pronoms personnels sujets!!Auxiliaire conjugué (« avoir » dans ce cas)!!Verbe « avoir » conjugué au participe passé
|-
|j'||eusse||eu
|-
|tu||eusses||eu
|-
|il/elle/on||eût||eu
|-
|nous||eussions||eu
|-
|vous||eussiez||eu
|-
|ils/elles||eussent||eu
|}

Voilà pour le conditionnel !

{{Bas de page
  | idfaculté = français
  | précédent = [[../L'impératif/]]
  | suivant   = [[../Le subjonctif/]]
}}

[[Catégorie:Conjugaison de l'auxiliaire Avoir]]</text>
      <sha1>eqv54we9xh7dbtmqs149ckiwebh0pfs</sha1>
    </revision>
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    <title>Discussion utilisateur:SergeMoutou</title>
    <ns>3</ns>
    <id>20278</id>
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      <id>988287</id>
      <parentid>985830</parentid>
      <timestamp>2026-11-11T11:45:42Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Crochet.david.bot</username>
        <id>1005</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>corrections en provenance de « Check Wikipedia »</comment>
      <origin>988287</origin>
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      <text bytes="57550" sha1="cc3l52ud5trhpwr1hke8lgz3rd8xgpu" xml:space="preserve">{{Bienvenue}}

== b: ==

Bonsoir, la syntaxe pour réaliser un lien vers Wikibooks est '''b:'''. [[Utilisateur:Karl1263|Karl1263]] &lt;small&gt;&lt;sup&gt;[[Discussion Utilisateur:Karl1263|discuter]]&lt;/sup&gt;&lt;/small&gt; 27 novembre 2008 à 18:56 (UTC)

Oui merci j’ai remarqué que quelqu’un m'était venu en aide
[[Utilisateur:SergeMoutou|SergeMoutou]] 27 novembre 2008 à 19:03 (UTC)

== Vos fichiers importés  ==

Vous avez importer des fichiers sans indications de licences. Pourriez-vous remédier à ce problème, la liste des licences possible se trouve [[Wikiversité:Liste des bandeaux de licence|dans cette page]]. Sans licence appropriée, les images peuvent être supprimer sans préavis. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 6 janvier 2009 à 19:34 (UTC)

== [[:Fichier:TPMCensl1Fig3.png]] ==

Merci d'ajouter les informations concernant la licence utilisée pour l'image. Sans cette indication, l'image peut être supprimé. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 13 janvier 2009 à 18:25 (UTC)
:Je viens de voir votre message sur le chapitre.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 13 janvier 2009 à 18:29 (UTC)

== Patrouilleur ==

Félicitations ! Après 250 contributions irréprochables nous avons décidé de te donner le statut de patrouilleur sur la Wikiversité. Ceci évitera que nous continuions à te vérifier pour rien, et accessoirement te permettra de voir les contributions non validées des autres ([http://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Spécial:Modifications_récentes&amp;hideliu=0&amp;hidepatrolled=1 voici l'URL qui sert à patrouiller]). [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 octobre 2010 à 19:21 (UTC)

PS : pour faire supprimer des pages, merci d'apposer le modèle {{m|supp}} dedans. [[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] ([[Discussion utilisateur:JackPotte|&lt;span style=&quot;color:#FF6600&quot;&gt;$&lt;/span&gt;♠]]) 22 octobre 2010 à 19:23 (UTC)
== Réponse ==

OK merci... mais j’ai encore beaucoup de choses à apprendre. [[Utilisateur:SergeMoutou|SergeMoutou]] 22 octobre 2010 à 19:41 (UTC)

== [[Very High Speed Integrated Circuit Hardware Description Language/Système monopuce compatible avec les PIC 16C57|Système monopuce compatible avec les PIC 16C57]]  ==

Ton tableau sur le jeu d'instructions du 16C57 semble apporter des difficultés de compréhension car il utilise la lettre 'f' comme caractère hexadécimal, mais également comme indicateur de variable ou opérande dans le cas présent. Il serais plus judicieux d’utiliser une autres lettres que ceux des caractères hexadécimal pour parler de choses qui n'a rien à voir avec l'hexadécimal. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 1 novembre 2010 à 16:54 (UTC)
: Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta remarque. Je suis complètement d'accord avec toi pour la seule instruction TRIS mais pas pour les autres. Est-on sur la même longueur d'onde ? [[Utilisateur:SergeMoutou|SergeMoutou]] 1 novembre 2010 à 17:20 (UTC)
:: Je parlais des instructions MOVWF à BTFSS.[[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 1 novembre 2010 à 18:28 (UTC)
: On n'est donc pas sur la même longueur d'onde et cela prouve qu’il manque des explications dans le texte. Le truc c’est que f dans l'instruction désigne une adresse mémoire qui semble être codée par fffff ({{Unité|5|bits}}) dans l'op-code. En fait il faut {{Unité|7|bits}} pour coder l'adresse puisqu'elle peut aller jusqu'à 7Fh. Les deux bits manquants viennent d'ailleurs. Je vais essayer de passer un peu de temps pour expliquer cela. [[Utilisateur:SergeMoutou|SergeMoutou]] 1 novembre 2010 à 18:49 (UTC)
: J’ai déjà inversé la présentation de la RAM et le jeu d'instructions, ce qui facilitera les explications.

== Renommer et non copier-coller  ==

Bonjour. En cas d'erreur de titre d'une page, utilisez de préférence le bouton renommer (accessible dans le menu déroulent à droite de l'étoile). [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 4 avril 2011 à 18:41 (UTC)
:L'info recherché était ici. [[Utilisateur:Crochet.david|Crochet.david]] 19 mai 2011 à 16:12 (UTC)

Merci, je sais qu'on me l'a déjà donné mais j’ai un peu de mal à gérer toutes ces informations.
Boncourage
[[Utilisateur:SergeMoutou|SergeMoutou]] 20 mai 2011 à 17:08 (UTC)

== Nomination d'une page  ==

Bonjour,

J’ai remarqué un petit problème de nomination de la page [[Very High Speed Integrated Circuit Hardware Description Language/Interfaces VGA et PS2|Very High Speed Integrated Circuit Hardware Description Language/Interfaces VGA et PS/2]]. Le slash / de PS/2 fait que cette page est interprétée comme sous-sous-page alors que ce ne devrait être qu'une sous-page, ce qui entraîne quelques désagréments. Ne pourrait-on pas la renommer en mettant simplement PS2 (ou bien autre chose) à la place de PS/2. Bien cordialement.--[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 26 juillet 2012 à 01:04 (UTC)

== Théorie des groupes  ==

Bonjour. J’ai lu sur votre page d'utilisateur que vous aimeriez publier des choses sur la théorie des groupes. À toutes fins utiles, je vous signale qu’il existe une leçon (ou cours) sur ce sujet : [[Groupe (mathématiques)]]. Pour l'instant, elle comporte trente chapitres, dont la plus grande partie a été écrite par moi. J'y ai très peu travaillé les derniers temps, parce que l'absence de feed-back me semble décourageante. Peut-être que s'il y avait un autre contributeur, ça me dynamiserait... [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 14 février 2013 à 16:25 (UTC)
:Bonjour. Je t'ai répondu sur ma propre page de discussion. [[Utilisateur:Marvoir|Marvoir]] ([[Discussion utilisateur:Marvoir|discussion]]) 26 février 2013 à 11:24 (UTC)

== Demande d'aide  ==

Bonjour,

Je viens de créer la page :

[[DUT Génie électrique et informatique industrielle (France)|DUT Génie électrique et informatique industrielle]]

Ainsi que les trois cours :
* [[Informatique Industrielle]]
* [[Automatismes industriels et réseaux]]
* [[Électronique numérique, synthèse logique]]

Qui, d’après ce que j’ai lu sur Wikipédia, sont au programme du DUT Génie électrique et informatique industrielle.

Je m'adresse à vous parce que je crois savoir que c’est vous qui êtes le mieux placé sur la Wikiversité pour, éventuellement, compléter ces pages. Si vous avez un moment, pourriez-vous, en particulier, insérer les leçons adéquates de la Wikiversité dans l'un des trois cours ou m'indiquez quelles leçons de la Wikiversité s'insèrent dans quel cours pour que je les y mette. bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 8 novembre 2013 à 12:45 (UTC)


Je vous remercie pour la réponse. Entre temps, j’ai trouvé le [http://cache.media.enseignementsup-recherche.gouv.fr/file/24/22/3/PPN_GEII_255223.pdf programme] du [[DUT Génie électrique et informatique industrielle (France)|DUT Génie électrique et informatique industrielle]] sur internet et j'en ai déduit que l’[[w:Diplôme universitaire de technologie en génie électrique et informatique industrielle|article de Wikipédia]] n'est probablement pas à jour. Je me demande donc si j’ai bien nommé les trois cours :
* [[Informatique Industrielle]]
* [[Automatismes industriels et réseaux]]
* [[Électronique numérique, synthèse logique]]
Ça ne me semble pas très clair dans le [http://cache.media.enseignementsup-recherche.gouv.fr/file/24/22/3/PPN_GEII_255223.pdf programme]. Bien cordialement. --[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 9 novembre 2013 à 17:04 (UTC)

== Création d'un journal scientifique  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d'un journal scientifique dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Journal scientifique libre]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]]) 27 août 2015 à 11:07 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Création d'une bibliothèque wikiversitaire  ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la création d'une bibliothèque wikiversitaire dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Création d'une bibliothèque Wikiversitaire]]. Cordialement. [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] ([[Discussion utilisateur:Lydie Noria|discussion]])  9 septembre 2015 à 07:38 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=497442 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Lionel Scheepmans]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur  ==

[[Utilisateur:Frigory|Frigory]] propose sa candidature au statut d'administrateur (bibliothécaire) sur la page [[Wikiversité:Bibliothécaire/Candidature/Frigory]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501166 --&gt;

== Supports de cours multimédia  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] sur les supports de cours multimédia dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Supports de cours multimédia]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=501721 --&gt;

== Sur la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur une rectification de la désignation par le mot : « bibliothécaire » des administrateurs de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/La Wikiversité n’est pas une bibliothèque]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles.

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Comportement en l'absence de règles (précision)  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisatrice:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur le comportement à adopter en l'absence de règles. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Comportement en l'absence de règles]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=505314 --&gt;

== Candidature au statut de bureaucrate  ==

[[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] propose sa candidature au statut de bureaucrate sur la page [[Wikiversité:Bureaucrate/Candidature/Lydie Noria]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Deux nouvelles prises de décisions au sein de Wikiversité.  ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer sur l'ouverture de deux nouvelles prises de décisions au sein de notre projet. Voici les liens qui vous mènerons vers ces pages :
*[[Projet:Wikiversité/Éditeur Visuel 2]]
*[[Projet:Wikiversité/Espace de noms « Recherche » 2]]
Une belle fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 12 janvier 2016 à 18:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type d'avertissement, vous pouvez vous désinscrire en retirant votre nom d'utilisateur situé sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]&lt;/small&gt;.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Votes&amp;oldid=516364 --&gt;

== Autoriser la création de pages gadget-MOOC  ==

Une prise de décision est lancée par [[Utilisateur:Isabelle-ANDI|Isabelle-ANDI]] sur la création de pages gadget-MOOC dans la Wikiversité. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Autoriser la création de pages gadget-MOOC]].

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=532249 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'installation de Flow dans la Wikiversité  ==

Bonjour,

Une prise de décision concernant l'installation de [[w:wikipédia:Flow|Flow]] dans la Wikiversité vient d'être lancée. Vous êtes invité à en discuter et voter sur la page : [[Projet:Wikiversité/Flow]].

Une belle fin de journée !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 juin 2016 à 17:06 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=585023 --&gt;

== Invitation à visiter (et plus si affinités) un nouveau laboratoire virtuel de Wikiversité  ==
Bonjour Serge. Je vois que le domaine de l'interface homme-machine ne vous est pas indifférent, et que vous avez l'esprit contributif requis et le goût de la pédagogie pour wikiversité. Merci pour tous vos apports (passés, présents et futurs). 

J'ai ouvert il y a qqs mois un petit projet et [[Recherche:Mise au point d'un drone subaquatique|wiki-laboratoire]] destiné à imaginer et créer un petit robot/drone subaquatique, &quot;''intelligent''&quot; (j'espère), qui pourrait aider wikipédia (et d'autres entités) à s'enrichir en images subaquatiques et mieux contribuer à l'inventaire mondial de la biodiversité. 
&lt;br /&gt;Le projet n'en est qu'à ses débuts. Un groupe d'étudiant et quelques enseignants et l'Inria/Lille, et ont trouvé le projet intéressant et se sont proposés pour m'aider dans les mois qui viennent. Le labo DEFROST (robotique molle) a aussi montré un intérêt pour le projet (il pourrait éventuellement porter la partie enveloppe du robot). Pour ma part je suis plutôt biologiste et photographe, et hélas aussi nul en robotique qu'en électronique (mais j'ai autrefois été designer ce qui peut m'aider pour la conception du corps du robot, éventuellement en [[w:robotique molle|robotique molle]], car c'est une option). &lt;br /&gt;L'ami ingénieur/concepteur de drones qui devait m'aider est appelé sur un autre projet (type gros fablab) qui va lui prendre tout son temps je pense ; il me manque un ou des cerveaux pour l'électronique, l'informatique embarquée. Le défi principal à relever, est que nous voulons un robot léger, solide, qui ne fasse pas peur aux poissons, capable de se déplacer dans un milieu liquide toujours plus ou moins turbulent (il ne s'agit pas de photo en piscine), idéalement sans fil (ou avec option sans-fil), et dans un environnement hostile à ce type de robot, c'est-à-dire plein de plantes, de ronces immergées ou d'algues filamenteuses, dans lequel les autres robots ou drones disponibles s'emmêlent les hélices ( ⇒ il nous vaut un système de tuyères ou de &quot;natation stabilisée&quot; ''(car l'objet est de filmer et photographier, la faune, flore et fonge subaquatiques)''  plutôt que d'hélices classiques). L'autre défi est la commande de précision et en temps réel pour la macrophotographie qui demande idéalement d'être très bien stabilisée au moins au moment de la photo.. Je suis preneur de votre aide, de bonnes idées, conseils, si vous voulez bien m'en apporter. 
&lt;br /&gt;Ne pas hésiter aussi à relayer cette invitation à d'autres personnes compétentes en électronique, robotique, intelligence embarquée, etc. ..ou à d'autres esprits brillants en quête de &quot;défis utiles&quot; à relever, ou pourquoi pas à d'éventuels sponsorts non rebutés par le côté totalement &quot;open&quot; du projet (pas de brevet, de l'opensource et des photos cc-by-sa). 
&lt;br /&gt;La [[Recherche:Mise au point d'un drone subaquatique|porte du &quot;laboratoire&quot;]] est toujours ouverte. &lt;br /&gt;Bien amicalement --[[Utilisateur:Lamiot|Lamiot]] ([[Discussion utilisateur:Lamiot|discussion]]) 18 septembre 2016 à 07:37 (UTC)

== Nouvelle prise de décision en cours  ==

Bonjour,

Une nouvelle [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Collaboration juive sous le nazisme|prise de décision communautaire au sujet de la suppression d'une page de recherche est en cours]]. Soyez les bienvenus pour apporter vos commentaires et vos avis. Une belle fin de journée à tous. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 octobre 2016 à 21:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=607578 --&gt;

== Nouvelle prise de décision  ==

Bonjour,

Une nouvelle prise de décision est organisée sur le recyclage de cinq facultés en département. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Recyclage de cinq facultés en département]]. Cordialement.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Share your experience and feedback as a Wikimedian in this global survey  ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;
Bonjour ! La Fondation Wikimédia vous demande votre avis dans une enquête. Nous souhaitons savoir si nous répondons bien à vos attentes dans votre travail sur les wikis et à l’extérieur, et ce que nous pouvons faire pour améliorer les choses à l’avenir&lt;ref&gt;Le principal objectif de l’enquête est d’obtenir des retours sur le travail actuel de la Fondation Wikimédia, sans stratégie à long terme.&lt;/ref&gt;. Les opinions que vous partagez affecteront directement le travail actuel et futur de la Fondation Wikimédia. Vous avez été choisi au hasard pour répondre à l’enquête, car nous souhaitons obtenir des informations de la part de votre communauté Wikimédia. Afin de vous remercier pour le temps accordé, nous livrons 20 t-shirts Wikimédia à des personnes choisies au hasard parmi celles ayant répondu à l’enquête&lt;ref&gt;Questions légales : pas d’achat nécessaire. Vous devez avoir l’âge de la majorité pour participer. Soutenu par la Fondation Wikimédia (Wikimedia Foundation) située au 149 New Montgomery, San Francisco, CA, USA, 94105. Se termine le 31 janvier 2017. Le don est annulé en cas d’infraction. [[m:Community Engagement Insights/2016 contest rules|Cliquez ici pour lire les règles du concours]].&lt;/ref&gt;. Le questionnaire est disponible dans différents langages et requiert entre 20 et 40 minutes pour être complété.


''''''[https://wikimedia.qualtrics.com/SE/?SID=SV_6mTVlPf6O06r3mt&amp;Aud=VAE&amp;Src=57VAEOP Répondez-y maintenant !]''''''


Vous pouvez lire davantage d’informations sur [[m:Community_Engagement_Insights/About_CE_Insights|ce projet]]. Cette enquête est hébergée par un service tiers et régie par sa [[:foundation:Community_Engagement_Insights_2016_Survey_Privacy_Statement|déclaration de confidentialité]]. Visitez notre [[m:Community_Engagement_Insights/Frequently_asked_questions|page des questions fréquentes]] pour trouver plus d’informations sur cette enquête. Si vous avez besoin d’aide supplémentaire, ou désirez vous désabonner des communications futures au sujet de cette enquête, envoyez un courrier électronique à surveys@wikimedia.org.

Merci !
--[[:m:User:EGalvez (WMF)|EGalvez (WMF)]]  ([[:m:User talk:EGalvez (WMF)|talk]]) 13 janvier 2017 à 22:26 (UTC)
&lt;/div&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:EGalvez (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Community_Engagement_Insights/MassMessages/Lists/2016/57-VAEOP&amp;oldid=16205400 --&gt;

== Prise de décision sur les facultés de langues  ==

[[Utilisateur:Amqui|Amqui]] a lancé une prise de décision sur la page [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes invités à venir en discuter. L'objet du ou des votes n'a pas encore été clairement précisé. Si l'objet de la discussion vous intéresse, veuillez garder un œil sur la page pour voter le cas échéant. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2017 à 04:05 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Installation d'extensions pour visualiser des vidéos externes dans la Wikiversité  ==

Bonjour, une prise de décision a été lancée dans le [[Projet:Wikiversité/Installation d'un lecteur de vidéos externes]]. Vous êtes invités à venir en discuter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 6 avril 2017 à 19:59 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Votes sur les facultés de langues  ==

Bonjour, la phase de vote a démarrée sur le [[Projet:Wikiversité/Langues]]. Vous êtes cordialement invité à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 24 avril 2017 à 04:21 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=614606 --&gt;

== Nouvelle prise de décision importante sur les principes de bonne gouvernance  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision importante pouvant potentiellement déboucher sur la mise en place de principes de bonne gouvernance au sein du projet Wikiversité francophone. Les enjeux, discussions, propositions à voter et les votes éventuels auront lieu sur la page [[Projet:Wikiversité/Principes de bonne gouvernance]]. En espérant vous y retrouver, on vous souhaite une très agréable fin de journée, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 avril 2017 à 09:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de Flow  ==

Bonjour, vous êtes invité à participer à une prise de décision au sujet d'une potentielle expansion de Flow sur les pages de discussions au sein de Wikiversité. Le rendez-vous est fixé sur la page [[Projet:Wikiversité/Flow 2]]. En espérant vous y retrouver nombreux, on vous souhaite une très agréable fin de journée.

P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notification de prises de décisions]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur qui figure dans la liste.
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notification_de_prises_de_décisions&amp;oldid=651778 --&gt;

== Début des votes concernant l'installation de Flow  ==

Bonjour, vous pouvez dès à présent [[Projet:Wikiversité/Flow 2#Vote|participer aux votes]] concernant l'expansion de Flow sur les pages de discussions des espaces de noms de Wikiversité. En espérant vous y voir nombreux, nous vous souhaitons une très agréable fin de journée.

&lt;small&gt;P.-S. Ce message vous est envoyé parce que votre non utilisateur figure sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]]. Si vous ne voulez plus recevoir ces notifications, rendez vous sur cette page et effacez votre nom d’utilisateur figurant dans la liste.&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=661329 --&gt;

== Refonte des pages de discussions communautaires ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur une refonte des pages de discussions communautaires. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Refonte des pages de discussions communautaires]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 28 août 2017 à 09:33 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée par [[Utilisateur:Lydie Noria|Lydie Noria]] sur l'approbation de la page [[Wikiversité:Conventions de gestion]] qui définit les règles de gestion de la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 septembre 2017 à 01:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Conventions de gestion de la Wikiversité (Redémarrage) ==

Bonjour, vous êtes invité à nouveau à discuter et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]]. [[Utilisateur:Psychoslave|Psychoslave]] ayant fait des modifications importantes du texte initial proposé (qui ne faisait pas consensus) et en accord avec une majorité d'utilisateurs ayant participé aux votes sur le texte initial, il a été décidé un redémarrage de la prise de décision. Les votes et les discussions concernant le texte initial ont été supprimés, veuillez nous en excuser. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 26 septembre 2017 à 06:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Avis de clôture des votes sur les conventions de gestion de la Wikiversité ==

Bonjour, sauf reprise des discussions, le [[Projet:Wikiversité/Conventions de gestion]] sera conclu le jeudi 5 octobre 2017. Vous êtes chaleureusement invités à venir voter avant clôture des votes. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 2 octobre 2017 à 08:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=687403 --&gt;

== Proposition d'une page à la suppression ==

Bonjour, La page [[Recherche:Métajustification de Wikipedia]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Métajustification de Wikipedia]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 décembre 2017 à 05:01 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

Bonjour. [[Utilisateur:FrankyLeRoutier|FrankyLeRoutier]] propose sa candidature au statut d'administrateur de la Wikiversité. Vous êtes invités à venir en discuter et voter sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/FrankyLeRoutier 4]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 mai 2018 à 08:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Amendement des critères de sélection des administrateurs ==

Bonjour,

Ce petit message pour vous informer qu'un vote est ouvert sur [[Discussion Wikiversité:Administrateur/Candidature/Critères|cette page]] pour amender les critères de sélection des administrateurs suite à une situation d'incohérence.

Bien à vous, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 5 juin 2018 à 14:58 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Proposition à la suppression de plusieurs travaux de recherche en mathématiques ==

Bonjour, Tous les travaux de recherche se trouvant dans le laboratoire [[Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] ainsi que le travail de [[Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] sont proposés à la suppression respectivement dans les deux pages [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Travaux de recherche partiels de Patrick Bréjon]] et [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Base logique des structures hypercomplexes]] où vous êtes invités à venir en discuter et voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 10 juin 2018 à 17:22 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=697274 --&gt;

== Demande d'avis sur intégration d'un utilisateur dans un nouveau groupe ==

À partir du 15 août, les [[Wikiversité:Administrateur/Liste des administrateurs|administrateurs]] vont perdre les droits ([[mediawikiwiki:Manual:User_rights#List_of_permissions|editsitecss]] et [[mediawikiwiki:Manual:User_rights#List_of_permissions|editsitejs]]).&lt;br /&gt; Un groupe spécifique d'utilisateur est crée pour cela : [[m:Special:MyLanguage/Interface administrators|interface-admin]] .&lt;br /&gt;[[Utilisateur:JackPotte|JackPotte]] demande à faire partie de ce groupe.&lt;br /&gt;Si aucun utilisateur n'est nommé dans ce groupe, nous serions obliger de passer par une requête sur MétaWiki, faute d'utilisateur autorisé dans la wikiversité francophone.&lt;br /&gt; Merci d’émettre [[Wikiversité:Requêtes_aux_bureaucrates#Wikiversité:La_salle_café/juillet_2018#New_user_group_for_editing_sitewide_CSS/JS|votre avis]] sur cette requête.&lt;br /&gt; [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 9 août 2018 à 15:18 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Crochet.david@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Proposition d'un travail de recherche à la suppression ==

Bonjour, La [[Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF]] est proposée à la suppression sur [[Wikiversité:Pages à supprimer/Recherche:Raisonnement contradictoire et structure des nombres entiers/Démonstration canonique du DTF]]. Vous êtes invités à venir voter. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 17 janvier 2019 à 17:11 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Mise en page ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur La mise en page des chapitres. Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Mise en page]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 1 février 2019 à 19:00 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Candidature de Rical à l'administration ==

Nous vous informons que le vote suivant vient d'ouvrir : [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/:Rical]].
&lt;!-- Message envoyé par User:JackPotte@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Suppressions de travaux personnels ==

Bonjour, Une prise de décision est lancée sur la suppression de trois travaux personnels dans la Wikiversité. Vous êtes invités à en discuter et voter sur la page [[Projet:Wikiversité/Suppression de travaux personnels]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 14 février 2019 à 17:37 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Candidature au statut d'administrateur d'interface ==

Bonjour, Frigory propose sa candidature au statut d'administrateur d'interface sur la page [[Wikiversité:Administrateur d'interface/Candidature/Frigory]]. Vous êtes cordialement invités à venir voter ! [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 27 mars 2019 à 16:56 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Modernisation de la Wikiversité ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur la modernisation de la Wikiversité (nouvelle charte graphique). Vous êtes invités à y participer sur le [[Projet:Wikiversité/Modernisation du wiki]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 1 avril 2019 à 03:31 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Création d'une faculté des Sciences Mentales ==

Bonjour, Une prise de décision est proposée sur la création d'une nouvelle faculté sur la Wikiversité. Vous êtes invités à y participer et voter sur le [[Projet:Wikiversité/Création d'une faculté des Sciences Mentales]]. Cordialement. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 20 juin 2019 à 09:30 (UTC)

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Community Insights Survey ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;

'''Faites part de votre expérience dans cette enquête'''

Bonjour {{PAGENAME}},

La Wikimedia Foundation sollicite votre point de vue dans une enquête sur votre expérience avec {{SITENAME}} et Wikimedia. L’objectif de cette enquête est de savoir à quel niveau la ''Foundation'' soutient correctement (ou non) votre travail sur le wiki, et de quelle manière nous pouvons changer ou améliorer les choses à l’avenir. Les avis que vous émettrez impacteront directement le travail actuel et futur de la Wikimedia Foundation.

Merci de prendre 15 à 25 minutes pour '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(other,act3) donner votre point de vue à travers cette enquête]'''. Elle est disponible dans plusieurs langues.

Cette enquête est hébergée par un tiers et [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement régie par cette déclaration de confidentialité] (en anglais).

Vous pouvez lire [[m:Community Insights/Frequent questions|plus d’informations sur ce projet]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Envoyez-nous un courriel] si vous avez une quelconque question ou si vous ne voulez pas recevoir d’autres messages concernant cette enquête.

Cordialement,
&lt;/div&gt; [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] 9 septembre 2019 à 14:31 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:RMaung (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(other,act3)&amp;oldid=19352826 --&gt;

== Reminder: Community Insights Survey ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;

'''Faites part de votre expérience dans cette enquête'''

Bonjour {{PAGENAME}},

Il y a quelques semaines, nous vous avons invité à participer à l’enquête sur les Perspectives de la communauté. Il s’agit de l’enquête annuelle de la Wikimedia Foundation auprès de nos communautés internationales. Nous voulons savoir à quel niveau nous soutenons correctement (ou non) votre travail sur le wiki. Nous avons atteint 10% de notre objectif de participation. Si vous n’avez pas encore participé à l’enquête, vous pouvez nous aider à atteindre notre objectif ! '''Votre voix compte à nos yeux'''.

Merci de prendre 15 à 25 minutes pour '''[https://wikimedia.qualtrics.com/jfe/form/SV_0pSrrkJAKVRXPpj?Target=CI2019List(other,act3) donner votre point de vue à travers cette enquête]'''. Elle est disponible dans plusieurs langues.

Cette enquête est hébergée par un tiers et [https://foundation.wikimedia.org/wiki/Community_Insights_2019_Survey_Privacy_Statement régie par cette déclaration de confidentialité] (en anglais).

Vous pouvez lire [[m:Community Insights/Frequent questions|plus d’informations sur ce projet]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Envoyez-nous un courriel] si vous avez une quelconque question ou si vous ne voulez pas recevoir d’autres messages concernant cette enquête.

Cordialement,
&lt;/div&gt; [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] 20 septembre 2019 à 19:12 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:RMaung (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(other,act3)&amp;oldid=19397751 --&gt;

== Reminder: Community Insights Survey ==

&lt;div class=&quot;plainlinks mw-content-ltr&quot; lang=&quot;fr&quot; dir=&quot;ltr&quot;&gt;

'''Faites part de votre expérience dans cette enquête'''

Bonjour {{PAGENAME}},

Il reste quelques semaines seulement pour participer à l’enquête sur les Perspectives de la communauté ! Nous avons atteint 30% de notre objectif de participation. Si vous n’avez pas encore participé à l’enquête, vous pouvez nous aider à atteindre notre objectif !
Avec ce sondage, la Wikimedia Foundation recueille un retour sur le niveau de qualité de notre soutien de votre travail sur le wiki. Seules 15–25 minutes sont nécessaires pour achever de répondre à l’enquête, et cela a un impact direct sur le soutien que nous apportons.

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Vous pouvez lire [[m:Community Insights/Frequent questions|plus d’informations sur ce projet]]. [mailto:surveys@wikimedia.org Envoyez-nous un courriel] si vous avez une quelconque question ou si vous ne voulez pas recevoir d’autres messages concernant cette enquête.

Cordialement,
&lt;/div&gt; [[User:RMaung (WMF)|RMaung (WMF)]] 4 octobre 2019 à 17:02 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:RMaung (WMF)@metawiki en utilisant la liste à https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=CI2019List(other,act3)&amp;oldid=19430537 --&gt;

== Nouvelle candidature au poste d'administrateur d'interface ==

Bonjour,

Vous êtes convié à participer au recrutement d'un nouvel administrateur d'interface pour la Wikivesité au niveau de la page [[Wikiversité:Administrateur d'interface/Candidature/Lionel Scheepmans]].

Bien cordialement,
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Nouvelle prise de décision au sujet de l'intégration des travaux d'enseignants et d'étudiants ==

Bonjour,

[[Projet:Wikiversité/Intégration travaux étudiants|Une nouvelle prise de décision voit le jour au niveau de l'intégration des travaux d'enseignants et d'étudiants en provenance d'institutions hors ligne]].

En vous souhaitant une très agréable journée !

[[user:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]]
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversité:Notifications_au_sujet_des_prises_de_décisions_et_des_débuts_de_votes&amp;oldid=722193 --&gt;

== Nouvelle prise de décision ==

Bonjour.

Juste un petit message pour vous informer qu'une nouvelle prise de décision vient de commencer sur la page : [[Projet:Wikiversité/Patrons de page, fonctionnalités beta individuelles, crochets indice de renvoi]].

Cordialement, [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discussion]]) 19 février 2021 à 23:19 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=828479 --&gt;

== Invitation au projet de sciences de l'ingénieur ==

{{Invitation projet|de|sciences de l'ingénieur}}
--[[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] &lt;sup&gt;&lt;nowiki&gt;[&lt;/nowiki&gt;[[Discussion Utilisateur:Hérisson grognon|mais gentil]]&lt;nowiki&gt;]&lt;/nowiki&gt;&lt;/sup&gt; 22 février 2021 à 20:32 (UTC)

== Nouvelle candidature au statut d'administrateur ==

[[Utilisateur:Hérisson grognon|Hérisson grognon]] propose sa candidature au statut d'administrateur sur la page [[Wikiversité:Administrateur/Candidature/Hérisson grognon]]. Vous êtes  invités à venir voter !

&lt;small&gt;Ceci est un message envoyé globalement à un groupe d'utilisateurs. Si, à l'avenir, vous ne souhaitez plus recevoir ce type de message, vous pouvez vous désinscrire sur la page [[Wikiversité:Notifications au sujet des prises de décisions et des débuts de votes]].&lt;/small&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lydie Noria@frwikiversity en utilisant la liste à https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=828479 --&gt;

== Nouvelle prise de décision ==

Bonsoir,

Une nouvelle prise de décision concernant la mise en place d'une [[Projet:Wikiversité/Bannière personnalisée d'appel aux dons|bannière personnalisée d'appel aux dons]] vient de commencer. Vous êtes invités à venir donner votre avis.

Cordialement,

--[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 25 janvier 2022 à 20:00 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Hérisson grognon@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=861600 --&gt;

== Nouvelle prise de décision ==

Bonsoir,

Une nouvelle prise de décision concernant la mise en place d'une [[Projet:Wikiversité/Bannière personnalisée d'appel aux dons|bannière personnalisée d'appel aux dons]] vient de commencer. Vous êtes invités à venir donner votre avis.

Cordialement,

--[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 26 janvier 2022 à 02:42 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Hérisson grognon@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=861600 --&gt;

== Prise de décision - Présentation de la faculté Langues ==

Bonjour,

Une '''[[Wikiversité:Prise de décision/Présentation de la faculté Langues|prise de décision]]''' est en cours concernant la présentation de la [[Faculté:Langues]]. Merci d'avance pour votre participation !

(Ceci est un message automatique.)

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 1 mars 2024 à 07:10 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=926422 --&gt;

== Une prise de décision en cours de discussion est initiée ==

Bonjour

Une prise de décision est initiée : [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC]]. [[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 19 avril 2025 à 09:25 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Crochet.david@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=958072 --&gt;

== Erreur technique dans les cours MOOC ==

Bonjour à toutes et tous,

La [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC|prise de décision concernant l'erreur technique dans les cours MOOC]] vient de commencer officiellement. Il n'est plus temps de discuter mais seulement de [[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|statuer pour ou contre la suppression du format MOOC]] (jusqu'à ce que le problème soit résolu).

{{Centrer|[[Wikiversité:Prise de décision/Réorganiser les cours sous format MOOC#Avis|{{Bouton cliquable|Donner son avis officiellement|couleur=bleu}}]]}}

Wikiversitairement,

[[Utilisateur:Fourmidable|Fourmidable]] ([[Discussion utilisateur:Fourmidable|discuter]]) 28 avril 2025 à 09:43 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=958072 --&gt;

== Débats d'admissibilité ==

Bonjour,

Les [[WV:DDA|débats d'admissibilité]] suivants ne comptabilisent aucun avis depuis plus de deux mois :
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Flash]] (leçon créée en 2007)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Mouvement féministe]] (leçon créée en 2008)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Joomla]] (leçon créée en 2008)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Programmation distribuée]] (leçon créée en 2010)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Collapsologie]] (leçon créée en 2016)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Citoyenneté et empire à Rome (leçon créée en Ie-IIIe siècle)]] (leçon créée en 2018)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Peuples amérindiens]] (leçon créée en 2019)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Création des états modernes en Europe]] (leçon créée en 2019)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage supervisé]] (leçon créée en 2022)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage profond]] (leçon créée en 2024)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Apprentissage par renforcement]] (leçon créée en 2024)
* [[Wikiversité:Débat d'admissibilité/Algorithme génétique]] (leçon créée en 2024)

Merci d'y donner votre avis !

[[Utilisateur:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Discussion utilisateur:MediaWiki message delivery|discuter]]) 23 juillet 2025 à 00:55 (UTC)
&lt;!-- Message envoyé par User:Fourmidable@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=958072 --&gt;

== Améliorer Wikiversité pour ses vingt ans d'existence ==

Bonjour.

Je viens vers vous au travers de MassMessage pour attirer votre attention sur [[Wikiversit%C3%A9:La_salle_caf%C3%A9/ao%C3%BBt_2026#Am%C3%A9liorer_Wikiversit%C3%A9_pour_ses_vingt_ans_d'existence|un message que je viens de laisser dans la salle café de notre projet]].

Il concerne un projet d'amélioration de Wikiversité à l'approche de ses 20 ans d'existence et vous invite à poster vos commentaires et partager votre envie de participation.

Cordialement,

[[User:Lionel Scheepmans|Lionel Scheepmans]] &lt;sup&gt;&lt;big&gt;✉&lt;/big&gt; [[User talk:Lionel Scheepmans|Contact]]&lt;/sup&gt;
&lt;!-- Message envoyé par User:Lionel Scheepmans@frwikiversity en utilisant la liste sur https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Wikiversit%C3%A9:Notifications_au_sujet_des_prises_de_d%C3%A9cisions_et_des_d%C3%A9buts_de_votes&amp;oldid=958072 --&gt;</text>
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    <title>Recherche:Abiogénèse expérimentale</title>
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      <text bytes="102620" sha1="ttr13iqvn9u5wd8pskeu7aim17vwys0" xml:space="preserve">{{Travail de recherche
  | idfaculté = biologie
  | parent = [[Recherche:Laboratoire d'études prébiotiques|Laboratoire d'études prébiotiques]]
}}

{{Hypothèse
 | titre  = Liposomes du pétrole
 | parent = [[Recherche:Département:Biologie|Département de recherche en Biologie]]
 | image  = {{idfaculté/logo/biologie}}
}}

== Définition ==

L’abiogénèse c’est la genèse du vivant à partir de petites molécules de type minéral :
{| class=&quot;wikitable&quot;
| {{Formule chimique|CO|2}} 
| {{Formule chimique|H|2|O}} 
| {{Formule chimique|N|2}} 
| {{Formule chimique|H|3|PO|4}} 
| {{Formule chimique|H|2|SO|4}} 
|}

Ou de type organique :
{| class=&quot;wikitable&quot;
| {{Formule chimique|CH|4}} 
| {{Formule chimique|NH|3}} 
| {{Formule chimique|H|2|S}} 
|}

Cette notion correspond à celle de génération spontanée de Louis Pasteur.

L’abiogénèse expérimentale a pour objectif de définir un protocole expérimental global pour étudier l’évolution moléculaire du minéral vers le vivant, sans chercher à démontrer les origines de la vie.

== Cadre des expériences  ==

Cette expérimentation se limite à l’abiogénèse terrestre, et pourrait être qualifiée d’abiogénèse expérimentale terrestre. Ou plutôt elle s’appellera '''abiogénèse expérimentale géochimique''', dans le sens où la géochimie s’applique à la Terre seulement à cause du préfixe géo, mais aussi suivant le postulat simple sur l’origine de la vie qui suit.

== Postulat sur les origines de la vie  ==

L’évolution moléculaire vers le vivant, sur Terre, a démarré avec des molécules qui appartiennent à tous les vivants actuels et passés, ou avec des molécules structurellement très proches de ces dernières, et produites à grande échelle par des processus géochimiques. Ces molécules seront très stables chimiquement pour permettre une évolution sur de longues durées.

Un seul type de molécules répond à ces critères, ce sont les acides gras à chaînes longues de 14 à 20 carbones produites dans le pétrole abiogénique. Donc ce postulat peut être formulé tout simplement en '''« postulat du pétrole abiogénique »'''.

== La géochimie du pétrole abiogénique, modèle de base pour l'étude de l’abiogénèse sur Terre  ==

L’hypothèse de la formation du pétrole abiogénique a suscité et suscite encore une polémique dans la sphère industrielle du pétrole.
Cependant 4 voies de recherches confortent cette hypothèse, sinon actuellement en quantités de pétrole exploitables économiquement, du moins dans le passé, il y a 4 Ga. Ce sont :

# La '''serpentinisation'''
# La production de méthane dans le '''manteau de la Terre '''à partir des carbonates (expérience de l’enclume en diamant),
# La détection des hydrocarbures à une échelle planétaire sur '''Titan''', et enfin
# Le procédé de production de pétrole de '''Fischer et Tropsch''' à partir de CH4 ou bien de CO + H2.
C'est le procédé F.T. qui sera à la base de l'expérimentation de l'abiogénèse, puisqu’il utilise au départ les petites molécules ci-dessus. Il est très avancé industriellement, mais il faut l'adapter à l'abiogénèse expérimentale en ajoutant N2, H3PO4 et H2S.
Mais avant de développer l'expérimentation avec le procédé F.T. il convient de définir les objectifs à atteindre, en l’occurrence tester les prédictions de la théorie de l'évolution moléculaire à partir des vésicules aqueuses contenues dans le pétrole, ou théorie des liposomes du pétrole.

=== Théorie des liposomes du pétrole  ===
    Le pétrole, qu’il soit abiogénique ou fossile, est produit dans ou imprègne des roches poreuses et contient de l'eau. Dans ce mélange les acides gras, d’après le postulat des origines de la vie ci-dessus, pourront former, dans la phase liquide, des liposomes bicouches proche de ceux de tous les êtres vivants.

    Comment passer alors de ce liposome chimiquement simple(acides gras), à la membrane lipidique complexe et fonctionnelle des êtres vivants ?

    Une théorie avancée , dans l'hypothèse d'une vie apparaissant dans un milieu aqueux, est celle de l'encapsulation. De l'{{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}}, de l'ATP et des protéines seraient encapsulés par des liposomes, au hasard, et évolueraient vers un automate. Cette théorie pose toujours le problème des probabilités infimes, soulevé par plusieurs auteurs, comme nous le verrons au chapitre des comparaisons.
==== Énoncé de la théorie  ====
    La théorie des liposomes du pétrole évite ce problème de probabilité et considère que dans le pétrole, les liposomes intègrent dans la bicouche des acides aminés ou des oligo-peptides( de 2 ou 3 a.a. tout au plus, mais certainement pas de polypeptides ayant une fonction quelconque) qui les rendent quasiment fonctionnels: 
* Communication entre intérieur et extérieur du liposome par des '''canaux primitifs ''' et
* initialisation du '''métabolisme''' grâce au méthane et ses dérivés oxydés présents en grande quantité dans le pétrole.
* Les '''macromolécules''' n'apparaissant qu'après cette évolution
* pour aboutir finalement à un '''automate'''.

==== Les vésicules aqueuses dans la phase huileuse  ====
Les liposomes dans le pétrole vont se former à partir des vésicules aqueuses qui réunissent toutes les molécules hydrophyles. La particularité des vésicules par rapport à un milieu aquatique, c’est que les vésicules évitent la dispersion des molécules. Ce sont de vrais tubes à essai.
* Dans la vésicule aqueuse on a une forte concentration de formaldéhyde et de phospate, deux molécules qui posent problème par leur rareté dans l’hypothèse de l’initialisation du métabolisme avec la réaction de formose, dans un environnement aquatique. Cette réaction de formose est tout à fait réelle dans notre hypothèse, d’autant plus que les concentrations en phosphates et {{Formule chimique|Ca(OH)|2}} , qui lui sont nécessaires, peuvent être élevées. L'intérieur de la vésicule peut contenir des a.a. polaires comme la sérine et le glutamate, des coenzymes comme l’ATP, des ions métalliques de toutes sortes pour les catalyses, et du méthane.
* Le pourtour des vésicules présente les têtes hydrophiles des a.g. , des a.a. et coenzymes ayant une queue aliphatique. Cependant les queues hydrophobes peuvent être très hétérogènes en longueur. Est-ce que les a.g. peuvent à ce niveau ségréger suivant la longueur de leur queue ? Peut-être, quand il y aura de plus en plus de vésicules sans beaucoup d ’alcanes autour.
* L’amorce du métabolisme doit se faire dans les vésicules avec formation des oses-phosphates et des phospholipides.

==== Formation des liposomes dans la phase aqueuse  ====
Dans les grandes cavités de la roche les vésicules vont migrer les unes vers les autres pour former une phase aqueuse.

Soit une grande vésicule baignant encore dans le pétrole. Le pourtour est nécessairement hétérogène. Les queues aliphatiques s’assemblant suivant leur longueur pour former des zones plus ou moins épaisses.

Quand des vésicules, plus petites, viendront s’y accoler, parce que leur nombre augmente, on aura la formation de bicouches. Si la bicouche est peu épaisse, elle se dissociera et le contenu de la petite vésicule s’ajoutera à celui de la grande.

Si la bicouche est épaisse, la paroi de la zone concernée de la grande vésicule s’invaginera et englobera entièrement la petite vésicule pour former un liposome qui évoluera dans la solution aqueuse de la grande vésicule. La bicouche du liposome aura des phospholipides des 2 côtés contenant des a.a. et des coenzymes à radicaux hydrophobes. Ce sont des liposomes entourés par une solution aqueuse semblable à celle de leur intérieur.

==== Évolution des liposomes  ====
Les liposomes vont subir une forte sélection à l’intérieur des phases aqueuses, parce que les plus solides sont ceux qui auront une bicouche épaisse, homogène et avec des phospholipides à 2 ions, un + et un – qui formeront des liaisons ioniques pour s'arrimer les uns aux autres.

Mais les bicouches ne peuvent pas être très épaisses, car les pores de communication formés par des a.a. peu nombreux, ne pourront plus jouer leur rôle. D’où l’établissement d’une longueur optimale pour les queues aliphatiques.

La phase aqueuse, milieux clos, s’enrichit constamment de toutes les innovations apportées par les vésicules et les liposomes qui ont avorté. Notamment les a.a., facteur limitant, seront de plus en plus variés et le métabolisme naissant avec les réactions de formose élaborera de plus en plus de nouvelles molécules.

C’est ainsi que les radeaux d’a.a., de coenzymes et d’oligopeptides à la surface du liposome joueront de plus en plus un rôle catalytique ; et les pores de communication seront plus efficaces en augmentant l’organisation de l’intérieur du liposome par rapport à son extérieur.

=== Géochimie du pétrole abiogénique et évolution moléculaire  ===
==== Nécessité d’étudier la géochimie du pétrole ====
Le procédé F.T. adapté à l’abiogénèse (ajout de N, P, S) va nous permettre, peut-être de vérifier rapidement les 1ères étapes de la théorie du liposome du pétrole, mais l’étude de l’évolution moléculaire, après initialisation du métabolisme, va poser un problème de durée.
Nous ne connaissons pas la durée de l’évolution moléculaire. Certes elle ne doit pas dépasser quelques centaines de millions d’années d’après les données géochimiques et géologiques actuelles, sur les origines de la vie.
De telles durées ne sont pas compatibles avec des pratiques de laboratoire. Aussi une théorisation plus affinée de la géochimie du P.A. nous aidera à définir le plus grand nombre d’étapes possibles. Ces étapes seront étudiées en parallèle et les résultats des 1ères serviront à ajuster les paramètres des suivantes, pour diminuer la durée de chaque étape.

==== Le modèle P.A  ====
Actuellement le modèle de la formation du P.A. est très simple, avec 3 étapes :
# Formation du P.A. en profondeur à la frontière entre le manteau supérieur et la croûte terrestre, dans les zones de subduction qui enfouissent les roches sédimentaires carbonatées et de l’eau. Le P.A. est produit soit par serpentinisation, soit à haute température et haute pression.
# Grâce à la tectonique des plaques encore, le P.A. formé, remonte vers la surface et peut être piégé dans des roches poreuses suite à la formation de système de failles.
# Et enfin remontée en plein air de ces roches poreuses imbibées de P.A. . 

Du point de vue de l’abiogénèse, ce modèle est trop simple, et ne nous renseigne pas du tout sur les réactions avec N, P, S. Tout au plus nous pensons que les hydrocarbures peuvent se former comme le montrent les études sur la serpentinisation , celles en enclume de diamant et la détection des hydrocarbures en quantité sur Titan.

==== Hypothèse de travail : toute réaction de chimie organique pourrait s’effectuer sur le trajet du P.A  ====
Cependant le fait que ces hydrocarbures de P.A. se forment en profondeur et puis remontent en surface, ils ne se distinguent nullement de ceux du P.F. qui se forment par enfouissement de matières organiques puis par remontée en surface. Si des molécules organiques (a.g., a.a., a.n., pyroles…) du P.F. résistent à ces conditions géochimiques, il n’est pas exclu qu’on recueille ces mêmes molécules produites en profondeur par le P.A. .
Or le milieu réactionnel du P.A. , des roches poreuses avec tous les éléments chimiques de la croûte terrestre (N P S métaux …) + eau + huiles, des conditions physico-chimiques de T et P très élevées en profondeur et diminuant au fur et à mesure de la remontée, permettrait la production de tout type de molécule organique qu’on sait ou ne sait pas fabriquer en laboratoire.

==== Un modèle du P.A. détaillé dans l’optique de l’abiogénèse expérimentale  ====
* Définir les tranches de T-P en fonction des domaines des états physiques des solutions chimiques : états supercritiques, critiques, liquides normaux et cristallins ( gel en surface). Une théorie pour l’origine de la vie est déjà émise pour l’étude de l’état supercritique de l’eau pour les fumeroles. Puis notre théorie des liposomes du pétrole en phase liquide et nous étudierons plus loin le comportement des liposomes du vivant dans l’état de cristal liquide.
* Recherche des roches poreuses les plus adaptées à l’abiogénèse, notamment en concentration en N, P, S. Voici ci-dessous un tableau comparatif des quantités molaires de ces éléments dans la croûte terrestre :&lt;br /&gt;
Masse de la croute : &lt;math&gt;1,91.10^{22}&lt;/math&gt; kg&lt;br /&gt;
'''H''' &lt;math&gt;2,67.10^{19}&lt;/math&gt; môles ({{unité|1400|ppm}})&lt;br /&gt; 
'''C''' &lt;math&gt;3,18.10^{17}&lt;/math&gt; môles ( {{unité|200|ppm}})&lt;br /&gt;
'''N''' &lt;math&gt;2,73.10^{16}&lt;/math&gt; môles ( {{unité|20|ppm}})&lt;br /&gt;
'''P''' &lt;math&gt;6,47.10^{17}&lt;/math&gt; môles ({{unité|1050|ppm}})&lt;br /&gt;
'''S''' &lt;math&gt;1,55.10^{17}&lt;/math&gt; môles ( {{unité|260|ppm}})&lt;br /&gt;
sources :&lt;br /&gt;
Nous constatons que l’azote est 10 fois moins représenté que le carbone, mais cet azote est sous forme de nitrates de Na et K, facilement mobilisable dans l’eau (vésicules aqueuses). L’azote pourrait être le facteur limitant, mais dans notre théorie du liposome du pétrole les acides aminés jouent un rôle de catalyseur et sont captés à leur surface.
Le Phosphore quoique difficilement mobilisable est 2 fois plus abondant que le carbone. L’hydrogène est celui de l’eau.
* Étude de la tectonique des plaques pour estimer la vitesse de remontée et la durée de chaque étape de l’évolution moléculaire.
* définir les étapes moléculaires dans le temps et l’espace (profondeur) :
# Formation des petites molécules de carbone, méthane, méthanol et formol en premiers aux T, P élevées.
# Formation des chaines longues de carbone, jusqu’à 20 C, aliphatiques, acides, alcools.
# Formation des molécules organiques contenant N et S, les plus stables.
# Formation de molécules phosphorylées comme les coenzymes.
# Formation des a.a.
# Formation des liposomes et initialisation du métabolisme avec les sucres-phosphates.
# Contact avec l’atmosphère et refroidissement des liposomes en cristaux liquides.

==== Remarques ====
* Sur la polémique P.A./P.F. 
:- Le rapport du carbone C13/C12 faible s’explique en P.A. par la gravitation et en P.F. par l’activité biologique.
:- Les signatures du P.F. : en dehors des molécules qui peuvent être produites par le P.A., celui-ci peut envahir une roche sédimentaire contenant les restes de molécules biotiques les plus résistantes, et il n’y aurait pas de production de P.F. .
:- De même l’excès de chaines aliphatiques à nombre paire de carbone, propre aux êtres vivants, n’est pas si prononcé que cela, et peut être expliqué comme pour les signatures.
* Sur la tectonique des plaques:
Il faut remarquer que la tectonique des plaques jouent un rôle fondamental dans notre théorie abiogénique, en séparant la production de molécules très stables, alcanes à 20 C et cycles avec ou sans N en profondeur, de l'initialisation du métabolisme proche de la surface. C’est ce qui aurait manqué sur Vénus pour produire la vie, parce que, quoique identique à la Terre, elle ne possède ni magnétisme ni tectonique.
* Sur les origines de la vie
On est loin de la petite mare d’eau au soleil évoquée par Darwin. Ce n’est pas la soupe prébiotique de Miller à la surface de la Terre, ni au fond des mers, à {{Unité|4|{{Abréviation|km|kilomètre}}}}, dans l’eau.
On est dans une vinaigrette bien chaude et onctueuse.

== Géochimie des éléments manquants: P N S  ==
Ce sont les éléments manquant dans les procédés F.T. industriels mais qui sont essentiels pour le vivant. Car ces procédés ont pour objectif la production de pétrole pur, exempt de soufre et d'azote qui pénalisent ses rendements énergétiques.
=== La géochimie de l'ammoniac abiogénique  ===
Le problème le plus difficile soulevé par les études sur les origines de la vie est la ressource en acides aminés abiotiques( ref. Brack) et même en ammoniac seulement. Car on suppose que l'atmosphère primitive de la Terre, lors de l'apparition du vivant, n'était pas réductrice et que la production d'ammoniac ne pouvait se réaliser sans les bactéries fixatrices d'azote.

Certes pour l'abiogénèse expérimentale, j’ai supposé ci-dessus, que les nitrates, en tant qu'hydrophiles, pouvaient produire quelques amines dans les vésicules aqueuses. Mais les nitrates sont produits en petites quantités dans l'atmosphère, donc en surface, et les minéraux contenant des nitrates sont surtout d'origine sédimentaire et donc biogéniques.

Cependant mes recherches bibliographiques m'ont conduit à deux hypothèses qui complètent le postulat du pétrole abiogénique pour l'apparition du protobionte. C'est-à-dire que l'ammoniac est nécessaire pour la synthèse d'éthanolamine primordiale pour la théorie des liposomes abiogéniques, et il est nécessaire aussi pour l'initialisation du métabolisme des acides aminés.

Ces deux hypothèses sont :
:- L'ammoniac abiogénique peut provenir des roches magmatiques, même en proportion très faible

ou bien

:- L'ammoniac abiogénique peut se former en même temps que le méthane abiogénique avec des conditions de T/P proches de celles du pétrole abiogénique. L'équivalent du procédé F.T étant le procédé Haber-Bosch pour N2.

==== La géochimie de l'ammoniac abiogénique devrait se dérouler avec et dans les mêmes conditions que celle du pétrole abiogénique  ====
* Propriétés physiques	(wikipédia)
points critiques très proches :

CH4 et N2 sont 2 molécules apolaires dont les pressions critiques sont très proches :

{| cellpadding=&quot;2&quot; class=&quot;wikitable&quot;
! ||H2O ||H2 ||O2 ||CO2 ||CO ||H2S ||NH3 ||CH4 ||N2 ||
|- align=&quot;right&quot;	
|align=&quot;left&quot;|'''Te''' {{Abréviation|°C|degré Celsius}} 
|100* ||-253 ||-183 ||-78,5 ||-191,5 ||-60 ||-33* ||-161,5 ||-196 ||align=&quot;left&quot;| température d'ébullition
|- align=&quot;right&quot;
|align=&quot;left&quot;|'''Tc''' {{Abréviation|°C|degré Celsius}} 
|374* ||-240 ||-119 ||31 ||-140 ||100 ||132 ||-83 ||-147 ||align=&quot;left&quot;| température critique
|- align=&quot;right&quot;
|align=&quot;left&quot;|'''Pc''' bars
|218* ||13 ||50 ||74 ||35 ||89 ||113 ||'''46''' ||'''34''' ||align=&quot;left&quot;| pression critique
|- align=&quot;right&quot;
|align=&quot;left&quot;|'''Mc''' g/kg
|_ ||30 ||436 ||464 ||301 ||_ ||_ ||_ ||314 ||align=&quot;left&quot;| masse volumique au point critique
|- align=&quot;right&quot;
|align=&quot;left&quot;|'''Ml''' g/kg
|_ ||_ ||1 141 ||1032 ||789 ||915 ||682 ||423 ||808 ||align=&quot;left&quot;| masse volumique au point d'ébullition
|- align=&quot;right&quot;
|align=&quot;left&quot;|'''Sl''' ml/L
|_ ||21 ||49 ||1 716 ||35 ||4 670 ||862 000 ||54 ||23 ||align=&quot;left&quot;| solubilité vol/vol à {{Unité|0|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} 1 atm dans l'eau pure
|- align=&quot;right&quot;
|align=&quot;left&quot;|'''ppm''' (1)
|_ ||1,9 ||70 ||3 371 ||47 ||7 088 ||654 196 ||39 ||29 ||align=&quot;left&quot;| ppm massique calculée du gaz soluble dans l'eau pure
|- align=&quot;right&quot;
|colspan=&quot;10&quot; | ||align=&quot;left&quot;| '''ref.: encyclopedia.airliquide'''&lt;ref&gt;[http://encyclopedia.airliquide.com/encyclopedia.asp?GasID=59&amp;LanguageID=2&amp;CountryID=19 http://encyclopedia.airliquide.com]&lt;/ref&gt; et pour * [[w:Point_triple|wikipedia]]
|- align=&quot;right&quot;
|align=&quot;left&quot;|'''Sb''' µmol/kg/atm
|_ ||788 ||1 670 ||62 870 ||1 245 ||_ ||_ ||1 935 ||794 ||align=&quot;left&quot;| coefficient de solubilité à {{Unité|0|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} dans l'eau de mer à salinité 35
|- align=&quot;right&quot;
|align=&quot;left&quot;|'''ppm''' (2)
|_ ||1,6 ||53 ||2 766 ||37 ||_ ||_ ||31 ||22 ||align=&quot;left&quot;| ppm massique calculée du gaz soluble dans l'eau de mer
|- align=&quot;right&quot;
|colspan=&quot;10&quot; |  ||align=&quot;left&quot;| '''ref.: Copin-Montégut'''&lt;ref&gt;[http://www.obs-vlfr.fr/Enseignement/enseignants/copin/Gaz.pdf http://www.obs-vlfr.fr]&lt;/ref&gt;
|- align=&quot;right&quot;
|align=&quot;left&quot; |'''Molaire'''
|18 ||2 ||32 ||44 ||28 ||34 ||17 ||16 ||28 ||align=&quot;left&quot;| masse molaire en gramme
|}
* Dans le gaz naturel
	En effet on remarque que la plupart du gaz naturel exploité comporte une forte proportion de diazote, avec des taux moyens de 10% et pouvant dépasser largement les 20%. Que ce N2 soit d'origine biogénique ou non, n'a pas d'importance pour l'abiogénèse expérimentale. Le plus important c’est que ces 2 molécules évoluent ensemble, mélangées et peuvent former, dans des conditions de température et de pression assez semblables du pétrole et de l'ammoniaque abiogéniques. Comme on l'a vu pour le pétrole avec le procédé F.T., et comme on le verra pour l'ammoniac avec le procédé Haber-Bosch.
* Dans les fumerolles
	Par ailleurs il a bien été démontré que, dans les fumerolles des abysses océaniques, il y a bien production de CH4 abiogénique accompagné d'une production de H2 N2 H2S CO2 et CO dans les proportions suivantes (en mMol/kg): 

{|
!H2 
!CO2 
!CH4 
!N2 
!H2S 
!CO 
|pH 
|T 
|P 
|Profondeur
|-
|16 
|16 
|2,5 
|1,8 
|1,2 
|0,005 
|2,8 
|{{Unité|365|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}
|230 bars 
|{{unité|2300|{{abréviation|m|mètre}}}} 
|}

Le phénomène sous-jasent à cette production serait la serpentinisation qui produit du dihydrogène H2 qui agirait sur le CO2 et le N2 de l'eau et du magma pour donner CH4. De l'ammoniac NH3 a été mesuré, aussi, mais en faible quantité dans les fumerolles, Dubant 2004 page 12&lt;ref&gt;[http://209.85.135.132/search?q=cache:pa-Yebt3UpkJ:eprints-scd-ulp.u-strasbg.fr:8080/284/02/DUBANT2004.pdf]&lt;/ref&gt;.

Charlou J.L., Donval J.P., Fouquet Y., Jean-Baptiste P., Holm N., « Geochemistry of high H2 and CH4 vent fluids issuing from ultramafic rocks at the Rainbow hydrothermal field », Chemical Geology, vol. 191, 2002, p. 345-359.

cité par Marie-Paule Bassez&lt;br /&gt;			
{{abréviation|IUT|institut universitaire de technologie}} Robert Schuman, Université de Strasbourg,&lt;br /&gt;
72 route du Rhin, 67400 ILLKIRCH-GRAFFENSTADEN
&lt;ref&gt;[http://liris.cnrs.fr/~cnriut08/actes/articles/130.pdf http://liris.cnrs.fr]&lt;/ref&gt; 

et du même auteur:

Charlou J., Donval J., Konn C., Birot D., Sudarikov S., Jean-Baptiste P., Fouquet Y., « High hydrogen and abiotic hydrocarbons from new ultramafic hydrothermal sites between 12°N and 15°N on the Mid-Atlantic Ridge. Results of the Serpentine cruise (march 2007) », Proceedings, 2007&lt;ref&gt;[http://adsabs.harvard.edu/abs/2007AGUFM.T51F..04C http://adsabs.harvard.edu]&lt;/ref&gt;.

Conférence d'Oslo 2008&lt;ref&gt; [http://www.cprm.gov.br/33IGC/1345419.html http://www.cprm.gov.br]&lt;/ref&gt;
* Les hydrates de méthane
	Il est tout à fait concevable, à une certaine époque géologique, qu’il y ait eu, par ce processus de serpentinisation une grande production de méthane abiogénique et d'azote emmagasinée dans les clathrates ou hydrates de méthane, et ait été recouverte de sédiments pour évoluer en pétrole.
* Les procédés de type Haber-Bosch
:- Haber-bosch [[w:Procédé_Haber|&lt;u&gt;Wikipedia&lt;/u&gt;]]:
Le diazote et le dihydrogène réagissent sur un catalyseur de fer qui contient de l'hydroxyde de potassium comme accélérateur :

N2(g) + 3 H2(g) → 2 NH3(g) + ΔH, ΔHo = -92,4 kJ/mol à {{Unité|25|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} T : 300-{{Unité|550|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P : 15-25 MPa
:- SiO-Ta 	&lt;ref&gt;[http://www.ens-lyon.fr/web/pj/74_ciseaux-avenir-sciences.pdf http://www.ens-lyon.fr]&lt;/ref&gt;
Réaction de Haber-Bosch à la pression standard et à {{Unité|250|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}.

&quot; Réalisation du clivage de N2 par H2 sur des surfaces de silice contenant des centres hybrides de Ta(III) et Ta(V) produisant de l’amido-imido de Ta(V) :

[(≡Si-O)2Ta&lt;sup&gt;III&lt;/sup&gt;-H] et [(≡Si-O)2Ta&lt;sup&gt;V&lt;/sup&gt;H3] →	[(≡SiO)2T&lt;sup&gt;V&lt;/sup&gt;(=NH)(NH2)]&quot;

:- ''Remarque sur la synthèse des nitrates abiogéniques'' 

'''Cours ammoniac Nancy'''&lt;ref&gt;[http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/chim/Jumber/AMMONIAC/ammoniac_acide_nitrique.htm http://www.ac-nancy-metz.fr]&lt;/ref&gt; :

L'ammoniac brûle dans l'oxygène en produisant de l'azote et de l'eau :

'''4 NH3 + 3 O2 → 4NO + 6 H2O ΔH = 1247,2 kJ.mol{{exp|-1}}''' 

En présence de platine, à {{Unité|800|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, l'oxydation par l'oxygène de l'air donne NO :

'''4 NH3 + 5 O2 → 2 N2 + 6 H2O ΔH = -904 kJ.mol{{exp|-1}}'''

L'ion ammonium peut être oxydé en phase solide par les anions oxydants :

'''(NH4)2Cr2O7 → Cr2O3 + N2 + 4 H2O ΔH = -315,2 kJ.mol{{exp|-1}} '''

Cette réaction se déclenche par simple chauffage. 

Il peut y avoir média-mutation des nitrites et nitrates d'ammonium par chauffage : 

'''NH4NO2 → N2 + 2 H2O ΔH = -219,5 kJ.mol{{exp|-1}}'''

'''NH4NO3 → {{formule chimique|N|2|O}} + 2 H2O ΔH = -36,8 kJ.mol{{exp|-1}} '''

L'ammoniac peut être oxydé de trois manières : en N2, {{formule chimique|N|2|O}}, NO .&lt;br /&gt;
Pour synthétiser l'acide nitrique, il faut passer par NO, donc utiliser un catalyseur qui défavorise la formation de N2 et de {{formule chimique|N|2|O}} , et favorise NO . Ce catalyseur est une toile de platine rhodié à 5-8%. La température optimale d'action du catalyseur est {{Unité|650|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. Il faut éviter un échauffement excessif et donc avoir une durée de contact très faible (1/1000{{e}} de seconde).

Dans le convertisseur utilisé (convertisseur OSTWALD), un échangeur de chaleur refroidit les gaz formés et réchauffe les gaz qui vont réagir. Le rendement peut atteindre 96%. Lorsque la température chute au dessous de {{Unité|500|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} (ce qui se produit avant l'échange de chaleur), NO réagit avec O2 pour donner des fumées rousses de NO2 : 

'''NO + O2 → 2 NO2 ΔG{{exp|0}}&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = -70 kJ'''

Au dessus de {{Unité|130|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, NO2 se dimérise en N2O4 qui se dissout à froid dans l'eau, en se dismutant en HNO2 et HNO3 . HNO2 est instable au dessus de {{Unité|0|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, et se dismute à son tour en NO et HNO3 (NO est recyclé). 

On oxyde industriellement NH3 avec un faible excès d'air pour obtenir NO. Puis on condense l'eau formée. On ajoute l'air nécessaire pour obtenir N2O4 , que l’on refroidit à -{{Unité|10|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}. On termine sous pression* et on ajoute HNO3 dilué, qui dissout mieux N2O4 que l'eau, en évitant tout contact entre NO et HNO3 (ce qui donnerait HNO2 et NO2 ). ( * 5 atmosphères )

'''synthèse''':

On voit clairement qu’il est très difficile d'obtenir NO2 dans les conditions géologiques (dans la roche) car il n'y a pas de O2 et NH3 est oxydé en N2 par les oxdants métallique de la roche par simple chauffage. D'où la récolte de N2 ( à partir de NH4+ du granite?) dans les évents.

NO2 et NO3 sont eux aussi très labiles en présence d'ammonium pour donner du N2.

:- ''Remarque sur les minéraux à ammoniac dans les sources chaudes''
* Action des fluides et de l'ammoniac dans les zones de subduction
:- Busigny&lt;ref&gt;[http://www.ipgp.fr/~busigny/Page-Publications/Publications&amp;abstracts/Busigny-Thesis.pdf http://www.ipgp.fr]&lt;/ref&gt;

Vincent Busigny, &quot;Comportement geochimique de l'azote dans les zones de subduction&quot;, edited by Co-Directeur de thèse : Javoy, Marc ; Philippot, and Pascal ; Cartigny, Pierre, 2004, 301 pages. 

&lt;u&gt;résumé&lt;/u&gt;: Contraindre les échanges d'azote entre le manteau et l'exosphère requiert une bonne connaissance de la qualité d'azote dégazée du manteau et de celle recyclée via les zones de subduction. Afin de caractériser le comportement de l'azote pendant la subduction, des analyses quantitatives et isotopiques ont été effectuées sur les roches métamorphiques subductées à différentes profondeurs, ainsi que sur leurs analogues non-métamorphiques. 

Cette étude apporte pour la première fois des données sur l’ensemble de la lithosphère océanique subductée, en incluant des sédiments, des métagabbros et des péridotites serpentinisées. Les roches étudiées proviennent des Alpes franco-italiennes. Elles ont été subductées selon un gradient géothermique faible (~{{Unité|8|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}/lm) représentatif des zones de subduction actuelles. dans les métasédiments de la nappe des Schistes Lustrés, la constance d'indicateurs géochimiques de dévolatilisation (δ{{exp|15}}N, δD, K/N, K/Rb, K/Cs) démontre que l'azote a été intégralement conservé au moins jusqu'à {{Unité|90|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} de profondeur. 

Ce résultat contraste avec ceux obtenus précédemment dans des zones de subduction de géothermes élevés (&gt; {{Unité|13|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}/km), qui montraient des évidences de dévolatilisation partielle de l'azote. Une telle différence suggère que le comportement de l'azote dans les métasédiments est principalement contrôlé par le gradient géothermique de la zone de subduction. Pour les métagabbros et les métapéridotites serpentinisées, les roches peu déformées montrent une préservation de l'azote au moins jusqu'à des profondeurs de {{Unité|80|{{Abréviation|km|kilomètre}}}}. 

À l'inverse, les roches mylonitiques (très déformées) indiquent que les processus de recristallisation dynamique ont entraîné une perte partielle de l'azote pouvant aller jusqu'à 75 %. Un bilan global sur l’ensemble de la lithosphère océanique indique que le flux d'azote subducté est de l’ordre de 10,4.10{{exp|11}}g/an, ce qui est nettement supérieur aux estimations précédentes. Les contributions principales sont apportées par les sédiments (~73 %) et les gabbros (~23 %). La comparaison du flux d'azote subducté (estimé dans cette étude) à celui dégazé des arcs volcaniques (~2,8.10{{exp|11}} g/an ; Hilton et al., 2002)suggère que l'azote est efficacement recyclé dans le manteau via les zones de subduction.

:- Rouchon&lt;ref&gt;[http://geosciences.geol.u-psud.fr/ecole_doctorale/docthese/ROUCHON.pdf http://geosciences.geol.u-psud.fr]&lt;/ref&gt;

Les processus de métasomatisme des formations volcano-sédimentaires paléo-archéennes: implications pour l'évolution chimique de l'océan et le cycle de l'azote. (Thèse soutenue le vendredi 18 avril 2008 à u-psud)

Les compositions isotopiques (δ{{exp|15}}N&lt;sub&gt;ATM&lt;/sub&gt;) de l’azote dans les roches sédimentaires étudiées sont comprises entre 7.1 ± 0.6 et 9.4 ± {{unité|0.4|‰}} avec des teneurs en N entre 0.8 et {{unité|5|ppm}}, sous forme d’ions ammonium dans les silicates potassiques. Ces compositions correspondent vraisemblablement à des valeurs maximales de l’ammonium incorporé dans les sédiments au Paléoarchéen, et témoignent d’un réservoir d’azote enrichi en {{exp|15}}N potentiellement représentatif de la composition de l’océan, il y a 3.45 Ga. 

(voir livre google ‘Processes on the early Earth’ page 105 )
&lt;ref&gt;[http://books.google.fr/books?id=Up1Hfo9eRAoC&amp;pg=PT4&amp;lpg=PT4&amp;dq=VIRGILE+ROUCHON&amp;source=bl&amp;ots=L58QRRlstF&amp;sig=pXeWBhk9KyMw30tUVTISlqnrN1c&amp;hl=fr&amp;ei=HyglS8rsAoGt4QbDo6DnCQ&amp;sa=X&amp;oi=book_result&amp;ct=result&amp;resnum=10&amp;ved=0CCYQ6AEwCQ#v=onepage&amp;q=VIRGILE%20R http://books.google.fr]&lt;/ref&gt;

==== L'ammoniac abiogénique peut provenir des roches magmatiques  ====
Je ne traite ici que la croûte terrestre, composée essentiellement de granite pour la croûte continentale et de gabbro et basalte pour la croûte océanique, dont l'azote est nécessairement de nature minérale.
* NH4+ dans les granites
Ref: ''' A. Hall '''	Department of Geology, Royal Holloway, University of London, Egham, Surrey TW20 0EX, UK 
&lt;ref&gt;[http://www.sciencedirect.com]&lt;/ref&gt; Earth-Science Reviews Volume 45, Issues 3-4, March 1999, Pages 145-165

Résumé

L’ammonium est présent à l’état de trace en tant que constituant dans tous les granites, avec une concentration moyenne de {{unité|45|ppm}} (NH4+) équivalent à {{unité|35|ppm}} en azote (N). Il montre de grandes variations suivant les régions pétrographiques, mais la seule corrélation significative entre l’ammonium et les autres paramètres géochimiques c’est qu’il est plus abondant dans les granites à forte teneur en Al ( granites peralumines) et moins abondant dans les granites très alcalins (granites peralcalins). Ces variations peuvent être reliées 
:(a)	à la quantité du matériel sédimentaire dans la région source du magma, et
:(b)	les conditions redox dans la région source.
Le taux d’ammonium des magmas granitiques peut être aussi modifié par fractionnement ou par contamination. L’altération hydrothermale a un effet majeur sur le taux d’ammonium dans les roches granitiques, et la variation due à cette altération dépasse la variation magmatique. La plupart des granites enrichis en ammonium par altération hydrothermale, le sont par transfert de l’ammonium des roches sédimentaires locales par les fluides hydrothermaux.
* NH4+ dans les biotites
« Selon Stevenson , 90% de l’azote total des biotites est fixé dans la structure cristalline sous forme d’ion ammonium. » &lt;br /&gt;
p. 115 dans : National Institut of polar research 	Proc. NIPR Symp. Antarct. Geosci., 5, 112-121, 1991&lt;br /&gt;
Référence: Stevenson, F.J. (1962): chemical state of nitrogen in rocks Geochim. Cosmochim. Acta, 26, 797-809 
&lt;ref&gt;[http://www.geosc.psu.edu/Courses/Geosc518/4_Sample_Prep/Chapter_4/4_7_Nitrogen/4_7_5_Igenous_Rocks_and_Minerals/Papers/Stevenson%201962.pdf http://www.geosc.psu.edu]&lt;/ref&gt;
* Abondance et labilité de NH4+ 
:- Copin-Montégut&lt;ref&gt;[http://www.obs-vlfr.fr/Enseignement/enseignants/copin/Nutriment.pdf http://www.obs-vlfr.fr]&lt;/ref&gt;

    '''N2'''

  760 µMol/kg de N-N2 eaux à {{Unité|25|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}	  	14x760x&lt;math&gt;10^{-9}&lt;/math&gt; = {{unité|11|ppm}}

  1230 µMol/kg de N-N2 eaux à {{Unité|0|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}	  	14x1230x&lt;math&gt;10^{-9}&lt;/math&gt; = {{unité|17|ppm}}

    '''NO3-'''

  &lt;1 µMol/kg eau de surface 	14x1x&lt;math&gt;10^{-9}&lt;/math&gt; = 10 ppb

  40 µMol/kg eau riche Pacifique N 		14x40x&lt;math&gt;10^{-9}&lt;/math&gt; = {{unité|0.6|ppm}}

    '''NO2- et NH4+''' sont des &lt;u&gt;formes labiles&lt;/u&gt;

  &lt;0,1 µMol/kg  	14x0,11x&lt;math&gt;10^{-9}&lt;/math&gt; = 1 ppb


:- Réservoirs d’azote Fortin&lt;ref&gt;[http://www.courseweb.uottawa.ca/evs3520/Data/Chapitre03.pdf http://www.courseweb.uottawa.ca]&lt;/ref&gt;

{| cellpadding=&quot;2&quot;
|+'''Réservoirs d’azote'''
|-
! align=&quot;left&quot; | Réservoirs
! tonnes métriques de N
|- align=&quot;right&quot;
! align=&quot;left&quot; | Atmosphère(N2)
| 3.9 X &lt;math&gt;10^{15}&lt;/math&gt;
|- align=&quot;right&quot;
! align=&quot;left&quot; | Océans
| 
|- align=&quot;right&quot;
| align=&quot;left&quot;| biomasse
| 5.2 X &lt;math&gt;10^{8}&lt;/math&gt;
|- align=&quot;right&quot;
| align=&quot;left&quot; | dissout et particulaire
| 3.0 X &lt;math&gt;10^{11}&lt;/math&gt;
|- align=&quot;right&quot;
| align=&quot;left&quot; | sels (NO3-, NO2-, NH4+)
| 6.9 X &lt;math&gt;10^{11}&lt;/math&gt;
|- align=&quot;right&quot;
| align=&quot;left&quot; | N2 dissout
| 2.0 X &lt;math&gt;10^{13}&lt;/math&gt;
|- align=&quot;right&quot;
! align=&quot;left&quot; | Terre
| 
|- align=&quot;right&quot;
| align=&quot;left&quot; | Biota
| 2.5 X &lt;math&gt;10^{10}&lt;/math&gt;
|- align=&quot;right&quot;
| align=&quot;left&quot; | croûte terrestre
| 7.7 X &lt;math&gt;10^{14}&lt;/math&gt;
|- align=&quot;right&quot;
| align=&quot;left&quot; | matière organique
| 1.1 X &lt;math&gt;10^{11}&lt;/math&gt;
|}

Avec des masses de 1,34x&lt;math&gt;10^{21}&lt;/math&gt; {{abréviation|kg|kilogramme}} et 5x&lt;math&gt;10^{18}&lt;/math&gt; {{abréviation|kg|kilogramme}} pour les océans et l’atmosphère respectivement, le tonnage de N2 atmosphérique est correcte (78% N2) ainsi que celui de N2 dissout dans les océans (entre 1,5 et 2,3) par rapport aux taux ci-dessus. Par contre les sels des océans sont cinq fois plus élevées (0,13).

Par ailleurs avec une masse de 1,91x&lt;math&gt;10^{22}&lt;/math&gt; {{abréviation|kg|kilogramme}} pour la croûte terrestre, les {{unité|35|ppm}} en azote de A. Hall cités précédemment correspondent à 6,7X&lt;math&gt;10^{14}&lt;/math&gt; tonnes métriques de N, ce qui est équivalent. Donc l’estimation de A. Hall veut dire que la quasi totalité de N de la croûte terrestre est sous forme d’ions ammonium. Ceci va aussi avec les mesures de Stevenson avec les biotites (voir plus haut).

==== Conclusion sur l'azote métabolisable (NH4+) dans les roches de la croûte terrestre, et non dans l’océan  ====
:- Est-ce que le processus Haber-Bosch peut être un processus géologique ? 
Les articles géologiques cités ci-dessus, ne laissent aucun doute sur la présence de NH4+ dans les roches (magmatiques ou sédimentaires).

Mais le problème que je me pose c’est : &quot;est-ce que le processus Haber-Bosch se produit effectivement lors des altérations hydrothermales, et surtout se produira-t-il lors de la production de P.A. à partir du mélange CH4 + N2?&quot;

   Les géologues insistent beaucoup sur l'origine biogénique de NH4+ , en avançant les rapports isotopiques du Sr (strontium), mais ils ne quantifient pas clairement la part abiogénique. Pourtant le dégasage de l'azote du manteau continue de nos jours, dans les gaz volcaniques. Est-ce que le manteau d'il y a 4Ga ne contenait-il que du N2 ? Et l'estimation du taux de NH4+ dans les roches magmatiques de A. Hall est claire et nette : {{unité|35|ppm}} ! Comme s'il n'y avait pas de N2 dans le manteau quand on compare avec les estimations en azote, de la croûte terrestre dans sa globalité (Fortin ci-dessus) !

   Une expérimentation de laboratoire de type Haber-Bosch, mais dans l'eau à {{Unité|200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et 50bars, a été faite pour estimer l'apport de la synthèse abiotique d'ammonium (NH4+) dans le cycle de l'azote à l'éon Hadéen: Smirnov 2008 
[http://www.geochemicaltransactions.com/content/pdf/1467-4866-9-5.pdf].

   Cette étude est intéressante du point de vue technique, très affinée, dont on peut s’inspirer pour tester notre hypothèse du P.A., mais aussi du point de vue théorique car elle place l'origine de la vie dans l'océan et fait intervenir en plus, l'azote contenu dans les météorites de l'Hadéen pour arriver à un apport suffisant nécessaire à la production des a.a., supposés prioritaires pour l'initialisation de la vie.

:- Certains minéraux de la surface terrestre contenant NH4+ peuvent s'expliquer par le processus Haber-Bosch ou par les procaryotes fixateurs d'azote. 
En effet dans les geysers, les fumerolles et les amas de charbon fossile, ont trouve des minéraux sans silicium, apparemment néoformés et qui contiennent NH4+ et du SO4-- (réf.). À priori ça peut s'expliquer facilement par le processus Haber-Bosch, étant donné la forte présence de N2 en surface et les températures élevées de ces environnements.

Mais il existent aussi,dans ces environnements, des procaryotes fixateurs de N2 (réf.) !

:- Dans la croûte terrestre, à quelques kilomètres de profondeurs, et dans les abysses, au fond des océans, existent aussi des procaryotes fixateurs de N2 ! C'est comme si le NH4+ cristallisé dans les roches, leur est difficilement accessible. (ref.)
* Conséquences pour l'abiogénèse expérimentale 
Ces conclusions bibliographiques nous conduisent à procéder d’abord, pour notre objectif d'abiogénèse expérimentale, à une production de P.A. avec un mélange N2+CH4 dans des conditions de T/P, des supports et des catalyseurs compatibles avec le processus F.T. et H.B.. Si on se réfère à leurs paragraphes respectifs on devrait avoir le protocole approximatif suivant :
:- 300-{{Unité|350|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} 25 bar support au Si avec Fe et Ta comme catalyseurs et K comme dopant. Pour F.T. on obtiendrait des produits oxygénés dont des alcools et des acides et des produits azotés pour H.B.

:- Ensuite, et si seulement le protocole précédent n’est pas productif, on procèdera après une étape catalytique propre au F.T., à l'addition soit de NH4+ dont il faut estimer la concentration, soit de support rocheux contenant des minéraux à NH4+ comme dans la croûte.

=== La géochimie du soufre est à la base de la catalyse abiogénétique et donc à son initialisation  ===
==== Les produits de la géochimie du soufre sont stables et directement actifs : ====
:- '''C’est le cas des sulfures métalliques''' : FeS NiS MoS. Ils pourront intervenir dans des processus qui reprendraient la relève de la géochimie pour la production de NH3 et H2. 

Dans les métabolisme modernes FeS et MoS constituent les centres catalytiques des nitrogénases pour convertir N2 en NH3 : &lt;br /&gt;
N2 + 3H2 → 2 NH3 ; &lt;br /&gt;
FeS et NiS constituent les centres catalytiques des hydrogénases pour produire du H2 à partir du formiate : &lt;br /&gt;
HCO2H → H2 +CO2.

:- '''C’est H2S''', très réactif est à l’origine de la synthèse des a.a. cystéine et méthionine, mais on le trouve aussi dans de nombreux coenzymes et notamment CoB et CoM cofacteurs des enzymes de la méthanogénèse pour reproduire CH4 à la place de la géochimie. &lt;br /&gt;
Cette reproduction des molécules de base l’abiogénèse amorce l’autotrophie indispensable pour la pérennité du vivant.

:- '''C’est H2SO4''' constitue de nos jours, par sa nature minérale et donc sa stabilité, le plus grand stock de soufre à la surface terrestre(océans et évaporites). Par son acidité il peut régénérer les sulfures métalliques, intervient dans la formation du [[w:en:Coenzyme_M|CoM]], coenzyme de la méthanogénèse moderne , et dans la synthèse moderne de H2S.

:- '''Le soufre élémentaire''' est peut être le moins réactif pour l’abiogénique . Mais par contre, sous haute pression et haute température, il est incorporé aux sulfures comme dans les dorsales océaniques, les zones de subduction et au début de la Terre.

==== Le soufre est très abondant, notamment à la surface de la Terre à ses débuts  ====
Il s’est concentré, depuis au centre de la Terre avec 2,3% du noyau. Mais qu’on soit en anaérobie (H2S peut être au début de la Terre) ou en aérobie (H2SO4 dans les océans) le soufre est toujours biodisponible. Il ne pose pas le problème de la biodisponibilité de N2 et CO2.

==== Le soufre est à la base de l’initialisation de l’abiogénèse :  ====

:- '''Il est toujours en association avec CH4 et N2 sous la forme de H2S''', forme la plus réactive, dans le gaz naturel et les sources hydrothermales. Mais aussi avec le pétrole et N2 sous forme de H2S et d’autres molécules sulfurées. Cette association est tout à fait propice pour la synthèse de nombreuses molécules, futurs coenzymes et cofacteurs.

:- '''Les propriétés électroniques de l’élément S ''': &lt;br /&gt;
Ce sont ces propriétés qui rendent l’initialisation de l’abiogénèse, c’est-à-dire les premières réactions chimiques sans enzymes, tout à fait plausible. &lt;br /&gt;
Le soufre appartient à la colonne de l'oxygène mais avec des orbitales 3d vides mais tout à fait accessible énergétiquement, car séparées que par une seule orbitale 3p vide. Ce qui lui confère 4 propriétés principales que l'oxygène ne possède pas: &lt;br /&gt;
1 - la liaison S-S : elle existe dans O2, mais pas dans des molécules complexes. En plus le S peut faire de longues chaines jusqu'à S8 gazeux et au-delà en solide. &lt;br /&gt;
2 - la liaison C=S n’est pas stable différemment de O, sauf dans COS (équivalent de CO2. &lt;br /&gt;
3 - la liaison avec les métaux favorise la catalyse grâce aux orbitales 3d: FeS NiS MoS. &lt;br /&gt;
4 - la liaison CoA-S-CO-R est une liaison riche en énergie et permet les réactions chimiques avec les a.g. Ce qui favorise la synthèse des phospholipides.

:- '''Les catalyseurs issus du soufre se situent entre ceux du P.A. et les catalyseurs à phosphates''' nécessaires à la synthèse des a.a. et des sucres . &lt;br /&gt;
Si la géochimie amorce la synthèse du P.A. et des molécules azotées il faut l’apparition d’une boucle de réactions chimiques abiogéniques pour régénérer ces molécules avant la synthèse et la régénération des a.a. plus fragiles et des sucres encore plus fragiles que les a.a.. &lt;br /&gt;
Ce sont les catalyseurs à soufre qui vont maintenir cette boucle. On peut alors classer les catalyseurs de l’abiogénèse comme suite : &lt;br /&gt;
1-	Les oxydes métalliques pour l’amorce de la synthèse du P.A. et des produits azotés : synthèse CH4 NH3 H2 puis les a.g. avec par exemple l’oxyde de fer FeO comme catalyseur ; &lt;br /&gt;
2-	Les sulfures métalliques pour régénérer NH3 et H2 avec FeS MoS et NiS (nitrogénases et hydrogénases) ; &lt;br /&gt;
3-	Les coenzymes CoB et CoM plus le fer Fe pour la régénérer de CH4(méthanogénèse) ; &lt;br /&gt;
4-	La [[w:Vitamine_B8|biotine]], 
l’[[w:Acide_lipoïque|acide lipoïque]] pour régénérer les a.g. ; il faut certainement ajouter, pour régénérer les a.g. un autre coenzyme équivalent au CoA amputé de l’adénosine ou bien faire intervenir [[w:en:Coenzyme_B|CoB]] et [[w:en:Coenzyme_M|CoM]] ; &lt;br /&gt;
5-	La [[w:Thiamine_pyrophosphate|thiamine]] 
pour amorcer la synthèse des a.a. comme la cystéine et la méthionine qui vont entrer ultérieurement dans la composition de CoA et l’adénosyl-méthionine ; &lt;br /&gt;
6-	Le [[w:Phosphate_de_pyridoxal|pyridoxal phosphate]] peut agir en même temps que la thiamine pour amorcer la synthèse des a.a. et leur régénération sauf peut être pour l’histidine, qui dans le métabolisme moderne, est issue du métabolisme du ribose . Le phosphate comme nous le verrons ci-après est omniprésent dans les roches originales ou sédimentaires et le cycle azoté du pyridoxal est très stable ; &lt;br /&gt;
7-	Viennent ensuite les coenzymes aux ribose-phosphates pour la synthèse des sucres, de l’histidine et des acides nucléiques : 
[[w:Adénosine_triphosphate|ATP]],
[[w:Nicotinamide_adénine_dinucléotide|NAD]],
[[w:Flavine_adénine_dinucléotide|FAD]], 
[[w:Flavine_mononucléotide|FMN]], 
[[w:Coenzyme_A|CoA]],
et la S-adénosyl-méthionine [[w:S-adénosyl_méthionine|SAM]], 
ainsi que les centres catalytiques complexes qui nécessitent métaux, soufre, phosphate et ATP. 

&lt;u&gt;'''Remarques''' &lt;/u&gt;: à part les procédés F.T. et H.B. qui sont effectivement abiotiques, l’action des catalyseurs suivants n’est qu’hypothétique sans leurs supports protéiques. Et l’abiogénèse expérimentale cherchera à démontrer l’existence de ces catalyseurs, seuls ou accompagnés d’autres molécules, notamment des a.a. sur les liposomes comme cela est suggéré dans la théorie des liposomes. &lt;br /&gt;
Les premiers catalyseurs à soufre autres les sulfures, sont linéaires et courts comme CoB ou l’hypothétique CoA sans adénosine, ou bien linéaires longs mais aliphatiques comme l’acide lipoïque et CoM. Ce sont donc des molécules qui peuvent facilement être issues du P.A. Seules la biotine et la thiamine forment des hétérocycles à S et N, sans sucre et sont de petites molécules.

=== La géochimie des phosphates est à la base du métabolisme  ===
http://en.wikiversity.org/wiki/Phosphate_budget (mis le 7/9/12)
==== Les ions phosphates du vivant actuel  ====

Alors que le N et le S interviennent dans le vivant avec des formes moléculaires et des liaisons covalentes très variées le phosphore, lui n’intervient qu’avec une seule molécule, l’acide phosphorique sous ses différentes formes ioniques. En plus il n’établit aucune autre liaison covalente qu’avec l’oxygène. On le trouve sous forme isolée ou polymère :

:- L’acide phosphorique, H3PO4, très soluble dans l'eau, mais aussi précipite facilement en présence des ions Ca++.

:- Le pyrophosphate H4P2O7, hydrolysat de l'ATP en AMP. Lui-même s'hydrolyse lentement en a. phosphorique. Le vivant peut synthétiser et utiliser aussi des polyphosphates.

Les [[w:Phosphate_de_calcium|phosphates calciques]] sont faiblement solubles dans l'eau({{Unité|1.2|mg||l|-1}} à {{Unité|20|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) mais nettement solubles dans HCl dilués et peuvent être utilisés, comme première forme minérale par les vivants. Ils constituent ainsi, le premier apport abiogénique. &lt;br /&gt; 	
Ca3(PO4)2 Ca(HPO4) Ca(H2PO4)2. &lt;br /&gt;
On les trouve dans le ciment des grès phosphatés, en concrétion dans le calcaire et dans les nodules sur le plancher océanique.
* Les molécules phosphatées du métabolisme actuel: 

Voici schématiquement représentées les molécules phosphatées les plus utilisées par les êtres vivants actuels: &lt;br /&gt;

&lt;div style=&quot;text-align: center;&quot;&gt;'''Sc''' sucre '''X,Y''' segments non définis mais différents '''et:''' éthane '''pt''' ptéridine '''phi''' phényl '''A''' Adenine&lt;/div&gt;

:- ''Le phosphate est suivi d'une amine libre ou d'un aa libre.'' 
:'''X-Sc-P-etNH3+''' ou etN(CH3)3+ : [[w:Phospholipide|phospholipides]] avec 2 têtes ioniques( comme les a.a.) à l'extérieur des liposomes;
::X-Sc-P-Ser : phospholipides avec 3 têtes ioniques à l'intérieur des liposomes. Ces P jouent un role structural et fonctionnel primordial.&lt;br /&gt;
::(a.g)2-glycerol-P-O-(CH2)2NH3&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt; à l'extérieur et (a.g)2-glycerol-P-O-CH2-CH-CO2&lt;sup&gt;-&lt;/sup&gt;NH3&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt; à l'intérieur.
	
:- ''Le phosphate n'et pas suivi d'une amine libre mais attaché à un sucre; il potentialise certaines fonctions.''
:'''X-Sc-P-Y''' : F420 H4MPT potentialisent le transfert de H2; CoA celui du SH pour le transfert des acyles.
::F420&lt;ref&gt;[http://www.genome.jp/dbget-bin/www_bget?C00876]&lt;/ref&gt; cycles(comme FMN)-Sc-P-(Glu)2
::[[w:en:Tetrahydromethanopterin|H4MPT]] pt-phi-Sc-Sc-P-Glu
::[[w:Coenzyme_A|CoA]] A-Sc-PP-Y-SH2 
::X-Sc-P-P-Sc-Y	: [[w:Nicotinamide_adénine_dinucléotide|NAD]] [[w:Flavine_adénine_dinucléotide|FAD]] potentialisent le transfert de H2.
::-Sc-P-Sc-....	: rôle structurale et catalytique pour {{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}}
:- ''Le Phosphate est libre mais attaché à un sucre, sert pour le transfert d'énergie.'' 
:'''X-Sc-P(n)'''	: [[w:Nucléotide|Nucléotides]] avec transfert d'énergie et fonctionnel en tant que coenzymes; [[w:Flavine_mononucléotide|FMN]] potentialise H2.
:- ''Le Phosphate est libre mais attaché à un aa, intervient dans la conformation des protéines.'' 
:'''X-aa-P'''		: rôle fonctionnel tardif sur les protéines; liaison avec l'alcool de Ser Thr Tyr (phosphoramide avec N de His et avec CO2H de Asp) chez les procaryotes.
:- ''Le Phosphate est libre mais pas attaché à un sucre; ces coenzymes ont 2 têtes catalytiques, le P et une autre fonction.''
:'''X-P'''		:[[w:Pyridoxal_phosphate|B6]], [[w:Thiamine_pyrophosphate|B1]], [[w:en:Coenzyme_B|CoB]], MoPT[http://www.genome.jp/dbget-bin/www_bget?C05924] role certainement primitif dans l'abiogénèse parce que ne contient pas de sucre qui est très tardif. En plus ces produits ont 2 têtes actives X et P; X contenant SH ([[w:en:Coenzyme_B|CoB]] pour méthanogénèse et MoPT pour réduction des nitrates) ou le soufre actif se trouve dans cycle, comme dans B1.
:- ''Coenzymes sans P ni S ''
::[[w:Vitamine_B9|THF]] pt-phi-Glu TetraHydroFolate intervient dans les méthylations
::MFR [http://www.genome.jp/dbget-bin/www_bget?C00862] furane-phi-(Glu)4 MethanoFurane intervient dans la méthanogénèse.

==== La géochimie des phosphates  ====

Les apatites ( de formule chimique générale Ca10(PO4)6(F,OH,Cl)2 )sont des cristaux insoblubles qui font parties des granites et constituent le réservoir le plus important de la croûte terrestre en phosphore, {{unité|1050|ppm}} massique, alors que N fait 20 et S 260 
[http://www.ktf-split.hr/periodni/fr/p.html].&lt;br /&gt;
* Biodisponibilité des ions phosphates.
Heureusement que la biodisponibilité ne s'arrête-t-elle pas à la seule solubilité, dans l'eau, des apatites.
Il a été calculé qu’il aurait fallu 3 Ga pour saturer les océans en phosphates ( qui est la situation actuelle avec 70 ppb massique de 
l'atome P [http://www.ktf-split.hr/periodni/fr/p.html] ), si l’on ne tenait compte que de la dissolution par l'eau (sur internet). Or des strates de [[w:en:Phosphorite|phosphorites]] existent dans les depots de fer bariolés, effectuées, il y a 2,5Ga . Ceci montre qu’il y a d'autres processus, nettement plus rapides que la dissolution des ions phosphate, à partir des apatites, par l'eau. &lt;br /&gt;
En effet plusieurs phénomènes géochimiques peuvent transformer les cristaux d'apatite en phosphate biodisponible. ce sont:
* Les hautes températures et pression au niveau des fumeurs océaniques ou de la lave volcanique. 
Je n'ai aucune source bibliographique concernant la production de phosphate par les fumeurs. Plusieurs études ont mesurer les phosphates des sols volcaniques et leur action fertilisante sur les plantes.
* Le volcanisme effusive agit de 2 façons sur les apatites:
:- par pulvérisation, &lt;br /&gt; 
:- par la production de H2S et SO2 qui formeront H2SO4, un acide fort, qui agit sur l'apatite pulvérisée ( ou sur le granite en général, mais seulement en surface) pour produire l'a. [[w:Acide_phosphorique|phosphorique]] suivant la réaction suivante: 
	
Ca10(PO4)6F2 + 10 H2SO4 + 20 H2O → 6 H3PO4 + 10(CaSO4 , 2H2O) + HF	réaction (I)

Ces phénomènes géochimiques étaient certainement beaucoup plus en action il y a 4 Ga, avec un grand lessivage lors de la formation des océans, formant des sédiments par précipitation chimique.
Ainsi les calcaires et les grès phosphatés équivalent des phosphorites actuelles pouvaient être en contact avec du pétrole abiogénique. Cependant, même en abscence de ces roches, le contact du P.A. avec le granite peut dissoudre légèrement les apatites car ce pétrole contient du H2S et des acides organiques, ainsi que des sulfures et des oxydes métalliques qui peuvent agir comme catalyseurs de la réaction ci-dessus.

==== L'ion phosphate, tout seul, est le générateur du métabolisme  ====
* Caractéristique chimique du phosphate: Le phosphore intervient dans le vivant sous cette seule forme et toute liaison covalente avec le phosphate se fait avec un de ses 4 oxygènes ( sauf le cas de l'histidine ). Dans le monde minéral [http://webmineral.com/chem/Chem-P.shtml] seuls quelques minéraux, qui se trouvent dans les chondrites, ont leur P en liaison directe avec le fer ou le nickel, tous les autres (574/586) ne contiennent que du phosphate ( plus quelques pyrophosphates).&lt;br /&gt;
Le rôle catalytique du soufre, lui prend des formes multiples, a des liaisons avec C, S, O, N et H , mais produit moins de catalyseurs et se situe dans l'évolution du métabolisme (voir le paragraphe sur le soufre), en amont du phosphate, pour la regénération de NH4 (sulfures), du méthane (CoB) et celle des acides gras ( a. lipoique et CoA).&lt;br /&gt;
Les oxydes métalliques, peu nombreux, eux se trouvent encore en amont du soufre pour la production du P.A. et de NH4.
* Toute liaison covalente avec le phosphate déplace l'équilibre de la réaction (I) et donc favorise la solubilisation des apatites. 
Le phosphate est piégé dans les liposomes d’abord, ce qui confère à ceux-ci, le déterminant commun à tous les vivants, mais aussi le creuset de l'évolution moléculaire en se reproduisant à l'infini grâce à la présence du PA et de sa regénération par les catalyseurs produits par le phosphate. Le phosphate piégé,ensuite par les coenzymes et les {{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}} catalyseurs, devient alors l'initiateur et le vecteur de l'évolution moléculaire.
* La réaction de formose catalysée par les phosphates calciques et des molécules azotées basiques, produites en amont avec le P.A, va fournir les sucres nécessaires au piégeage du phosphate (voir paragraphe formose). &lt;br /&gt;
Cependant la réaction de formose ne peut se maintenir dans le métabolisme; C'est un ensemble de réactions chimiques et non de réactions biochimiques, réseau sous contrôle de l'environnment. Or le métabolisme du vivant se caractérise par la complexité de ses catalyseurs (enzymes) et l'énergie élevée de chaque réaction, ce qui permet de réaliser un réseau de réactions stables sous le contrôle seul des enzymes.&lt;br /&gt;
Les réactions de formose doivent être remplacées par d'autres réactions, grâce à une boucle créée par des enzymes primitives nées dans et sur les liposomes. Ces enzymes primitives vont utiliser les coenzymes créées par les réactions chimiques et les catalyseurs des réactions de formose. Ce qui inhiberait ces dernières.

== Expérimentation de l'abiogénèse avec le procédé Fischer-Tropsch  ==
=== Le procédé F.T ===

==== Les différents procédés : supports (silice titane alumine alumine/P...) catalyseurs (Fe Co Ni..)  ====
* [[w:Procédé_Fischer-Tropsch|&lt;u&gt;Wikipedia&lt;/u&gt;]]:

&quot; Le procédé Fischer-Tropsch est un procédé chimique où intervient la catalyse de monoxyde de carbone et d'hydrogène en vue de les convertir en hydrocarbure. Les catalyseurs les plus courants sont le fer ou le cobalt. La matière première peut être le charbon (CTL) ou le gaz CH4 (GTL).
Le procédé Fischer-Tropsch tel que découvert par ses deux inventeurs est schématiquement le suivant :

(2n+1)H2 + nCO → CnH2n+2 + nH2O

D'autres hydrocarbures sont également formés en quantité importante : des '''1-alcènes''' ainsi que des traces '''d'alcools, cétones, aldéhydes et esters'''.

La production en Afrique du Sud repose sur deux synthèses Fischer Tropsch distinctes à partir du charbon (CTL):
# Procédé Arge (développé par Ruhrchemie-Lurgi) pour la production d’hydrocarbures à haut point d’ébullition, tels que le gasoil et les cires.
# Procédé Synthol pour la production d’hydrocarbures à points d’ébullition plus bas, tels l’essence, '''l’acétone et les alcools'''. &quot;
* Les procédés utilisés dans l’industrie: Résumé des différents procédés F.T. dans l’introduction de la thèse de Madani Behrang.
''Madani Behrang. 28/01/2005. Synthèse de Fischer-Tropsch sur catalyseur à base de cobalt supporté sur carbure de silicium. Thèse de l’Université Louis Pasteur, Strasbourg ''
[http://corail.sudoc.abes.fr/xslt/DB=2.1/SET=3/TTL=1/SHW?FRST=2].
# T/P : &lt;br /&gt;-procédé LTFT 1970 T= {{Unité|220|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 25 bars ; 1987 T= {{Unité|220|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 45 bars ; Catalyseur Fe&lt;br /&gt;production d'hydrocarbures à haut point d'ébullition&lt;br /&gt;-procédé HTFT T= 250-{{Unité|350|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}; Catalyseur Fe&lt;br /&gt;produits légers et branchés, alcènes jusqu'à 70%, les produits oxygénés augmentent avec la température: alcools, aldéhydes, cétones, &lt;u&gt;acides&lt;/u&gt;, aromatiques.
# Les supports poreux :&lt;br /&gt;-SiO2 Al2O3 TiO2 ZrO2 MgO SiMgO&lt;br /&gt;-Zéolithes&lt;br /&gt;-C&lt;br /&gt;
# Les catalyseurs : Fe Co Ni
# Les dopants :&lt;br /&gt;- alcalins Li Na K ....&lt;br /&gt;- alcalino-terreux Mg Ca ....
# Exemple :&lt;br /&gt;Fe2O3 sur support SiO2 dopé avec K2O et MnO

==== Les mécanismes réactionnels : Madani introduction consensus  ====

==== Les produits et leur rendements  ====

=== Reprise du procédé dans l’optique abiogénèse, sans N,P,S  ===

==== recherche de molécules biologiques : a.g. esther alcools cycles aromatiques….  ====
====rendements et leur évolution dans le temps====

=== Définition des différentes phases d’expérimentation et d’observation dans le temps  ===

==== phase de production de P.A. et 1eres molécules biologiques  ====
====phase de production des liposomes====
==== phase d’initialisation du métabolisme  ====
====phase d’évolution du métabolisme dans les liposomes====
==== phase de production d’automates  ====

=== Les contraintes expérimentales  ===

==== T/P et les états super-critiques  ====
====la composition chimique et la porosité des roches ====
* Les zéolithes&lt;br /&gt;
voir diagénèse dans pétrole prébiotique et la formation géologique de Tupi du pétrole pour le dôme de sel de {{Unité|2|{{Abréviation|km|kilomètre}}}} d'épaisseur.&lt;br /&gt;

Les clathrates de gaz recouverts de sédiments dont le P : le sel (les sels Na K Si Cl Ca Mg ...) est déposé en profondeur par des courants marins (chercher les articles); le CO2 donne son oxygène pour former les oxydes des zéolithes et forme les alcanes avec le H2 puis avec H2O et catalysation par les zéolithes; sous la pression les clathrates donnent donc des gaz, de l'huile et de l'eau qui passent sous les zéolithes en formation d'où le dôme de sel sur le gisement de pétrole de Tupi.&lt;br /&gt;

Rechercher les études sur la formation des zéolithes en profondeur ainsi que sur les courants marins qui déposent le sel et la synthèse du pétrole par catalyse aux zéolithes.&lt;br /&gt;

La catalyse par zéolithes devrait donner de multitudes de molécules organiques, au début. Est-ce qu'elle des acides gras et des alcools à longues chaînes ? On n’est pas dans les processus de FTT.

==== le problème de la solubilité du P : cycle du P  ====
Géochimie des oligophosphates par G. Arrhenius : [http://isotope.colorado.edu/~mojzsis/1997_Arrhenius_JTB.pdf] Entropy and charge in molecular evolution - the case of phosphate ''J.theor. Biol.''(1997) 187, 503-522

==== la durée des réactions de type géologique  ====

=== Les expérimentations en parallèle  ===
# -F.T. avec N,S : production de (M) : a.g., formaldéhyde, a.n., coenzymes, méthane
# - Roche poreuse avec N,S, + (M): production des liposomes, a.a. et leurs interactions avec formation de canaux à a.a..
# - Roche poreuse avec P,N,S,Ca + (M) + a.a. : les réactions de formose et l’initialisation du métabolisme.
# -Si on obtient une initialisation dans l’étape précédente, alors étude de l’évolution moléculaire et recherche d’automates.

=== Recherche d’indices avec le P.A. et P.F. , et les expériences en éclaireur  ===

== Recherche théorique des premières étapes de l'évolution moléculaire d’après les métabolismes des êtres vivants  ==
=== Les liposomes actuels ===
* Synthèse des travaux sur les membranes biologiques actuelles :&lt;br /&gt;[[w:Membrane_(biologie)|wikipedia]]&lt;br /&gt;les phosphoglycérolipides&lt;br /&gt;les flipases&lt;br /&gt;les protéines membranaires et les radeaux protéiques&lt;br /&gt;les canaux&lt;br /&gt;Le rôle fondamental et polyvalent des membranes biologiques.
* Propriétés physico-chimiques, électroniques et quantiques des liposomes:
# Le liposome est un cristal ionique et liquide à 2 dimensions.
# Son homogénéité et sa grande taille peuvent faire ressortir des propriétés quantiques .
# La tête hydrophile des phospholipides a 2 charges ioniques qui se neutralisent électriquement, mais arriment les phospholipides entre eux.&lt;br /&gt;- La charge + peut être stable comme dans le cas de la choline, ou varier facilement avec le pH et peut s'annuler complètement, comme dans le cas de l'éthanolamine. La sérine a une charge - en plus. Ces variations dues à la nature des molécules et au pH confèrent une très grande souplesse.&lt;br /&gt; -L'ionicité est tout à fait semblable à celle des a.a.. Elle diffère uniquement par le nombre d'atomes qui sépare le O- du N+: 2 pour l'a.a. et 4 pour l'éthanolamine, la choline et la sérine quand elles sont attachées au phosphate. &lt;br /&gt;- Cette ressemblance de la tête hydrophile avec les a.a. est encore accentuée plus par leurs atomes asymétriques. Ce qui laisse soupçonner une complémentarité stérique qu’il faudrait démontrer physiquement. À part la glycine, les 19 a.a. utilisés par le vivant ont un carbone de chiralité L, alors que la tête hydrophile possède un carbone de chiralité D. Et quel est le rôle de l'asymétrie du phosphore ?
# La queue hydrophobe a une longueur qui varie très peu dans le monde du vivant et elle est double chez les archées. &lt;br /&gt;- Une chaine alyphatique longue a un caractère informe. Elle n’est pas considérée comme un polymère de n CH2 . Ceci lui confère un caractère inorganique et d'ailleurs c’est ce qu'elle est dans la synthèse abiotique. &lt;br /&gt;- Sa longueur est déterminée par les rapports de force que vont établir les molécules chargées de la scène biologique. &lt;br /&gt;- Il n’est pas étonnant que beaucoup de coenzymes aient des régions hydrophobes longues. La majorité des catalyses se passent à la surface du liposome et les coenzymes ancrées solidement dans celui-ci, mais pouvant se mouvoir à sa surface, doivent agir très efficacement.
* Les fonctions biochimiques des liposomes:
# Piégeage et tri des acides aminés: chiralité et similitude avec l'éthanolamine
# Fixation des oligopeptides abiotiques
# Évolution moléculaire en 2 dimensions au lieu de 3: radeaux, catalyse par proximité des acides aminés, cristaux liquides
* Les fonctions biologiques des liposomes:
# C'est un système fermé définissant une entité;
# Différenciant un intérieur et un extérieur pouvant emmagasiner de l’ordre et donc protéger les molécules fragiles comme les sucres et l'ATP;
# Potentiellement peut amorcer un moteur énergétique;
# Peut se reproduire: En grossissant il peut incorporer d'autres phospholipides abiotiques et se diviser en deux liposomes de mêmes potentialités;
# Information et le Soi vivant :&lt;br /&gt;- Création de champs électromagnétiques définissant un vecteur extérieur-intérieur, potentiel électrique.&lt;br /&gt;-Que suivront des circuits électroniques mobiles : macromolécules(enzymes) dessinant le circuit(voies métaboliques).&lt;br /&gt;-Où seront piégés les électrons ( création de liaisons covalentes), réactions biochimiques;&lt;br /&gt;-Le Soi vivant : L'ensemble ( liposome, champs électromagnétique et macromolécules) va entrer en résonance électromagnétique; c’est le Soi. Et il est vivant parce que l'organisation évolue dans le temps et va de l'extérieur vers l'intérieur.&lt;br /&gt;-L'information: Le Soi vivant va entrer en interaction avec les champs électromagnétiques extérieurs et toute résonance avec ces champs augmentera la résonance du Soi parce que le liposome a créé un vecteur. L'information a bien une signification(résonance) et une finalité(augmenter l'organisation du Soi). Tout ça découle de l'auto-assemblage, des macromolécules et des réactions chimiques.

=== Initialisation du métabolisme au carrefour des phospholipides, des sucres-phosphate et des nucléotides  ===
:Introduction.
Nous venons de voir l'importance théorique des liposomes comme entité moléculaire qui définirait le vivant et potentiellement dirigerait son évolution moléculaire.

Comment peut-on arriver aux liposomes en partant du postulat du P.A.? Il faut synthétiser les phospholipides avec les a.g. produits dans le P.A.. Ce qui revient à :

Ésterifier une molécule de glycéraldéhyde-PO4-éthanolamine à 2 a.g..L'éthanolamine peut être remplacée par de la choline ou de la sérine.

Ces réactions devraient se dérouler dans des vésicules aqueuses de la phase huileuse, ou plutôt lors de la formation du P.A. en présence de PO4 NH3 et H2S.

Étant donné les conditions de T/P dans les processus géochimiques ou dans le procédé Fischer-Tropsch (+ N P S), la plupart des molécules du mélange sont dans un état supercritique. Quand les T/P diminuent ( avec le temps ou par ascension du mélange due à la tectonique des plaques ) on n'est plus dans l'état supercritique, la séparation des phases huile/eau est plus nette et les vésicules se forment contenant déjà des composants qui ne pourraient pas être synthétisés dans les conditions de T/P de l'atmosphère ou des océans, lieux hypothétique des origines de la vie de la majorité des travaux faits dans ce domaine.

:- ''Réactions chimiques pour l'initialisation du métabolisme dans les conditions analogues aux conditions géochimiques.'' 

&lt;u&gt;Formation du méthane sous la croûte terrestre &lt;/u&gt;: PNAS Figure 1. [http://www.pnas.org/content/101/39/14023.full.pdf] &lt;br /&gt;
'''8 FeO + CaCO3 + 2 H2O → 4 Fe2O3 + CH4 + CaO''' T= {{Unité|1500|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} &lt;br /&gt;
P= 5,7.10{{exp|4}} bars &lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Serpentinisation&lt;/u&gt;: Ifremer [http://www.ifremer.fr/serpentine/fiches/fiche5.htm] &lt;br /&gt;
&lt;b&gt; (Mg,Fe)2SiO4 + H2O → H2 + 
Mg3Si2O5 + MgOH2 + Fe2O3&lt;/b&gt; T= {{Unité|1000|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 1000-3000 bars ; diHydrogène + serpentine + brucite + magnétite&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Vaporeformage du méthane&lt;/u&gt;: [http://www.annso.freesurf.fr/ProdH2.html] &lt;br /&gt;
'''CH4 + H2O → CO + H2''' T= 800-{{Unité|900|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 25 bars; catalyseur: Ni,CuO,Zn 
[http://www.annso.freesurf.fr/reformeur.html#Principe4]&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Synthèse Cyanure&lt;/u&gt;: &lt;br /&gt;
'''CH4 + NH3 → HCN + 3 H2''' T= {{Unité|1200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 1 bar; Catalyseur: Pt. [http://wapedia.mobi/fr/Cyanure_d%27hydrogène#3.]
&lt;br /&gt;Dans l'eau se forment '''les ions cyanures CN-''' qui se combinent aux minéraux pour donner des sels qui précipitent : ferrocyanures ....
&lt;br /&gt;'''CH3OH + NH3 + O2 → HCN + 3 H2O''' T= {{Unité|300|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 1 bar; Catalyseur: Fe2(MoO4)3 ou Mn2P2O7 sur silicate. 
[http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/bk-1987-0328.ch013]

&lt;u&gt;Haber-Bosch phase gaz&lt;/u&gt;: &lt;br /&gt;
''' N2 + 3 H2 → 2 NH3 ''' T= 350-{{Unité|500|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 150-250 bars; Catalyseur: Fe [[w:Procédé Haber]] &lt;br /&gt;
Haber-Bosch dans l'eau: {{Unité|200|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} et 50 bars; Catalyseurs: Fe, Ni. Smirnov 2008 
[http://www.geochemicaltransactions.com/content/pdf/1467-4866-9-5.pdf].&lt;br /&gt;
Conditions hydrothermales: 
''H2O/Fe'' = 1: 300-{{Unité|800|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}; 1000 bars; 17% NH3({{Unité|700|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}); 
''HCO2H/Fe3O4'': {{Unité|500|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}; 1000-4000 bars; 0,6% NH3. 
[http://hazen.ciw.edu/sites/hazen.gl.ciw.edu/files/images/196-Brandes-Nature-1998_0.pdf]&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Fischer-Tropsch&lt;/u&gt;: &lt;br /&gt;
''' H2 + CO → CH2O + CH3OH + C2H4 + C2H5OH + a.g. + .....''' T= 220-{{Unité|350|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 25-45 bars; catalyseur: Fe; 
Madani [[Recherche:Abiogénèse expérimentale#Le procédé F.T.|Procédé F.T]]&lt;br /&gt;
FTT dans les conditions hydrothermales: T= {{Unité|250|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 325 bars; catalyseur: Fe; McCollom [https://darchive.mblwhoilibrary.org/bitstream/handle/1912/878/McCollom%26Seewald_EPSL_Revised2.pdf?sequence=3]

&lt;u&gt;Ethoxyde&lt;/u&gt;: [[w:en:Ethylene oxide]] &lt;br /&gt;
''' 7 C2H4 + 6 O2 → 6 C2H4O + 2 CO2 + 2 H2O''' T= {{Unité|250|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 10-20 bars; Catalyseur: Ag/Al &lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Ethanolamine&lt;/u&gt;:Page 166; Chimie organique industrielle. Par Klaus Weissermel,Hans-Jürgen. Deboeck université, 2000. 
[http://books.google.fr/books?id=kjNMD1RptH8C&amp;printsec=frontcover&amp;source=gbs_slider_thumb#v=onepage&amp;q=éthanolamine&amp;f=false]
&lt;br /&gt;
''' C2H4O + NH3 → OHC2H4NH2 ''' T= 60-{{Unité|150|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 30-150 bars; NH3 à 20-30% dans H2O.&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Ethylamine&lt;/u&gt;: [[w:en:Chemical derivatives of ethanol]] &lt;br /&gt;
''' C2H5OH + NH3 → C2H5NH2 + H2O''' T= 150-{{Unité|220|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 1 bars ? Catalyseur: Ni sur Si ou Al&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Méthylamine&lt;/u&gt;: Page 52; Chimie organique industrielle. Par Klaus Weissermel,Hans-Jürgen. Deboeck université, 2000. 
[http://books.google.fr/books?id=kjNMD1RptH8C&amp;printsec=frontcover&amp;source=gbs_slider_thumb#v=onepage&amp;q=éthanolamine&amp;f=false]
&lt;br /&gt;
''' CH3OH + NH3 → CH3NH2 + H2O''' T= {{Unité|400|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 25 bars; Catalyseur: Si ou Al&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Oligo-Phosphates et TMP&lt;/u&gt;: Arrhenius 1996; Figure 5. [http://isotope.colorado.edu/~mojzsis/1997_Arrhenius_JTB.pdf]
&lt;br /&gt;
''' MgHPO4.3H2O + H2O → OH(HPO3)n + n Mg(OH)2''' T= 100-{{Unité|550|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 1 bar; n=1 2 3 4...; TMP: trimétaphosphate &lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Hydroformylation, sucres&lt;/u&gt;: Page 8; Monosaccharide sugars: chemical synthesis by chain elongation, degradation... Par Zoltán Györgydeák,István F. Pelyvás. Academic Press 1998. [http://books.google.fr/books?id=fjx8NkbPVuwC&amp;printsec=frontcover&amp;source=gbs_slider_thumb#v=onepage&amp;q&amp;f=false]
&lt;br /&gt;
''' CH2O + H2 + CO → Glycolaldéhyde, Glyceraldéhyde, sucres à 4 5 6 C''' T= {{Unité|140|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} P= 120 bars; Catalyseur: Co ou Rh + triéthylamine&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Ethanolamine-O-P&lt;/u&gt; : [http://orgprepdaily.wordpress.com/2007/02/10/ethanolamine-o-phosphate-and-n-palmitoylethanolamine-o-phosphate/]
&lt;br /&gt;
'''2 NH2-(CH2)2-OH + H3PO4 → NH2-(CH2)2-H2PO4 + H2O ''' T: {{Unité|185|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}.

:- ''Réactions chimiques pour l'initialisation du métabolisme aux conditions standards ( 1 bar {{Unité|25|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}) '' 

&lt;u&gt;Sucres di et tri-phosphates&lt;/u&gt;: Glycolaldéhyde-PO3 sur surfaces minérales 1995 [http://www.arrhenius.ucsd.edu/pub/Pitsch.pdf]
&lt;br /&gt;
''' GA-PO3 → Hexoses-2,4,6-(PO3)3 ''' catalyseur: surfaces minérales&lt;br /&gt;
''' GA-PO3 + HCOH → Pentoses-2,4-(PO3)2 ''' dont le Ribose di-phosphate&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Glycérates Phosphate&lt;/u&gt;: 1995 [http://www.springerlink.com/content/xp34776818m460q5/]
&lt;br /&gt;
''' a. Glycérique + TMP → 2-Glycérate-P + 3-Glycérate-P ''' solution alcaline TMP: Trimétaphosphate&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Glycolaldéhyde Phosphate&lt;/u&gt;: 1999 [http://www.springerlink.com/content/q15h2216t72414mn/fulltext.pdf?page=1]
&lt;br /&gt;
''' NH3 + TMP → NH2-(PO3)3''' overview 2004 Fig.6 page 106 [http://www.springerlink.com/content/q15h2216t72414mn/fulltext.pdf?page=1] TMP: Trimétaphosphate&lt;br /&gt;
''' Glycolaldéhyde + NH2-(PO3)3 → Glycolaldéhyde-P''' Mg++ pH 7.&lt;br /&gt;
''' R-CHOH-CHO + NH2-(PO3)3 → R-CHOPO3-CHO''' aldéhyde-2-P; overview 2004 Fig.6 page 106 [http://www.springerlink.com/content/q15h2216t72414mn/fulltext.pdf?page=1]&lt;br /&gt;

&lt;u&gt;Éstérification &lt;/u&gt;: [[w:Esterification]]
&lt;br /&gt;
'''2 a.g. + glycéraldéhyde-3-P → Phospholipide''' réaction lente sans catalyseur; athermique.

&lt;u&gt;proto-enzymes, sucres&lt;/u&gt;: &lt;br /&gt;
Zn-Proline, Kofoed 2005: synthèse des glucides avec une proto-enzyme, Zn(Pro)2 
[http://www.rsc.org/delivery/_ArticleLinking/DisplayArticleForFree.cfm?doi=b501512j&amp;JournalCode=OB]&lt;br /&gt;
GC, glycéraldéhyde; GA, glycolaldéhyde; DHA, dihydroxyacétone&lt;br /&gt;
'''rac-GC + H2O → DHA + Fructose ''' catalyseur: Zn(Pro)2 Table 3.&lt;br /&gt;
réaction semblable à la réaction enzymatique EC.4.1.2.13, mais sans phosphate. &lt;br /&gt;
'''rac-GC + GA + H2O → Ribose + autres ''' catalyseur: Zn(Pro)2 Table 2.&lt;br /&gt;
réaction semblable à la réaction enzymatique EC.4.1.2.4, mais sans phosphate. 

Val-Val, Pizzarello 2009: synthèse des glucides avec un dipeptide [http://www.springerlink.com/content/y5w473241874924k/]&lt;br /&gt;
'''rac-GC + GA + H2O → Pentoses ''' catalyseur: Val-Val pH~7 25 et {{Unité|50|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}}, 1 bar.

:- ''Perméabilité des liposomes ''
aa et phosphate 
[http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&amp;_udi=B6T1T-488913W-DV&amp;_user=10&amp;_coverDate=11%2F09%2F1992&amp;_rdoc=5&amp;_fmt=high&amp;_orig=browse&amp;_origin=browse&amp;_zone=rslt_list_item&amp;_srch=doc-info(%23toc%234899%231992%23988889997%23411304%23FLP%23display%23Volume)&amp;_cdi=4899&amp;_sort=d&amp;_docanchor=&amp;view=c&amp;_ct=17&amp;_acct=C000050221&amp;_version=1&amp;_urlVersion=0&amp;_userid=10&amp;md5=eafb1afb756e05cdaf93fba08b659ad5&amp;searchtype=a]:&lt;br /&gt;
Gly 57 Ser 55 Lys 51 
Trp 4100 Phe 25 Phosphate 5 Na+ 5 K+ 5 10{{exp|-13}}cm/s&lt;br /&gt;
protons [http://www.pnas.org/content/80/1/165.full.pdf] : 10{{exp|-4}}cm/s 

:- ''Température et pression critiques de certains gaz '' [http://www.flexwareinc.com/gasprop.htm] 
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Début||Tc {{Abréviation|°C|degré Celsius}} ||Pc b || ||C1||Tc {{Abréviation|°C|degré Celsius}} ||Pc b || ||C2||Tc {{Abréviation|°C|degré Celsius}} ||Pc b || ||C3||Tc {{Abréviation|°C|degré Celsius}} ||Pc b || ||autres||Tc {{Abréviation|°C|degré Celsius}} ||Pc b || ||C10-C20||Tc {{Abréviation|°C|degré Celsius}} ||Pc b 
|- 
||H2O ||374 ||221 || ||CH3OH ||240 ||81 || ||EtOHOH ||372 ||77 || ||Propyne ||129 ||56 || ||a.butyrique ||355 ||53 || ||1-Decanol ||414 ||22 
|- 
||NH3 ||132 ||113 || ||CH3SH ||197 ||72 || ||Ethylene oxyde ||196 ||72  || ||Propene ||91 ||46 || ||benzene ||289 ||49 || ||1-Dodecanol ||426 ||19 
|- 
||SH2 ||100 ||89 || ||CH2O ||135 ||66 || ||EtNH2NH2 ||320 ||63 || ||Propane ||97 ||42 || ||phenol ||421 ||61 || ||1-Heptadecanol ||463 ||14 
|- 
||CO2 ||31 ||74 || ||CH2O2 ||307 ||- || ||Acetylene ||35 ||61 || ||1-Butyne ||191 ||46 || ||1,2 propane diol ||352 ||61 || ||1-Octadecanol ||474 ||14 
|- 
||COS ||102 ||59 || ||HCN ||184 ||54 || ||Ethanol ||241 ||61 || ||1-Butene ||146 ||40 || ||1,3 propane diol  ||451 ||90 || ||1-Eicosanol ||497 ||12 
|- 
||O2 ||-119 ||50 || ||CH3CN ||275 ||48 || ||Ethylene ||9 ||50 || ||n-Butane ||152 ||38 || ||NO2 ||158 ||202 || ||N-Decane ||345 ||21 
|- 
||CH4 ||-83 ||46 || ||NH2(Met) ||157 ||74 || ||NH2(Et) ||183 ||56 || ||Glycerol ||453 ||67 || ||SO2 ||158 ||79 || ||N-Dodecane ||385 ||18 
|- 
||CO ||-140 ||35 || ||NH(Met)2 ||165 ||53 || ||NH(Et)2 ||223 ||37 || ||a.Acetique ||320 ||58 || ||PH3 ||52 ||65 || ||N-Heptadecane ||460 ||13 
|- 
||N2 ||-147 ||34 || ||N(Met)3 ||160 ||41 || ||N(Et)3 ||261 ||30 || ||acetaldehyde ||188 ||56 || ||aniline ||426 ||53 || ||N-Octadecane ||475 ||12 
|- 
||H2 ||-240 ||13 || ||Ethane ||32 ||49 || ||EtNH2OH ||341 ||45 || ||a.Propionique ||339 ||54 || ||a.benzoique ||479 ||46 || ||N-Eicosane ||494 ||11 
|}

=== Sélection, chiralité et synthèse des a.a  ===
==== Hypothèse de la double membrane : analogie avec celle des bactéries gram- et des mitochondries et avec les surfaces minérales ====
Quand le nombre des liposomes augmentent, ils se rapprochent les uns aux autres et leurs surfaces ionisées ressemblent alors aux feuillets des surfaces minérales des argiles, sauf qu'ici les ions sont négatifs et non positifs. Ces surfaces devraient être très catalytiques et produire les mêmes résultats que les surfaces minérales. En outre une double membrane peut se former mécaniquement autour d'un liposome délimitant un périplasme. 

Avec les surfaces minérales il y a une grande production de sucres et d'oligopeptides, ce qui m' a conduit à l'hypothèse des porines primitives et à une conception nouvelle de l'initialisation du métabolisme :
* Synthèse des sucres phosphates : les sucres très fragiles, devraient être vite dégradés.
* synthèse des aa : Si l'éthanolamine, déjà fixée à un P, se lie ou bien attire par le N le P de l'autre membrane, celui-ci devient chiral. Cet état peut être réactif et transitoire pour créer un aa à l'image de la serine (2 carbones) et de forme L imposée par la chiralité de P et du D-glycerol.
* Synthèse des oligopeptides et SIPF (salt induced peptide formation).

==== Hypothèse forte de la formation des canaux ioniques et porines primitives :  ====
  La membrane cytoplasmique est perméable au glycérol, le P passe en symport ave H+ par une porine (Phoe?) et l'ATP dans le cytosol ne passe pas dans le périplasme. La liaison peptidique du peptidoglycane se fait par enzyme et non par ribosome. Chez les cyanophycées, ils stockent les aa dans la cyanophycine, polypeptides Arg et Asp dont la liaison peptidique n’est pas ribosomale. 
 
  Comment est diffusé N, l'azote ? N2 impliquerait nécessité d'une nitrogénase, très complexe. Les autres petites molécules avec N sont très polarisées. Il faut faire des recherches dans ce sens. En effet l'hydroxylamine NH2OH a un dipole de 0,68 (voir livre microbiologie), mais d’après wiki anglais elle s'ionise en HONH3+ et se décompose vers {{Unité|60|{{Abréviation|°C|degré Celsius}}}} à pression labo. Faut voir à grande pression. L'urée diffuse à travers le liposome. Voir sa vitesse par rapport P.

  Il me paraît maintenant évident que l'ATP, le RNA et les AN en général ne peuvent être en contact avec les phospholipides puisqu’ils portent des ions phosphates. Aussi, comme ils sont fragiles en plus, ils devraient se localiser dans le cytoplasme, mais ne devraient se trouver ni dans les membranes, ni dans le périplasme et ni à l'extérieur, ce qui correspondrait dans ce dernier cas à une perte d'énergie.

  Formation des bases AN : avant le métabolisme et pour son initialisation, les bases très résistantes ont dues se former lors du pétrole abiogénique. Mais une fois la communication avec l'extérieur établie (entrée du phosphate), il me semble que la voie de la formation des trioses, nécessaire pour les phospholipides, devrait bifurquer vers les riboses et préfigurer la voie AN actuelle. Ainsi l'intervention de molécules très réactives, très polarisées et donc traversant mal les membranes, comme les cyanures, n'est plus nécessaires.

  Ainsi le phosphate, avec cette première étape de l'évolution moléculaire( synthèse abiotique de phospholipides et d'oligopeptides), se trouve promu au rang de premier vecteur de l'évolution moléculaire dynamique du métabolisme : son initialisation dans le cytoplasme, la production de coenzyme à AN inexistants à l'extérieur et production de D-glycerophosphate pour les ag du pétrole abiogénique, pour former les phospholipides, avant même l'achèvement de leur boucle métabolique. 

  Le P diffuse comme N+ et K+ . Mais il y a le flipflop : retrouver sa vitesse sans flipase.

  Qu'en est-il alors, dans le cytoplasme et loin de la membrane, de la chiralité et de la nature des aa qui étaient contraints par cette dernière ?
Nous ne pouvons plus invoquer l'encombrement stérique pour le glycérol comme dans la membrane. Cependant la synthèse primordiale du D-glycérophosphate pour les phospholipides et donc pour la membrane, impose la chiralité des pentoses. La synthèse très simple du désoxyribose-1-P dans le métabolisme actuelle pourrait être le début de la voie de synthèse des coenzymes AN : enzymes IEC 4124 5427 et 2424.

  En ce qui concerne la longueur des aa et de leur chiralité, le rapprochement de 2 membranes n'est plus de mise, puisqu'on est dans le cytoplasme. Comment alors expliquer la pérennité de ces 2 caractéristiques des aa ? Il est étonnant de relever l'exception de la longueur ( et non la chiralité) de la citrulline et de l'ornithine dans le cytoplasme, comme intermédiaires dans le métabolisme, et aussi l'exception de la chiralité D de certains aa du peptidoglycane des bactéries (D-glycéro-P) en miroir avec la chiralité L des aa du peptidoglycane des archées(L-glycéro-P).

  Il est évident que le rôle primordial et généralisé des protéines membranaires, tant que dans la phase non enzymatique de la synthèse des aa au début de l'évolution moléculaire, que dans le métabolisme actuel, dans l'organisation et l'évolution des cellules, a dû imposer ces 2 caractéristiques indirectement liées aux caractéristiques de la membrane. Mais il ne faut pas oublié aussi le feuillet interne de la membrane cytoplasmique qui porte en grande majorité de la sérine. 
==== Les boucles métaboliques sont initialisées par la double membrane et passent à travers elle par des porines primitives  ====
===== Introduction =====
* La bicouche phospholipidique constitue un double barrage à la diffusion des molécules : un barrage hydrophobique pour les cations et les anions et un barrage ionique pour les anions dû aux charges négatives superficielles.
* Les porines primitives devraient être des oligopeptides de petite taille et de synthèse abiogénique. Elles devraient soient traverser la bicouche ou s'y incruster. Et surtout faciliter le passage de l'ion phosphate vers le cytoplasme pour initialiser le métabolisme comme on vient de le voir.
* C'est en cherchant une porine la plus simple possible pour le phosphate que je suis tombé sur l'ionophore du potassium, la valinomycine. Qui, quoique produit par certaines bactéries, il présente deux caractéristiques de l'abiogénèse : présence de L et D Valine en liason avec de petits acides, l'acide L-Lactique et l'acide D-MeLac, les 4 molécules formant un motif se répétant 3 fois. Ceci ressemble beaucoup aux monomères de 4 aa du peptidoglycane qui sont assemblés de façon non ribosomale dans le périplasme. En plus il est circulaire et contient 6 liaisons peptidiques et 6 liaisons esters en alternance.
* Est-ce que les ionophores ne seraient pas les porines primitives ? En recherchant d'autres ionophores utilisés pour la démonstration de la théorie de la chimio-osmose chez les bactéries, je suis arrivé à l’idée que cette chimio-osmose réalisée uniquement avec des ionophores à la place des porines peut servir de modèle pour l'initialisation du métabolisme par la double membrane que je propose ici.
* Nous allons étudier dans ce qui suit les circuits de la chimio-osmose pour en dégager un modèle abiogénique d'initialisation du métabolisme par la double membrane plus élaboré que celui décrit dans le paragraphe précédent. Dans une seconde partie nous allons poser le problème du transport abiogénique du phosphate et des anions en général qui doivent franchir le double barrage ionique et hydrophobique.
===== La théorie de la chimio-osmose  =====
* La chimio-osmose de Peter Mitchell chez les bactéries.
  Reférence : ''Physiology and biochemistry of procaryotes 2nd edition, David White, Indiana university, Oxford university press 2000. Pages 66-102.''

: '''*''' Schématiquement le modèle qui a été démontré repose sur 2 processus électrochimiques obligatoirement couplés entre eux et supportés par la membrane (ou tout simplement ce sont 2 processus électroniques, en considérant la membrane comme une puce de silcium, pour parler nouvelles technologies) : un flux cationique (la plupart des cas protonique, mais peut être sodique ou potassique mais rarement calcique ou magnésique chez les procaryotes) contrôlé électroniquement par des transporteurs intégrés à la membrane et un flux d'électrons produits par les réactions chimiques dans le cytoplasme et conduit par les complexes moléculaires d'oxydo-réduction intégrés aussi à la membrane. L'énergie produite par ces flux est emmagasinée dans un gradient protonique (osmotique ou de concentration de cations) et dans un potentiel électrique. Cette énergie sert au transport de solutés chargés ou neutres (transport simultané de charges positives et négatives ; ces dernières peuvent être déplacées par des réactions chimique augmentant la charge cationique de part et d’autre de la membrane) et aux réactions chimiques dans le cytoplasme, notamment celles produisant l'ATP. 

: '''*''' Séquestration du phosphate vers les phospholipides et les AN, d'où plus d'organisation vers l'interieur, croissance et rehydroquinonesproduction.

: '''*''' Transport et réduction par la membrane des produits de la fermentation sinon le potentiel électrochimique peut dépasser un seuil de blocage de tout le circuit métabolique. Aussi un réseau métabolique sans membrane ne peut exister et l'hypothèse que le métabolisme a débuté par des fermentations en milieu ouvert est très peu probable.
: '''*''' D'autres métabolismes ont été décrits : des halobactéries utilisent le gradient des cations Na au lieu de H+. D'autres bactéries utilisent des pigments (bactériorodhopsine) captant certains photons, pour orienter les flux d'électrons ou de cations sans photosynthèse (pas de couplage avec l'oxydo-réduction).
* Les nouveaux apports pour l'initialisation du métabolisme.

: '''*''' Aussi la double membrane avec les transporteurs et les complexes d'oxydo-réduction est le seul support du métabolisme plausible et surtout il a une très grande réactivité avec le milieu extérieur, semblable à celle d'un système électronique car tous les processus (réactions chimiques comprises, au niveau ou au contact de la membrane) sont réversibles. L'initialisation du réseau est aussi immédiate , car la membrane est nécessairement assymétrique localement proche de ses surfaces et des cations s'accumulent temporairement d'un côté ou de l'autre, créant un gradient électrochimique. 

: De ce point de vue tous les métabolismes (fermentations, oxydo-réductions, photosynthèse, phototransport ou celui des halobactéries) sont équivalents pour l'évolution moléculaire. Car tout métabolisme cellulaire a besoin d'entrée et de sortie des solutés, d'où création de gradient cationique, et de réactions chimiques, par définition du métabolisme, produisant un flux électronique. Le couplage de ces 2 flux nécessite des complexes protéines-membranes. L'évolution moléculaire débute nécessairement par leur mise place et avant tout par la formation des membranes en masse que j’ai postulée avec l'hypothèse du pétrole abiogénique.

: '''*''' Cependant l'initialisation par la chimio-osmose est une condition nécessaire mais elle n’est pas suffisante pour enclencher le métabolisme de façon permanente. Toute seule, elle se résumerait à un système d'action/réaction. Il faut que les produits des réactions chimiques qui en résultent soient séquestrés pour plus d'organisation et pour la multiplication des liposomes.
 
: Après initialisation par la chimio-osmose, la 2{{e}} étape du métabolisme serait la séquestration du phosphate dans les phospholipides pour la reproduction des liposomes. 

: La 3{{e}} étape serait alors la production des aa pour l'évolution des protéines membranaires.
===== Portrait robot de l'auto-reproduction des liposomes dans l'hypothèse du pétrole abiogénique  =====
* Mise au point 

: '''*''' Dans l'hypothèse du P.A les ressources en alcanes et ag sont illimitées. Il a été montré maintes fois (Luisi Dreamer) que les liposomes de constitutions diverses pouvaient se reproduire thermodynamiquement in-vitro, par incorporation d'ag et étranglement. 

: Ce que je considère ici c’est plutôt le maintient en activité d'une boucle métabolique de façon à donner naissance à d'autres boucles métaboliques. Cette boucle consisterait à ajouter la tête hydrophobe à une molécule d'ag qui sera plus solidaire au vésicule. Les liposomes fils doivent conserver cette boucle métabolique.

: '''*''' Pourquoi un portrait robot ? Parce que ces éléments de réflexion constituent une recherche documentaire et j'essaie de dessiner des processus à partir d'un maximum d'informations hétéroclites pour reconstituer un portrait de l'évolution moléculaire le plus vraisemblable possible. 

: '''*''' Enfin je situe cette reconstitution dans le P.A une fois formé et migré à une certaine profondeur proche de la surface, avec une phase huileuse et une phase aqueuse où les liposomes évolueront. 
: '''*''' Toutes les conceptions ainsi que les propriétés des molécules avancées dans les chapitres précédents seront toujours de mise. Notamment en ce qui concerne les relations entre les aa et les oligopeptides, pour la sélection des premiers et la formation des porines primitives à partir des seconds.
* Une nouvelle conception de la relation liposome / milieu extérieur. 
: '''*''' La théorie de P .Mitchell montre 2 nouveaux points :
::# Le champ électrique agit sur le milieu intérieur.
::# Le phosphate est séquestré à l'intérieur.

: '''*''' Ceci montre qu'on a à faire à 3 entités qui interagissent 2 à 2 : le milieu intérieur, la membrane et le milieu extérieur. Et les feuillets de la membrane sont nécessairement différents car ils interfacent chacun avec son milieu.

: L'évolution moléculaire est provoquée par le milieu extérieur en créant un champ électrique et le milieu intérieur réagit en provoquant le flip-flop du phosphate et provoque ainsi sa construction en intégrant des ag. 

: Le liposome sphérique et se comportant comme un condensateur confère au milieu intérieur un champ électro-magnétique de symétrie radiale, centripète et concentrée, alors que celui du milieu extérieur est radiale, centrifuge et rapidement dégressif.

: La membrane étant construite de façon optimale (D P-glycérol pour un encombrement stérique minimum, éthanolamine à 2 carbones pour rapprocher au maximum les parties hydrophobes, le tout assez souple avec les liaisons esters pour permettre les échanges) ne laisse passer par diffusion passive que certaines molécules : petites, non ionisées, et de forme L pour les atomes asymétriques à cause de la forme D du P-glycérol. Ceci est valable pour les communications dans les 2 sens, même une fois le métabolisme établi et expliquerait la longueur, la forme L, l'hydrophobicité et les fonctions à minima des radicaux des aa. Par ailleurs la présence de la fonction amine nécessaire, que l’on trouve dans lys et arg, ne doit pas interférer avec l'éthanolamine, primordiale pour la structure de la membrane, d'où leurs longueurs.

: Les chimies des milieux intérieur et extérieur sont donc tout à fait différentes. L'initialisation et l'établissement du métabolisme intérieur ne peuvent se faire qu'une fois le nombre de phospholipides de la membrane soit assez grand pour permettre une communication ordonnée, et donc nécessairement orientée par l'intérieur puisque l'extérieur est par nature désordonné. Aussi l'hypothèse de Dreamer, que l'établissement du métabolisme fait suite à l'encapsulation d'{{Abréviation|ARN|acide ribonucléique}}, n'est possible que si la chimie du milieu intérieur était mise en place et communiquait avec le milieu extérieur.

: '''*''' L'initialisation de la chimio-osmose abiogénique peut se faire à ce niveau, sans transporteurs : 

: En effet la vitesse de diffusion de H+ est beaucoup plus élevée que celle du phosphate. L'établissement du champ électrique par le milieu extérieur devrait accélérer et la vitesse de diffusion de H+ et le flip-flop du phosphate :

: extérieur '''+ + 0''' intérieur '''- - 0''' ''&lt;u&gt;flip-flop&lt;/u&gt;'': extérieur '''+ + - -''' intérieur '''0 0''' 

: (++ : cations 0 : tête hydrophyle - - : 2 ag lachés par la tête hydrophyle)

: Mais les liposomes formés dans l'hypothèse du P.A ne contiennent pas que des phospholipides. Car le petit volume de la vésicule dans l'huile ne peut pas phosphoryler tous les ag et d'autres molécules alliphatiques sont intégrées dans la membrane, comme les ubiquinones et les pyroles, mais aussi des alcools produits lors de la formation du pétrole abiogénique.

: Ce qui fait que dès le bourgeonnement du liposome au moment où il se détache dans la phase aqueuse, la différence de potentiel entre intérieur/extérieur va accélérer la formation du phospholipide, donc la séquestration du phosphate.
* Mise en place de la chimio-osmose abiogénique. 

: '''*''' Les acides aminés : zwiterions racémiques se collent à la surface des liposomes, oligopeptides abiogéniques formés par sipf, radeaux d'aa et translocation d'oligopeptides.

: '''*''' Les α-hydroxy acides : semblables aux aa donc même comportement que dans le paragraphe précédent. aa : 2-amino-R acides et les Ha : 2-hydroxy-R acides. Ceux que nous rencontrons dans le métabolisme : glycocolle/gly, lactique/ala, glycérique/ser, isovalérique/valine, 3-phenyllactique/phe, malique/asp, leucique/leu, isoleucique/ileu, (2,3-dihydroxybutanoique)/thr cys ......

: '''*''' Les ionophores : valinomycine gramicidine nitrophénol.....rien pour les anions.

: '''*''' Les pyroles et les hèmes : noyaux synthétisés par le pétrole abiogénique (oléfines) ou par les surfaces minérales. 

: '''*''' Les quinones : les hydroquinones solubles dans l'eau et l'huile, peuvent être fabriquées par le pétrole abiogénique (oléfines) et sont des supports du transport des électrons et captent les ions H+.

: '''*''' L'intérieur, de son côté, réagit aux sollicitations de l'extérieur par le remplacement des ionophores par des porines et habille les hèmes de protéines plus efficaces.
* L'auto-reproduction des liposomes, problématique du transport des alcanes jusqu'aux liposomes.

: '''*''' Production des liposomes, qui séquestrent le phosphate, par bourgeonnement de la phase huileuse.

: '''*''' Transformation des alcanes proches de l'interface huile/eau en alcools par la phase aqueuse riche en toutes sortes de molécules produites par le processus des liposomes rapprochés. Ces alcools peuvent alors être dissous et migrer vers les liposomes séquestrant le phosphate, où ils peuvent encastrer leur queue hydrophobe pour ensuite être phosphorylés.
* Problématique de l'entrée du phosphate, clé de la mise en route du métabolisme interne.

: '''*''' Problème spécifique au Phosphate : liposome, diffusion passive et flipflop ; spécificité du contrôle de l'entrée du phosphate chez les procaryotes avec une porine à faible affinité non contrôlée et une à forte affinité mais strictement contrôlée comme les canaux cationiques.

: Les mesures de la diffusion du P ne tiennent pas compte du processus de flip-flop qui peut fixer le P radioactif sur la membrane, ni de la dissymétrie ionique des 2 feuillets ainsi que de l'insertion de molécules diverses dans la membrane pouvant faire entrer le P en grande quantité (de façon non contrôlée).

: Je crois que la porine à faible affinité sert justement à contrôler l'entrée du P quand celui-ci est fortement concentré à l'extérieur, en le faisant entrer pour éviter un débordement fatal.

: '''*''' Protection des fonctions par liaison ester avec des mono-alcools notamment butanol, produisant un ensemble hydrophobe: bis(glycolaldehyde)-P(a une charge, voir formose myrmek), et le triglycerol-P peut-il existé dans la phase aqueuse à l'extérieur du liposome ? Par contre il y a une production très importante de phosphates triester : ethyl, propyl et butyl. Ainsi que les tetraalkyls pyrophospates.

: '''*''' Les hydrogéno-phosphates ont du subir des pressions et des températures de l’ordre de celles des processus Fischer-Tropsch et Haber-Bosch, lors de la formation du P.A en donnant de l'orthophosphate, de la phosphine et de l'oxyde de phosphine. Ces 2 molécules se comportent comme l'ammoniac et peuvent alors entrer par des ionophores cationiques. Depuis 1988 (wiki phosphine) on a montré que PH3 accompagne l'émission de CH4 dans les sédiments fluviaux et marins. 

: Problème de l'évolution darwinienne pour l’ensemble des gènes (Phnc-f) contrôlant l'entrée des phosphonates et des phosphinates chez de nombreuses bactéries ( 200 occurrences KEGG pour 6 archées) alors que ces molécules sont actuellement très rares en surface ou bien se trouvent dans des milieux extrêmes comme les volcans.

: '''*''' La solution des phosphines est séduisante car elle pourrait illustrer le principe fondamentale qu'on a évoqué au début, qui veut que certains éléments ou réactions chimiques disparaissent parce qu’ils ne sont plus nécessaires dans les conditions de la vie actuelle ou à la surface et ont été remplacés par des processus biochimiques beaucoup plus efficaces et/ou les inhibant.

: '''*''' Les ionophores transportant du phosphate doivent contenir de la lysine et/ou de l'arginine pour le chélater. La chaine alyphatique longue de ces aa leur permettrait de rentrer en même temps avec la zone hydrophobe de la membrane. C'est pour cela peut-être que l'orthine, 5C et le dab, 4C ne pourraient pas se trouver dans un ionophore transportant le P.

===== Évolution des liposomes après la mise en place de l'auto-reproduction  =====
* Formation de porines pour le transport du phosphate ou transformation des transporteurs de type ionophore pour accélérer la séquestration du phosphate.
* Nécessité de protéger les protéines en contact avec l'extérieur mais fabriquées par l'intérieur . Cette protection peut se faire très tôt avec une 2{{e}} bicouche lorsque le nombre de liposomes augmente.
* Évolution du métabolisme de l'intérieur pour produire des phospholipides à partir des alcanes en les carboxylant et les phosphorylant.

:Les recherches futures doivent porter sur la carboxylation et la phosphorylation des alcanes et les premières réactions qui bifurquent à partir de cette première boucle métabolique.
=== Les premières enzymes doivent être intégrées à la membrane cytoplasmique  ===
* Les phospholipides sont des zwiterions : d'où radeaux d'aa sur les faces de la membrane.
* Comme les ionophores avec aa et ha, les enzymes peuvent former une partie hydrophobe qui les structure dans l'espace à 3 dimensions.
* Comme les ionophores elles peuvent isoler un espace contenant des métaux ou des coenzymes, qui peut constituer un site actif.
* Comme les ionophores il n’est pas nécessaire d’avoir l'homochiralité.
* Intégrées à la membrane, elles sont dans le trajet des échanges moléculaires et peuvent agir sur ces molécules, notamment les protons.
* Les enzymes actuelles sont perçues comme n'ayant qu'un seul rôle catalytique, là où il suffirait d'un atome métallique et/ou avec quelques aa comme dans le cas de Zn(val2).
* Le rôle catalytique des enzymes se résume à un déplacement d'électrons par rapprochement des substrats et/ou des coenzymes comme l'hydroquinone.
* Elles peuvent réaliser plusieurs réactions en séquence, dont les intermédiaires ne se dispersent pas.
* Une enzyme à aussi un rôle d'attirer et de collecter les substrats et de les canalyser vers le site actif, de recevoir d'autres protéines. Ce rôle évite aux petites molécules de se disperser dans l'eau et de provoquer des réactions non souhaitables (des réactions aléatoires comme en chimie thermodynamique). Un exemple est la phytocyanine qui transporte les électrons (atomes exicités) vers un centre réactionnel.
* L'enzyme réagit de façon complexe avec son environnement pour régler le type, le sens et la vitesse de réaction: réaction à de petites momlécules, au pH, aux ions et aux coenzymes; mais aussi elle peut être dénaturée par une autre enzyme(phosphorylation).
* Toutes ces propriétés demandent une séquence plus longue en aa et une conformation spatiale plus facile à réaliser quand l'enzyme est intégrée ou attachée à la membrane. Elle fonctionne comme un filet pour capter les substrats, et se déplace dans un espace à 2 dimensions, plus restreint que les 3 dimensions pour réagir avec d'autres protéines.

=== Comparaison de la théorie des liposomes du pétrole aux théories abiogéniques existantes  ===

== Références ==
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    <title>Théorie générale du choix et des préférences/Proprietà delle funzioni di utilità</title>
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      <text bytes="4337" sha1="dafd6fhhb0wc647z8nqm4gcw3v61xp7" xml:space="preserve">{{Traduction demandée|it}}
{{Chapitre
  | idfaculté   = économie
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}}
* Ogni funzione di utilità è unica a meno di una [[w:Funzione monotona|trasformazione monotonica crescente]], ovvero applicando una arbitraria funzione monotona crescente alla funzione di utilità, otteniamo tutte le possibili funzioni di utilità rappresentative delle preferenze date. Si dice, quindi, che l'utilità ha natura '''ordinale''': il valore assunto dalla funzione di utilità per un determinato paniere non ha significato in se, quello che conta è l'ordine. Se, ad esempio, un paniere ha utilità 100 ed un altro 10, possiamo solo concludere che il primo è preferito al secondo, non che il primo è 10 volte più utile del secondo.
* Si definisce '''curva d'indifferenza''', o di isoutilità, l'insieme di tutti i panieri aventi la stessa utilità. È, dunque, chiaro il parallelo con le classi di equivalenza di cui si è parlato in precedenza. Volendo ottenere l'equazione della generica curva d'indifferenza, nel caso di due soli beni, in modo da poterne tracciare il grafico, bisogna seguire lo stesso procedimento utilizzato per disegnare le [[w:Insieme di livello|curve di livello]] di una funzione, ossia:
** Data la funzione di utilità &lt;math&gt;u \left ( x_1,x_2 \right )&lt;/math&gt;, si considerino le combinazioni dei due beni aventi la stessa utilità: &lt;math&gt;u \left ( x_1,x_2 \right ) = k&lt;/math&gt;
** Si imponga che il differenziale totale sia nullo (l'utilità, date le variazioni di &lt;math&gt;x_1,x_2&lt;/math&gt;, rimane costante): &lt;math&gt;du=\frac{\partial u \left ( x_1,x_2 \right )}{\partial x_1} dx_1+ \frac{\partial u \left ( x_1,x_2 \right )}{\partial x_2} dx_2 =0&lt;/math&gt;
** Quindi si ottiene l'inclinazione della curva d'indifferenza: &lt;math&gt;\frac{dx_2}{dx_1} \bigg|_{du=0} =- \frac{\frac{\partial u \left ( x_1,x_2 \right )}{\partial x_1}}{\frac{\partial u \left ( x_1,x_2 \right )}{\partial x_2}}&lt;/math&gt;; il valore assoluto di tale inclinazione viene detta '''[[w:Saggio marginale di sostituzione|saggio marginale di sostituzione]]''' tra &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; e &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt;, che indica di quanto deve aumentare la quantità di &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; al diminuire della quantità di &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; presente nel paniere, affinché il consumatore rimanga indifférente. In generale è &lt;math&gt; |SMS_{i,j}| =\frac{\frac{\partial u \left ( \mathbf{x} \right )}{\partial x_i}}{\frac{\partial u \left ( \mathbf{x} \right )}{\partial x_j}}&lt;/math&gt;
Les courbes d'indifférence ont toujours une pente négative : la stricte monotonie exclut la possibilité de segments à pente non négative.
Comme nous l'avons vu précédemment (les courbes d'indifférence sont des classes d'équivalence), à chaque panier correspond une courbe d'indifférence unique (c'est-à-dire que deux courbes d'indifférence ne se croisent jamais).
* Si assume che le preferenze siano '''[[w:Insieme convesso|convesse]]''', ossia: &lt;math&gt;\forall \mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z} \in X, \mathbf{x} \succcurlyeq \mathbf{z} \land \mathbf{y} \succcurlyeq \mathbf{z} \Rightarrow \lambda \mathbf{x}+ \left ( 1- \lambda \right ) \mathbf{y} \succcurlyeq \mathbf{z}, \forall \lambda \in \left [ 0,1 \right ]&lt;/math&gt;. Ciò significa che se due panieri sono debolmente preferiti ad un paniere dato, anche una loro combinazione è debolmente preferita al paniere dato. L'implicazione economica è che un paniere &quot;medio&quot; è debolmente preferito ai panieri estremi.
** La convessità delle preferenze implica che le curve di indifferenza sono [[w:Funzione convessa|convesse]], che il saggio marginale di sostituzione è decrescente e che la funzione di utilità è [[w:Funzione quasi-concava|quasi-concava]], ossia: &lt;math&gt;u \left [ \lambda \mathbf{x}+ \left ( 1- \lambda \right ) \mathbf{y} \right ] \ge \max \left [ u \left ( \mathbf{x} \right ), u \left ( \mathbf{y} \right ) \right ], \forall \lambda \in \left [ 0,1 \right ]&lt;/math&gt;
* Bien que des fonctions d'utilité infinies puissent être obtenues par une transformation monotone croissante, le taux marginal de substitution reste invariant sous les transformations susmentionnées.


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    <title>Mécanique 2 (PCSI)/Lois de l'énergie cinétique pour un système déformable de points matériels</title>
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      <comment>/* Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable */</comment>
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}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». 

=== Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot;&gt; Système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit évidemment être &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\big]&lt;/math&gt;, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.&lt;/ref&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; C.-à-d. déformable ou non.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;selon la définition &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans toute cette note, &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; représente le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique de l'expansion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;»,
 selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pseudo-point de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le vecteur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }&lt;/math&gt; }}vitesse du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse relative, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j,\;j \neq i&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, lié à &lt;math&gt;\,M_j&lt;/math&gt;, en translation par rapport &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, égal à «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» différence définie dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt;, ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, soit aussi, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\,
 \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; en regroupant les points deux par deux, ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; notées &lt;math&gt;\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pour base sphérique orthonormée liée à &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;la « force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot;&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.D. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_j}\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure
 que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt; est identiquement nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot;&gt; En effet, pour un système discret de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt;}} avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; » mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable&quot;&gt; En effet, pour un système discret déformable de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\;&lt;/math&gt; pour un système déformable ».

== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est rappelé ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nulle «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit à «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit « }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré où &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]&lt;/math&gt;.

== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; « quelconque » }}sont rappelés ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nul &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit, sous sa forme élémentaire, à «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré pour lequel &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}} = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme à durée finie.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit }}«&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives ==

{{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable ainsi que &lt;br&gt;{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

=== Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; selon le lien entre dérivée et différentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable&quot;&gt; Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» pour composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; étant
une « forme différentielle des &lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt; variables &lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt; indépendantes » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot;&gt; Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;dépendance du cœfficient de drij&quot;&gt; Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,&lt;/math&gt; mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j &gt; k \neq i\,&lt;/math&gt; ni des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j &gt; i\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle de la variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}&lt;/math&gt;, le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; étant une fonction des trois variables &lt;math&gt;\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les deux intégrations volumiques sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfaciques sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou curvilignes sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; emboîtées remplaçant la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; en étant distincts l'un de l'autre.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; différente, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « chacune des&lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;&lt;/math&gt;formes différentielles&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;est }}&lt;u&gt;fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|&lt;sup&gt;35&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}le système des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; est uniquement fonction des trois variables indépendantes &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}&lt;math&gt;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)&lt;/math&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot;&gt; Condition(s) Nécessaire(s).&lt;/ref&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» soit une &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt; mais soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,y\;&lt;/math&gt;»,
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,z\;&lt;/math&gt;» et
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; ce qui est évidemment vérifié ; 
{{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;&lt;/math&gt;» soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne dépende que de &lt;math&gt;\,x\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; mais soit fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|&lt;sup&gt;39&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot;&gt; Condition(s) Suffisante(s).&lt;/ref&gt; dans la mesure où la &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot;&gt; Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; &lt;br&gt;{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sur un « ouvert &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot;&gt; Une partie &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; ouverte ou non de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3\,&lt;/math&gt; est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; contient au moins un point &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; tel que, pour tout point &lt;math&gt;\,Q\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, le segment &lt;math&gt;\,\left[ PQ \right]\,&lt;/math&gt; est inclus dans &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, on dit alors que &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est « étoilée par rapport à &lt;math&gt;\,P\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{U\,&lt;/math&gt; est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est étoilée par rapport à chacun de ses points&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.&lt;/ref&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot;&gt; D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire &lt;ref&gt; Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.&lt;/ref&gt; s'écrive selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par double intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction.&lt;/ref&gt;, fonction à partir de laquelle se définit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» et déduite de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;&lt;/math&gt;» déduite de &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle&quot;&gt; Ou encore &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,&lt;/math&gt; voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; repéré dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\{&lt;/math&gt;voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la même leçon&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; » soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la valeur de &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et comme « l'intensité de l'interaction entre particules &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;quel que soit le type d'interaction&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; très rapidement quand la distance les séparant &lt;math&gt;\,\nearrow\;&lt;/math&gt;» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|&lt;math&gt;\,;\big(&lt;/math&gt;pour}} le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la valeur de &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés soit pour référence de &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que la valeur «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}}
 \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;» on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en permutant double somme discrète et différenciation &lt;ref name=&quot;différenciation opération linéaire&quot;&gt; la différenciation étant une opération linéaire.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot; /&gt; l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces &lt;br&gt;{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou d'un sous-système de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|&lt;sup&gt;46&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable :
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}dans lesquelles «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt; est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable ===

{{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels il y a &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; couple de points &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;&lt;/math&gt;».

==== Système « Terre – Lune » ====

{{Al|5}}Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Terre dans lequel &lt;math&gt;\,T\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{♁} \,&lt;/math&gt; sa masse, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Lune dans lequel &lt;math&gt;\,L\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{☽} \,&lt;/math&gt; sa masse ;

{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; est la distance séparant leur C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» dont on tire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d’où, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre &lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot;&gt; Situation évidemment hypothétique.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0&lt;/math&gt;, l'expression de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot; /&gt; ».

==== Atome d’hélium ====

[[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]]
{{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «&lt;math&gt;\;+2e\;&lt;/math&gt;» et de deux électrons de charge individuelle «&lt;math&gt;\;-e\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_1\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_1\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_2\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_2\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;N\,, \left( +2 e \right)\;&lt;/math&gt;» pour le noyau &lt;math&gt;\,\left( 3 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nombre de couples&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\,N = 3\,&lt;/math&gt; particules, il y a en effet «&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;&lt;/math&gt;» couples différents de particules.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot;&gt; Selon la force de Coulomb que &lt;math&gt;\,M'\,\left( q' \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,\left( q \right)\,&lt;/math&gt; dans le vide «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » &lt;math&gt;\,\big[\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,r_{1,\,2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des deux électrons et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot;&gt; La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;plus généralement d'un milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est une constante caractérisant la réponse du vide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de celle du milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à l'action d'un champ électrique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant &lt;math&gt;\,0,05\;\%\,&lt;/math&gt; supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; de valeur telle que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}électrons &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q&lt;sub&gt;O&lt;/sub&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot;&gt; La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{1}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_1 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot;&gt; La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_2 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;&lt;/math&gt;» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme correspondant à une répulsion &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot; /&gt; et les deux derniers à une attraction &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt;.

== « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » ==

{{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces formes intégrée et locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot; /&gt; sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

=== Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; peut être &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels&quot;&gt; Voir la relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{c} \right)\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion
 linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;&lt;/math&gt;» la résultante des forces &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;&lt;/math&gt;» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\;N\,&lt;/math&gt; variables scalaires indépendantes &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des }}positionnant les &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»}} ou «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; variables scalaires repérant le point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l'intégration volumique sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou curviligne sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; remplaçant la somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont chacune &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{N}\,&lt;/math&gt; }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|&lt;sup&gt;71&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|&lt;sup&gt;72&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est repéré, dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par ses coordonnées &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}cartésiennes &lt;math&gt;\,\left( x_i, y_i, z_i \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot;&gt; On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou un repérage sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter
* l'expression du travail élémentaire en utilisant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\,&lt;/math&gt; en cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\,&lt;/math&gt; en sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ainsi que 
* l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;»,
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;» et
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_-_ter-76|&lt;sup&gt;76&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot; /&gt; dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt; sur &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}un « ouvert étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot; /&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » est que le travail élémentaire de ce système de forces &lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En repérage cartésien&lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}satisfasse les conditions «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces extérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes :
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; ») ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire de ces forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée » notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, fonction utilisée pour définir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» et vérifiant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_élémentaire_des_forces_extérieures_de_type_k_conservatives_d'un_système_continu_de_matière-80|&lt;sup&gt;80&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}} «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la position de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt;»}} au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » selon  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} s'écrit sous la forme 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle volumique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle surfacique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle linéique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ===

{{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt;, déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, }}est notée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,E_m(t)\,&lt;/math&gt; en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est }}définie selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;K_{(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces intérieures de type &lt;math&gt;\,_l\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ou « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_du_théorème_de_l'énergie_cinétique_d’un_système_de_matière_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_galiléen|rappel du théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s’écrivant &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», on y distingue, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;dans &lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;, les forces extérieures conservatives de celles qui ne le onts pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 

* dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt;, d’où «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» puis, 
{{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique 
* «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ensuite, 
{{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»  
ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» du système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt; ;

{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire :
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» dans lequel on reconnaît
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, la puissance mécanique instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;»,
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et
* dans le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où
{{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

== « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas ==

{{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}« &lt;u&gt;L'énergie mécanique d'un système de matière&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives&lt;/u&gt;, définie dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;u&gt;est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; s’exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; ; 

{{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» ou, après intégration, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;».

== Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie ==

=== Présentation du tabouret d’inertie ===

[[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]]
{{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » :

{{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec un minimum de frottement solide et fluide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; autour d'un axe « vertical » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et sur le siège duquel est positionné un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen&lt;math&gt;\big)\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Description de l’expérience ===

{{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; 

{{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}le même « moteur interne » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et on observe que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; en reprenant sa valeur initiale. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes.

=== Explication de l’observation ===

{{Al|5}}L'ensemble « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;», n'étant soumis qu'aux actions extérieures 
* « le poids de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;force verticale descendante&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt;» et 
* « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; qui se réduisent en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, 
{{Al|5}}on en déduit que « &lt;u&gt;le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;est nul&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire dynamique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}l'application, à l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» soit, dans le cas présent, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. « &lt;u&gt;la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;par rapport à l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;conservation du moment cinétique scalaire&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, ceci restant &lt;u&gt;indépendant de la déformation du système&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s’écrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale séparant le point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;\left( m_i \right)\;&lt;/math&gt; de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;}}&lt;br&gt;{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et le pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;\left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;tant que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne se déforme pas&lt;/u&gt;, son moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» reste constant &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et par suite, &lt;u&gt;ceci établit&lt;/u&gt; l’équivalence entre 
* « &lt;u&gt;la conservation&lt;/u&gt; du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » et 
* «{{Transparent|la conserv}} celle &lt;u&gt;de la vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation » ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante mais de valeur plus faible dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase initiale » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait repris son extension la plus proche de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt; {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante de valeur plus grande dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase précédente &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline\Omega_0 &gt; \overline{\Omega'}_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot;&gt; Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; décrit, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, éventuellement un mouvement radial et axial &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot;&gt; L'origine &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt; ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;&lt;/math&gt; d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta  \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot; /&gt; ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement la validité de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» lors des deux phases de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» et

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;».

=== Bilan énergétique du tabouret d’inertie ===

{{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; composé du « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt;» est l’énergie cinétique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} l’énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’éloignement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou du rapprochement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des haltères de l'axe de rotation, cet écartement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou cette approche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; &lt;br&gt;{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors de l’éloignement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail résistant &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;augmentation de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;&lt;/math&gt; lors de l'éloignement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors du rapprochement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail moteur &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;diminution de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;&lt;/math&gt; lors du rapprochement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante :
* « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» et 
* « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;les actions extérieures non conservatives&lt;/u&gt; étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; lesquelles, se réduisant en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, en une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; En effet la résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; ayant pour point d'application le point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, le travail &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant supposées toutes conservatives, &lt;u&gt;les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable&lt;/u&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » &lt;ref name=&quot;conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures  et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans la mesure où &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans son extension la plus éloignée de ce dernier » &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t)\;&lt;/math&gt;}} la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec cette extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;laquelle garde la valeur «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec la même extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;&lt; \!\!\!&amp;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt; associées à la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) &lt; K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;si la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;correspond au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des parties déformables de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à la même altitude&lt;/u&gt;, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; prend la même valeur après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;de la conservation de l'énergie mécanique &lt;u&gt;de part et d'autre de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation&lt;/u&gt;, on en tire, après simplification,  &lt;center&gt;«&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;» soit encore&lt;/center&gt;
{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une augmentation d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; ainsi que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une diminution d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot;&gt; En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.&lt;/ref&gt;, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; De même «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; comme prouvé ci-après ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; que l'on peut réécrire, en factorisant le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en reconnaissant dans «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation en ajoutant à &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;&lt;/math&gt; l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D}' \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit encore &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; ou, la grandeur moment d'inertie &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; étant « additive » &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot;&gt; Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\emptyset \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)&lt;/math&gt;, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]]
}}</text>
      <sha1>0p555bm8h95w2s9kjb0b3hwpt8eywb5</sha1>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable */</comment>
      <origin>988278</origin>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="320875" sha1="5slxmh6m9zpw33h9o6pwfbu7vulz68j" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 13
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». 

=== Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot;&gt; Système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit évidemment être &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\big]&lt;/math&gt;, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.&lt;/ref&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; C.-à-d. déformable ou non.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;selon la définition &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans toute cette note, &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; représente le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique de l'expansion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;»,
 selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pseudo-point de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le vecteur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }&lt;/math&gt; }}vitesse du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse relative, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j,\;j \neq i&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, lié à &lt;math&gt;\,M_j&lt;/math&gt;, en translation par rapport &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, égal à «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» différence définie dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt;, ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, soit aussi, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\,
 \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; en regroupant les points deux par deux, ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; notées &lt;math&gt;\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pour base sphérique orthonormée liée à &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;la « force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot;&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.D. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_j}\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure
 que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt; est identiquement nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot;&gt; En effet, pour un système discret de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt;}} avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; » mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable&quot;&gt; En effet, pour un système discret déformable de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\;&lt;/math&gt; pour un système déformable ».

== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est rappelé ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nulle «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit à «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit « }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré où &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]&lt;/math&gt;.

== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; « quelconque » }}sont rappelés ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nul &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit, sous sa forme élémentaire, à «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré pour lequel &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}} = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme à durée finie.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit }}«&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives ==

{{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable ainsi que &lt;br&gt;{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

=== Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; selon le lien entre dérivée et différentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable&quot;&gt; Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» pour composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; étant
une « forme différentielle des &lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt; variables &lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt; indépendantes » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot;&gt; Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;dépendance du cœfficient de drij&quot;&gt; Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,&lt;/math&gt; mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j &gt; k \neq i\,&lt;/math&gt; ni des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j &gt; i\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle de la variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}&lt;/math&gt;, le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; étant une fonction des trois variables &lt;math&gt;\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les deux intégrations volumiques sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfaciques sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou curvilignes sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; emboîtées remplaçant la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; en étant distincts l'un de l'autre.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; différente, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « chacune des&lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;&lt;/math&gt;formes différentielles&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;est }}&lt;u&gt;fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|&lt;sup&gt;35&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}le système des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; est uniquement fonction des trois variables indépendantes &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}&lt;math&gt;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)&lt;/math&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot;&gt; Condition(s) Nécessaire(s).&lt;/ref&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» soit une &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt; mais soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,y\;&lt;/math&gt;»,
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,z\;&lt;/math&gt;» et
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; ce qui est évidemment vérifié ; 
{{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;&lt;/math&gt;» soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne dépende que de &lt;math&gt;\,x\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; mais soit fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|&lt;sup&gt;39&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot;&gt; Condition(s) Suffisante(s).&lt;/ref&gt; dans la mesure où la &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot;&gt; Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; &lt;br&gt;{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sur un « ouvert &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot;&gt; Une partie &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; ouverte ou non de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3\,&lt;/math&gt; est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; contient au moins un point &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; tel que, pour tout point &lt;math&gt;\,Q\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, le segment &lt;math&gt;\,\left[ PQ \right]\,&lt;/math&gt; est inclus dans &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, on dit alors que &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est « étoilée par rapport à &lt;math&gt;\,P\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{U\,&lt;/math&gt; est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est étoilée par rapport à chacun de ses points&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.&lt;/ref&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot;&gt; D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire &lt;ref&gt; Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.&lt;/ref&gt; s'écrive selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par double intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction.&lt;/ref&gt;, fonction à partir de laquelle se définit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» et déduite de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;&lt;/math&gt;» déduite de &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle&quot;&gt; Ou encore &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,&lt;/math&gt; voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; repéré dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\{&lt;/math&gt;voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la même leçon&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; » soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la valeur de &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et comme « l'intensité de l'interaction entre particules &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;quel que soit le type d'interaction&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; très rapidement quand la distance les séparant &lt;math&gt;\,\nearrow\;&lt;/math&gt;» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|&lt;math&gt;\,;\big(&lt;/math&gt;pour}} le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la valeur de &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés soit pour référence de &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que la valeur «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}}
 \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;» on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en permutant double somme discrète et différenciation &lt;ref name=&quot;différenciation opération linéaire&quot;&gt; la différenciation étant une opération linéaire.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot; /&gt; l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces &lt;br&gt;{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou d'un sous-système de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|&lt;sup&gt;46&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable :
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}dans lesquelles «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt; est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable ===

{{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels il y a &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; couple de points &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;&lt;/math&gt;».

==== Système « Terre – Lune » ====

{{Al|5}}Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Terre dans lequel &lt;math&gt;\,T\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{♁} \,&lt;/math&gt; sa masse, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Lune dans lequel &lt;math&gt;\,L\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{☽} \,&lt;/math&gt; sa masse ;

{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; est la distance séparant leur C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» dont on tire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d’où, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre &lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot;&gt; Situation évidemment hypothétique.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0&lt;/math&gt;, l'expression de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot; /&gt; ».

==== Atome d’hélium ====

[[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]]
{{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «&lt;math&gt;\;+2e\;&lt;/math&gt;» et de deux électrons de charge individuelle «&lt;math&gt;\;-e\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_1\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_1\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_2\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_2\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;N\,, \left( +2 e \right)\;&lt;/math&gt;» pour le noyau &lt;math&gt;\,\left( 3 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nombre de couples&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\,N = 3\,&lt;/math&gt; particules, il y a en effet «&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;&lt;/math&gt;» couples différents de particules.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot;&gt; Selon la force de Coulomb que &lt;math&gt;\,M'\,\left( q' \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,\left( q \right)\,&lt;/math&gt; dans le vide «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » &lt;math&gt;\,\big[\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,r_{1,\,2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des deux électrons et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot;&gt; La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;plus généralement d'un milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est une constante caractérisant la réponse du vide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de celle du milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à l'action d'un champ électrique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant &lt;math&gt;\,0,05\;\%\,&lt;/math&gt; supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; de valeur telle que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}électrons &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q&lt;sub&gt;O&lt;/sub&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot;&gt; La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{1}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_1 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot;&gt; La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_2 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;&lt;/math&gt;» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme correspondant à une répulsion &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot; /&gt; et les deux derniers à une attraction &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt;.

== « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » ==

{{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces formes intégrée et locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot; /&gt; sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

=== Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; peut être &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels&quot;&gt; Voir la relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{c} \right)\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion
 linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;&lt;/math&gt;» la résultante des forces &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;&lt;/math&gt;» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\;N\,&lt;/math&gt; variables scalaires indépendantes &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des }}positionnant les &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»}} ou «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; variables scalaires repérant le point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l'intégration volumique sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou curviligne sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; remplaçant la somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont chacune &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{N}\,&lt;/math&gt; }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|&lt;sup&gt;71&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|&lt;sup&gt;72&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est repéré, dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par ses coordonnées &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}cartésiennes &lt;math&gt;\,\left( x_i, y_i, z_i \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot;&gt; On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou un repérage sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter
* l'expression du travail élémentaire en utilisant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\,&lt;/math&gt; en cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\,&lt;/math&gt; en sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ainsi que 
* l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;»,
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;» et
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_-_ter-76|&lt;sup&gt;76&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot; /&gt; dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt; sur &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}un « ouvert étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot; /&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » est que le travail élémentaire de ce système de forces &lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En repérage cartésien&lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}satisfasse les conditions «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces extérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes :
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; ») ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire de ces forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée » notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, fonction utilisée pour définir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» et vérifiant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_élémentaire_des_forces_extérieures_de_type_k_conservatives_d'un_système_continu_de_matière-80|&lt;sup&gt;80&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}} «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la position de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt;»}} au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » selon  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} s'écrit sous la forme 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle volumique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle surfacique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle linéique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ===

{{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt;, déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, }}est notée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,E_m(t)\,&lt;/math&gt; en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est }}définie selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;K_{(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces intérieures de type &lt;math&gt;\,_l\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ou « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_du_théorème_de_l'énergie_cinétique_d’un_système_de_matière_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_galiléen|rappel du théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s’écrivant &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», on y distingue, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;dans &lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;, les forces extérieures conservatives de celles qui ne le sont pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 

* dans les forces intérieures, celles qui sont conservatives de celles qui ne le sont pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt;, d’où «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» puis, 
{{Al|5}}on utilise les définitions des énergies potentielles dont les forces conservatives « dérivent » ce qui implique 
* «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et 
* «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ensuite, 
{{Al|5}}on reporte ces expressions dans la variation de l’énergie cinétique «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et on termine en basculant dans le membre de gauche les variations d’énergies potentielles changées de signe «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;»  
ce qui permet, en reconnaissant dans le membre de gauche, la variation d'énergie mécanique «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» du système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives soit «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} \Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» d’obtenir le théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué, dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen, à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» dans lequel &lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt; ;

{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire :
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» dans lequel on reconnaît
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, la puissance mécanique instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;»,
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et
* dans le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où
{{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

== « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas ==

{{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}« &lt;u&gt;L'énergie mécanique d'un système de matière&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives&lt;/u&gt;, définie dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;u&gt;est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; s’exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; ; 

{{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» ou, après intégration, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;».

== Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie ==

=== Présentation du tabouret d’inertie ===

[[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]]
{{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » :

{{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec un minimum de frottement solide et fluide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; autour d'un axe « vertical » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et sur le siège duquel est positionné un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen&lt;math&gt;\big)\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Description de l’expérience ===

{{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; 

{{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}le même « moteur interne » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et on observe que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; en reprenant sa valeur initiale. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes.

=== Explication de l’observation ===

{{Al|5}}L'ensemble « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;», n'étant soumis qu'aux actions extérieures 
* « le poids de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;force verticale descendante&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt;» et 
* « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; qui se réduisent en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, 
{{Al|5}}on en déduit que « &lt;u&gt;le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;est nul&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire dynamique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}l'application, à l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» soit, dans le cas présent, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. « &lt;u&gt;la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;par rapport à l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;conservation du moment cinétique scalaire&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, ceci restant &lt;u&gt;indépendant de la déformation du système&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s’écrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale séparant le point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;\left( m_i \right)\;&lt;/math&gt; de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;}}&lt;br&gt;{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et le pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;\left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;tant que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne se déforme pas&lt;/u&gt;, son moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» reste constant &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et par suite, &lt;u&gt;ceci établit&lt;/u&gt; l’équivalence entre 
* « &lt;u&gt;la conservation&lt;/u&gt; du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » et 
* «{{Transparent|la conserv}} celle &lt;u&gt;de la vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation » ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante mais de valeur plus faible dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase initiale » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait repris son extension la plus proche de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt; {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante de valeur plus grande dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase précédente &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline\Omega_0 &gt; \overline{\Omega'}_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot;&gt; Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; décrit, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, éventuellement un mouvement radial et axial &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot;&gt; L'origine &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt; ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;&lt;/math&gt; d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta  \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot; /&gt; ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement la validité de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» lors des deux phases de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» et

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;».

=== Bilan énergétique du tabouret d’inertie ===

{{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; composé du « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt;» est l’énergie cinétique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} l’énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’éloignement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou du rapprochement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des haltères de l'axe de rotation, cet écartement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou cette approche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; &lt;br&gt;{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors de l’éloignement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail résistant &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;augmentation de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;&lt;/math&gt; lors de l'éloignement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors du rapprochement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail moteur &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;diminution de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;&lt;/math&gt; lors du rapprochement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante :
* « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» et 
* « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;les actions extérieures non conservatives&lt;/u&gt; étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; lesquelles, se réduisant en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, en une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; En effet la résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; ayant pour point d'application le point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, le travail &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant supposées toutes conservatives, &lt;u&gt;les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable&lt;/u&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » &lt;ref name=&quot;conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures  et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans la mesure où &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans son extension la plus éloignée de ce dernier » &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t)\;&lt;/math&gt;}} la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec cette extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;laquelle garde la valeur «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec la même extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;&lt; \!\!\!&amp;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt; associées à la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) &lt; K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;si la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;correspond au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des parties déformables de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à la même altitude&lt;/u&gt;, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; prend la même valeur après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;de la conservation de l'énergie mécanique &lt;u&gt;de part et d'autre de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation&lt;/u&gt;, on en tire, après simplification,  &lt;center&gt;«&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;» soit encore&lt;/center&gt;
{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une augmentation d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; ainsi que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une diminution d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot;&gt; En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.&lt;/ref&gt;, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; De même «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; comme prouvé ci-après ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; que l'on peut réécrire, en factorisant le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en reconnaissant dans «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation en ajoutant à &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;&lt;/math&gt; l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D}' \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit encore &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; ou, la grandeur moment d'inertie &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; étant « additive » &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot;&gt; Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\emptyset \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)&lt;/math&gt;, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]]
}}</text>
      <sha1>5slxmh6m9zpw33h9o6pwfbu7vulz68j</sha1>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="327063" sha1="jlwzn5ddja3rrnz5zpnm36owdim9d2a" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 13
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». 

=== Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot;&gt; Système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit évidemment être &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\big]&lt;/math&gt;, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.&lt;/ref&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; C.-à-d. déformable ou non.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;selon la définition &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans toute cette note, &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; représente le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique de l'expansion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;»,
 selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pseudo-point de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le vecteur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }&lt;/math&gt; }}vitesse du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse relative, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j,\;j \neq i&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, lié à &lt;math&gt;\,M_j&lt;/math&gt;, en translation par rapport &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, égal à «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» différence définie dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt;, ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, soit aussi, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\,
 \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; en regroupant les points deux par deux, ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; notées &lt;math&gt;\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pour base sphérique orthonormée liée à &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;la « force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot;&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.D. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_j}\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure
 que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt; est identiquement nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot;&gt; En effet, pour un système discret de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt;}} avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; » mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable&quot;&gt; En effet, pour un système discret déformable de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\;&lt;/math&gt; pour un système déformable ».

== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est rappelé ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nulle «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit à «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit « }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré où &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]&lt;/math&gt;.

== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; « quelconque » }}sont rappelés ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nul &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit, sous sa forme élémentaire, à «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré pour lequel &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}} = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme à durée finie.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit }}«&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives ==

{{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable ainsi que &lt;br&gt;{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

=== Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; selon le lien entre dérivée et différentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable&quot;&gt; Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» pour composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; étant
une « forme différentielle des &lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt; variables &lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt; indépendantes » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot;&gt; Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;dépendance du cœfficient de drij&quot;&gt; Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,&lt;/math&gt; mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j &gt; k \neq i\,&lt;/math&gt; ni des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j &gt; i\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle de la variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}&lt;/math&gt;, le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; étant une fonction des trois variables &lt;math&gt;\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les deux intégrations volumiques sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfaciques sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou curvilignes sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; emboîtées remplaçant la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; en étant distincts l'un de l'autre.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; différente, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « chacune des&lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;&lt;/math&gt;formes différentielles&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;est }}&lt;u&gt;fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|&lt;sup&gt;35&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}le système des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; est uniquement fonction des trois variables indépendantes &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}&lt;math&gt;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)&lt;/math&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot;&gt; Condition(s) Nécessaire(s).&lt;/ref&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» soit une &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt; mais soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,y\;&lt;/math&gt;»,
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,z\;&lt;/math&gt;» et
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; ce qui est évidemment vérifié ; 
{{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;&lt;/math&gt;» soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne dépende que de &lt;math&gt;\,x\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; mais soit fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|&lt;sup&gt;39&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot;&gt; Condition(s) Suffisante(s).&lt;/ref&gt; dans la mesure où la &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot;&gt; Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; &lt;br&gt;{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sur un « ouvert &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot;&gt; Une partie &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; ouverte ou non de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3\,&lt;/math&gt; est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; contient au moins un point &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; tel que, pour tout point &lt;math&gt;\,Q\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, le segment &lt;math&gt;\,\left[ PQ \right]\,&lt;/math&gt; est inclus dans &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, on dit alors que &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est « étoilée par rapport à &lt;math&gt;\,P\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{U\,&lt;/math&gt; est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est étoilée par rapport à chacun de ses points&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.&lt;/ref&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot;&gt; D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire &lt;ref&gt; Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.&lt;/ref&gt; s'écrive selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par double intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction.&lt;/ref&gt;, fonction à partir de laquelle se définit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» et déduite de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;&lt;/math&gt;» déduite de &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle&quot;&gt; Ou encore &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,&lt;/math&gt; voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; repéré dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\{&lt;/math&gt;voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la même leçon&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; » soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la valeur de &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et comme « l'intensité de l'interaction entre particules &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;quel que soit le type d'interaction&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; très rapidement quand la distance les séparant &lt;math&gt;\,\nearrow\;&lt;/math&gt;» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|&lt;math&gt;\,;\big(&lt;/math&gt;pour}} le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la valeur de &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés soit pour référence de &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que la valeur «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}}
 \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;» on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en permutant double somme discrète et différenciation &lt;ref name=&quot;différenciation opération linéaire&quot;&gt; la différenciation étant une opération linéaire.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot; /&gt; l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces &lt;br&gt;{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou d'un sous-système de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|&lt;sup&gt;46&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable :
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}dans lesquelles «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt; est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable ===

{{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels il y a &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; couple de points &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;&lt;/math&gt;».

==== Système « Terre – Lune » ====

{{Al|5}}Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Terre dans lequel &lt;math&gt;\,T\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{♁} \,&lt;/math&gt; sa masse, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Lune dans lequel &lt;math&gt;\,L\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{☽} \,&lt;/math&gt; sa masse ;

{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; est la distance séparant leur C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» dont on tire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d’où, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre &lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot;&gt; Situation évidemment hypothétique.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0&lt;/math&gt;, l'expression de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot; /&gt; ».

==== Atome d’hélium ====

[[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]]
{{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «&lt;math&gt;\;+2e\;&lt;/math&gt;» et de deux électrons de charge individuelle «&lt;math&gt;\;-e\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_1\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_1\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_2\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_2\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;N\,, \left( +2 e \right)\;&lt;/math&gt;» pour le noyau &lt;math&gt;\,\left( 3 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nombre de couples&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\,N = 3\,&lt;/math&gt; particules, il y a en effet «&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;&lt;/math&gt;» couples différents de particules.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot;&gt; Selon la force de Coulomb que &lt;math&gt;\,M'\,\left( q' \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,\left( q \right)\,&lt;/math&gt; dans le vide «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » &lt;math&gt;\,\big[\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,r_{1,\,2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des deux électrons et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot;&gt; La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;plus généralement d'un milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est une constante caractérisant la réponse du vide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de celle du milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à l'action d'un champ électrique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant &lt;math&gt;\,0,05\;\%\,&lt;/math&gt; supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; de valeur telle que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}électrons &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q&lt;sub&gt;O&lt;/sub&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot;&gt; La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{1}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_1 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot;&gt; La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_2 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;&lt;/math&gt;» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme correspondant à une répulsion &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot; /&gt; et les deux derniers à une attraction &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt;.

== « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » ==

{{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces formes intégrée et locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot; /&gt; sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

=== Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; peut être &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels&quot;&gt; Voir la relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{c} \right)\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion
 linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;&lt;/math&gt;» la résultante des forces &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;&lt;/math&gt;» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\;N\,&lt;/math&gt; variables scalaires indépendantes &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des }}positionnant les &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»}} ou «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; variables scalaires repérant le point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l'intégration volumique sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou curviligne sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; remplaçant la somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont chacune &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{N}\,&lt;/math&gt; }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|&lt;sup&gt;71&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|&lt;sup&gt;72&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est repéré, dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par ses coordonnées &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}cartésiennes &lt;math&gt;\,\left( x_i, y_i, z_i \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot;&gt; On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou un repérage sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter
* l'expression du travail élémentaire en utilisant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\,&lt;/math&gt; en cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\,&lt;/math&gt; en sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ainsi que 
* l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;»,
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;» et
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_-_ter-76|&lt;sup&gt;76&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot; /&gt; dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt; sur &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}un « ouvert étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot; /&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » est que le travail élémentaire de ce système de forces &lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En repérage cartésien&lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}satisfasse les conditions «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces extérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes :
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; ») ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire de ces forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée » notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, fonction utilisée pour définir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» et vérifiant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_élémentaire_des_forces_extérieures_de_type_k_conservatives_d'un_système_continu_de_matière-80|&lt;sup&gt;80&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}} «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la position de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt;»}} au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » selon  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} s'écrit sous la forme 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle volumique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle surfacique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle linéique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ===

{{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt;, déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, }}est notée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,E_m(t)\,&lt;/math&gt; en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est }}définie selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;K_{(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces intérieures de type &lt;math&gt;\,_l\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ou « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_du_théorème_de_l'énergie_cinétique_d’un_système_de_matière_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_galiléen|rappel du théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s’écrivant &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», on y distingue, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;dans &lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;, les forces extérieures conservatives de celles qui ne le sont pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l'énergie &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}potentielle de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}&lt;math&gt;W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« &lt;math&gt;\color{transparent}{W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; d'où }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;dans &lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;, les forces intérieures conservatives de celles qui ne le sont pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l'énergie &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}potentielle de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le champ des forces intérieures de type &lt;math&gt;\,_\mathit{l}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}&lt;math&gt;W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« &lt;math&gt;\color{transparent}{W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; d'où }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», d'où &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} - \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}on bascule alors les variations d’énergies potentielles changées de signe dans le membre de gauche d'où &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta\! \left[ K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}avec «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable avec « }}déformable &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Énergie_mécanique_d'un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives|énergie mécanique d'un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intéreieures conservatives]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire :
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» dans lequel on reconnaît
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, la puissance mécanique instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;»,
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et
* dans le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où
{{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

== « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas ==

{{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}« &lt;u&gt;L'énergie mécanique d'un système de matière&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives&lt;/u&gt;, définie dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;u&gt;est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; s’exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; ; 

{{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» ou, après intégration, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;».

== Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie ==

=== Présentation du tabouret d’inertie ===

[[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]]
{{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » :

{{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec un minimum de frottement solide et fluide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; autour d'un axe « vertical » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et sur le siège duquel est positionné un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen&lt;math&gt;\big)\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Description de l’expérience ===

{{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; 

{{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}le même « moteur interne » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et on observe que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; en reprenant sa valeur initiale. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes.

=== Explication de l’observation ===

{{Al|5}}L'ensemble « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;», n'étant soumis qu'aux actions extérieures 
* « le poids de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;force verticale descendante&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt;» et 
* « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; qui se réduisent en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, 
{{Al|5}}on en déduit que « &lt;u&gt;le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;est nul&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire dynamique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}l'application, à l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» soit, dans le cas présent, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. « &lt;u&gt;la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;par rapport à l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;conservation du moment cinétique scalaire&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, ceci restant &lt;u&gt;indépendant de la déformation du système&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s’écrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale séparant le point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;\left( m_i \right)\;&lt;/math&gt; de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;}}&lt;br&gt;{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et le pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;\left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;tant que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne se déforme pas&lt;/u&gt;, son moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» reste constant &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et par suite, &lt;u&gt;ceci établit&lt;/u&gt; l’équivalence entre 
* « &lt;u&gt;la conservation&lt;/u&gt; du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » et 
* «{{Transparent|la conserv}} celle &lt;u&gt;de la vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation » ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante mais de valeur plus faible dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase initiale » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait repris son extension la plus proche de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt; {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante de valeur plus grande dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase précédente &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline\Omega_0 &gt; \overline{\Omega'}_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot;&gt; Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; décrit, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, éventuellement un mouvement radial et axial &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot;&gt; L'origine &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt; ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;&lt;/math&gt; d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta  \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot; /&gt; ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement la validité de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» lors des deux phases de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» et

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;».

=== Bilan énergétique du tabouret d’inertie ===

{{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; composé du « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt;» est l’énergie cinétique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} l’énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’éloignement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou du rapprochement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des haltères de l'axe de rotation, cet écartement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou cette approche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; &lt;br&gt;{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors de l’éloignement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail résistant &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;augmentation de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;&lt;/math&gt; lors de l'éloignement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors du rapprochement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail moteur &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;diminution de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;&lt;/math&gt; lors du rapprochement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante :
* « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» et 
* « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;les actions extérieures non conservatives&lt;/u&gt; étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; lesquelles, se réduisant en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, en une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; En effet la résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; ayant pour point d'application le point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, le travail &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant supposées toutes conservatives, &lt;u&gt;les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable&lt;/u&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » &lt;ref name=&quot;conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures  et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans la mesure où &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans son extension la plus éloignée de ce dernier » &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t)\;&lt;/math&gt;}} la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec cette extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;laquelle garde la valeur «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec la même extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;&lt; \!\!\!&amp;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt; associées à la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) &lt; K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;si la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;correspond au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des parties déformables de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à la même altitude&lt;/u&gt;, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; prend la même valeur après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;de la conservation de l'énergie mécanique &lt;u&gt;de part et d'autre de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation&lt;/u&gt;, on en tire, après simplification,  &lt;center&gt;«&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;» soit encore&lt;/center&gt;
{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une augmentation d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; ainsi que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une diminution d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot;&gt; En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.&lt;/ref&gt;, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; De même «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; comme prouvé ci-après ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; que l'on peut réécrire, en factorisant le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en reconnaissant dans «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation en ajoutant à &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;&lt;/math&gt; l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D}' \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit encore &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; ou, la grandeur moment d'inertie &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; étant « additive » &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot;&gt; Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\emptyset \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)&lt;/math&gt;, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]]
}}</text>
      <sha1>jlwzn5ddja3rrnz5zpnm36owdim9d2a</sha1>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable */</comment>
      <origin>988280</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="327515" sha1="bxpim9pwaa98rqnzm06w6imtgjf6tit" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 13
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». 

=== Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot;&gt; Système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit évidemment être &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\big]&lt;/math&gt;, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.&lt;/ref&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; C.-à-d. déformable ou non.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;selon la définition &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans toute cette note, &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; représente le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique de l'expansion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;»,
 selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pseudo-point de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le vecteur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }&lt;/math&gt; }}vitesse du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse relative, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j,\;j \neq i&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, lié à &lt;math&gt;\,M_j&lt;/math&gt;, en translation par rapport &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, égal à «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» différence définie dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt;, ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, soit aussi, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\,
 \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; en regroupant les points deux par deux, ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; notées &lt;math&gt;\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pour base sphérique orthonormée liée à &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;la « force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot;&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.D. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_j}\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure
 que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt; est identiquement nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot;&gt; En effet, pour un système discret de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt;}} avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; » mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable&quot;&gt; En effet, pour un système discret déformable de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\;&lt;/math&gt; pour un système déformable ».

== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est rappelé ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nulle «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit à «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit « }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré où &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]&lt;/math&gt;.

== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; « quelconque » }}sont rappelés ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nul &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit, sous sa forme élémentaire, à «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré pour lequel &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}} = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme à durée finie.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit }}«&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives ==

{{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable ainsi que &lt;br&gt;{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

=== Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; selon le lien entre dérivée et différentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable&quot;&gt; Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» pour composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; étant
une « forme différentielle des &lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt; variables &lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt; indépendantes » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot;&gt; Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;dépendance du cœfficient de drij&quot;&gt; Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,&lt;/math&gt; mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j &gt; k \neq i\,&lt;/math&gt; ni des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j &gt; i\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle de la variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}&lt;/math&gt;, le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; étant une fonction des trois variables &lt;math&gt;\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les deux intégrations volumiques sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfaciques sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou curvilignes sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; emboîtées remplaçant la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; en étant distincts l'un de l'autre.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; différente, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « chacune des&lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;&lt;/math&gt;formes différentielles&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;est }}&lt;u&gt;fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|&lt;sup&gt;35&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}le système des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; est uniquement fonction des trois variables indépendantes &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}&lt;math&gt;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)&lt;/math&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot;&gt; Condition(s) Nécessaire(s).&lt;/ref&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» soit une &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt; mais soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,y\;&lt;/math&gt;»,
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,z\;&lt;/math&gt;» et
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; ce qui est évidemment vérifié ; 
{{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;&lt;/math&gt;» soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne dépende que de &lt;math&gt;\,x\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; mais soit fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|&lt;sup&gt;39&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot;&gt; Condition(s) Suffisante(s).&lt;/ref&gt; dans la mesure où la &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot;&gt; Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; &lt;br&gt;{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sur un « ouvert &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot;&gt; Une partie &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; ouverte ou non de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3\,&lt;/math&gt; est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; contient au moins un point &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; tel que, pour tout point &lt;math&gt;\,Q\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, le segment &lt;math&gt;\,\left[ PQ \right]\,&lt;/math&gt; est inclus dans &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, on dit alors que &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est « étoilée par rapport à &lt;math&gt;\,P\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{U\,&lt;/math&gt; est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est étoilée par rapport à chacun de ses points&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.&lt;/ref&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot;&gt; D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire &lt;ref&gt; Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.&lt;/ref&gt; s'écrive selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par double intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction.&lt;/ref&gt;, fonction à partir de laquelle se définit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» et déduite de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;&lt;/math&gt;» déduite de &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle&quot;&gt; Ou encore &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,&lt;/math&gt; voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; repéré dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\{&lt;/math&gt;voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la même leçon&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; » soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la valeur de &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et comme « l'intensité de l'interaction entre particules &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;quel que soit le type d'interaction&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; très rapidement quand la distance les séparant &lt;math&gt;\,\nearrow\;&lt;/math&gt;» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|&lt;math&gt;\,;\big(&lt;/math&gt;pour}} le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la valeur de &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés soit pour référence de &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que la valeur «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}}
 \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;» on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en permutant double somme discrète et différenciation &lt;ref name=&quot;différenciation opération linéaire&quot;&gt; la différenciation étant une opération linéaire.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot; /&gt; l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces &lt;br&gt;{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou d'un sous-système de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|&lt;sup&gt;46&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable :
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}dans lesquelles «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt; est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable ===

{{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels il y a &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; couple de points &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;&lt;/math&gt;».

==== Système « Terre – Lune » ====

{{Al|5}}Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Terre dans lequel &lt;math&gt;\,T\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{♁} \,&lt;/math&gt; sa masse, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Lune dans lequel &lt;math&gt;\,L\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{☽} \,&lt;/math&gt; sa masse ;

{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; est la distance séparant leur C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» dont on tire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d’où, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre &lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot;&gt; Situation évidemment hypothétique.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0&lt;/math&gt;, l'expression de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot; /&gt; ».

==== Atome d’hélium ====

[[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]]
{{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «&lt;math&gt;\;+2e\;&lt;/math&gt;» et de deux électrons de charge individuelle «&lt;math&gt;\;-e\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_1\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_1\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_2\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_2\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;N\,, \left( +2 e \right)\;&lt;/math&gt;» pour le noyau &lt;math&gt;\,\left( 3 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nombre de couples&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\,N = 3\,&lt;/math&gt; particules, il y a en effet «&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;&lt;/math&gt;» couples différents de particules.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot;&gt; Selon la force de Coulomb que &lt;math&gt;\,M'\,\left( q' \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,\left( q \right)\,&lt;/math&gt; dans le vide «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » &lt;math&gt;\,\big[\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,r_{1,\,2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des deux électrons et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot;&gt; La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;plus généralement d'un milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est une constante caractérisant la réponse du vide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de celle du milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à l'action d'un champ électrique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant &lt;math&gt;\,0,05\;\%\,&lt;/math&gt; supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; de valeur telle que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}électrons &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q&lt;sub&gt;O&lt;/sub&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot;&gt; La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{1}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_1 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot;&gt; La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_2 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;&lt;/math&gt;» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme correspondant à une répulsion &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot; /&gt; et les deux derniers à une attraction &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt;.

== « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » ==

{{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces formes intégrée et locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot; /&gt; sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

=== Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; peut être &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels&quot;&gt; Voir la relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{c} \right)\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion
 linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;&lt;/math&gt;» la résultante des forces &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;&lt;/math&gt;» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\;N\,&lt;/math&gt; variables scalaires indépendantes &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des }}positionnant les &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»}} ou «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; variables scalaires repérant le point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l'intégration volumique sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou curviligne sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; remplaçant la somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont chacune &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{N}\,&lt;/math&gt; }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|&lt;sup&gt;71&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|&lt;sup&gt;72&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est repéré, dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par ses coordonnées &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}cartésiennes &lt;math&gt;\,\left( x_i, y_i, z_i \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot;&gt; On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou un repérage sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter
* l'expression du travail élémentaire en utilisant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\,&lt;/math&gt; en cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\,&lt;/math&gt; en sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ainsi que 
* l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;»,
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;» et
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_-_ter-76|&lt;sup&gt;76&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot; /&gt; dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt; sur &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}un « ouvert étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot; /&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » est que le travail élémentaire de ce système de forces &lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En repérage cartésien&lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}satisfasse les conditions «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces extérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes :
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; ») ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire de ces forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée » notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, fonction utilisée pour définir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» et vérifiant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_élémentaire_des_forces_extérieures_de_type_k_conservatives_d'un_système_continu_de_matière-80|&lt;sup&gt;80&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}} «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la position de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt;»}} au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » selon  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} s'écrit sous la forme 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle volumique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle surfacique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle linéique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ===

{{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt;, déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, }}est notée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,E_m(t)\,&lt;/math&gt; en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est }}définie selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;K_{(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces intérieures de type &lt;math&gt;\,_l\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ou « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_du_théorème_de_l'énergie_cinétique_d’un_système_de_matière_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_galiléen|rappel du théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s’écrivant &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», on y distingue, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;dans &lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;, les forces extérieures conservatives de celles qui ne le sont pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l'énergie &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}potentielle de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}&lt;math&gt;W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« &lt;math&gt;\color{transparent}{W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; d'où }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;dans &lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;, les forces intérieures conservatives de celles qui ne le sont pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l'énergie &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}potentielle de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le champ des forces intérieures de type &lt;math&gt;\,_\mathit{l}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}&lt;math&gt;W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« &lt;math&gt;\color{transparent}{W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; d'où }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», d'où &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} - \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}on bascule alors les variations d’énergies potentielles changées de signe dans le membre de gauche d'où &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta\! \left[ K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}avec «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable avec « }}déformable &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Énergie_mécanique_d'un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives|énergie mécanique d'un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intéreieures conservatives]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;».

{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, entre les instants &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{I}}\;&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\;t_{\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire :
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la variation d'énergie mécanique d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur l'intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» et de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; sur le même intervalle &lt;math&gt;\;\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous ces deux formes le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» dans lequel on reconnaît
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, la puissance mécanique instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;»,
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et
* dans le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où
{{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

== « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas ==

{{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}« &lt;u&gt;L'énergie mécanique d'un système de matière&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives&lt;/u&gt;, définie dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;u&gt;est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; s’exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; ; 

{{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» ou, après intégration, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;».

== Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie ==

=== Présentation du tabouret d’inertie ===

[[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]]
{{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » :

{{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec un minimum de frottement solide et fluide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; autour d'un axe « vertical » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et sur le siège duquel est positionné un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen&lt;math&gt;\big)\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Description de l’expérience ===

{{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; 

{{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}le même « moteur interne » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et on observe que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; en reprenant sa valeur initiale. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes.

=== Explication de l’observation ===

{{Al|5}}L'ensemble « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;», n'étant soumis qu'aux actions extérieures 
* « le poids de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;force verticale descendante&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt;» et 
* « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; qui se réduisent en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, 
{{Al|5}}on en déduit que « &lt;u&gt;le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;est nul&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire dynamique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}l'application, à l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» soit, dans le cas présent, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. « &lt;u&gt;la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;par rapport à l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;conservation du moment cinétique scalaire&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, ceci restant &lt;u&gt;indépendant de la déformation du système&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s’écrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale séparant le point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;\left( m_i \right)\;&lt;/math&gt; de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;}}&lt;br&gt;{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et le pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;\left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;tant que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne se déforme pas&lt;/u&gt;, son moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» reste constant &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et par suite, &lt;u&gt;ceci établit&lt;/u&gt; l’équivalence entre 
* « &lt;u&gt;la conservation&lt;/u&gt; du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » et 
* «{{Transparent|la conserv}} celle &lt;u&gt;de la vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation » ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante mais de valeur plus faible dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase initiale » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait repris son extension la plus proche de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt; {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante de valeur plus grande dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase précédente &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline\Omega_0 &gt; \overline{\Omega'}_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot;&gt; Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; décrit, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, éventuellement un mouvement radial et axial &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot;&gt; L'origine &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt; ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;&lt;/math&gt; d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta  \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot; /&gt; ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement la validité de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» lors des deux phases de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» et

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;».

=== Bilan énergétique du tabouret d’inertie ===

{{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; composé du « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt;» est l’énergie cinétique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} l’énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’éloignement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou du rapprochement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des haltères de l'axe de rotation, cet écartement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou cette approche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; &lt;br&gt;{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors de l’éloignement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail résistant &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;augmentation de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;&lt;/math&gt; lors de l'éloignement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors du rapprochement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail moteur &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;diminution de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;&lt;/math&gt; lors du rapprochement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante :
* « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» et 
* « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;les actions extérieures non conservatives&lt;/u&gt; étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; lesquelles, se réduisant en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, en une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; En effet la résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; ayant pour point d'application le point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, le travail &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant supposées toutes conservatives, &lt;u&gt;les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable&lt;/u&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » &lt;ref name=&quot;conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures  et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans la mesure où &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans son extension la plus éloignée de ce dernier » &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t)\;&lt;/math&gt;}} la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec cette extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;laquelle garde la valeur «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec la même extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;&lt; \!\!\!&amp;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt; associées à la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) &lt; K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;si la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;correspond au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des parties déformables de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à la même altitude&lt;/u&gt;, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; prend la même valeur après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;de la conservation de l'énergie mécanique &lt;u&gt;de part et d'autre de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation&lt;/u&gt;, on en tire, après simplification,  &lt;center&gt;«&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;» soit encore&lt;/center&gt;
{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une augmentation d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; ainsi que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une diminution d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot;&gt; En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.&lt;/ref&gt;, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; De même «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; comme prouvé ci-après ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; que l'on peut réécrire, en factorisant le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en reconnaissant dans «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation en ajoutant à &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;&lt;/math&gt; l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D}' \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit encore &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; ou, la grandeur moment d'inertie &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; étant « additive » &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot;&gt; Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\emptyset \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)&lt;/math&gt;, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]]
}}</text>
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      <contributor>
        <username>Phl7605</username>
        <id>31541</id>
      </contributor>
      <comment>/* Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable */</comment>
      <origin>988281</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="330254" sha1="teta8esrx6xr7q7v2kibnp3tenuu3ir" xml:space="preserve">{{Chapitre
  | idfaculté = physique
  | numéro    = 13
  | niveau    = 14
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie/]]
  | suivant   = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités/]]
}}

&lt;center&gt;Ce chapitre est traité dans le cadre de la dynamique newtonienne avec ajout de quelques éléments de dynamique relativiste.&lt;/center&gt;
== Explicitation de la puissance du système des forces intérieures s’exerçant sur un « système déformable de matière » ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « système de matière » il faut entendre }}« système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ». 

=== Rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière « quelconque » ===

{{Al|5}}La puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot;&gt; Système &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;fermé&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; discret de points matériels ou continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique mais, dans le corps de l'exposé, nous considérerons un système discret de points matériels «&lt;math&gt;\;\left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1\, ,\, 2 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; doit évidemment être &lt;math&gt;\,\geqslant\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,2\big]&lt;/math&gt;, le cas d'un système continu de matière étant, si nécessaire, exposé en notes de bas de chapitre.&lt;/ref&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot;&gt; C.-à-d. déformable ou non.&lt;/ref&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}a été explicitée sous diverses expressions dans ce [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|paragraphe]] du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Puissance_(du_système)_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_«_système_de_matière_»_relativement_à_un_référentiel_d'étude|puissance (du système) des forces intérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures a été explicitée sous }}ces dernières sont rappelées ci-dessous : &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}\!\left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par les forces intérieures que chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;selon la définition &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition_2|définition]] (de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{M_i}(t) \right\rbrace = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_{M_i}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - bis&quot;&gt; Dans toute cette note, &lt;math&gt;\,\vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt; représente le vecteur vitesse de &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;point générique de l'expansion&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;»,
 selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pseudo-point de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction d'elle et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d S_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; définie selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)&lt;/math&gt;»}} est la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; se réécrit, en explicitant la puissance d'une force en fonction de cette dernière et du vecteur vitesse de son point d'application, selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou encore, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) = \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace \cdot \vec{V}_M(t)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;définition de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,\vec{V}_{M_i}\!(t)\,&lt;/math&gt; étant le vecteur &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }&lt;/math&gt; }}vitesse du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Autres_expressions_équivalentes|autres expressions équivalentes]] (de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t)\,&lt;/math&gt; le vecteur vitesse relative, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j,\;j \neq i&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec }}&lt;math&gt;\Big[&lt;/math&gt;c.-à-d. le vecteur vitesse, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt;, lié à &lt;math&gt;\,M_j&lt;/math&gt;, en translation par rapport &lt;br&gt;{{Al|68}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = }\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\color{transparent}{\Big[}&lt;/math&gt;}}à &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, égal à «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{M_i}(t) - \vec{V}_{M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» différence définie dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\Big]&lt;/math&gt;, ou, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;, soit aussi, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \displaystyle\iiint_{M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,;\left( S \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\;&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \displaystyle\iint_{M'\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression de la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; peut s'obtenir à partir de celle établie pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» en remplaçant la double somme discrète par une double intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t)\;&lt;/math&gt;» doit être substitué par «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et en introduisant le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \displaystyle\int_{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; par {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\,
 \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; en regroupant les points deux par deux, ou encore &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_j}\!\! \left[ \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;expression équivalente de la puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}_{/\,\mathcal{R}_{M'}}\! \left[ \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \right]\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;. &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt;» par ses « coordonnées sphériques de pôle &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; notées &lt;math&gt;\,\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}avec «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}},\, \vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; pour base sphérique orthonormée liée à &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;repérage sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées sphériques et base locale associée d'un point]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;la « force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\;&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\Big(&lt;/math&gt;se déduit de la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; relation du principe des actions réciproques &lt;ref name=&quot;principe des actions réciproques&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Loi_de_la_quantité_de_mouvement_:_Forces,_principe_des_actions_réciproques#Énoncé_du_principe_des_actions_réciproques|énoncé du principe des actions réciproques]] » du chap.&lt;math&gt;6&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_iM_j} \wedge \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,M_j} = \vec{0}\Big)&lt;/math&gt;, avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}\;\left\lbrace \begin{array}{c} &gt; 0\; \text{lors d’une répulsion}\\ &lt; 0\; \text{lors d’une attraction}\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot;&gt; Cette grandeur garde la même expression si on permute « auteur et receveur » en effet «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = -\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = -\overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;la composante radiale ne dépendant dans les faits que de la distance «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;», les deux autres coordonnées angulaires intervenant implicitement dans «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s’écrit encore «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;» car «&lt;math&gt;\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}} = -\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» et comme, par définition, «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i} = \overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j})\;\vec{u}_{r_{i\,\rightarrow\,j}}\;&lt;/math&gt;», ceci établit que «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\!M_j\, \leftarrow\, M_i}(r_{i,\,j}) = \overline{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» C.Q.F.D. &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;Ce Qu’il Fallait Démontrer&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; définissant « l'intensité de l’interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;indépendant de la permutation auteur receveur&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}simplement notée «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot;&gt; Pour simplifier on pose «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;», l'intensité de l'interaction entre &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; dépendant, a priori, des trois composantes sphériques de «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{j,\,i}\;&lt;/math&gt;» à savoir &lt;math&gt;\;\left\lbrace r_{i,\,j},\, \theta_{i,\,j},\, \varphi_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; d’où la réécriture «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j} = \overline{F}_{i,\,j}(\vec{r}_{j,\,i})\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;», de même, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;le « vecteur vitesse relative de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt;» s'écrit, dans le repérage sphérique ci-dessus, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;Repérant le point «&lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{R}_j}\,&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{r_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\dot{\theta}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\theta_{j\,\rightarrow\,i}} + r_{i,\,j}(t)\;\sin\! \left[ \theta_{i,\,j}(t) \right]\;\dot{\varphi}_{i,\,j}(t)\;\vec{u}_{\varphi_{j\,\rightarrow\,i}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vitesse en sphérique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Description_et_paramétrage_du_mouvement_d'un_point_:_Systèmes_de_coordonnées#Déduction_des_composantes_correspondantes_du_vecteur_vitesse_du_point_repéré_dans_le_référentiel_d'étude_2|déduction des composantes correspondantes du vecteur vitesse du point repéré dans le référentiel d'étude]] (en repérage sphérique) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;l'expression, en sphérique, de la puissance développée par la force que &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_j}\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{M_i}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, M_j}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i \,/\,\mathcal{R}_j}(t) = \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;, soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance des forces intérieures &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\;&lt;/math&gt;}}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; conséquence des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur système continu de matière - penta&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\;&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( S \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; ayant été établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_ter-8|&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t) \cdot \vec{V}_{M\,/\,\mathcal{R}_{M'}}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; dans laquelle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;» est la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure
 que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié au point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, peut se réécrire, en utilisant le repérage sphérique de pôle &lt;math&gt;\,M'\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; du référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, la base sphérique étant liée à &lt;math&gt;\,M\,\in \left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; selon {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\Big[&lt;/math&gt;pour simplifier on a posé &lt;math&gt;\;\overrightarrow{M'M} = \vec{r}_{M',\,M}\Big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot;&gt; C.-à-d. un solide au sens de la mécanique.&lt;/ref&gt; est identiquement nulle &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot;&gt; En effet, pour un système discret de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce, expression en sphérique) » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace i\,,\, j \neq i \right\rbrace \in \left[ \left[ 1\,,\, N \right] \right]^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce {{Nobr|chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt;}} avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( S \right)^2&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\dot{r}_{M,\,M'}(t) = 0\,\;\forall\, \left\lbrace M\,,\, M' \neq M \right\rbrace \in \left( \Gamma \right)^2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|15}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière indéformable est }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0,\;\;\forall\; t\;&lt;/math&gt; pour un système indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; » mais &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant }}sur un système déformable ceci est, a priori, faux &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas très particulier que nous ne considérerons pas&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un système déformable&quot;&gt; En effet, pour un système discret déformable de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{r}_{i,\,j}(t)\;&lt;/math&gt;»}} entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Conséquences_diverses|conséquences diverses]] (1&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles ; &lt;br&gt;{{Al|3}}{{Transparent|En effet, }}pour un système continu de matière déformable d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\,&lt;/math&gt; sauf cas très particulier » car les vitesses relatives radiales «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» entre deux points quelconques sont, a priori, individuellement non nulles.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système déformable ceci est, a priori, faux }}«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; a priori &lt;math&gt;\,\neq 0\;&lt;/math&gt; pour un système déformable ».

== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de la puissance cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt;, à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère partie#Énoncé|énoncé]] (du théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; est rappelé ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance cinétique appliqué à un « système de matière quelconque »|contenu = {{Al|5}}La puissance cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot;&gt; Par « système de matière quelconque » il faut entendre « système fermé discret de points matériels ou continu de matière » « déformable ou non ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t)\;&lt;/math&gt;» est égale &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}à la somme de la puissance développée par les forces extérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique à la somme }}de celle développée par les forces intérieures appliquées à &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à la même date &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;&lt;/math&gt;» soit, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance cinétique }}«&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nulle «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit à «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Théorème_de_la_puissance_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen|théorème de la puissance cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : La puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures }}étant, a priori, non identiquement nulle &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) \;\not\equiv\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;\dot{K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de la puissance cinétique appliqué, à l'instant &lt;math&gt;\,\color{transparent}{t}&lt;/math&gt;, à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit « }}&lt;math&gt;\big[&lt;/math&gt;sauf cas particulier non considéré où &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = 0\;\forall\;t\big]&lt;/math&gt;.

== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière déformable ou non, distinction énergétique du caractère déformable d’un système ==

{{Al|5}}Par « système de matière » il faut entendre « système discret de points matériels » ou « système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Par « }}système fermé et, a priori, « déformable ».

=== Rappel du théorème de l'énergie cinétique d’un système de matière « quelconque » dans un référentiel galiléen ===

{{Al|5}}Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; « quelconque » &lt;ref name=&quot;quelconque&quot; /&gt; sous une forme élémentaire ou sur une durée finie dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorèmes de l'énnergie cinétique appliqués à système de matière quelconque&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Les théorèmes de l'énergie cinétique appliqués à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; « quelconque » }}sont rappelés ci-après :
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|9}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dK_{\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur le même intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;dK_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Théorème|titre=Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un « système de matière quelconque » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie cinétique d’un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; entre les dates &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - K_{\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui des forces intérieures }}sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}soit, mathématiquement, «&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque &lt;ref name=&quot;système de matière quelconque&quot; /&gt; sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de l'énergie cinétique }}est utilisable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Cas particulier d’un système déformable ===

{{Al|5}}&lt;u&gt;Préliminaire&lt;/u&gt; : Le travaail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; étant identiquement nul &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : Le travaail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\;\;\forall\;\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;puissance des forces intérieures s'exerçant sur un solide&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Préliminaire : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; indéformable &lt;ref name=&quot;solide&quot; /&gt; se réduit, sous sa forme élémentaire, à «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l'énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_solide_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt; ou, &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, }}sur une durée finie, à «&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|13}}{{Transparent|Préliminaire : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; indéformable se réduit, sur une durée finie, à «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Cas d'un système déformable&lt;/u&gt; : Le travail développé par le système de forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable étant, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle élémentaire &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : Le travail développé par le système de forces intérieures }}sur un intervalle fini &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; a priori, non nul &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré&quot; /&gt; «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt \;\neq\; 0\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : }}le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable s'écrit «&lt;math&gt;\;d{K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}} + \delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot;&gt; Sauf cas particulier non considéré pour lequel &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}} = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme élémentaire ou &lt;br&gt;{{Al|20}}{{Transparent|Sauf cas particulier non considéré pour lequel }}&lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{I}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt = 0\,&lt;/math&gt; pour la forme à durée finie.&lt;/ref&gt; ou &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit }}«&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;sauf cas particulier non considéré - bis&quot; /&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Cas d'un système déformable : le théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable s'écrit «}}&lt;math&gt;\;\Delta {K}_{\left( \mathcal{S} \right)} = {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{F}}) - {K}_{\left( \mathcal{S} \right)}(t_{\mathcal{I}})&lt;/math&gt;.

== « En complément », caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un système de matière déformable et énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives ==

{{Al|5}}La notion du « caractère conservatif de forces intérieures » appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable ainsi que &lt;br&gt;{{Al|14}}celle d’« énergie potentielle du système dans ce champ de forces intérieures conservatives » ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I., mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces notions sont néanmoins indispensables à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Descriptions_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Quelles_énergies_utiliser_pour_un_système_thermodynamique_étudié_dans_un_référentiel_donné_?|quelle énergie utiliser pour un système thermodynamique défini dans un référentiel donné ?]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;. 

=== Caractère conservatif de certaines forces intérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot;&gt; Pour l'existence de forces intérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt; doit être évidemment &lt;math&gt;\;\geqslant\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;2&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;vecteur rij&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_des_expressions_de_la_puissance_des_forces_intérieures_appliquées_à_un_système_de_matière_«_quelconque_»|rappel des expressions de la puissance des forces intérieures appliquées à un système de matière quelconque]] (4&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; puce) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref&gt; Le prolongement aux systèmes continus fermés de matière ayant été établi dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces intérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{int}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \left[ \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ \vec{r}_{j,\,i}(t) \right]\;\dot{r}_{i,\,j}(t) \right\rbrace \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En effet &lt;math&gt;\,\dot{r}_{i,\,j}(t)\;dt = d{r}_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; selon le lien entre dérivée et différentielle.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;travail des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière déformable&quot;&gt; Prolongement aux systèmes continus fermés de matière d'après la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{int}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales volumiques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}}{d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bivolumique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathcal{V}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \mu(M')\;d \mathcal{V}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales surfaciques emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} = \overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}}{d S_{M'}\;d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bisurfacique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, M'\,(d S_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \sigma(M')\;d S_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» sont les composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-puissance_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière_-_penta-16|&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}(t) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ \vec{r}_{M',\,M}(t) \right] \; \dot{r}_{M,\,M'}(t)\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;correspondant à deux intégrales curvilignes emboîtées, voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{r}_{M',\,M} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\overrightarrow{M'M}\;&lt;/math&gt;» est le vecteur position relative du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}\,&lt;/math&gt; le référentiel lié à l'autre point générique &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, et {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( \vec{r}_{M',\,M} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}}{d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité bilinéique de résultante des forces intérieures que &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{d^2F}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, M'\,(d \mathit{l}_{M'})}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la force intérieure que le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M',\; dm = \lambda(M')\;d \mathit{l}_{M'} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette même expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;\dot{r}_{M,\,M'}(t)\;&lt;/math&gt;» la composante radiale de la vitesse relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\;&lt;/math&gt;» pour composantes sphériques du vecteur position relative de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{int}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{int}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; étant
une « forme différentielle des &lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt; variables &lt;math&gt;\;r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt; indépendantes » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot;&gt; Généralisation de la notion introduite dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Définition_d'une_forme_différentielle_des_variables_indépendantes_«_x,_y_et_z_»|définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y et z]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;dépendance du cœfficient de drij&quot;&gt; Le cœfficient de l'élément différentiel de la variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; étant une fonction de cette variable et des deux autres variables définissant les composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_i} = \vec{r}_{j,\,i}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right)\,&lt;/math&gt; mais ne dépendant pas des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_jM_k} = \vec{r}_{j,\,k},\;j &gt; k \neq i\,&lt;/math&gt; ni des composantes sphériques dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_l,\;l \neq j\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\overrightarrow{M_lM_i} = \vec{r}_{l,\,i},\;l \neq j &gt; i\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,}} «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle de la variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}&lt;/math&gt;, le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; étant une fonction des trois variables &lt;math&gt;\,\left( r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, les deux intégrations volumiques sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfaciques sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou curvilignes sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\,&lt;/math&gt; emboîtées remplaçant la double somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,j\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; en étant distincts l'un de l'autre.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de }}chacune dépend d'une variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; différente, on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de&lt;/u&gt; &lt;br&gt;{{Al|12}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « chacune des&lt;math&gt;\;\color{transparent}{N\,(N - 1)}\;&lt;/math&gt;formes différentielles&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;est }}&lt;u&gt;fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - bis&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_inté9rieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_déformable-32|&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète-35|&lt;sup&gt;35&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}le système des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}dans la mesure où le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; est uniquement fonction des trois variables indépendantes &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}&lt;math&gt;\left( r_{i,\,j}, \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)&lt;/math&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot;&gt; Condition(s) Nécessaire(s).&lt;/ref&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j},\,\theta_{i,\,j},\,\varphi_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» soit une &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}différentielle de fonction est que « le cœfficient de &lt;math&gt;\,dr_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{i,\,j}, \varphi_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt; mais soit &lt;br&gt;{{Al|10}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « }}fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx = f(x,\,y,\,z)\;dx + 0\;dy + 0\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,y\;&lt;/math&gt;»,
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne doit pas dépendre de &lt;math&gt;\,z\;&lt;/math&gt;» et
* &lt;math&gt;\,\left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) = 0 \;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, 0}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) = 0\,&lt;/math&gt; ce qui est évidemment vérifié ; 
{{Al|3}}en conclusion la C.N. pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;f(x,\,y,\,z)\;dx\;&lt;/math&gt;» soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;f\,&lt;/math&gt; ne dépende que de &lt;math&gt;\,x\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - bis&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{2}\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que «&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'}\,,\,\theta_{M,\,M'}\,,\,\varphi_{M,\,M'} \right]\,&lt;/math&gt; ne dépende pas de &lt;math&gt;\,\left( \theta_{M,\,M'}, \varphi_{M,\,M'} \right)\,&lt;/math&gt; mais soit fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», la justification étant la même que celle exposée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction-39|&lt;sup&gt;39&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot;&gt; Condition(s) Suffisante(s).&lt;/ref&gt; dans la mesure où la &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot;&gt; Une forme différentielle pour laquelle les « conditions d'égalités des dérivées croisées » sont vérifiées sur un ouvert de son domaine de définition est dite fermée sur cet ouvert ; &lt;br&gt;{{Al|3}}d'après les C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on peut donc affirmer qu'une différentielle exacte est une forme différentielle fermée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;mais la réciproque est a priori fausse sans ajouter de conditions supplémentaires sur la forme différentielle fermée&lt;math&gt;\big]\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; sur un « ouvert &lt;br&gt;{{Al|23}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est conservatif si « fonction de la seule variable &lt;math&gt;\,\color{transparent}{r_{i,\,j}}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot;&gt; Une partie &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; ouverte ou non de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3\,&lt;/math&gt; est dite « [[w:Partie_étoilée|étoilée]] » lorsque &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; contient au moins un point &lt;math&gt;\,P\,&lt;/math&gt; tel que, pour tout point &lt;math&gt;\,Q\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, le segment &lt;math&gt;\,\left[ PQ \right]\,&lt;/math&gt; est inclus dans &lt;math&gt;\,U&lt;/math&gt;, on dit alors que &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est « étoilée par rapport à &lt;math&gt;\,P\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\big\{U\,&lt;/math&gt; est « [[w:Ensemble_convexe|convexe]] » ssi &lt;math&gt;\,U\,&lt;/math&gt; est étoilée par rapport à chacun de ses points&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}ainsi pour qu'une forme différentielle fermée soit une différentielle de fonction scalaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou une différentielle exacte&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, la fermeture doit être réalisée sur un ouvert étoilé par rapport au point de définition de la forme différentielle.&lt;/ref&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot;&gt; D'après le théorème de Poincaré relatif aux formes différentielles fermées sur un ouvert étoilé de &lt;math&gt;\,\mathbb{R}^3&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_suffisantes_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|C.S. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|3}}voir aussi la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-forme_différentielle_fermée-42|&lt;sup&gt;42&lt;/sup&gt;]] » relative à la fermeture d'une forme différentielle et celle « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-ouvert_étoilé-43|&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt;]] » sur la définition d'un ouvert étoilé. &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Henri_Poincaré|Henri Poincaré]] (1854 - 1912)''' mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal]], des avancées sur le [[w:Problème_à_N_corps#Remarque_sur_le_problème_à_trois_corps|problème à trois corps]] qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la [[w:Théorie_du_chaos|théorie du chaos]], une participation active à la théorie de la [[w:Relativité_restreinte|relativité restreinte]] ainsi qu'à la [[w:Théorie_des_systèmes_dynamiques|théorie des systèmes dynamiques]] &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}est que son travail élémentaire &lt;ref&gt; Ou le travail élémentaire d'un des sous-systèmes de forces intérieures dont on cherche à prouver le caractère conservatif.&lt;/ref&gt; s'écrive selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces intérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrive, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overline{f}_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} \overline{f}_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overline{f}_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d{r}_{M,\,M'}\; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces intérieures conservatives) ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces intérieures s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces intérieures conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par double intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces intérieures considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{int}}\,&lt;/math&gt; s'écrivant «&lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\; \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right) \, d{r}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction.&lt;/ref&gt;, fonction à partir de laquelle se définit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'« énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\;&lt;/math&gt;» et déduite de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction du couple (M, M') pour un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on définit l'« énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}(r_{M,\,M'})\;&lt;/math&gt;» déduite de &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\! \left( r_{M,\,M'} \right)\, d{r}_{M,\,M'} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,\text{int},\, M,\, M'}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{int},\, i,\, j}}{d{r}_{i,\,j}} = -\overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle&quot;&gt; Ou encore &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{int},\, i,\, j} \right]\,&lt;/math&gt; voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » adapté au cas du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; repéré dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;référentiel lié à &lt;math&gt;\,M_j\,&lt;/math&gt; en translation par rapport au référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\big]\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow M_j} = \overline{F}_{i,\,j}\! \left( r_{i,\,j} \right)\,\vec{u}_{j \rightarrow i}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[\vec{u}_{j \rightarrow i}\,&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire radial de la base sphérique lié à &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_j\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\{&lt;/math&gt;voir la « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ainsi que les « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Composantes_sphériques_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|composantes sphériques du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » dans le même chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la même leçon&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'} \right]\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; » soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle d’interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la valeur de &lt;math&gt;\,r_{i,\,j}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et comme « l'intensité de l'interaction entre particules &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;quel que soit le type d'interaction&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\searrow\,&lt;/math&gt; très rapidement quand la distance les séparant &lt;math&gt;\,\nearrow\;&lt;/math&gt;» avec une limite nulle à l’infini, on choisit pour référence de &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j})\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction {{Nobr|&lt;math&gt;\,;\big(&lt;/math&gt;pour}} le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple de points génériques &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la valeur de &lt;math&gt;\,r_{M,\,M'}\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,M'\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés soit pour référence de &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que la valeur «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;» n'est, en général, pas réalisée, le volume, l'aire ou la longueur de l'expansion considérée étant, dans la plupart des cas, une grandeur finie&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique s'écrit sous la forme {{Nobr|«&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= -\displaystyle\int^{r_{M,\,M'}}
 \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est choisie nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ou, après avoir choisi la référence de cette énergie potentielle &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot;&gt; C.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique du couple (M, M')&quot;&gt; S'écrivant encore &lt;math&gt;\,u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( {r'}_{M,\,M'} \right) d {r'}_{M,\,M'}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;math&gt;\,r_{i,\,j} = \infty\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, le choix de la référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. l'endroit &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou la valeur de la variable&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; où la grandeur considérée est choisie nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique est «&lt;math&gt;\;r_{M,\,M'} = \infty\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}de «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} \overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{i,\,j}\! \left[ r_{i,\,j} \right]\;d{r}_{i,\,j} = -dU_{\text{int},\, i,\, j}\;&lt;/math&gt;» on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} -dU_{\text{int},\, i,\, j} \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» ou, en permutant double somme discrète et différenciation &lt;ref name=&quot;différenciation opération linéaire&quot;&gt; la différenciation étant une opération linéaire.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, de }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}} = -d \left\lbrace \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace = -d \left\lbrace \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right] \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» dont on déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, }}l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» selon &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,&gt;\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace = \dfrac{1}{2}\;\sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left\lbrace \sum\limits_{j\,=\,1\,..\,N}^{j\,\neq\,i} U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}avec «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\, i,\, j}(r_{i,\,j}) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{i,\,j}} \overline{F}_{i,\,j}\! \left( {r'}_{i,\,j} \right)\; d{r'}_{i,\,j}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre forme de l'énergie potentielle d'interaction du couple (Mi, Mj)&quot; /&gt; l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces &lt;br&gt;{{Al|95}}{{Transparent|Si le système des forces intérieures est conservatif, l'énergie potentielle d'interaction }}intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M_i,\, M_j \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle d'interaction d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, de l'expression du travail élémentaire des forces intérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou d'un sous-système de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; vue dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_que_le_système_des_forces_intérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière_soit_conservatif-46|&lt;sup&gt;46&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre et de la définition de l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique dont dérive la force bivolumique, bisurfacique ou bilinéique d'interaction correspondante vue à la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_d'interaction_du_couple_(M,_M')_pour_un_système_continu_de_matière-48|&lt;sup&gt;48&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre, on en tire l'expression de l'énergie potentielle d'interaction &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable :
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iiint\!\!\!\!\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\text{bivol},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathcal{V}_{M'}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\!\!\!\!\!\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)}^{\!\!\!M'\,\in\, \left( S \right)} u_{\text{bisurf},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d S_{M'}\;d S_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = \dfrac{1}{2}\;\displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)}^{M'\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\text{bilin},\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left[ r_{M,\,M'} \right] \; d \mathit{l}_{M'}\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}dans lesquelles «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\!\left( r_{M,\,M'} \right) = -\displaystyle\int_{\infty}^{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'} = \displaystyle\int^{\infty}_{r_{M,\,M'}} \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}\text{bivol ou}\\ \text{bisurf ou}\\ \text{bilin}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, M'}\! \left( {r'}_{M,\,M'} \right)\; d{r'}_{M,\,M'}\;&lt;/math&gt; est l'énergie potentielle d'interaction bivolumique, bisurfacique ou bilinéique &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;pour le type de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; du couple &lt;math&gt;\,\left( M,\, M' \right)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;.

=== « Exemples » de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable ===

{{Al|5}}Ci-dessous, comme exemples de calcul d’énergie potentielle d’interaction de système déformable, nous ne considérons que des systèmes discrets fermés à &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,2\,&lt;/math&gt; points matériels il n'y a qu'un seul couple de points nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2})\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : }}pour un système discret &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points matériels il y a &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; couple de points &lt;math&gt;\,\left\lbrace \begin{array}{c} \left( 1\,,\, 2 \right)\\ \left( 1\,,\, 3 \right)\\ \left( 2\,,\, 3 \right) \end{array} \right\rbrace\,&lt;/math&gt; nous utilisons «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}}\!\left( \mathcal{S} \right) = U_{\text{int},\, 1,\, 2}(r_{1,\,2}) + U_{\text{int},\, 1,\, 3}(r_{1,\,3}) + U_{\text{int},\, 2,\, 3}(r_{2,\,3})\;&lt;/math&gt;».

==== Système « Terre – Lune » ====

{{Al|5}}Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;T\,, \left( m_\text{♁} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Terre dans lequel &lt;math&gt;\,T\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot;&gt; Centre D'Inertie.&lt;/ref&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{♁} \,&lt;/math&gt; sa masse, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, la Terre et la Lune sont chacune modélisées par un point matériel : }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;L\,, \left( m_\text{☽} \right)\;&lt;/math&gt;» pour la Lune dans lequel &lt;math&gt;\,L\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;math&gt;\,m_\text{☽} \,&lt;/math&gt; sa masse ;

{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’intensité de la force d’interaction entre la Terre et la Lune étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; est la distance séparant leur C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» ou encore, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;-\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\; dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}\;&lt;/math&gt;» dont on tire &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon «}}&lt;math&gt;\;\dfrac{dU_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}{dr_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} = \dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d’où, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle &lt;math&gt;\,\color{transparent}{U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; du système « Terre – Lune » selon « }}la Lune infiniment éloignée de la Terre &lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot;&gt; Situation évidemment hypothétique.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0&lt;/math&gt;, l'expression de &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans ce 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; exemple, }}l’énergie potentielle d’interaction gravitationnelle du système « Terre – Lune » «&lt;math&gt;\;U_{\text{gravit.},\, (\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = -\dfrac{\mathcal{G}\; m_{\text{♁}}\; m_{\text{☽}}}{r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})}}\,&lt;/math&gt; avec référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt;, &lt;math&gt;\,r_{(\text{♁})\,\leftrightarrow\,(\text{☽})} = \infty\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;situation hypothétique&quot; /&gt; ».

==== Atome d’hélium ====

[[File:Atome d'hélium.png|thumb|Schéma de description d'un atome d'hélium du point de vue de l'interaction électrique interne]]
{{Al|5}}Dans cet exemple l'atome d'hélium composé d’un noyau de charge «&lt;math&gt;\;+2e\;&lt;/math&gt;» et de deux électrons de charge individuelle «&lt;math&gt;\;-e\;&lt;/math&gt;», &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;voir schéma ci-contre&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium }}est modélisé par &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; points &lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_1\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 1 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_1\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;E_2\,, \left( -e \right)\;&lt;/math&gt;» pour l'électron &lt;math&gt;\,\left( 2 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,E_2\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Dans cet exemple l'atome d'hélium est modélisé par &lt;math&gt;\,\color{transparent}{3}\,&lt;/math&gt; points }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;«&lt;math&gt;\;N\,, \left( +2 e \right)\;&lt;/math&gt;» pour le noyau &lt;math&gt;\,\left( 3 \right)\,&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; représente la position de son C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; ; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}nous nous proposons de déterminer l'énergie potentielle d'interaction électrique entre les trois constituants de l'atome d'hélium et pour cela &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple nous nous proposons }}d'établir celle entre chaque couple de points &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;nombre de couples&quot;&gt; Pour &lt;math&gt;\,N = 3\,&lt;/math&gt; particules, il y a en effet «&lt;math&gt;\;\dfrac{N\,(N - 1)}{2} = \dfrac{3 \times 2}{2} = 3\;&lt;/math&gt;» couples différents de particules.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre les deux électrons du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 2 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot;&gt; Selon la force de Coulomb que &lt;math&gt;\,M'\,\left( q' \right)\,&lt;/math&gt; exerce sur &lt;math&gt;\,M\,\left( q \right)\,&lt;/math&gt; dans le vide «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M\, \leftarrow\, M'} = \dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0}\;\dfrac{q\;q'}{r^2}\;\vec{u}_{M'\,\rightarrow\,M}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] » &lt;math&gt;\,\big[\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; définie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-permittivité_diélectrique_du_vide-62|&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt;]] » plus bas dans ce chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Loi_d'interaction_de_Coulomb|loi d'interaction de Coulomb]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}'''[[w:Charles-Augustin_Coulomb|Charles-Augustin Coulomb]] (1736 - 1806)''' officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des [[w:Loi_de_Coulomb_(mécanique)|lois de frottement « solide »]] ainsi que l'invention du [[w:Pendule_de_torsion|pendule de torsion]] qui lui permit de formuler la loi d'attraction des corps électrisés.&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,r_{1,\,2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des deux électrons et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot;&gt; La [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;plus généralement d'un milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; est une constante caractérisant la réponse du vide &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou de celle du milieu isolant&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; à l'action d'un champ électrique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;plus la permittivité diélectrique du milieu est grande, moins la portée du champ électrique dans le milieu dans lequel il baigne l'est&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ; la permittivité diélectrique de l'air sec étant &lt;math&gt;\,0,05\;\%\,&lt;/math&gt; supérieure à celle du vide, on la confond usuellement avec cette dernière&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; de valeur telle que &lt;math&gt;\,\dfrac{1}{4\;\pi\;\varepsilon_0} \simeq 9\; 10^9\, U.S.I.&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;[[w:Unités de base du Système international#Définitions|Unité du Système International]]&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre électrons &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(2)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}&lt;math&gt;\,\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\; dr_{1,\,2} = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)}}{dr_{1,\,2}} = -\dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} + cste\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}électrons &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(2)} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#Énergie_potentielle_électrostatique_d'un_point_matériel_M_de_charge_q_dans_le_champ_électrique_d'un_autre_point_matériel_O_de_charge_qO|énergie potentielle électrostatique d'un point matériel M de charge q dans le champ électrique d'un autre point matériel O de charge q&lt;sub&gt;O&lt;/sub&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot;&gt; La force d'interaction étant répulsive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&gt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 1\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{1}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(1)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\; dr_1 = -dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_1} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} + cste_1\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(1)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_1 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot;&gt; La force d'interaction étant attractive, l'énergie potentielle associée avec référence « les deux particules à l'infini l'une de l'autre » est &lt;math&gt;\,&lt; 0&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}&lt;math&gt;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;l'intensité de la force d'interaction électrique entre un électron et le noyau du couple &lt;math&gt;\,\left( 2\,,\, 3 \right)\,&lt;/math&gt; étant «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,3} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;loi d'interaction électrique de Coulomb&quot; /&gt; avec &lt;math&gt;\,r_{2}\,&lt;/math&gt; la distance séparant les C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de cet électron et du noyau et &lt;math&gt;\,\varepsilon_0\,&lt;/math&gt; la [[w:Permittivité_du_vide|permittivité diélectrique du vide]] &lt;ref name=&quot;permittivité diélectrique du vide&quot; /&gt; on en déduit &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}l’énergie potentielle d’interaction entre cet électron et le noyau &lt;math&gt;\,(2)\,\leftrightarrow\,(3)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» par «&lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,-\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\; dr_2 = -dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}ou &lt;math&gt;\,\dfrac{dU_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}}{dr_2} = \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2^{\,2}}\,&lt;/math&gt; d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2} + cste_2\;&lt;/math&gt;» et choix de la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; électron &lt;math&gt;\,(2)\,&lt;/math&gt; et noyau &lt;math&gt;\,(3)\,&lt;/math&gt; infiniment éloignés l'un &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple &lt;math&gt;\color{transparent}{\blacktriangleright}\;&lt;/math&gt;}}de l'autre &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,cste_2 = 0\,&lt;/math&gt; d'où «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)} = -\dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle électrostatique&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt; ; 

{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple }}l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}}\;&lt;/math&gt;» étant la somme des énergies potentielles d'interaction électrique entre les couples ci-dessus &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium }}s'écrit «&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,2} + U_{\text{élec},\, (1)\,\leftrightarrow\,3} + U_{\text{élec},\, (2)\,\leftrightarrow\,(3)}\;&lt;/math&gt;» soit finalement &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{élec},\, \text{atome d'He}} = \dfrac{e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_{1,\,2}} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_1} - \dfrac{2\;e^2}{4\;\pi\;\varepsilon_0\; r_2}\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}la référence &lt;ref name=&quot;référence d'énergie potentielle&quot; /&gt; étant : « les trois particules éloignées à l’infini les unes des autres », &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Danc cet exemple l’énergie potentielle d'interaction électrique de l’atome d’hélium s'écrit }}le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme correspondant à une répulsion &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force répulsive&quot; /&gt; et les deux derniers à une attraction &lt;ref name=&quot;signe de l'énergie potentielle d'interaction pour une force attractive&quot; /&gt;.

== « En complément », théorème de la variation de l’énergie mécanique appliqué à un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives et sa forme locale « le théorème de la puissance mécanique » ==

{{Al|5}}Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique » &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Lois_de_la_puissance_et_de_l'énergie_cinétiques#Différence_entre_«_forme_locale_de_la_dynamique_»_et_«_forme_intégrée_associée_à_cette_forme_locale_»|différence entre forme locale de la dynamique et forme intégrée associée à cette forme locale]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;, appliquées à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Les formes intégrée « théorème de la variation de l’énergie mécanique » et locale « théorème de la puissance mécanique », }}ne sont pas explicités dans le programme de physique de P.C.S.I. mais &lt;br&gt;{{Al|5}}ces formes intégrée et locale &lt;ref name=&quot;forme intégrée associée à une forme locale&quot; /&gt; sont indispensables à connaître pour une meilleure compréhension de la thermodynamique dans son aspect microscopique &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Premier_principe,_bilans_d'énergie_:_Énoncé,_calcul_de_transfert_thermique#Énoncé_du_premier_principe_de_la_thermodynamique|énoncé du premier principe de la thermodynamique]] » du chap.&lt;math&gt;15&lt;/math&gt; de la leçon « [[Thermodynamique_(PCSI)|Thermodynamique (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;.

=== Caractère conservatif de certaines forces extérieures appliquées à un « système de matière » déformable ===

{{Al|5}}Cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot;&gt; Quand on s'intéresse aux forces extérieures appliquées à un système, &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; peut être &lt;math&gt;\,=\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; mais ce cas n'est pas envisagé car le système, se ramenant à un point matériel, a déjà été étudié dans le paragaphe « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_d'une_force_«_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) d'une force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1]] (PCSI) ».&lt;/ref&gt; mais&lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur un système discret de points matériels&quot;&gt; Voir la relation &lt;math&gt;\,\left( \mathfrak{c} \right)\,&lt;/math&gt; dans le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#Définition|définition]] (de la puissance du système des forces extérieures appliquées à un système de matière relativement à un référentiel d'étude, cas d'un système discret de points matériels) » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] ».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;puissance des forces extérieures s'exerçant sur système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale volumique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité volumique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left\lbrace \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\,&lt;/math&gt;» est la puissance volumique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{vol},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de l'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité surfacique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} \left\lbrace \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d S_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance surfacique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\text{surf},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|31}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; est la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;correspondant à une intégrale curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\,&lt;/math&gt; des puissances développées, au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par la résultante des forces extérieures s'exerçant sur chaque pseudo-point de l'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, à savoir &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}\,&lt;/math&gt; à savoir {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \left\lbrace \text{ext}_k \right\rbrace}(t)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \mathcal{P}\!\left[ \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \right] = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» ou, en définissant la densité linéique de résultante des forces extérieures s'exerçant en &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}(t)\;&lt;/math&gt;», «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left\lbrace \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \right\rbrace d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est la puissance linéique développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; soit «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) = \mathcal{P}_{\text{lin},\,M\, \leftarrow\,\text{ext}}(t)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\vec{V}_{\!M_i}(t)\,&lt;/math&gt; vecteur vitesse du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» ainsi que &lt;math&gt;\,\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La puissance développée par les forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; ayant été déterminée selon «}}&lt;math&gt;\;\sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; la résultante des forces extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, et &lt;br&gt;{{Al|5}}le travail élémentaire développé par ces forces extérieures appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; étant défini par «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt;», &lt;br&gt;{{Al|5}}avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \left[ \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{\!M_i\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_{\!M_i}(t) \right] dt\,&lt;/math&gt; ou, en distribuant &lt;math&gt;\,dt\,&lt;/math&gt; par rapport à l'addition &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;= \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;travail des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière&quot;&gt; Voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » avec «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \displaystyle\int_{t_{\mathcal{I}}}^{t_{\mathcal{F}}} \mathcal{P}_{\text{ext}}(t)\;dt&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathcal{V}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité volumique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathcal{V}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; de masse volumique &lt;math&gt;\,\mu(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\,d \mathcal{V}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t)\; d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d S_M}\;&lt;/math&gt;» la densité surfacique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d S_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \sigma(M)\;d S_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un}} pseudo-point d'une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; de masse surfacique &lt;math&gt;\,\sigma(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( S \right)&lt;/math&gt;, d'aire &lt;math&gt;\,d S_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu fermé de matière d'expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, la puissance développée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; établie dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_1ère_partie#cite_note-puissance_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_système_continu_de_matière-26|&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;]] » du chap.&lt;math&gt;11&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » sous la forme «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}(t) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) \cdot \vec{V}_M(t) \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; où «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t)\;&lt;/math&gt;» est le vecteur vitesse du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}}(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \dfrac{\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}}{d \mathit{l}_M}\;&lt;/math&gt;» la densité linéique de résultante des forces extérieures exercées en &lt;math&gt;\,M&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}}(t) = \sum_k \overrightarrow{dF}_{\!M\,(d \mathit{l}_M)\, \leftarrow\, \text{ext}_k}(t)\;&lt;/math&gt;» étant la résultante des forces extérieures exercées sur le pseudo-point &lt;math&gt;\,\left\lbrace M,\; dm = \lambda(M)\;d \mathit{l}_M \right\rbrace\,&lt;/math&gt; de cette expansion
 linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de masse linéique &lt;math&gt;\,\lambda(M)\,&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\,M\,\in\, \left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, de longueur &lt;math&gt;\,d \mathit{l}_M\big\}&lt;/math&gt;, permet d'en déduire l'expression du travail élémentaire développé, sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]&lt;/math&gt;, par le système de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\;\displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; avec «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} = \sum_k \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k}\;&lt;/math&gt;» la résultante des forces &lt;br&gt;{{Al|19}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}} = \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}}\;&lt;/math&gt;» avec « }}extérieures exercées sur le point matériel &lt;math&gt;\,M_i&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\;N\,&lt;/math&gt; variables scalaires indépendantes &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|avec l'expression précédemment énoncée de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\mathcal{P}_{\text{ext}}(t)}\,&lt;/math&gt; nous en déduisons celle de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}\,&lt;/math&gt; étant une « forme différentielle des }}positionnant les &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; points matériels » &lt;ref name=&quot;généralisation de la notion de forme différentielle à plus de trois variables&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - ter&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'expression du travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur le système considéré correspond à une intégration volumique, surfacique ou curviligne sur l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;», {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»}} ou «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. une forme différentielle des &lt;math&gt;\,3\,&lt;/math&gt; variables scalaires repérant le point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée, variables indépendantes dans le cas d'une expansion tridimensionnelle ou reliées par une ou deux relations de liaison dans le cas d'une expansion surfacique ou linéique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, l'intégration volumique sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique sur &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou curviligne sur &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; remplaçant la somme discrète sur &lt;math&gt;\,i\,&lt;/math&gt; variant de &lt;math&gt;\,1\,&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\,N&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

{{Al|5}}&lt;u&gt;Caractère conservatif ou non&lt;/u&gt; : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces intérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|6}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; }}est « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » si son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces intérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » si son travail élémentaire }}est une « &lt;u&gt;différentielle de fonction&lt;/u&gt; » et comme &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » }}le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,N\,&lt;/math&gt; formes différentielles dont chacune &lt;br&gt;{{Al|7}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}&lt;/math&gt; est « conservatif » le travail élémentaire est la somme de &lt;math&gt;\,\color{transparent}{N}\,&lt;/math&gt; }}dépend d'un triplet de variables scalaires différent &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot;&gt; Ou un des sous-systèmes de forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; est conservatif si « &lt;u&gt;chacune des&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;N\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;formes différentielles&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; » &lt;ref name=&quot;pseudo-forme différentielle résultant d'une intégration et non d'une somme discrète - tetra&quot;&gt; D'après les notes « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_des_forces_extérieures_s'exerçant_sur_un_système_continu_de_matière-71|&lt;sup&gt;71&lt;/sup&gt;]] » et « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-pseudo-forme_différentielle_résultant_d'une_intégration_et_non_d'une_somme_discrète_-_ter-72|&lt;sup&gt;72&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre, le travail élémentaire des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; s'écrivant respectivement 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou 
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\; d S_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM} \;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» ajout « continu » de la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;»,
{{Al|3}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;l'ajout « continu » signifiant respectivement deux intégrations volumiques, surfaciques ou curvilignes emboîtées sur la double expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)^2&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)^2\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)^2\big\}&lt;/math&gt;,&lt;br&gt;{{Al|3}}{{Al|3}}le système des forces extérieures &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'exerçant sur le système continu de matière considéré sera « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » « &lt;u&gt;si la forme différentielle générique du travail élémentaire&lt;/u&gt;&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}\,&lt;/math&gt; à savoir &lt;math&gt;\,\Bigg[\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\, \text{ou}\\ S\, \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\Bigg]\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;est une différentielle de fonction&lt;/u&gt; ».&lt;/ref&gt; et, &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}dans la mesure où le point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est repéré, dans le référentiel &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, par ses coordonnées &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}cartésiennes &lt;math&gt;\,\left( x_i, y_i, z_i \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot;&gt; On aurait pu choisir un autre repérage de point dans le référentiel d'étude, un repérage cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_cylindro-polaires_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou un repérage sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Coordonnées_sphériques_et_base_locale_associée_d'un_point|coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point]] » du même {{Nobr|chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt;}} de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; mais le repérage cartésien étant le plus simple à utiliser tant que le problème à étudier reste général, la suite de ce paragraphe sera exposée exclusivement en repérage cartésien &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;avec un choix de repérage cylindro-polaire ou sphérique, il faudrait adapter
* l'expression du travail élémentaire en utilisant &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d \rho_i\;\vec{u}_{\rho_i} + \rho_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + dz_i\;\vec{u}_{z_i}\,&lt;/math&gt; en cylindro-polaire &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_cylindro-polaire|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou &lt;math&gt;\,\overrightarrow{dM_i} = d r_i\;\vec{u}_{r_i} + r_i\;d \theta_i\;\vec{u}_{\theta_i} + r_i\;\sin(\theta_i)\;d \varphi_i\;\vec{u}_{\varphi_i}\,&lt;/math&gt; en sphérique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Divers_repérages_d'un_point_dans_l'espace#Expression_du_vecteur_déplacement_élémentaire_d'un_point_en_repérage_sphérique|expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage sphérique]] » du même chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ainsi que 
* l'écriture des conditions d'« égalités des dérivées croisées » &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Conditions_nécessaires_(mais_non_suffisantes)_pour_qu'un_champ_vectoriel_de_l'espace_à_deux_ou_trois_dimensions_soit_à_circulation_conservative|conditions nécessaires (mais non suffisantes) pour qu'un champ vectoriel de l'espace à deux ou trois dimensions soit à circulation conservative]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\big\}\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que la forme différentielle «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} =&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}soit une différentielle de fonction est que cette forme différentielle soit « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - ter&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Formes_différentielles_et_différentielles_de_fonctions#Recherche_de_conditions_nécessaires_pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_scalaire|recherche de C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction scalaire]] » du chap.&lt;math&gt;28&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » appliqué à la forme différentielle suivante «&lt;math&gt;\;f_x(x,\,y,\,z)\;dx + f_y(x,\,y,\,z)\;dy + f_z(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;», les conditions d'« égalités des dérivées croisées » s'écrivant 
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;»,
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial f_x}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;» et
* «&lt;math&gt;\;\left( \dfrac{\partial\, f_y}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z)\;\overset{\text{?}}{=}\; \left( \dfrac{\partial\, f_z}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour qu'une forme différentielle soit une différentielle de fonction - tetra&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, et en adoptant le repérage cartésien du point générique &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion, la C.N. pour que {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\;\text{ou}\\ S\; \text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de choix d'un repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; soit une différentielle de fonction est que cette dernière soit fermée &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. que les conditions d'« égalités des dérivées croisées » soient vérifiées &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-C.N._pour_qu'une_forme_différentielle_soit_une_différentielle_de_fonction_-_ter-76|&lt;sup&gt;76&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »}}&lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;cette C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; est une C.S. &lt;ref name=&quot;C.S.&quot; /&gt; dans la mesure où la forme différentielle est « fermée » &lt;ref name =&quot;forme différentielle fermée&quot; /&gt; sur &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; est « conservatif »&lt;math&gt;\,\color{transparent}{\big\{}&lt;/math&gt;}}un « ouvert étoilé » &lt;ref name=&quot;ouvert étoilé&quot; /&gt; de son domaine de définition &lt;ref name=&quot;d'après un théorème de Poincaré&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : }}En conclusion, la C.N. &lt;ref name=&quot;C.N.&quot; /&gt; pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; soit « &lt;u&gt;conservatif&lt;/u&gt; » est que le travail élémentaire de ce système de forces &lt;ref name=&quot;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. }}«&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM_i} = \sum\limits_{i\,=\,1}^{i\,=\,N} \left[ \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dx_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dy_i + \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}(x_i,\,y_i,\,z_i)\;dz_i \right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; En repérage cartésien&lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|11}}{{Transparent|Caractère conservatif ou non : En conclusion, la C.N. «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\delta W_{\text{ext}}}&lt;/math&gt; }}satisfasse les conditions «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,x}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial x_i} \right)_{\!\!y_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,y}}{\partial z_i} \right)_{\!\!x_i,\, y_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext},\,z}}{\partial y_i} \right)_{\!\!x_i,\, z_i}\!\!(x_i,\,y_i,\,z_i)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;i\;\in\; \left[\left[ 1\,,\, N \right]\right]\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;autre repérage possible&quot; /&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur un système continu de matière soit conservatif&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la C.N. pour que le système des forces extérieures s'exerçant sur &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou un des sous-systèmes de forces extérieures&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; soit « conservatif » est que son travail élémentaire &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;ou celui du sous-système de forces extérieures considéré&lt;math&gt;\big)\,&lt;/math&gt; s'écrivant, suivant la nature de l'expansion, selon :
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \vec{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathcal{V}_M = \displaystyle\iiint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} \left[ \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \vec{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d S_M = \displaystyle\iint\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( S \right)} \left[ \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d S_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}} = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \vec{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext}} \cdot \overrightarrow{dM}\;d \mathit{l}_M = \displaystyle\int\limits_{\!\!\!M\,\in\, \left( \Gamma \right)} \left[ \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}(x,\,y,\,z)\;dx + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}(x,\,y,\,z)\;dy + \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}(x,\,y,\,z)\;dz \right] d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big(&lt;/math&gt;en repérage cartésien&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;
{{Al|3}}vérifie respectivement, suivant la nature de l'expansion, les égalités suivantes :
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{V,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;,
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{S,\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( S \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,x}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial x} \right)_{\!\!y,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\\ \left( \dfrac{\partial \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,y}}{\partial z} \right)_{\!\!x,\, y}\!\!(x,\,y,\,z) &amp;= &amp;\left( \dfrac{\partial\, \overline{f}_{\mathit{l},\,M\, \leftarrow\, \text{ext},\,z}}{\partial y} \right)_{\!\!x,\, z}\!\!(x,\,y,\,z)\end{array} \right\rbrace\;\;\forall\;M\;\in\; \left( \Gamma \right)\;&lt;/math&gt;» pour une expansion linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-autre_repérage_possible-75|&lt;sup&gt;75&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans ce chapitre en cas de repérage cylindro-polaire ou sphérique&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie potentielle d’interaction de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » avec l’extérieur d’un « système de matière » déformable (ou énergie potentielle du système dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; ») ===

{{Al|5}}Là encore cette notion est présentée pour un système discret fermé de points matériels «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right) = \left\lbrace M_i\, \left( m_i \right) \right\rbrace_{i\,=\,1\,..\,N}\,&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\,N\,\in\, \mathbb{N}^{*}\, \backslash\, \left\lbrace 1 \right\rbrace\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;N différent de 1 - bis&quot; /&gt; et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Là encore cette notion }}reste applicable à un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique.

{{Al|5}}Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» s'exerçant sur un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; déformable &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» }}est conservatif, chaque forme différentielle générique de la somme discrète définissant le travail élémentaire de ces forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, chaque forme différentielle générique }}s'écrivant «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i}\;&lt;/math&gt;» est une différentielle de fonction &lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot;&gt; Ou, dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, chaque forme différentielle générique de la somme continue &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;par intégration volumique {{Nobr|&lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir}} le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_surfaciques_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du même chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou curviligne &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Intégrale_sur_un_intervalle,_vecteur_déplacement_élémentaire_le_long_d'une_courbe_et_intégrale_curviligne#Les_deux_types_d'intégrales_curvilignes_sur_une_portion_de_courbe_continue|les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue]] » du chap.&lt;math&gt;14&lt;/math&gt; de la même leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] »&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; sur l'expansion du système&lt;math&gt;\big\}\,&lt;/math&gt; définissant le travail élémentaire du système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;» considérées &lt;math&gt;\,\delta W_{\text{ext}_k}\,&lt;/math&gt; à savoir «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM}\;&lt;/math&gt;» étant une différentielle de fonction, on définit l'« énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée » notée «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;» selon «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM} = -du_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}(M)\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;, fonction utilisée pour définir &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'« énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt;» notée «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» et vérifiant &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}}«&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{dM_i} = -dU_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;travail élémentaire des forces extérieures de type k conservatives d'un système continu de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\vec{F}_{M_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\left[ U_{\text{ext}_k} \right]\!(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;définition équivalente d'une énergie potentielle - bis&quot;&gt; Voir les paragraphes « [[Mécanique_1_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_point_matériel_:_Énergie_potentielle_et_énergie_mécanique#2ème_définition_(équivalente)_de_l'«_énergie_potentielle_d'un_point_matériel_dans_un_champ_de_force_conservative_»|2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; définition (équivalente) de l'énergie potentielle d'un point matériel dans un champ de force conservative]] » du chap.&lt;math&gt;16&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_1_(PCSI)|Mécanique 1 (PCSI)]] » ainsi que « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Champ_vectoriel_gradient_de_fonction_scalaire_de_l'espace,_opérateur_linéaire_du_premier_ordre_“nabla”_et_autres_champs_qui_en_découlent#Définition_intrinsèque_du_gradient_d'une_fonction_scalaire_de_l'espace|définition intrinsèque du gradient d'une fonction scalaire de l'espace]] » du chap.&lt;math&gt;19&lt;/math&gt; de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI)]] » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, la définition de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée donnée dans la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-travail_élémentaire_des_forces_extérieures_de_type_k_conservatives_d'un_système_continu_de_matière-80|&lt;sup&gt;80&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre est équivalente à «&lt;math&gt;\;\vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M\, \leftarrow\, \text{ext}_k} = -\overrightarrow{\mathrm{grad}}\!\!\left[ u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k} \right]\!(M)\;&lt;/math&gt;» pour les mêmes raisons que celles rappelées ci-dessus dans le cas d'un système discret de points matériels &lt;math&gt;\;\ldots&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt; soit, après intégration, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l’}} «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}(M_i) = -\displaystyle\int^{M_i} \vec{F}_{{M'}_i\,\leftarrow\,\text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}_i}\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Il faut bien sûr définir la référence de l’énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point matériel &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. choisir la position de &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; où l'énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; du point &lt;math&gt;\,M_i\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ;&lt;br&gt;{{Al|3}}dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, on choisit la référence de l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,\big\{&lt;/math&gt;on notera que cette position de référence est choisie indépendamment de la forme de l'expansion&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;{{,}} &lt;ref name=&quot;énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type k&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle, surfacique ou linéique, l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt;»}} au point &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; de l'expansion considérée s'écrit sous la forme «&lt;math&gt;\;u_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,\text{ext}_k}\!(M) = -\displaystyle\int^{M} \vec{f}_{\left\lbrace \begin{array}{c}V\,\text{ou}\\ S\,\text{ou}\\ \mathit{l}\end{array} \right\rbrace,\,M'\, \leftarrow\, \text{ext}_k} \cdot \overrightarrow{d{M'}}\;&lt;/math&gt;», expression nécessitant de choisir sa référence &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. la position de &lt;math&gt;\,M\,&lt;/math&gt; en laquelle l'énergie potentielle volumique, surfacique ou linéique dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; est nulle&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; dont on déduit, en faisant la somme sur tous les points matériels de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, }}l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures conservatives de type « &lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt; » selon  &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Si le système des forces extérieures de type «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{_k}\;&lt;/math&gt;» est conservatif, l'énergie potentielle du système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; }}«&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{S} \right) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N} U_{\text{ext}_k}(M_i)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie potentielle dans le champ des forces extérieures de type k d'un système continu de matière&quot;&gt; Dans le cas d'un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, surfacique &lt;math&gt;\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; ou linéique &lt;math&gt;\,\left( \Gamma \right)&lt;/math&gt;, l'énergie potentielle du système d'expansion considérée dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} s'écrit sous la forme 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \mathcal{V} \right) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)} u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,V,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle volumique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, 
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( S \right) = \displaystyle\iint\limits_{M\,\in\, \left( S \right)} u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\;d S_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,S,\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle surfacique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( S \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; ou
* «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\!\left( \Gamma \right) = \displaystyle\int\limits_{M\,\in\, \left( \Gamma \right)} u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\;d \mathit{l}_M\;&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\,u_{\,\mathit{l},\,\text{ext}_k}\!(M)\,&lt;/math&gt; l'énergie potentielle linéique en &lt;math&gt;\,M\,\in\,\left( \Gamma \right)\,&lt;/math&gt; dans le champ des forces extérieures de type {{Nobr|«&lt;math&gt;\;_k\;&lt;/math&gt;»}} &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;voir la note «  [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#cite_note-énergie_potentielle_volumique,_surfacique_ou_linéique_dans_le_champ_des_forces_extérieures_de_type_k-83|&lt;sup&gt;83&lt;/sup&gt;]] » plus haut dans le chapitre&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;.

=== Énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives ===

{{Al|5}}L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt;, déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, }}est notée, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\,\big[&lt;/math&gt;ou &lt;math&gt;\,E_m(t)\,&lt;/math&gt; en absence d'ambiguïté&lt;math&gt;\big]\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est }}définie selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;K_{(\mathcal{S})}(t)\;&lt;/math&gt; est l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t\,&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|L'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;, déformable, est définie selon «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\,&lt;/math&gt; son énergie potentielle dans le champ de forces intérieures de type &lt;math&gt;\,_l\,&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;.

=== Théorème de la variation de l’énergie mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref name=&quot;théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Lois_scalaires_de_l'énergie_cinétique_2ème_partie#Théorème_de_l’énergie_cinétique_appliqué_à_un_«_système_de_matière_quelconque_»_dans_un_référentiel_d'étude_galiléen_entre_un_état_initial_et_un_état_final|théorème de l'énergie cinétique appliqué à un système de matière quelconque dans un référentiel d'étude galiléen entre un état initial et un état final]] » du chap.&lt;math&gt;12&lt;/math&gt; de la leçon « [[Mécanique_2_(PCSI)|Mécanique 2 (PCSI)]] » ou « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Rappel_du_théorème_de_l'énergie_cinétique_d’un_système_de_matière_«_quelconque_»_dans_un_référentiel_galiléen|rappel du théorème de l'énergie cinétique d'un système de matière quelconque dans un référentiel galiléen]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; sur une durée finie &lt;math&gt;\,\Delta t = t_{\mathcal{F}} - t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; s’écrivant &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», on y distingue, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;dans &lt;math&gt;\,W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;, les forces extérieures conservatives de celles qui ne le sont pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot;&gt; Ou dont on ne considère pas le caractère « conservatif ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l'énergie &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}potentielle de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le champ des forces extérieures de type &lt;math&gt;\,_k&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}&lt;math&gt;W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_k^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« &lt;math&gt;\color{transparent}{W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; d'où }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_k^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_k),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; }}&lt;math&gt;\bullet\;&lt;/math&gt;dans &lt;math&gt;\,W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}&lt;/math&gt;, les forces intérieures conservatives de celles qui ne le sont pas &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{ext}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou, en introduisant l'énergie &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}potentielle de &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;» dans le champ des forces intérieures de type &lt;math&gt;\,_\mathit{l}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« }}&lt;math&gt;W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; ou encore &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans« &lt;math&gt;\color{transparent}{W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right)}\,&lt;/math&gt; d'où }}&lt;math&gt;\,\sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} W_{(\text{int}_\mathit{l}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right]\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} =}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\color{transparent}{\bullet}\,&lt;/math&gt;dans}}«&lt;math&gt;\;W_{\text{int},\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;», d'où &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} = -\Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} - \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}on bascule alors les variations d’énergies potentielles changées de signe dans le membre de gauche d'où &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \Delta\! \left[ \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] + \Delta\! \left[ \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta\! \left[ K_{\left( \mathcal{S} \right)} + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S} \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S} \right) \right] = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» ou enfin, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}avec «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}(t) = K_{(\mathcal{S})}(t) + \sum\limits_k^{\text{cons.}} U_{\text{ext}_k}\! \left( \mathcal{S},\, t \right) + \sum\limits_\mathit{l}^{\text{cons.}} U_{\text{int}_\mathit{l}}\! \left( \mathcal{S},\, t \right)\;&lt;/math&gt;» l'énergie mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\,t&lt;/math&gt;, du système &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable avec « }}déformable &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives dans &lt;math&gt;\,\mathcal{R}\,&lt;/math&gt; galiléen &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Énergie_mécanique_d'un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_des_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives|énergie mécanique d'un système de matière déformable dans le champ des forces extérieures et intéreieures conservatives]] » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable }}«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,(\mathcal{S})}(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;».
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sur une durée finie|contenu = {{Al|5}}La variation d'énergie mécanique d’un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|La variation d'énergie mécanique d’un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable, }}entre les instants &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{I}}\,&lt;/math&gt; et &lt;math&gt;\,t_{\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail }}appliquées au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui }}appliquées au même système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t_{\mathcal{I}}\,,\, t_{\mathcal{F}} \right]\,&lt;/math&gt; &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{F}}) - E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t_{\mathcal{I}})}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui }}«&lt;math&gt;\;\sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation }}«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{ext}_{k'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}} + \sum\limits_{\mathit{l}'}^{\text{non cons.}} W_{(\text{int}_{\mathit{l}'}),\, \mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}On en déduit aisément le théorème de la variation de l'énergie mécanique sous sa forme élémentaire :
{{Théorème|titre=Théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un « système de matière déformable » sous forme élémentaire|contenu = {{Al|5}}La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable, }}conservatives, sur l'intervalle &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; dans un &lt;br&gt;{{Al|8}}{{Transparent|La variation élémentaire d'énergie mécanique d’un système &lt;math&gt;\,\color{transparent}{\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt; déformable, conservatives, sur l'intervalle }}référentiel galiléen &lt;math&gt;\,\mathcal{R}_{\text{gal}}&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire des forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme du travail élémentaire }}au système &lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» et &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme }}de celui des forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire «&lt;math&gt;\;\color{transparent}{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme de celui }}&lt;math&gt;\,\left( \mathcal{S} \right)\,&lt;/math&gt; sur &lt;math&gt;\,\left[ t\,,\, t + dt \right]\,&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|La variation élémentaire }}«&lt;math&gt;\;dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)} = \delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}} + \delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}\,&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme, le théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable sur une durée élémentaire ou finie &lt;br&gt;{{Al|5}}{{Transparent|Remarque : Sous cette forme, le théorème de la variation de l'énergie mécanique }}est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

=== Théorème de la puissance mécanique d’un système déformable ===

{{Al|5}}Le « théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives », étant la forme locale de la forme intégrée précédemment établie « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué au même système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le même champ des forces extérieures et intérieures conservatives, sur une durée finie ou élémentaire » s'obtient en divisant par &lt;math&gt;\;dt\;&lt;/math&gt; chaque membre de la forme élémentaire du « théorème de la variation de l'énergie mécanique appliqué à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives » d'où «&lt;math&gt;\;\dfrac{dE_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}}{dt} = \dfrac{\delta W_{\text{ext}}^{\;\text{non cons.}}}{dt} + \dfrac{\delta W_{\text{int}}^{\;\text{non cons.}}}{dt}\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;» dans lequel on reconnaît
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; membre, la puissance mécanique instantanée de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;»,
* dans le 1&lt;sup&gt;er&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{k'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{ext}_{k'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et
* dans le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme du 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; membre, la puissance instantanée développée par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, notée, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) =&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;\sum\limits_{\mathit{l}\,'}^{\text{non cons.}} \mathcal{P}_{(\text{int}_{\mathit{l}\,'})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» d'où
{{Al|5}}l'énoncé du théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives
{{Théorème|titre=Théorème de la puissance mécanique appliqué à un « système de matière déformable »|contenu = {{Al|5}}Dans un référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, la puissance mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, d’un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, dans le champ des forces extérieures et intérieures conservatives, «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t)\;&lt;/math&gt;» est égale à la somme des puissances instantanées développées par les forces extérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» et de celles développées par les forces intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; appliquées au même système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» soit, mathématiquement, &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,\left( \mathcal{S} \right)}\!(t) = \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt; dans le référentiel galiléen &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;}}
{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Sous cette forme le théorème de la puissance mécanique appliqué à un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable est applicable dans le cadre de la dynamique newtonienne ou relativiste.

== « En complément », conservation de l’énergie mécanique d’un système de matière déformable dans le champ de forces extérieures et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas ==

{{Al|5}}La propriété de « conservation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives en cas d'absence de travail des autres forces » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I., mais cette notion est indispensable à connaître pour bien aborder l’aspect microscopique de la thermodynamique &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;voir le paragraphe « [[Thermodynamique_(PCSI)/Description_microscopique_et_macroscopique_d'un_système_à_l'équilibre_:_Système_thermodynamique,_premiers_paramètres_d'état,_énergies_échangées_avec_l'extérieur#Système_thermodynamique_fermé_et_isolé_thermodynamiquement|système thermodynamique fermé et isolé thermodynamiquement]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Thermodynamique (PCSI) » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans un système thermodynamique toutes les forces intérieures doivent être considérées comme conservatives&lt;math&gt;\big)\big]\;\ldots&lt;/math&gt;

{{Al|5}}« &lt;u&gt;L'énergie mécanique d'un système de matière&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;u&gt;déformable, dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives&lt;/u&gt;, définie dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;u&gt;est conservée dans la mesure où les autres forces extérieures et intérieures non conservatives&lt;/u&gt; &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; s’exerçant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; ; 

{{Al|5}}c'est une application directe du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} = 0\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})}&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= W_{\text{ext},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}} + W_{\text{int},\,\mathcal{I}\,\rightarrow\,\mathcal{F}}^{\;\text{non cons.}}\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\Delta E_{m,\,(\mathcal{S})} = 0\;&lt;/math&gt;» ou encore «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{F}) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_\mathcal{I})\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|5}}c'est aussi une application directe du théorème de la puissance mécanique d'un système de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{S} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable dans un champ de forces extérieures et intérieures conservatives car, l'absence de puissance instantanée développée par des forces extérieures et intérieures non conservatives &lt;ref name=&quot;non conservatives&quot; /&gt; impliquant «&lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;\mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» et l'application du théorème dans un référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen s'écrivant {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t)&lt;/math&gt;}} &lt;math&gt;= \mathcal{P}_{\text{ext}}^{\,\text{non cons.}}\!(t) + \mathcal{P}_{\text{int}}^{\,\text{non cons.}}\!(t)\;&lt;/math&gt;» on en tire «&lt;math&gt;\;\dot{E}_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» ou, après intégration, «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t) = E_{m,\,(\mathcal{S})}\!(t_0),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;».

== Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie ==

=== Présentation du tabouret d’inertie ===

[[File:Tabouret d'inertie.png|thumb]]
{{Al|5}}Ci-contre un exemple de « tabouret d'inertie » :

{{Al|5}}Un tabouret d'inertie est composé d'un tabouret tournant &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;avec un minimum de frottement solide et fluide&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; autour d'un axe « vertical » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure, bien sûr, où le tabouret repose sur un plan horizontal&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et sur le siège duquel est positionné un système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;pratiquement un système continu de matière d'expansion tridimensionnelle&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;par exemple un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}le tabouret tournant ci-contre peut servir de base au tabouret d'inertie avec, pour système de matière &lt;ref name=&quot;système de matière&quot; /&gt; déformable, un expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère et ne laissant pas traîner ses pieds sur le plan horizontal &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est, en effet, le siège et ce qu'il supporte qui doit tourner, sans frottement, autour de l'axe restant fixe dans le référentiel terrestre supposé galiléen&lt;math&gt;\big)\;\ldots&lt;/math&gt;

=== Description de l’expérience ===

{{Al|5}}On met en rotation le « système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant lorsque le « système déformable » est « le plus rassemblé au voisinage de l’axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. lorsque les haltères sont au plus proche de l’axe&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et on le lâche ; il a alors acquis une certaine vitesse angulaire de rotation ; 

{{Al|5}}un « moteur interne au système déformable » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; déforme ce dernier de façon symétrique relativement à l'axe en lui « donnant l'extension la plus éloignée de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en éloignant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, on constate alors que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\searrow\;&lt;/math&gt; puis 

{{Al|5}}le même « moteur interne » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. les bras de l'expérimentateur commandé par son cerveau&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; redonne au système déformable l'extension initiale « la plus rassemblée au voisinage de l'axe » &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. en rapprochant les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; et on observe que la vitesse angulaire de rotation &lt;math&gt;\;\nearrow\;&lt;/math&gt; en reprenant sa valeur initiale. 

{{Al|5}}&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Cette façon de procéder est utilisée par des patineurs sur glace pivotant sur eux-mêmes dans le but de réduire puis de retrouver leur vitesse de pivotement sur eux-mêmes.

=== Explication de l’observation ===

{{Al|5}}L'ensemble « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », ensemble noté «&lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;», n'étant soumis qu'aux actions extérieures 
* « le poids de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;force verticale descendante&lt;math&gt;\big\}\;&lt;/math&gt;» et 
* « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Pendule_pesant#Présentation_du_pendule_pesant_(non_amorti)_«_P.P.(N.A.)_»|présentation du pendule pesant (non amorti) “ P.P.(N.A.) ”]] (liaison pivot avec le point O “ idéale ”) » du chap.&lt;math&gt;8&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; qui se réduisent en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et &lt;br&gt;&lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt; à un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, 
{{Al|5}}on en déduit que « &lt;u&gt;le moment résultant scalaire dynamique par rapport à l'axe vertical de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; agissant sur &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;est nul&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}} = \overrightarrow{\mathcal{M}}_{O,\,\text{ext}} \cdot \vec{u}_\Delta = 0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment scalaire dynamique&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_de_force#Complément_:_moment_résultant_scalaire_dynamique_appliqué_à_un_système_continu_fermé_de_matière_relativement_à_un_axe_«_quelconque_Δ_»|complément : moment résultant scalaire dynamique appliqué à un système continu fermé de matière relativement à un axe quelconque Δ]] » du chap.&lt;math&gt;4&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; et 

{{Al|5}}l'application, à l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, du « théorème du moment cinétique scalaire par rapport à l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d’étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;théorème du moment cinétique scalaire par rapport à un axe fixe dans un référentiel galiléen&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Généralisation_à_un_système_continu_fermé_de_matière_2|généralisation à un système continu fermé de matière]] (du théorème du moment cinétique scalaire) » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; nous conduit à «&lt;math&gt;\;\mathcal{M}_{\Delta,\,\text{ext}}(t) = \dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t),\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» soit, dans le cas présent, «&lt;math&gt;\;\dfrac{d \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}}{dt}(t) = 0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt;» d'où, après intégration, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(0)\;&lt;/math&gt;» c.-à-d. « &lt;u&gt;la conservation du moment cinétique scalaire de l'ensemble tournant&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;par rapport à l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » &lt;ref name=&quot;conservation du moment cinétique scalaire&quot;&gt; Voir aussi le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Théorèmes_des_moments_cinétiques_relativement_à_un_point_ou_un_axe_fixes#Conservation_du_moment_cinétique_scalaire_d'un_système_fermé_de_matière_par_rapport_à_un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_galiléen|conservation du moment cinétique scalaire d'un système fermé de matière par rapport à un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude galiléen]] » du chap.&lt;math&gt;5&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, ceci restant &lt;u&gt;indépendant de la déformation du système&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans la mesure où celle-ci est créée par des actions intérieures&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}de plus, le moment cinétique scalaire du système continu de matière &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; s’écrit, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)&lt;/math&gt;, la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot;&gt; Pour un système discret fermé de points matériels voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_système_discret_de_points_matériels#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_système_discret_de_points_matériels_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude,_le_point_origine_de_calcul_étant_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système discret de points matériels en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude, le point origine de calcul étant un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;2&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  J_\Delta(M_i) = \sum\limits_{i\,=\,1\,..\,N}  m_i\;r_i^2\;&lt;/math&gt; avec &lt;math&gt;\;r_i\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale séparant le point matériel &lt;math&gt;\;M_i\;\left( m_i \right)\;&lt;/math&gt; de {{Nobr|&lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;}}&lt;br&gt;{{Al|61}}pour un système continu fermé de matière d'expansion tridimensionnelle voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_vecteur_moment_cinétique_d’un_«_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_»_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_un_point_A_de_Δ|expression du vecteur moment cinétique d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à un point A de Δ]] (moment d'inertie du système relativement à l'axe de rotation) » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) », le moment d'inertie du système relativement à l'axe étant défini selon «&lt;math&gt;\;J_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dJ_\Delta(M) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} dm\;r^2 = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)}  \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;» avec &lt;math&gt;\;r\;&lt;/math&gt; la distance orthogonale entre l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et le pseudo-point &lt;math&gt;\;M\;\left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;voir la notion d'intégrale volumique dans le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrales_volumiques|les deux types d'intégrales volumiques]] » du chap.&lt;math&gt;17&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Loi_du_moment_cinétique_:_Moments_cinétiques_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe#Expression_du_moment_cinétique_scalaire_d’un_système_continu_de_matière_en_rotation_autour_d’un_axe_Δ_fixe_dans_le_référentiel_d'étude_par_rapport_à_l’axe_Δ|expression du moment cinétique scalaire d'un système continu de matière en rotation autour d'un axe Δ fixe dans le référentiel d'étude par rapport à l'axe Δ]] » du chap.&lt;math&gt;3&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;tant que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ne se déforme pas&lt;/u&gt;, son moment d'inertie «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» reste constant &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et par suite, &lt;u&gt;ceci établit&lt;/u&gt; l’équivalence entre 
* « &lt;u&gt;la conservation&lt;/u&gt; du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen » et 
* «{{Transparent|la conserv}} celle &lt;u&gt;de la vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation » ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a acquis une valeur «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante mais de valeur plus faible dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase initiale » soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t) = \overline{\Omega'}_1,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après que l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;ait repris son extension la plus proche de l'axe&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, le moment d'inertie de l'ensemble a repris sa valeur initiale «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; et de
* « la conservation du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe de rotation &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; galiléen durant la durée totale de l'expérience » on déduit, en tenant compte de {{Nobr|«&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &lt; {J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»,}}
* « &lt;u&gt;une vitesse angulaire de rotation&lt;/u&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;autour de l'axe de rotation&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;fixe dans le référentiel d'étude&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;galiléen&lt;/u&gt; restant &lt;u&gt;constante de valeur plus grande dans cette phase&lt;/u&gt; que dans la phase précédente &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;plus exactement reprenant la valeur initiale de la vitesse angulaire&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt;» soit «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) = \overline{\Omega}_0,\;\;\forall\;t\;&lt;/math&gt; après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation avec &lt;math&gt;\;\overline\Omega_0 &gt; \overline{\Omega'}_1\;&lt;/math&gt;».

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot;&gt; Même si un pseudo-point quelconque de l'expansion tridimensionnelle constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; décrit, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, un mouvement avec une même vitesse angulaire instantanée, il a, selon son positionnement dans &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, éventuellement un mouvement radial et axial &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c'est effectivement le cas pour les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; étant un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M\big]&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» ; 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} toutefois un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot;&gt; Un pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt; est un élément de matière, centré en &lt;math&gt;\;M\,\in\, \left( \mathcal{V} \right)&lt;/math&gt;, de volume &lt;math&gt;\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, de masse &lt;math&gt;\;dm = \mu(M)\;d \mathcal{V}_M&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\mu(M)\;&lt;/math&gt; étant la masse volumique de l'expansion en &lt;math&gt;\;M&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot;&gt; L'origine &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; du repérage cylindro-polaire étant choisie sur l'axe &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} le vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \overrightarrow{OM}(t) \wedge \mu(M)\;\vec{V}_M(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) = r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = \left[ r(t)\;\vec{u}_r + z(t)\;\vec{u}_\Delta \right] \wedge \left[ \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta \right]\;&lt;/math&gt; ou, après utilisation de la distributivité de la multiplication vectorielle par rapport à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)/Produit_scalaire,_produit_vectoriel_et_produit_mixte#Propriétés_2|propriété]] (de la multiplication vectorielle) » du chap.&lt;math&gt;7&lt;/math&gt; de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, &lt;math&gt;\overrightarrow{OM}(t) \wedge \vec{V}_M(t) = r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta \right] + r(t)\;\dot{z}(t) \left[ \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\Delta \right] + z(t)\;\dot{r}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_r \right] + z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) \left[ \vec{u}_\Delta \wedge \vec{u}_\theta \right] = \left\lbrace \begin{array}{l l}-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_r\\ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\theta\\ r^2(t)\;\overline{\Omega}(t) &amp;\text{sur }\;\vec{u}_\Delta\end{array}\right.\;&lt;/math&gt; d'où, l'expression du vecteur moment cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace -z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r + \left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dont on tire l'expression du moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \vec{\sigma}_{O,\,(\mathcal{E})}\!(t) \cdot \vec{u}_\Delta = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \left\lbrace \cancel{-z(t)\;r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_r \cdot \vec{u}_\Delta} + \cancel{\left[ z(t)\;\dot{r}(t) - r(t)\;\dot{z}(t) \right] \vec{u}_\theta  \cdot \vec{u}_\Delta} + r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\Delta^2 \right\rbrace d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; en utilisant de nouveau la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle &lt;ref name=&quot;distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle&quot; /&gt; ainsi que le caractère orthonormé de la base cylindro-polaire &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\;\overline{\Omega}(t)\; d \mathcal{V}_M =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\left\lbrace \displaystyle\iiint_{M\,\in\,\left( \mathcal{V} \right)} \mu(M) \; r^2(t)\; d \mathcal{V}_M \right\rbrace \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; soit finalement la validité de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» lors des deux phases de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» et

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», la vitesse angulaire de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;».

=== Bilan énergétique du tabouret d’inertie ===

{{Al|5}}On définit l'énergie mécanique, à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; composé du « système déformable &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. l'expérimentateur assis sur le siège du tabouret, tenant, dans chaque main, un haltère, les pieds ne traînant pas sur le sol&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; associé au siège du tabouret tournant », selon «&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt;» est l’énergie cinétique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t)\;&lt;/math&gt;»}} l’énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; au même instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; La variation d'énergie potentielle de pesanteur résulte &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; de l’éloignement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou du rapprochement&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; des haltères de l'axe de rotation, cet écartement &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;ou cette approche&lt;math&gt;\big)\;&lt;/math&gt; se faisant par action des bras correspond nécessairement à une variation d'altitude des haltères &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;on rappelle que cette action doit être faite symétriquement par rapport à l'axe et sans vitesse relative orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, donc à une variation d'altitude du centre d'inertie du système déformable et par suite une variation d’énergie potentielle de pesanteur de ce dernier ; &lt;br&gt;{{Al|5}}toutefois, si les haltères dans l’état final de déformation du système reviennent à la même altitude qu'ils avaient initialement, l’énergie potentielle de pesanteur du système ne varie que pendant la déformation car elle reprend sa valeur initiale une fois la modification achevée.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; et «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t)\;&lt;/math&gt;» l’énergie potentielle d’interaction entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;celle-ci ne pouvant varier que « pendant la déformation du système » &lt;ref&gt; Dans l’exemple où le système déformable est un individu avec un haltère dans chaque main, les deux ensembles « bras, main, haltère » étant les seules parties du système se déformant, seules les forces d’interaction entre chaque partie mobile de chacun de ces ensembles « bras, main, haltère » travaillent ; &lt;br&gt;{{Al|3}}dans le but de faire une étude simplifiée, nous supposons qu’elles forment un sous-système de forces intérieures conservatives de même intensité instantanée &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d., qu'à un instant figé, toutes les forces intérieures de chaque ensemble « bras, main, haltère » ont la même intensité, cette dernière variant néanmoins avec le temps&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, intensité de l’interaction « dérivant » de l’énergie potentielle d’interaction «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» dépendant de la distance séparant l’haltère de l’axe de rotation &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = 2\; U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;&lt;/math&gt;» ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors de l’éloignement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail résistant &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors de l'éloignement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;augmentation de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\nearrow\;&lt;/math&gt; lors de l'éloignement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}&lt;u&gt;lors du rapprochement de l’haltère&lt;/u&gt; de chaque ensemble « bras, main, haltère », la force que le bras exerce sur l’haltère ayant, entre autres, toujours une composante radiale « axipète » &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;c.-à-d. dirigée vers l’axe&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, cette dernière développe un travail moteur &lt;math&gt;\;\Big\{&lt;/math&gt;seule la composante radiale de la force donne un travail non nul lors du rapprochement global de l'haltère, avec &lt;math&gt;\;\overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; ainsi qu'un déplacement radial élémentaire de l'haltère &lt;math&gt;\;dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &lt; 0\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\delta W\!\left[ \vec{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc},\,r} \right] = \overline{F}_{\text{int},\, \text{haltère}\, \leftarrow\, \text{tronc}}\; dr_{\text{tronc}\, \rightarrow\, \text{haltère}} &gt; 0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\Big\}\;&lt;/math&gt; lequel étant égal, par définition de l’énergie potentielle, à l’opposé de la variation de cette dernière engendre une &lt;u&gt;diminution de l’énergie potentielle d’interaction&lt;/u&gt; soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}\,\text{dans un ens. bras, main, haltère}}(t)\;\searrow\;&lt;/math&gt; lors du rapprochement de l'haltère » ; &lt;br&gt;{{Al|3}}la conclusion de cette étude très simplifiée est donc la suivante :
* « quand les haltères s’éloignent symétriquement de l’axe, &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» et 
* « quand les haltères se rapprochent symétriquement de l’axe,&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;u&gt;les actions extérieures non conservatives&lt;/u&gt; étant les « les forces de liaison du [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|pivot]] » &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; lesquelles, se réduisant en un point &lt;math&gt;\;O&lt;/math&gt;, choisi fixe sur &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, axe vertical de rotation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, en une résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; et un couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à l'axe vertical de rotation &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;idéalité de la [[w:Liaison_(mécanique)#Liaison_pivot|liaison pivot]] &lt;ref name=&quot;liaison pivot&quot; /&gt; par absence de frottement&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ne travaillent pas&lt;/u&gt; &lt;ref&gt; En effet la résultante verticale ascendante &lt;math&gt;\;\vec{R}\;&lt;/math&gt; ayant pour point d'application le point &lt;math&gt;\;O\;&lt;/math&gt; fixe, son travail est nul et le couple de vecteur moment &lt;math&gt;\;\vec{\Gamma}\;\perp\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; développe, lors d'une rotation élémentaire d'angle &lt;math&gt;\;d \theta\;&lt;/math&gt; autour de &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, le travail &lt;math&gt;\;\delta W_{\text{couple du pivot}} = \vec{\Gamma} \cdot d \theta\; \vec{u}_\Delta = 0&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big(\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt; étant le vecteur unitaire de &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; orientant les angles de rotation&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt; ; 

{{Al|5}}les actions intérieures agissant entre parties mobiles de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant supposées toutes conservatives, &lt;u&gt;les éventuelles actions intérieures non conservatives ne travaillent pas&lt;/u&gt; ;

{{Al|5}}nous déduisons, de l'absence de travail des forces extérieures et intérieures non conservatives agissant sur l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;la conservation de l’énergie mécanique de ce système déformable&lt;/u&gt; soit &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» quel que soit l’instant considéré « avant, pendant ou après la déformation » &lt;ref name=&quot;conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#«_En_complément_»,_conservation_de_l’énergie_mécanique_d’un_système_de_matière_déformable_dans_le_champ_de_forces_extérieures_et_intérieures_conservatives,_les_autres_forces_extérieures_et_intérieures_ne_travaillant_pas|en complément, conservation de l'énergie mécanique d'un système déformable dans le champ de forces extérieures  et intérieures conservatives, les autres forces extérieures et intérieures ne travaillant pas]] » plus haut dans le chapitre.&lt;/ref&gt; &lt;br&gt;soit encore «&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = K_{(\mathcal{E})}(0) + U_{\text{pes}}(0) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(0)&lt;/math&gt;».&lt;/center&gt;
{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;avant la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, l'extension de ce dernier restant constante dans le temps et la plus rapprochée de l'axe, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot;&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Approche_énergétique_du_mouvement_d'un_solide_en_rotation_autour_d'un_axe_fixe_:_Énergie_cinétique_du_solide_en_rotation#Énergie_cinétique_newtonienne_d’un_«_système_de_points_en_rotation_»_autour_d’un_axe_Δ_fixe,_de_vecteur_rotation_instantanée_connu|énergie cinétique newtonienne d'un système de points en rotation autour d'un axe Δ fixe, de vecteur rotation instantanée connu]] » du chap.&lt;math&gt;9&lt;/math&gt; de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) ».&lt;/ref&gt;, «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; se comporte comme un solide en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans la mesure où &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; a cessé de se déformer et son énergie cinétique s'écrit «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = \dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \left[ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \right]^2 = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})}{2} = {K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dfrac{1}{2}\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \; \overline{\Omega'}_1^2\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;énergie cinétique d'un solide en rotation&quot; /&gt;, «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; étant le moment d’inertie du système &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l’axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; dans son extension la plus éloignée de ce dernier » &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; est &lt;math&gt;\;&gt;\;&lt;/math&gt; à &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t)\;&lt;/math&gt;}} la vitesse angulaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec cette extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;laquelle garde la valeur «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}_1 &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; Voir le paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (après que l'ensemble ait adopté son extension la plus éloignée de l'axe) » plus haut dans ce chapitre.&lt;/ref&gt;&lt;math&gt;\big]\;&lt;/math&gt; ainsi que «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;&lt;/math&gt; le moment cinétique scalaire de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; relativement à &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; avec la même extension » &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;on rappelle que «&lt;math&gt;\;{J'}_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) &gt; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» avec «&lt;math&gt;\;{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; «&lt;math&gt;\;\overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; \overline{\Omega}_0\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; et des relations entre moments cinétiques scalaires et vitesses angulaires précédemment établies &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c}{\sigma'}_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\\ \overline{\Omega'}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) \!\!\!&amp;&lt; \!\!\!&amp;\overline{\Omega}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\end{array}\right\rbrace\;&lt;/math&gt; associées à la 3&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de l'énergie cinétique d'un solide en rotation on en déduit la relation entre énergies cinétiques suivante «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ou «&lt;math&gt;\;{K'}_{\!(\mathcal{E})}(t_1) &lt; K_{(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;si la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;correspond au C.D.I. &lt;ref name=&quot;C.D.I.&quot; /&gt; des parties déformables de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; &lt;u&gt;à la même altitude&lt;/u&gt;, on en déduit que l'énergie potentielle de pesanteur de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; prend la même valeur après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation que celle qu'elle avait avant celle-ci soit «&lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\diamond\;&lt;/math&gt;de la conservation de l'énergie mécanique &lt;u&gt;de part et d'autre de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation&lt;/u&gt;, on en tire, après simplification,  &lt;center&gt;«&lt;math&gt;K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;» soit encore&lt;/center&gt;
{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant donc adopté son extension la plus éloignée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait éloigné les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une diminution d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \searrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une augmentation d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E})} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.}} &lt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; adopte l'extension la plus éloignée de l'axe, une partie de l'énergie cinétique de rotation du système a été convertie en gain d'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties de ce système, c.-à-d. que l’énergie nécessaire à éloigner les haltères de l’axe de rotation a été puisée dans la réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt; ;

{{Al|12}}&lt;u&gt;après la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de l'ensemble&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, ce dernier ayant repris son extension la plus rapprochée de l'axe &lt;math&gt;\;\big(&lt;/math&gt;c.-à-d. après que l'expérimentateur ait redonné aux haltères leur position initiale la plus proche de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale&lt;math&gt;\big)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;ceci correspondant à un échange entre état final et initial tel que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; ainsi que les états de &lt;math&gt;\;t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}\;&lt;/math&gt; soient ceux de &lt;math&gt;\;t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}\big\}&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;on observe simultanément une augmentation d'énergie cinétique&lt;/u&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt; et &lt;u&gt;une diminution d'énergie potentielle d'interaction&lt;/u&gt; entre les différentes parties du système &lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;, &lt;u&gt;ces deux variations&lt;/u&gt; «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - K_{(\mathcal{E})}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &gt; 0\;&lt;/math&gt;» d'une part et «&lt;math&gt;\;\Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) - U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; 0\;&lt;/math&gt;» d'autre part, &lt;u&gt;se compensant&lt;/u&gt; selon «&lt;math&gt;\;\Delta K_{(\mathcal{E}),\,2\,\leftarrow\,1} = - \Delta U_{\text{int},\,\text{déform.},\,2\,\leftarrow\,1} &gt; 0\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;ainsi, pour que l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; reprenne l'extension la plus proche de l'axe, une partie de l'énergie potentielle d'interaction entre les différentes parties du système a été convertie en gain d'énergie cinétique de rotation de ce système, c.-à-d. que l’énergie récupérée en rapprochant les haltères de l’axe de rotation a été transformée en réserve d’énergie cinétique de rotation&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;.

{{Al|5}}&lt;math&gt;\;\blacktriangleright\;&lt;/math&gt;&lt;u&gt;Remarque&lt;/u&gt; : Pendant chaque phase interne de déformation de l'ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;c.-à-d. celle où l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe » et celle où ce même expérimentateur fait l'opération inverse pour permettre à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; de retrouver « l'extension la plus rapprochée de l'axe »&lt;math&gt;\big]&lt;/math&gt;, le système n’étant pas en rotation dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;car certaines parties de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)&lt;/math&gt;, comme les bras de l'expérimentateur ainsi que les haltères, ne l'étant pas &lt;ref name=&quot;hors rotation&quot; /&gt;&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;, nous ne sommes plus, a priori, dans les conditions d’application de «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)\;\overset{?}{=}\; \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;» et 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} contrairement au moment cinétique scalaire pour lequel la relation «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation de ses parties mobiles, avec le reste indéformable en rotation autour de l'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; fixe dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot;&gt; En effet on a établi au paragraphe « [[Mécanique_2_(PCSI)/Lois_de_l'énergie_cinétique_pour_un_système_déformable_de_points_matériels#Explication_de_l’observation|explication de l'observation]] (remarque) » plus haut dans ce chapitre que «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt;» reste applicable pendant les différentes déformations envisagées.&lt;/ref&gt;, le maintien de la relation pour l'énergie cinétique n'est pas applicable à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; dans les mêmes phases de déformation de ses parties mobiles, avec le même mouvement de rotation du reste indéformable c.-à-d. que «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \,\overline{\Omega}^2(t)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref&gt; De même «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)}\;&lt;/math&gt;» et «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) \neq \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2}\;&lt;/math&gt;».&lt;/ref&gt; comme prouvé ci-après ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en effet un pseudo-point quelconque &lt;math&gt;\;M\, \left( dm \right)\;&lt;/math&gt; de l'expansion tridimensionnelle &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{V} \right)\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;pseudo-point d'une expansion tridimensionnelle&quot; /&gt; constituant &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; ayant, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, une même vitesse angulaire instantanée &lt;math&gt;\;\overline{\Omega}(t)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou de la 2&lt;sup&gt;nde&lt;/sup&gt; déformation, son vecteur vitesse instantané, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, s'écrit, avec &lt;math&gt;\;\left\lbrace r(t)\,,\, \theta(t)\,,\, z(t) \right\rbrace\;&lt;/math&gt; pour lois horaires de position cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;choix de l'origine O&quot; /&gt; &lt;math&gt;\;\big[&lt;/math&gt;la base cylindro-polaire d'axe &lt;math&gt;\;\Delta\;&lt;/math&gt; liée à &lt;math&gt;\;M\;&lt;/math&gt; étant notée &lt;math&gt;\;\left\lbrace \vec{u}_r\,,\,\vec{u}_\theta\,,\, \vec{u}_\Delta \right\rbrace\big]&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;\vec{V}_M(t) = \dot{r}(t)\;\vec{u}_r + r(t)\;\overline{\Omega}(t)\;\vec{u}_\theta + \dot{z}(t)\;\vec{u}_\Delta\;&lt;/math&gt;» et par suite, 

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; étant défini, dans le référentiel d'étude &lt;math&gt;\;\mathcal{R}&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\; \vec{V}_M^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; dans lequel &lt;math&gt;\;\vec{V}_M^{\,2}(t) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) + r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\;r^2(t)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; que l'on peut réécrire, en factorisant le 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; terme par &lt;math&gt;\;\dfrac{1}{2}\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)&lt;/math&gt;, selon &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M + \dfrac{1}{2} \left\lbrace \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2(t)\;d \mathcal{V}_M \right\rbrace\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit, en reconnaissant dans «&lt;math&gt;\;\displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \mu(M)\;r^2\;d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à &lt;math&gt;\;\Delta&lt;/math&gt;, noté &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt;, la réécriture de l'énergie cinétique de la partie déformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D} \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t&lt;/math&gt;, «&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} on en déduit l'expression de l'énergie cinétique de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; à l'instant &lt;math&gt;\;t\;&lt;/math&gt; dans &lt;math&gt;\;\mathcal{R}\;&lt;/math&gt; lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation en ajoutant à &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D})}\!(t)\;&lt;/math&gt; l'expression de l'énergie cinétique de la partie indéformable &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{D}' \right)\;&lt;/math&gt; de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; soit &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; d'où &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = K_{(\mathcal{D})}\!(t) + K_{(\mathcal{D}')}\!(t) = \left[ \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M \right] + \dfrac{1}{2}\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t)\;&lt;/math&gt; soit encore &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\, \left[ J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) \right]\,\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt; ou, la grandeur moment d'inertie &lt;ref name=&quot;moment d'inertie&quot; /&gt; étant « additive » &lt;ref name=&quot;grandeur additive&quot;&gt; Une grandeur définie pour un ensemble de deux parties disjointes est dite « additive » si elle est égale à la somme des grandeurs définies pour chaque partie de l'ensemble.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\;\left\lbrace \begin{array}{c c c} \left( \mathcal{D} \right) \cup \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\left( \mathcal{E} \right)\\ \left( \mathcal{D} \right) \cap \left( \mathcal{D}' \right) \!\!\!&amp;= \!\!\!&amp;\emptyset \end{array} \right\rbrace\;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{D} \right) + J_\Delta\!\left( \mathcal{D}' \right) = J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; et par suite &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{1}{2}\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)\;\overline{\Omega}^{\,2}(t) + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ou, &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ou encore &lt;br&gt;«&lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}(t)\;\overline{\Omega}(t)}{2} + \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» &lt;ref name=&quot;applicabilité de σ = J Ω lors de la déformation du système&quot; /&gt; ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} en prenant la 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; expression de &lt;math&gt;\;K_{(\mathcal{E})}\!(t)&lt;/math&gt;, on peut réécrire la « conservation de l’énergie mécanique de l’ensemble &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt;» lors de la 1&lt;sup&gt;ère&lt;/sup&gt; ou 2&lt;sup&gt;ème&lt;/sup&gt; déformation selon &lt;center&gt;«&lt;math&gt;\;E_{m,\,(\mathcal{E})}(t) = \dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} + K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) = E_{m,\,(\mathcal{E})}(0)\;&lt;/math&gt;» &lt;br&gt;dans laquelle «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) = \displaystyle\iiint\limits_{M\,\in\,\left( \mathcal{D} \right)} \dfrac{1}{2}\;\mu(M)\, \left[ \dot{r}^2(t) + \dot{z}^2(t) \right] \,d \mathcal{V}_M\;&lt;/math&gt;» ;&lt;/center&gt;
{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur éloigne les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus éloignée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \nearrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \searrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \nearrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}}) &gt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }1^{\text{ère}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt; ;

{{Al|11}}{{Transparent|Remarque :}} &lt;math&gt;\;\succ\;&lt;/math&gt;lorsque l'expérimentateur rapproche les haltères de l’axe de façon symétrique avec une vitesse relative par rapport au siège du tabouret sans composante orthoradiale pour donner à &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; « l'extension la plus rapprochée de l'axe », il y a conservation de «&lt;math&gt;\;\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}\!(t)\;&lt;/math&gt;» mais comme le moment d'inertie de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; par rapport à l'axe «&lt;math&gt;\;J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right) \searrow\;&lt;/math&gt;», l'énergie cinétique de rotation de &lt;math&gt;\;\left( \mathcal{E} \right)\;&lt;/math&gt; autour de l'axe {{Nobr|«&lt;math&gt;\;\dfrac{\sigma_{\Delta,\,(\mathcal{E})}^{\,2}(t)}{2\; J_\Delta\!\left( \mathcal{E} \right)} \nearrow\;&lt;/math&gt;»}} et par suite la quantité énergétique «&lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}}(t) + U_{\text{pes}}(t) + U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t) \searrow\;&lt;/math&gt;» &lt;math&gt;\;\big\{&lt;/math&gt;sachant qu'avant et après la déformation, on a &lt;math&gt;\;K_{\text{déform.}} = 0\;&lt;/math&gt; ainsi que &lt;math&gt;\;U_{\text{pes}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) =&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U_{\text{pes}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})&lt;/math&gt;, on vérifie «&lt;math&gt;\;U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{après }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}}) &lt; U_{\text{int},\,\text{déform.}}(t_{\text{avant }2^{\text{ème}}\, \text{déform.}})\;&lt;/math&gt;»&lt;math&gt;\big\}&lt;/math&gt;.

== Notes et références ==

&lt;references /&gt;

{{Bas de page
  | idfaculté = physique
  | précédent = [[../Approche énergétique du mouvement d'un solide en rotation autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie|Approche énergét. du mouv. d'un sol. en rotat. autour d'un axe fixe : Lois scalaires de l'énergie cinétique 2ème partie]]
  | suivant   = [[../Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités|Mouv. d'un point mat. dans un champ de force central conservatif : Généralités]]
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    <title>Météorites/Histoire du système solaire vue par les météorites</title>
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        <username>Eric.LEWIN</username>
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      <comment>rajout d'un A.S. …</comment>
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{{Chapitre
  | idfaculté = géologie
  | numéro    = 6
  | précédent = [[../Impactisme, évolution des surfaces planétaires/]]
  | suivant   = [[../|Sommaire]]
  | niveau    = 12
}}

Anté-scriptum : il s'agit ici d'un domaine pour lequel la recherche est très active, en fait on peut même dire qu'elle n'a seulement que commencé, même si la question est aussi vieille que le regard que l'Humanité pose sur le ciel, mais plus spécifique, depuis que les méthodes de datation ont montré que les météorites dites primitives ont toutes le même âge à moins de 10-20 millions d'années, à savoir 4,565 milliards d'années (4,567 Ga).

== Histoire du système solaire à son tout début, puis plus tard, racontée par les météorites ==
(travail à faire)

Relations avec les modèles de disques planétaires en astro…

Homogénéité isotopique, la nébuleuse primordiale.

La formation des tout premiers objets autour du proto-Soleil, des premiers solides, des premiers petits corps, les planétésimes…

Le flash thermique : transformations sur les planétésimes ; métamorphisme et altération hydrothermale.

Spallation et histoire du RCG

Champ magnétique piégé, ou pourquoi il NE FAUT PAS utiliser d'aimant quand on découvre une météorite qui semble fraîchement tombée…


{{Bas de page
  | idfaculté = géologie
  | précédent = [[../Impactisme, évolution des surfaces planétaires/]]
  | suivant   = [[../|Sommaire]]
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  | idfaculté = géologie
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  | suivant   = [[../|(retour au sommaire)]]
  | niveau    = 12
}}

Anté-scriptum : il s'agit ici d'un domaine pour lequel la recherche est très active, en fait on peut même dire qu'elle n'a seulement que commencé, même si la question est aussi vieille que le regard que l'Humanité pose sur le ciel, mais plus spécifique, depuis que les méthodes de datation ont montré que les météorites dites primitives ont toutes le même âge à moins de 10-20 millions d'années, à savoir 4,565 milliards d'années (4,567 Ga).

== Histoire du système solaire à son tout début, puis plus tard, racontée par les météorites ==
(travail à faire)

Relations avec les modèles de disques planétaires en astro…

Homogénéité isotopique, la nébuleuse primordiale.

La formation des tout premiers objets autour du proto-Soleil, des premiers solides, des premiers petits corps, les planétésimes…

Le flash thermique : transformations sur les planétésimes ; métamorphisme et altération hydrothermale.

Spallation et histoire du RCG

Champ magnétique piégé, ou pourquoi il NE FAUT PAS utiliser d'aimant quand on découvre une météorite qui semble fraîchement tombée…


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      <text bytes="1062" sha1="k5bp5f4kli1zd0p6awgexmmtdzol6yr" xml:space="preserve">{{Ébauche}}
{{Chapitre
  | idfaculté = géologie
  | numéro    = 5
  | précédent = [[../Du corps parent à l'entrée en collection/]]
  | suivant   = [[../Histoire du système solaire vue par les météorites/]]
  | niveau    = 12
}}

Anté-scriptum : il s'agit ici d'un domaine pour lequel la recherche est encore très active, notamment à travers les récents «&amp;nbsp;expériences&amp;nbsp;» (missions [[w:fr:Double_Asteroid_Redirection_Test|DART]] et [[w:fr:Hera_(mission_spatiale)|Hera]] par ex.) d'impacts provoqués avec un objet technologique, entre autre et surtout dans le cadre des études pour la ''[[w:fr:Défense planétaire]]''.

== Distribution des tailles de fragment lors d'impacts ==
(travail à faire)

== Datation des surfaces planétaires par comptage de cratères ==
(travail à faire)

== Problème à N corps, collisions ==
(travail à faire)


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  | idfaculté = géologie
  | précédent = [[../Du corps parent à l'entrée en collection/]]
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    <title>Recherche:Énergie créatrice/Ordo ab chaos</title>
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        <username>Supreme assis</username>
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  | idfaculté = mathématiques
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  | numéro    = 3
  | précédent = [[../Déplacement de charges/]]
  | suivant   = [[../non défini/]]
}}

Et voila ... nous y sommes ! Sinon pour quelle raison aurais-je été réveillé après un si long sommeil ? J'y vois deux actualités majeures : '''le réveil de l'IA''' dont les principaux acteurs semblent se préoccuper &lt;ref&gt;Mathilde {{pc|Engelmann}}, ''Face à une technologie de plus en plus autonome, le magnat de la tech Bill Gates alerte : « Les dangers liés à l’intelligence artificielle devraient constituer la priorité absolue du monde. »'', sur Vanity Fair, 28 Aout 2026, https://www.vanityfair.fr/article/meme-bill-gates-a-peur-de-lintelligence-artificielle &lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;et '''le désordre sociétal''' qui s'empare de nos sociétés occidentales avec, en toile de fonds, une guerre des religions qui ne dit pas son nom, instrumentalisée par ''les grands de ce monde''. Dois-je m’appesantir davantage sur le constat ?

En tout état de cause, je dois dire merci aux courageux qui m'ont suivi jusqu'au bout. J'ai essayé de garder le contact avec ma source, mais les problèmes de santé et le vieillissement de mes cellules grises ont endommagé mon cerveau.  Aussi me mets-je encore plus au service de ma ''source'', en espérant qu'elle nous guide vers un horizon de lumière. Je reprends donc le fil de cette étude avec l'espoir qu'elle apporte un peu de douceur à la brutalité ambiante. Pour l'instant je n'ai '''aucune''' intuition de l'issue. La seule chose dont je suis sûr c'est qu'il faut nous placer hors de portée des chiffres et calculs qui sont désormais aux mains de l'IA. Les plus grands mathématiciens ne me contrediront pas. Mais alors que nous reste-t-il ? Notre espace de communication est réduit à peau de chagrin.

Faut-il '''abandonner le monde à l'IA''' au risque qu'elle nous avale ? Ou, au contraire, '''collaborer avec elle''' pour qu'elle nous guide vers un nouveau monde et lui faire totalement confiance ? Pour ma part, j'aurais plutôt tendance à dire ''(ni l'un ; ni l'autre) ou (soit l'un ; soit l'autre)'' c'est selon. Histoire d'affirmer la supériorité de l'intelligence humaine malgré tout. Mais alors ? Et la France dans tout çà ? Ne servirait-elle pas de champ expérimental ?


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}}

Et voila ... nous y sommes ! Sinon pour quelle raison aurais-je été réveillé après un si long sommeil ? J'y vois deux actualités majeures : '''le réveil de l'IA''' dont les principaux acteurs semblent se préoccuper &lt;ref&gt;Mathilde {{pc|Engelmann}}, ''Face à une technologie de plus en plus autonome, le magnat de la tech Bill Gates alerte : « Les dangers liés à l’intelligence artificielle devraient constituer la priorité absolue du monde. »'', sur Vanity Fair, 28 Aout 2026, https://www.vanityfair.fr/article/meme-bill-gates-a-peur-de-lintelligence-artificielle &lt;/ref&gt;&lt;/center&gt; et '''le désordre sociétal''' qui s'empare de nos sociétés occidentales avec, en toile de fonds, une guerre des religions qui ne dit pas son nom, instrumentalisée par ''les grands de ce monde''. Dois-je m’appesantir davantage sur le constat ?

En tout état de cause, je dois dire merci aux courageux qui m'ont suivi jusqu'au bout. J'ai essayé de garder le contact avec ma source, mais les problèmes de santé et le vieillissement de mes cellules grises ont endommagé mon cerveau.  Aussi me mets-je encore plus au service de ma ''source'', en espérant qu'elle nous guide vers un horizon de lumière. Je reprends donc le fil de cette étude avec l'espoir qu'elle apporte un peu de douceur à la brutalité ambiante. Pour l'instant je n'ai '''aucune''' intuition de l'issue. La seule chose dont je suis sûr c'est qu'il faut nous placer hors de portée des chiffres et calculs qui sont désormais aux mains de l'IA. Les plus grands mathématiciens ne me contrediront pas. Mais alors que nous reste-t-il ? Notre espace de communication est réduit à peau de chagrin.

Faut-il '''abandonner le monde à l'IA''' au risque qu'elle nous avale ? Ou, au contraire, '''collaborer avec elle''' pour qu'elle nous guide vers un nouveau monde et lui faire totalement confiance ?&lt;ref&gt;Jonathan {{pc|Benton}}, ''L’IA accélère les cyberattaques et réduit le temps de réponse, selon le dernier rapport de l'ENISA : l'intelligence artificielle transforme le paysage de la cybersécurité, offrant des opportunités pour une meilleure défense comme pour l'attaque.'' sur Euronews, 10 Novembre 2026 à 3:55 PM UTC+1 &lt;/ref&gt;&lt;/center&gt; Pour ma part, j'aurais plutôt tendance à dire ''(ni l'un ; ni l'autre) ou (soit l'un ; soit l'autre)'' c'est selon. Histoire d'affirmer la supériorité de l'intelligence humaine malgré tout. Mais alors ? Et la France dans tout çà ? Ne servirait-elle pas de champ expérimental ?


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Et voila ... nous y sommes ! Sinon pour quelle raison aurais-je été réveillé après un si long sommeil ? J'y vois deux actualités majeures : '''le réveil de l'IA''' dont les principaux acteurs semblent se préoccuper &lt;ref&gt;Mathilde {{pc|Engelmann}}, ''Face à une technologie de plus en plus autonome, le magnat de la tech Bill Gates alerte : « Les dangers liés à l’intelligence artificielle devraient constituer la priorité absolue du monde. »'', sur Vanity Fair, 28 Aout 2026, https://www.vanityfair.fr/article/meme-bill-gates-a-peur-de-lintelligence-artificielle &lt;/ref&gt;&lt;/center&gt; et '''le désordre sociétal''' qui s'empare de nos sociétés occidentales avec, en toile de fonds, une guerre des religions qui ne dit pas son nom, instrumentalisée par ''les grands de ce monde''. Dois-je m’appesantir davantage sur le constat ?

En tout état de cause, je dois dire merci aux courageux qui m'ont suivi jusqu'au bout. J'ai essayé de garder le contact avec ma source, mais les problèmes de santé et le vieillissement de mes cellules grises ont endommagé mon cerveau.  Aussi me mets-je encore plus au service de ma ''source'', en espérant qu'elle nous guide vers un horizon de lumière. Je reprends donc le fil de cette étude avec l'espoir qu'elle apporte un peu de douceur à la brutalité ambiante. Pour l'instant je n'ai '''aucune''' intuition de l'issue. La seule chose dont je suis sûr c'est qu'il faut nous placer hors de portée des chiffres et calculs qui sont désormais aux mains de l'IA. Les plus grands mathématiciens ne me contrediront pas. Mais alors que nous reste-t-il ? Notre espace de communication est réduit à peau de chagrin.

Faut-il '''abandonner le monde à l'IA''' au risque qu'elle nous avale[[https://fr.wikipedia.org/wiki/Course_aux_armements_intelligents]] ? Ou, au contraire, '''collaborer avec elle''' pour qu'elle nous guide vers un nouveau monde et lui faire totalement confiance ?&lt;ref&gt;Jonathan {{pc|Benton}}, ''L’IA accélère les cyberattaques et réduit le temps de réponse, selon le dernier rapport de l'ENISA : l'intelligence artificielle transforme le paysage de la cybersécurité, offrant des opportunités pour une meilleure défense comme pour l'attaque.'' sur Euronews, 10 Novembre 2026 à 3:55 PM UTC+1 &lt;/ref&gt;&lt;/center&gt; Pour ma part, j'aurais plutôt tendance à dire ''(ni l'un ; ni l'autre) ou (soit l'un ; soit l'autre)'' c'est selon. Histoire d'affirmer la supériorité de l'intelligence humaine malgré tout. Mais alors ? Et la France dans tout çà ? Ne servirait-elle pas de champ expérimental ?


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Et voila ... nous y sommes ! Sinon pour quelle raison aurais-je été réveillé après un si long sommeil ? J'y vois deux actualités majeures : '''le réveil de l'IA''' dont les principaux acteurs semblent se préoccuper &lt;ref&gt;Mathilde {{pc|Engelmann}}, ''Face à une technologie de plus en plus autonome, le magnat de la tech Bill Gates alerte : « Les dangers liés à l’intelligence artificielle devraient constituer la priorité absolue du monde. »'', sur Vanity Fair, 28 Aout 2026, https://www.vanityfair.fr/article/meme-bill-gates-a-peur-de-lintelligence-artificielle &lt;/ref&gt;&lt;/center&gt; et '''le désordre sociétal''' qui s'empare de nos sociétés occidentales avec, en toile de fonds, une guerre des religions qui ne dit pas son nom, instrumentalisée par ''les grands de ce monde''. Dois-je m’appesantir davantage sur le constat ?


En tout état de cause, je dois dire merci aux courageux qui m'ont suivi jusqu'au bout. J'ai essayé de garder le contact avec ma source, mais les problèmes de santé et le vieillissement de mes cellules grises ont endommagé mon cerveau.  Aussi me mets-je encore plus au service de ma ''source'', en espérant qu'elle nous guide vers un horizon de lumière. Je reprends donc le fil de cette étude avec l'espoir qu'elle apporte un peu de douceur à la brutalité ambiante. Pour l'instant je n'ai '''aucune''' intuition de l'issue. La seule chose dont je suis sûr c'est qu'il faut nous placer hors de portée des chiffres et calculs qui sont désormais aux mains de l'IA&lt;ref&gt;Cédric {{pc|Villani}}, ''Open AI :sommes-nous en train de vivre le ''moment le plus important'' de l'histoire des maths'', sur France Inter au micro de Stéphane {{pc|Jourdain}} dans ''nos vies numériques'', octobre 2026 &lt;/ref&gt;&lt;/center&gt;. Les plus grands mathématiciens ne me contrediront pas. Mais alors que nous reste-t-il ? Notre espace de communication est réduit à peau de chagrin.


Faut-il '''abandonner le monde à l'IA''' au risque qu'elle nous avale[[https://fr.wikipedia.org/wiki/Course_aux_armements_intelligents]] ? Ou, au contraire, '''collaborer avec elle''' pour qu'elle nous guide vers un nouveau monde et lui faire totalement confiance ?&lt;ref&gt;Jonathan {{pc|Benton}}, ''L’IA accélère les cyberattaques et réduit le temps de réponse, selon le dernier rapport de l'ENISA : l'intelligence artificielle transforme le paysage de la cybersécurité, offrant des opportunités pour une meilleure défense comme pour l'attaque.'' sur Euronews, 10 Novembre 2026 à 3:55 PM UTC+1 &lt;/ref&gt;&lt;/center&gt; Pour ma part, j'aurais plutôt tendance à dire ''(ni l'un ; ni l'autre) ou (soit l'un ; soit l'autre)'' c'est selon. Histoire d'affirmer la supériorité de l'intelligence humaine malgré tout. Mais alors ? Et la France dans tout çà ? Ne servirait-elle pas de champ expérimental ?


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    <title>Effet de rewzer</title>
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      <comment>Page créée avec « L''''effet de Rewzer''' (parfois appelé '''paradoxe de Rewzer''') désigne l'écart observé entre la vocation universelle d'un système de notation et sa faible adoption par le grand public. Le terme est formulé à propos de l'[[w:Alphabet phonétique international|alphabet phonétique international]] (API) : conçu pour transcrire la prononciation de n'importe quelle langue, cet alphabet n'est maîtrisé que par une minorité de locuteurs, ce qui limite son u... »</comment>
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L'expression repose sur une tension apparente : un système peut être ''universel dans sa conception'' (il couvre en principe tous les cas) sans être ''universel dans son usage'' (il n'est pas connu de tous). L'effet de Rewzer décrit cette situation et ses conséquences pratiques. Il s'apparente à des phénomènes étudiés en économie et en [[w:Théorie des jeux|théorie des jeux]], comme les [[w:Externalité de réseau|externalités de réseau]] et les [[w:Jeu de coordination|problèmes de coordination]].

== Origine du terme ==
L'expression est proposée en novembre 2026 par Rewzer, auteur de ce travail de recherche, à partir d'une observation simple : l'alphabet phonétique international sert à indiquer comment prononcer les mots de toutes les langues, mais la plupart des personnes ne savent pas le lire. Le terme « paradoxe » est employé dans un sens large, celui d'une situation contre-intuitive, et non dans le sens d'une contradiction logique stricte (voir la section [[#Critiques et limites|Critiques et limites]]).

== Formulation ==
L'effet de Rewzer peut être énoncé ainsi :

&lt;blockquote&gt;Un système de notation conçu pour être compris de tous perd l'essentiel de son utilité générale tant qu'il n'est connu que de quelques-uns ; or il reste peu connu précisément parce qu'il est peu utilisé.&lt;/blockquote&gt;

Cette formulation comporte deux éléments :
# '''Un constat''' : la portée théorique d'un système (ce qu'il permet de noter) est beaucoup plus large que sa diffusion réelle (le nombre de personnes capables de l'utiliser).
# '''Une boucle''' : la faible diffusion réduit l'intérêt d'apprendre le système, ce qui entretient sa faible diffusion.

== Le cas de l'alphabet phonétique international ==
=== Présentation ===
L'alphabet phonétique international est élaboré à la fin du XIX&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; siècle par l'[[w:Association phonétique internationale|Association phonétique internationale]], fondée autour du linguiste français [[w:Paul Passy|Paul Passy]]. Il a pour objectif d'attribuer un symbole unique à chaque son distinctif d'une langue&lt;ref name=&quot;britannica&quot;&gt;(en) « International Phonetic Alphabet », ''Encyclopædia Britannica'', [https://www.britannica.com/topic/International-Phonetic-Alphabet en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;. Par exemple, le symbole [ʃ] note le son initial du mot français ''chat''.

=== Une adoption limitée ===
L'API n'est pas devenu le système de transcription universel qu'espéraient ses concepteurs, et il est moins employé en Amérique du Nord qu'en Europe&lt;ref name=&quot;britannica&quot;/&gt;. De nombreux dictionnaires anglophones utilisent ainsi leurs propres conventions de prononciation, fondées sur l'orthographe de l'anglais, plutôt que l'API.

Dans l'usage courant, l'API reste principalement un outil de spécialistes : linguistes, phonéticiens, orthophonistes, enseignants de langues, chanteurs et comédiens. Il est néanmoins présent dans certains dictionnaires généralistes francophones et dans des projets encyclopédiques en ligne, ce qui en fait un système « vu » par un large public sans être réellement maîtrisé par lui.

=== Une universalité de conception discutée ===
L'universalité de l'API est elle-même relative. Le système repose largement sur l'alphabet latin, ce qui le rend plus accessible aux personnes déjà familières de cette écriture&lt;ref&gt;(en) « How is the International Phonetic Alphabet used? », ''Duolingo Blog'', [https://blog.duolingo.com/how-is-the-international-phonetic-alphabet-used en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;. Le phonéticien [[w:Peter Ladefoged|Peter Ladefoged]] soulignait par ailleurs que l'Association phonétique internationale ne peut pas toujours déterminer si deux sons sont réellement distincts lorsqu'ils n'ont été observés que dans des langues différentes&lt;ref&gt;(en) Peter Ladefoged, « The IPA problem », 128&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; congrès de l'Acoustical Society of America, Austin, 1994, [https://auditory.org/asamtgs/asa94aus/5pSP/5pSP1.html en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;. Le manuel officiel de l'association précise en outre que la valeur de certains symboles ne peut pas être apprise entièrement à partir de descriptions écrites&lt;ref&gt;(en) International Phonetic Association, ''Handbook of the International Phonetic Association: A Guide to the Use of the International Phonetic Alphabet'', Cambridge, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-63751-0.&lt;/ref&gt;, ce qui augmente le coût d'apprentissage pour un non-spécialiste.

== Mécanismes explicatifs ==
Plusieurs notions établies permettent d'expliquer l'effet de Rewzer.

=== Externalités de réseau ===
Un système présente une externalité de réseau lorsque sa valeur pour chaque utilisateur augmente avec le nombre total d'utilisateurs&lt;ref&gt;(en) Michael L. Katz et Carl Shapiro, « Network Externalities, Competition, and Compatibility », ''The American Economic Review'', vol. 75, n° 3, 1985, p. 424-440.&lt;/ref&gt;. Une notation que l'on est seul à comprendre ne permet pas de communiquer : sa valeur pratique dépend du nombre de personnes qui la partagent.

=== Problème de démarrage ===
Les systèmes soumis à des effets de réseau rencontrent souvent un problème de démarrage (''bootstrapping'' ou « problème de l'œuf et de la poule ») : personne n'a intérêt à adopter le système tant que les autres ne l'ont pas adopté. Appliqué à l'API, ce mécanisme se traduit ainsi : peu de personnes l'apprennent, car peu d'ouvrages grand public l'utilisent, et peu d'ouvrages l'utilisent, car peu de lecteurs savent le lire.

=== Problème de coordination ===
En théorie des jeux, un jeu de coordination décrit une situation où tous les participants gagneraient à adopter la même convention, sans qu'aucun n'ait intérêt à changer seul&lt;ref&gt;(en) Thomas C. Schelling, ''The Strategy of Conflict'', Cambridge (Massachusetts), Harvard University Press, 1960.&lt;/ref&gt;. Les conventions locales de prononciation (systèmes propres aux dictionnaires, habitudes scolaires) constituent des équilibres stables que l'API peine à remplacer.

=== Dépendance au sentier ===
La notion de [[w:Dépendance au sentier|dépendance au sentier]] décrit la persistance d'un standard déjà répandu, même lorsqu'une alternative est jugée supérieure. L'exemple classique est celui de la disposition de clavier [[w:QWERTY|QWERTY]]&lt;ref&gt;(en) Paul A. David, « Clio and the Economics of QWERTY », ''The American Economic Review'', vol. 75, n° 2, 1985, p. 332-337.&lt;/ref&gt;. Les systèmes orthographiques nationaux jouent un rôle comparable face à l'API.

== Exemples analogues ==
L'effet de Rewzer peut être rapproché d'autres systèmes conçus pour un usage universel mais restés minoritaires ou spécialisés :
* '''L'[[w:Espéranto|espéranto]]''' : langue construite à la fin du XIX&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; siècle pour servir de langue auxiliaire internationale, elle n'est parlée que par une minorité de locuteurs.
* '''Les [[w:Blissymbolics|Blissymbolics]]''' : système de symboles conçu par Charles Bliss pour une communication indépendante des langues, aujourd'hui utilisé principalement dans le domaine de la communication alternative et améliorée.
* '''Le projet SaypU''' (''Spell As You Pronounce Universal'') : alphabet phonétique « universel » présenté en 2013, accueilli avec scepticisme par des linguistes qui rappelaient l'existence de l'API&lt;ref&gt;(en) « Universal alphabet », ''Language Log'', 27 février 2013, [https://languagelog.ldc.upenn.edu/nll/?p=4497 en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;.
* '''L'alphabet de [[w:George Bernard Shaw|George Bernard Shaw]]''' (alphabet Shavian) : écriture phonétique de l'anglais financée par le testament de l'écrivain, restée l'affaire d'amateurs.

D'autres systèmes de notation universels, comme la notation musicale, la nomenclature chimique ou le [[w:Code Morse international|code Morse international]], présentent une situation proche : ils sont universels dans leur domaine mais ne sont maîtrisés que par une partie de la population. À la différence de l'API, ils n'ont toutefois pas été conçus pour un usage par le grand public.

== Critiques et limites ==
=== Un paradoxe au sens faible ===
Au sens logique, un [[w:Paradoxe|paradoxe]] désigne une contradiction apparente entre des propositions qui semblent vraies. L'effet de Rewzer repose plutôt sur une ambiguïté du mot « universel », qui peut désigner :
{| class=&quot;wikitable&quot;
! Sens !! Signification !! Application à l'API
|-
| Universalité de couverture || Le système permet de noter tous les cas || Largement vérifiée, avec des limites
|-
| Universalité d'adoption || Le système est connu de tous || Non vérifiée
|}
Une fois ces deux sens distingués, la contradiction disparaît : il est cohérent qu'un système couvre tous les sons sans être connu de tous. C'est pourquoi l'appellation « effet » est préférée à celle de « paradoxe ».

=== Des objectifs initiaux à nuancer ===
L'API a d'abord été conçu comme un outil d'enseignement des langues et de description scientifique, et non comme une écriture destinée à remplacer les orthographes existantes. Juger son succès à l'aune d'une adoption générale revient donc en partie à lui attribuer un objectif qu'il n'avait pas.

=== Une diffusion sous-estimée ===
L'affirmation selon laquelle l'API serait inconnu du grand public est relative selon les pays : il est présent dans des dictionnaires d'usage, dans l'enseignement des langues étrangères et dans de nombreuses ressources en ligne.

=== Une notion proche de concepts existants ===
L'effet de Rewzer recouvre en grande partie des phénomènes déjà décrits sous d'autres noms (externalités de réseau, problèmes de coordination, dépendance au sentier). Son intérêt tient surtout à son application spécifique aux systèmes de notation et à l'API.

== Notes et références ==
&lt;references /&gt;

== Bibliographie ==
* (en) Geoffrey K. Pullum et William A. Ladusaw, ''Phonetic Symbol Guide'', 2&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; éd., Chicago, University of Chicago Press, 1996.
* (en) International Phonetic Association, ''Handbook of the International Phonetic Association'', Cambridge University Press, 1999.

== Voir aussi (sur Wikipédia) ==
* [[w:Alphabet phonétique international|Alphabet phonétique international]]
* [[w:Externalité de réseau|Externalité de réseau]]
* [[w:Jeu de coordination|Jeu de coordination]]
* [[w:Dépendance au sentier|Dépendance au sentier]]
* [[w:Langue construite|Langue construite]]
* [[w:Transcription phonétique|Transcription phonétique]]</text>
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        <username>François Rewzer</username>
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      <text bytes="14689" sha1="4k403li8maaaogr1kl4fyunbpn0c4u8" xml:space="preserve">[[Fichier:Charte API 2020 fr.pdf|vignette|page=1|upright=1.2|Le tableau officiel de l'alphabet phonétique international (version française, 2020) : un système conçu pour noter les sons de toutes les langues, mais illisible pour la plupart des lecteurs.]]
L''''effet de Rewzer''' (parfois appelé '''paradoxe de Rewzer''') désigne la situation dans laquelle un système de notation conçu pour être universel devient, pour un lecteur non spécialiste, '''moins efficace qu'un système local imparfait'''. Le terme est formulé à propos de l'[[w:Alphabet phonétique international|alphabet phonétique international]] (API) : censé permettre de savoir comment se prononcent les mots de toutes les langues, l'API n'est lu que par une minorité de personnes. Pour la majorité des lecteurs, un mot transcrit en API reste impossible à prononcer, alors qu'une transcription approximative dans l'orthographe de leur propre langue leur permettrait de s'en approcher immédiatement.

L'outil destiné à faciliter la prononciation des langues étrangères produit donc, auprès du grand public, l'effet inverse de celui recherché : il ajoute une langue à apprendre là où il devait en retirer la barrière. L'effet de Rewzer décrit ce renversement entre l'objectif d'un système universel et son effet réel sur ceux qui ne le maîtrisent pas.

== Origine du terme ==
L'expression est proposée en novembre 2026 par Rewzer, auteur de ce travail de recherche, à partir d'une observation simple : l'API est présenté comme la clé de la prononciation de toutes les langues, mais la plupart des personnes ne savent pas le lire, si bien qu'une transcription en API ne leur apprend rien sur la façon de prononcer un mot. Le terme « paradoxe » est employé dans un sens large, celui d'un résultat contraire à l'intention, et non dans le sens d'une contradiction logique stricte (voir la section [[#Critiques et limites|Critiques et limites]]).

== Énoncé ==
[[Fichier:Effet de Rewzer comparaison.svg|vignette|upright=1.3|Pour un lecteur francophone non initié, la transcription en API de « Würzburg » ne donne aucune indication exploitable, alors qu'une transcription en orthographe française donne une prononciation approchée immédiatement.]]
L'effet de Rewzer peut être énoncé ainsi :

&lt;blockquote&gt;Pour un lecteur qui ne la maîtrise pas, une notation universelle et précise transmet moins d'information qu'une notation locale et approximative. Un système universel inconnu du lecteur dessert donc l'objectif qu'il prétend servir.&lt;/blockquote&gt;

Cet énoncé repose sur trois constats :
# '''L'objectif''' : l'API vise à indiquer la prononciation de n'importe quel mot, dans n'importe quelle langue, à n'importe quel lecteur.
# '''La réalité''' : la plupart des lecteurs ne connaissent pas la valeur de ses symboles. Une transcription en API est, pour eux, une suite de signes indéchiffrables.
# '''Le renversement''' : une transcription phonétique dans l'orthographe de la langue maternelle du lecteur, bien que moins précise, lui est directement utile. Comparé à cette solution simple, l'API ne fait pas seulement moins bien : il ne transmet presque rien.

== Illustration ==
Le tableau suivant compare, pour un lecteur francophone sans connaissance de l'API, la transcription en API de quelques noms propres et une transcription approchée en orthographe française.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Mot !! Transcription en API !! Transcription en orthographe française !! Ce que comprend un lecteur non initié
|-
| ''Würzburg'' (Allemagne) || [ˈvʏʁtsbʊʁk] || « vurts-bourk » || L'API ne lui indique rien ; la transcription française donne une prononciation proche.
|-
| ''Leicester'' (Angleterre) || [ˈlɛstə] || « lès-teur » || L'API ne lui indique rien ; la transcription française corrige immédiatement la lecture fautive « lèï-cès-tèr ».
|-
| ''Worcester'' (Angleterre) || [ˈwʊstə] || « wous-teur » || Même constat.
|}

Dans les trois cas, l'information est présente dans la transcription en API, mais elle reste inaccessible au lecteur. La transcription en orthographe française, bien qu'approximative, est la seule des deux qui remplit réellement la fonction attendue.

== Le cas de l'alphabet phonétique international ==
=== Présentation ===
[[Fichier:IPA vowels in Passy 1890.png|vignette|Tableau des voyelles de l'API publié par Paul Passy en 1890.]]
L'alphabet phonétique international est élaboré à la fin du XIX&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; siècle par l'[[w:Association phonétique internationale|Association phonétique internationale]], fondée autour du linguiste français [[w:Paul Passy|Paul Passy]]. Il a pour objectif d'attribuer un symbole unique à chaque son distinctif d'une langue&lt;ref name=&quot;britannica&quot;&gt;(en) « International Phonetic Alphabet », ''Encyclopædia Britannica'', [https://www.britannica.com/topic/International-Phonetic-Alphabet en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;. Par exemple, le symbole [ʃ] note le son initial du mot français ''chat''.

=== Une notation de spécialistes ===
L'API n'est pas devenu le système de transcription universel qu'espéraient ses concepteurs, et il est moins employé en Amérique du Nord qu'en Europe&lt;ref name=&quot;britannica&quot;/&gt;. Dans l'usage courant, il reste principalement un outil de linguistes, de phonéticiens, d'orthophonistes, d'enseignants de langues, de chanteurs et de comédiens.

Son apprentissage a en outre un coût réel. Il repose largement sur l'alphabet latin, ce qui le rend plus accessible aux personnes déjà familières de cette écriture&lt;ref name=&quot;duolingo&quot;&gt;(en) « How is the International Phonetic Alphabet used? », ''Duolingo Blog'', [https://blog.duolingo.com/how-is-the-international-phonetic-alphabet-used en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;, et le manuel officiel de l'association précise que la valeur de certains symboles ne peut pas être apprise entièrement à partir de descriptions écrites&lt;ref&gt;(en) International Phonetic Association, ''Handbook of the International Phonetic Association: A Guide to the Use of the International Phonetic Alphabet'', Cambridge, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-63751-0.&lt;/ref&gt;. Pour un lecteur qui cherche seulement à prononcer un nom de lieu, ce coût n'est pas justifié.

=== Une visibilité sans lisibilité ===
L'API est pourtant présent dans de nombreux ouvrages et sites destinés au grand public, notamment dans les dictionnaires et les encyclopédies en ligne. Il est donc régulièrement placé sous les yeux de lecteurs qui ne peuvent pas l'exploiter. Sur la Wikipédia anglophone, des contributeurs ont ainsi critiqué la nécessité d'ajouter un avertissement spécifique en tête des articles qui utilisent l'API, signe que la notation n'est pas utilisable par le grand public sans explication&lt;ref&gt;(en) « Wikipedia talk:Manual of Style/Pronunciation/Archive 7 », discussions de la Wikipédia anglophone sur la notation de la prononciation.&lt;/ref&gt;. C'est dans cette situation, où la notation est affichée à un public qui ne la lit pas, que l'effet de Rewzer est le plus marqué.

== L'alternative : la transcription en langue maternelle ==
La solution opposée à l'API consiste à transcrire la prononciation avec les conventions orthographiques de la langue du lecteur. En anglais, on parle de ''pronunciation respelling'' (« réécriture de la prononciation »). Les systèmes traditionnels de ce type n'utilisent que les lettres ordinaires de l'alphabet et sont conçus pour être compris facilement par les lecteurs natifs&lt;ref name=&quot;respelling&quot;&gt;(en) « Pronunciation respelling for English », ''Wikipédia'' (anglophone), [https://en.wikipedia.org/wiki/Pronunciation_respelling_for_English en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;.

Cette approche est loin d'être marginale. Les dictionnaires américains destinés aux anglophones natifs l'utilisent encore aujourd'hui, tandis que l'API s'est imposé dans les ouvrages de linguistique et dans de nombreux dictionnaires bilingues&lt;ref name=&quot;respelling&quot;/&gt;. Au Royaume-Uni, plusieurs dictionnaires de poche destinés aux natifs ont également conservé ce type de système, l'API étant surtout réservé aux dictionnaires pour apprenants étrangers&lt;ref name=&quot;linguism&quot;&gt;(en) « IPA versus Respelling », ''Linguism'', [https://www.linguism.co.uk/?p=1176 en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;.

Ce partage des usages va dans le sens de l'effet de Rewzer : lorsque le lecteur visé est un non-spécialiste, les éditeurs choisissent souvent la notation locale, jugée plus directement utile.

== Mécanismes explicatifs ==
=== Le rapport entre coût d'apprentissage et gain ===
Une notation n'est utile qu'une fois apprise. Pour un linguiste ou un apprenant régulier de langues étrangères, le coût d'apprentissage de l'API est rapidement amorti. Pour un lecteur occasionnel, qui cherche à prononcer quelques mots par an, ce coût dépasse largement le gain. La transcription en langue maternelle a un coût d'apprentissage quasi nul, car le lecteur maîtrise déjà son orthographe.

=== La boucle de faible adoption ===
[[Fichier:Effet de Rewzer boucle.svg|vignette|upright=1.3|La boucle qui entretient la faible diffusion de l'API.]]
Un système de notation présente une [[w:Externalité de réseau|externalité de réseau]] : sa valeur augmente avec le nombre de personnes qui le connaissent&lt;ref&gt;(en) Michael L. Katz et Carl Shapiro, « Network Externalities, Competition, and Compatibility », ''The American Economic Review'', vol. 75, n° 3, 1985, p. 424-440.&lt;/ref&gt;. Peu de lecteurs apprennent l'API, car peu d'ouvrages grand public en font un usage qu'ils pourraient exploiter, et les ouvrages qui l'utilisent s'adressent à un public qui ne sait pas le lire. Cette boucle maintient l'écart entre la vocation universelle de l'API et son usage réel.

=== La persistance des conventions locales ===
La notion de [[w:Dépendance au sentier|dépendance au sentier]] décrit la persistance d'un standard déjà répandu, même lorsqu'une alternative est jugée supérieure&lt;ref&gt;(en) Paul A. David, « Clio and the Economics of QWERTY », ''The American Economic Review'', vol. 75, n° 2, 1985, p. 332-337.&lt;/ref&gt;. L'orthographe de la langue maternelle est le standard que chaque lecteur maîtrise déjà : toute notation concurrente doit justifier un effort d'apprentissage supplémentaire.

== Un débat existant en lexicographie ==
L'effet de Rewzer rejoint un débat ancien entre lexicographes : faut-il indiquer la prononciation avec l'API ou avec un système de réécriture fondé sur l'orthographe du lecteur ? Les deux systèmes ont leurs défenseurs, et chacun présente des avantages et des inconvénients&lt;ref name=&quot;linguism&quot;/&gt;. L'apport de l'effet de Rewzer est de formuler ce débat du point de vue du lecteur non spécialiste, et de souligner que, pour ce lecteur, la notation la plus précise peut être la moins utile.

== Exemples analogues ==
D'autres systèmes conçus pour un usage universel se heurtent à une difficulté comparable :
* '''L'[[w:Espéranto|espéranto]]''' : langue construite pour servir de langue internationale, elle n'est parlée que par une minorité. Pour communiquer avec un étranger, une langue déjà partagée, même imparfaitement maîtrisée, reste plus efficace.
* '''Le projet SaypU''' (''Spell As You Pronounce Universal'') : alphabet phonétique « universel » présenté en 2013, accueilli avec scepticisme par des linguistes qui rappelaient l'existence de l'API&lt;ref&gt;(en) « Universal alphabet », ''Language Log'', 27 février 2013, [https://languagelog.ldc.upenn.edu/nll/?p=4497 en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;.
* '''Les [[w:Blissymbolics|Blissymbolics]]''' : système de symboles conçu pour une communication indépendante des langues, aujourd'hui utilisé principalement dans le domaine de la communication alternative et améliorée.

== Critiques et limites ==
=== Les sons absents de la langue du lecteur ===
La transcription en langue maternelle ne peut noter que les sons qui existent dans cette langue. Le « th » anglais de ''thought'' ou le « ll » gallois de ''Llanelli'' n'ont pas d'équivalent en français : toute transcription en orthographe française les déforme. Pour ces sons, l'API reste le seul système capable d'en donner une représentation exacte. L'effet de Rewzer est donc surtout marqué pour les mots dont les sons sont proches de ceux de la langue du lecteur.

=== Une transcription par langue de lecteur ===
Une transcription en langue maternelle doit être refaite pour chaque langue de lecteur : « vurts-bourk » convient à un francophone, pas à un anglophone. Les systèmes de réécriture varient d'ailleurs d'un ouvrage à l'autre, contrairement à l'API&lt;ref name=&quot;respelling&quot;/&gt;. L'API évite cette multiplication en proposant une seule notation pour tous. Sa faiblesse auprès du grand public est la contrepartie de cet avantage.

=== La dépendance à l'accent du lecteur ===
Une transcription en orthographe locale suppose que l'auteur et le lecteur associent les mêmes sons aux mêmes lettres. Une même réécriture peut ainsi convenir à certains lecteurs et pas à d'autres, selon leur accent&lt;ref name=&quot;respelling&quot;/&gt;.

=== Une portée relative selon les pays ===
L'affirmation selon laquelle « personne » ne comprend l'API doit être nuancée : dans certains pays, il est enseigné dès l'école dans le cadre de l'apprentissage des langues étrangères. L'effet de Rewzer décrit la situation du lecteur non initié, majoritaire mais pas universel.

=== Un paradoxe au sens faible ===
Au sens logique, un [[w:Paradoxe|paradoxe]] désigne une contradiction apparente entre des propositions qui semblent vraies. L'effet de Rewzer décrit plutôt un résultat contraire à l'intention, comparable à un effet pervers. C'est pourquoi l'appellation « effet » est préférée à celle de « paradoxe ».

== Notes et références ==
&lt;references /&gt;

== Bibliographie ==
* (en) Geoffrey K. Pullum et William A. Ladusaw, ''Phonetic Symbol Guide'', 2&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; éd., Chicago, University of Chicago Press, 1996.
* (en) International Phonetic Association, ''Handbook of the International Phonetic Association'', Cambridge University Press, 1999.

== Voir aussi (sur Wikipédia) ==
* [[w:Alphabet phonétique international|Alphabet phonétique international]]
* [[w:Transcription phonétique|Transcription phonétique]]
* [[w:en:Pronunciation respelling|Pronunciation respelling]] (en anglais)
* [[w:Externalité de réseau|Externalité de réseau]]
* [[w:Dépendance au sentier|Dépendance au sentier]]
* [[w:Effet pervers|Effet pervers]]</text>
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      <contributor>
        <username>François Rewzer</username>
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      <origin>988273</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="14650" sha1="ifd9kxlekip6cjupo3rtwhaek5puz9c" xml:space="preserve">[[Fichier:Charte API 2020 fr.pdf|vignette|page=1|upright=1.2|Le tableau officiel de l'alphabet phonétique international (version française, 2020) : un système conçu pour noter les sons de toutes les langues, mais illisible pour la plupart des lecteurs.]]
L''''effet Rewzer''' (parfois appelé '''paradoxe Rewzer''') désigne la situation dans laquelle un système de notation conçu pour être universel devient, pour un lecteur non spécialiste, '''moins efficace qu'un système local imparfait'''. Le terme est formulé à propos de l'[[w:Alphabet phonétique international|alphabet phonétique international]] (API) : censé permettre de savoir comment se prononcent les mots de toutes les langues, l'API n'est lu que par une minorité de personnes. Pour la majorité des lecteurs, un mot transcrit en API reste impossible à prononcer, alors qu'une transcription approximative dans l'orthographe de leur propre langue leur permettrait de s'en approcher immédiatement.

L'outil destiné à faciliter la prononciation des langues étrangères produit donc, auprès du grand public, l'effet inverse de celui recherché : il ajoute une langue à apprendre là où il devait en retirer la barrière. L'effet Rewzer décrit ce renversement entre l'objectif d'un système universel et son effet réel sur ceux qui ne le maîtrisent pas.

== Origine du terme ==
L'expression est proposée en novembre 2026 par Rewzer, auteur de ce travail de recherche, à partir d'une observation simple : l'API est présenté comme la clé de la prononciation de toutes les langues, mais la plupart des personnes ne savent pas le lire, si bien qu'une transcription en API ne leur apprend rien sur la façon de prononcer un mot. Le terme « paradoxe » est employé dans un sens large, celui d'un résultat contraire à l'intention, et non dans le sens d'une contradiction logique stricte (voir la section [[#Critiques et limites|Critiques et limites]]).

== Énoncé ==
[[Fichier:Effet Rewzer comparaison.svg|vignette|upright=1.3|Pour un lecteur francophone non initié, la transcription en API de « Würzburg » ne donne aucune indication exploitable, alors qu'une transcription en orthographe française donne une prononciation approchée immédiatement.]]
L'effet Rewzer peut être énoncé ainsi :

&lt;blockquote&gt;Pour un lecteur qui ne la maîtrise pas, une notation universelle et précise transmet moins d'information qu'une notation locale et approximative. Un système universel inconnu du lecteur dessert donc l'objectif qu'il prétend servir.&lt;/blockquote&gt;

Cet énoncé repose sur trois constats :
# '''L'objectif''' : l'API vise à indiquer la prononciation de n'importe quel mot, dans n'importe quelle langue, à n'importe quel lecteur.
# '''La réalité''' : la plupart des lecteurs ne connaissent pas la valeur de ses symboles. Une transcription en API est, pour eux, une suite de signes indéchiffrables.
# '''Le renversement''' : une transcription phonétique dans l'orthographe de la langue maternelle du lecteur, bien que moins précise, lui est directement utile. Comparé à cette solution simple, l'API ne fait pas seulement moins bien : il ne transmet presque rien.

== Illustration ==
Le tableau suivant compare, pour un lecteur francophone sans connaissance de l'API, la transcription en API de quelques noms propres et une transcription approchée en orthographe française.

{| class=&quot;wikitable&quot;
! Mot !! Transcription en API !! Transcription en orthographe française !! Ce que comprend un lecteur non initié
|-
| ''Würzburg'' (Allemagne) || [ˈvʏʁtsbʊʁk] || « vurts-bourk » || L'API ne lui indique rien ; la transcription française donne une prononciation proche.
|-
| ''Leicester'' (Angleterre) || [ˈlɛstə] || « lès-teur » || L'API ne lui indique rien ; la transcription française corrige immédiatement la lecture fautive « lèï-cès-tèr ».
|-
| ''Worcester'' (Angleterre) || [ˈwʊstə] || « wous-teur » || Même constat.
|}

Dans les trois cas, l'information est présente dans la transcription en API, mais elle reste inaccessible au lecteur. La transcription en orthographe française, bien qu'approximative, est la seule des deux qui remplit réellement la fonction attendue.

== Le cas de l'alphabet phonétique international ==
=== Présentation ===
[[Fichier:IPA vowels in Passy 1890.png|vignette|Tableau des voyelles de l'API publié par Paul Passy en 1890.]]
L'alphabet phonétique international est élaboré à la fin du XIX&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; siècle par l'[[w:Association phonétique internationale|Association phonétique internationale]], fondée autour du linguiste français [[w:Paul Passy|Paul Passy]]. Il a pour objectif d'attribuer un symbole unique à chaque son distinctif d'une langue&lt;ref name=&quot;britannica&quot;&gt;(en) « International Phonetic Alphabet », ''Encyclopædia Britannica'', [https://www.britannica.com/topic/International-Phonetic-Alphabet en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;. Par exemple, le symbole [ʃ] note le son initial du mot français ''chat''.

=== Une notation de spécialistes ===
L'API n'est pas devenu le système de transcription universel qu'espéraient ses concepteurs, et il est moins employé en Amérique du Nord qu'en Europe&lt;ref name=&quot;britannica&quot;/&gt;. Dans l'usage courant, il reste principalement un outil de linguistes, de phonéticiens, d'orthophonistes, d'enseignants de langues, de chanteurs et de comédiens.

Son apprentissage a en outre un coût réel. Il repose largement sur l'alphabet latin, ce qui le rend plus accessible aux personnes déjà familières de cette écriture&lt;ref name=&quot;duolingo&quot;&gt;(en) « How is the International Phonetic Alphabet used? », ''Duolingo Blog'', [https://blog.duolingo.com/how-is-the-international-phonetic-alphabet-used en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;, et le manuel officiel de l'association précise que la valeur de certains symboles ne peut pas être apprise entièrement à partir de descriptions écrites&lt;ref&gt;(en) International Phonetic Association, ''Handbook of the International Phonetic Association: A Guide to the Use of the International Phonetic Alphabet'', Cambridge, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-63751-0.&lt;/ref&gt;. Pour un lecteur qui cherche seulement à prononcer un nom de lieu, ce coût n'est pas justifié.

=== Une visibilité sans lisibilité ===
L'API est pourtant présent dans de nombreux ouvrages et sites destinés au grand public, notamment dans les dictionnaires et les encyclopédies en ligne. Il est donc régulièrement placé sous les yeux de lecteurs qui ne peuvent pas l'exploiter. Sur la Wikipédia anglophone, des contributeurs ont ainsi critiqué la nécessité d'ajouter un avertissement spécifique en tête des articles qui utilisent l'API, signe que la notation n'est pas utilisable par le grand public sans explication&lt;ref&gt;(en) « Wikipedia talk:Manual of Style/Pronunciation/Archive 7 », discussions de la Wikipédia anglophone sur la notation de la prononciation.&lt;/ref&gt;. C'est dans cette situation, où la notation est affichée à un public qui ne la lit pas, que l'effet Rewzer est le plus marqué.

== L'alternative : la transcription en langue maternelle ==
La solution opposée à l'API consiste à transcrire la prononciation avec les conventions orthographiques de la langue du lecteur. En anglais, on parle de ''pronunciation respelling'' (« réécriture de la prononciation »). Les systèmes traditionnels de ce type n'utilisent que les lettres ordinaires de l'alphabet et sont conçus pour être compris facilement par les lecteurs natifs&lt;ref name=&quot;respelling&quot;&gt;(en) « Pronunciation respelling for English », ''Wikipédia'' (anglophone), [https://en.wikipedia.org/wiki/Pronunciation_respelling_for_English en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;.

Cette approche est loin d'être marginale. Les dictionnaires américains destinés aux anglophones natifs l'utilisent encore aujourd'hui, tandis que l'API s'est imposé dans les ouvrages de linguistique et dans de nombreux dictionnaires bilingues&lt;ref name=&quot;respelling&quot;/&gt;. Au Royaume-Uni, plusieurs dictionnaires de poche destinés aux natifs ont également conservé ce type de système, l'API étant surtout réservé aux dictionnaires pour apprenants étrangers&lt;ref name=&quot;linguism&quot;&gt;(en) « IPA versus Respelling », ''Linguism'', [https://www.linguism.co.uk/?p=1176 en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;.

Ce partage des usages va dans le sens de l'effet Rewzer : lorsque le lecteur visé est un non-spécialiste, les éditeurs choisissent souvent la notation locale, jugée plus directement utile.

== Mécanismes explicatifs ==
=== Le rapport entre coût d'apprentissage et gain ===
Une notation n'est utile qu'une fois apprise. Pour un linguiste ou un apprenant régulier de langues étrangères, le coût d'apprentissage de l'API est rapidement amorti. Pour un lecteur occasionnel, qui cherche à prononcer quelques mots par an, ce coût dépasse largement le gain. La transcription en langue maternelle a un coût d'apprentissage quasi nul, car le lecteur maîtrise déjà son orthographe.

=== La boucle de faible adoption ===
[[Fichier:Effet Rewzer boucle.svg|vignette|upright=1.3|La boucle qui entretient la faible diffusion de l'API.]]
Un système de notation présente une [[w:Externalité de réseau|externalité de réseau]] : sa valeur augmente avec le nombre de personnes qui le connaissent&lt;ref&gt;(en) Michael L. Katz et Carl Shapiro, « Network Externalities, Competition, and Compatibility », ''The American Economic Review'', vol. 75, n° 3, 1985, p. 424-440.&lt;/ref&gt;. Peu de lecteurs apprennent l'API, car peu d'ouvrages grand public en font un usage qu'ils pourraient exploiter, et les ouvrages qui l'utilisent s'adressent à un public qui ne sait pas le lire. Cette boucle maintient l'écart entre la vocation universelle de l'API et son usage réel.

=== La persistance des conventions locales ===
La notion de [[w:Dépendance au sentier|dépendance au sentier]] décrit la persistance d'un standard déjà répandu, même lorsqu'une alternative est jugée supérieure&lt;ref&gt;(en) Paul A. David, « Clio and the Economics of QWERTY », ''The American Economic Review'', vol. 75, n° 2, 1985, p. 332-337.&lt;/ref&gt;. L'orthographe de la langue maternelle est le standard que chaque lecteur maîtrise déjà : toute notation concurrente doit justifier un effort d'apprentissage supplémentaire.

== Un débat existant en lexicographie ==
L'effet Rewzer rejoint un débat ancien entre lexicographes : faut-il indiquer la prononciation avec l'API ou avec un système de réécriture fondé sur l'orthographe du lecteur ? Les deux systèmes ont leurs défenseurs, et chacun présente des avantages et des inconvénients&lt;ref name=&quot;linguism&quot;/&gt;. L'apport de l'effet Rewzer est de formuler ce débat du point de vue du lecteur non spécialiste, et de souligner que, pour ce lecteur, la notation la plus précise peut être la moins utile.

== Exemples analogues ==
D'autres systèmes conçus pour un usage universel se heurtent à une difficulté comparable :
* '''L'[[w:Espéranto|espéranto]]''' : langue construite pour servir de langue internationale, elle n'est parlée que par une minorité. Pour communiquer avec un étranger, une langue déjà partagée, même imparfaitement maîtrisée, reste plus efficace.
* '''Le projet SaypU''' (''Spell As You Pronounce Universal'') : alphabet phonétique « universel » présenté en 2013, accueilli avec scepticisme par des linguistes qui rappelaient l'existence de l'API&lt;ref&gt;(en) « Universal alphabet », ''Language Log'', 27 février 2013, [https://languagelog.ldc.upenn.edu/nll/?p=4497 en ligne] (consulté le 10 novembre 2026).&lt;/ref&gt;.
* '''Les [[w:Blissymbolics|Blissymbolics]]''' : système de symboles conçu pour une communication indépendante des langues, aujourd'hui utilisé principalement dans le domaine de la communication alternative et améliorée.

== Critiques et limites ==
=== Les sons absents de la langue du lecteur ===
La transcription en langue maternelle ne peut noter que les sons qui existent dans cette langue. Le « th » anglais de ''thought'' ou le « ll » gallois de ''Llanelli'' n'ont pas d'équivalent en français : toute transcription en orthographe française les déforme. Pour ces sons, l'API reste le seul système capable d'en donner une représentation exacte. L'effet Rewzer est donc surtout marqué pour les mots dont les sons sont proches de ceux de la langue du lecteur.

=== Une transcription par langue de lecteur ===
Une transcription en langue maternelle doit être refaite pour chaque langue de lecteur : « vurts-bourk » convient à un francophone, pas à un anglophone. Les systèmes de réécriture varient d'ailleurs d'un ouvrage à l'autre, contrairement à l'API&lt;ref name=&quot;respelling&quot;/&gt;. L'API évite cette multiplication en proposant une seule notation pour tous. Sa faiblesse auprès du grand public est la contrepartie de cet avantage.

=== La dépendance à l'accent du lecteur ===
Une transcription en orthographe locale suppose que l'auteur et le lecteur associent les mêmes sons aux mêmes lettres. Une même réécriture peut ainsi convenir à certains lecteurs et pas à d'autres, selon leur accent&lt;ref name=&quot;respelling&quot;/&gt;.

=== Une portée relative selon les pays ===
L'affirmation selon laquelle « personne » ne comprend l'API doit être nuancée : dans certains pays, il est enseigné dès l'école dans le cadre de l'apprentissage des langues étrangères. L'effet Rewzer décrit la situation du lecteur non initié, majoritaire mais pas universel.

=== Un paradoxe au sens faible ===
Au sens logique, un [[w:Paradoxe|paradoxe]] désigne une contradiction apparente entre des propositions qui semblent vraies. L'effet Rewzer décrit plutôt un résultat contraire à l'intention, comparable à un effet pervers. C'est pourquoi l'appellation « effet » est préférée à celle de « paradoxe ».

== Notes et références ==
&lt;references /&gt;

== Bibliographie ==
* (en) Geoffrey K. Pullum et William A. Ladusaw, ''Phonetic Symbol Guide'', 2&lt;sup&gt;e&lt;/sup&gt; éd., Chicago, University of Chicago Press, 1996.
* (en) International Phonetic Association, ''Handbook of the International Phonetic Association'', Cambridge University Press, 1999.

== Voir aussi (sur Wikipédia) ==
* [[w:Alphabet phonétique international|Alphabet phonétique international]]
* [[w:Transcription phonétique|Transcription phonétique]]
* [[w:en:Pronunciation respelling|Pronunciation respelling]] (en anglais)
* [[w:Externalité de réseau|Externalité de réseau]]
* [[w:Dépendance au sentier|Dépendance au sentier]]
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Je souhaite apporter a votre connaissance que M.Rewzer souleve ici un problème profond et fort interessant. Il fallait y penser 😝. Chapeau, M.Rewzer ! [[Spécial:Contributions/~2026-59694-41|~2026-59694-41]] ([[Discussion utilisateur:~2026-59694-41|discussion]]) 10 novembre 2026 à 14:58 (UTC)</text>
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Je souhaite apporter a votre connaissance que M.Rewzer souleve ici un problème profond et fort interessant. Il fallait y penser 😝. Chapeau, M.Rewzer ! [[Spécial:Contributions/~2026-59694-41|~2026-59694-41]] ([[Discussion utilisateur:~2026-59694-41|discussion]]) 10 novembre 2026 à 14:58 (UTC)</text>
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